2021届高考数学一轮复习新人教A版教学案：第二章函数概念及基本初等函数Ⅰ创新引领微课探秘基本初等函数的命题热点动向
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探秘基本初等函数的命题热点动向
微点聚焦突破
以二次函数、幂函数、指数与对数函数为载体考查函数图象与性质，灵活利用图象、性质解决与方程(不等式)的交汇融合问题，相关参数求解与讨论一直是命题的热点，常以客观题的形式呈现，考查学生数学运算、直观想象、逻辑推理数学核心素养.
类型一 基本初等函数图象的辨析
角度1 特殊值与性质检验法
【例1－1】 (1)函数f(x)＝x2－的大致图象是( )
(2)(2019·福州质检)函数f(x)＝x2＋ln(e－x)ln(e＋x)的大致图象为( )
解析 (1)由f(0)＝－1，知图象过点(0，－1)，排除D项.
又f(－2)＝4－4＝0，f(－4)＝16－16＝0，
∴f(x)的图象过点(－2，0)，(－4，0)，排除A，C，只有B适合.
(2)易知f(－x)＝(－x)2＋ln(e＋x)ln(e－x)＝x2＋ln(e－x)ln(e＋x)＝f(x)，
∴y＝f(x)的图象关于y轴对称，排除C项.
又当x→e时，f(x)→－∞，排除选项B，D.
答案 (1)B (2)A
思维升华 1.求解该类问题抓住两点：(1)根据函数的奇偶性、周期性、单调性排除不符合的选项.(2)利用特殊值(点)或极限的思想，排除不可能选项.
2.注意两点：(1)特殊点或特殊值要具备特殊性和代表性，只能否定错误的结论.(2)紧扣图象特征，揭示函数的性质.
【训练1】 (2020·东北四校联考)函数f(x)＝的图象大致是( )
解析 因为f(－x)＝＝＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，可排除A.易知函数f(x)的定义域为∪∪，f(x)＝＝，当x＝时，f(x)>0，可排除C.
当x→＋∞时，f(x)→－∞，可排除D.
答案 B
角度2 函数的图象变换法
【例1－2】 已知定义域为R的函数f(x)满足f(x)＝－f(x－1)，则函数f(x)在(－1，1]上的图象可能是( )
解析 由f(x)＝－f(x－1)知，把f(x)在(－1，0)上的图象向右平移一个单位长度，再把所得的图象关于x轴作对称变换，可以得到y＝f(x)在(0，1)上的图象.结合图象特征，A，B，D不满足，只有C符合.
答案 C
思维升华 1.通过图象变换识别函数图象要掌握两点：一是熟悉基本初等函数的图象(如指数函数、对数函数等函数的图象)；二是了解一些常见的变换形式，如平移变换、伸缩变换、翻折变换.
2.函数图象进行左右平移变换，一定是仅仅相对于“自变量x”而言的，一定把x的系数变为1.
【训练2】 (2020·武汉部分重点中学联考)已知函数y＝sin ax＋b(a>0)的图象，如图所示，则函数y＝loga(x＋b)的图象可能是( )
解析 由y＝sin ax＋b的图象知，周期T>2π，0
2π，∴00，则下列关系式不可能成立的是( )
A.<< B.<<
C.<< D.＝＝
解析 令log2x＝log3y＝log5z＝k>0，
则x＝2k>1，y＝3k>1，z＝5k>1，
故＝2k－1，＝3k－1，＝5k－1，
若01时，则f(x)＝xk－1在(0，＋∞)上单调递增，
∴<<，选项A成立.
综上，选项A，B，D都有可能成立，只有C不成立.
答案 C
思维升华 1.本题考查对数定义，幂函数、指数函数的单调性及应用，着重考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养.
2.运用基本初等函数性质求解问题，要注意不同参数取值对性质的影响，必要时要进行分类讨论.
【训练3】 若函数f(x)＝x2，设a＝log54，b＝log，c＝2，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系是( )
A.f(a)>f(b)>f(c) B.f(b)>f(c)>f(a)
C.f(c)>f(b)>f(a) D.f(c)>f(a)>f(b)
解析 由b＝log＝log53，且y＝log5x是增函数，
∴1>a>b>0，
又c＝2>1，且f(x)＝x2在(0，＋∞)上是增函数，
∴f(c)>f(a)>f(b).
答案 D
角度2 利用性质求函数值或范围
【例2－2】 (1)(2020·安徽名校联考)已知函数y＝g(x)满足g(x＋2)＝－g(x)，若y＝f(x
)在(－2，0)∪(0，2)上为偶函数，且其解析式为f(x)＝则g(－2 021)的值为( )
A.－1 B.0 C. D.－
(2)(2020·石家庄调研)已知函数f(x)＝2x＋log3，若不等式f>3成立，则实数m的取值范围是( )
A.(1，＋∞) B.(－∞，1)
C. D.
解析 (1)由g(x＋2)＝－g(x)，得g(x＋4)＝g(x)，
∴4是函数g(x)的周期.
则g(－2 021)＝g(－505×4－1)＝g(－1).
又f(x)在(－2，0)∪(0，2)上是偶函数，
∴g(－1)＝f(－1)＝f(1)＝log21＝0.
(2)由>0，得f(x)的定义域为(－2，2).
∵y＝log3＝log3在(－2，2)上单调递增，
∴f(x)在(－2，2)上是增函数.
又f(1)＝3，f>3⇔f>f(1).
∴解得f(x)的x的取值范围是( )
A.(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B.(－∞，－)∪(，＋∞)
C.(－∞，－)∪(2，＋∞)
D.(－∞，－1)∪(，＋∞)
解析 当x>0时，f(x)＝2x－2－x是增函数；
当x≤0时，f(x)＝0.
由f(x2－2)>f(x)，∴或
解得x>2或x<－.
故不等式的解集为(－∞，－)∪(2，＋∞).
答案 C
类型三 运用基本初等函数图象性质解零点问题
【例3】 (2019·湖北重点中学联考)已知函数f(x)＝，若关于x的方程[f(x)]2＋mf(x)＋m－1＝0恰有3个不同的实数解，则实数m的取值范围是( )
A.(－∞，2)∪(2，＋∞) B.
C. D.(1，e)
解析 因为f′(x)＝＝，
∴f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减.
因此f(x)max＝f(1)＝.
又当x→－∞时，f(x)→－∞；
当x→＋∞时，f(x)→0且f(x)>0，又f(0)＝0，
从而作出t＝f(x)的简图，如图所示.
令t＝f(x)，g(t)＝t2＋mt＋m－1.
由g(t)＝0，得t＝－1或t＝1－m.
当t＝－1时，f(x)＝＝－1，方程有一解.
要使原方程有3个不同的实数解，必须t＝1－m与t＝f(x)的图象有两个交点.
故0<1－m<，所以1－b，则( )
A.ln(a－b)>0 B.3a<3b
C.a3－b3>0 D.|a|>|b|
解析 法一 不妨设a＝－1，b＝－2，则a>b，可验证A，B，D错误，只有C正确.
法二 由a>b，得a－b>0.但a－b>1不一定成立，
则ln(a－b)>0不一定成立，故A不一定成立.
因为y＝3x在R上是增函数，当a>b时，3a>3b，故B不成立.
因为y＝x3在R上是增函数，当a>b时，a3>b3，即a3－b3>0，故C成立.
因为当a＝3，b＝－6时，a>b，但|a|<|b|，D项不正确.
答案 C
4.定义在R上的奇函数f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝4x2－2x，则当x∈[－3，3]时，方程2f(x)＝1的解的个数为( )
A.3 B.4 C.6 D.8
解析 f(x)在R上为奇函数，知f(x)的图象关于原点对称.
又f(1－x)＝f(1＋x)，∴y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称.
由题设，作出函数y＝f(x)的大致图象(如图).
∴y＝f(x)，x∈[－3，3]的图象与直线y＝有三个交点.
故方程2f(x)＝1有3个解.
答案 A
5.已知函数f(x)＝(ex＋e－x)ln －1，若f(a)＝1，则f(－a)＝( )
A.1 B.－1 C.3 D.－3
解析 设g(x)＝f(x)＋1＝(ex＋e－x)ln .
易知g(－x)＝(e－x＋ex)ln ＝－g(x).
由f(a)＝1，得g(a)＝2.
∴g(－a)＝－2，从而f(－a)＝g(－a)－1＝－3.
答案 D
6.函数f(x)＝xa满足f(2)＝4，那么函数g(x)＝|loga(x＋1)|的图象大致为( )
解析 由函数f(x)＝xa满足f(2)＝4，知2a＝4，
所以a＝2，f(x)＝x2，则g(x)＝|log2(x＋1)|，
将函数h(x)＝log2x的图象向左平移1个单位长度(纵坐标不变)，然后将x轴下方的图象折上去，即可知选C.
答案 C
7.已知函数f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是( )
A.a<0，b<0，c<0 B.a<0，b≥0，c>0
C.2－a<2c D.2a＋2c<2
解析 作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图，
∵af(c)>f(b)，
结合图象知，
00，
∴0<2a<1.
∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，
∴f(c)<1，∴0f(c)，
∴1－2a>2c－1，
∴2a＋2c<2，故选D.
答案 D
8.若函数f(x)＝的图象如图所示，则m的取值范围为( )
A.(－∞，－1)
B.(－1，2)
C.(0，2)
D.(1，2)
解析 由图可知，f(x)的定义域为R，所以m>0.
又因为x→＋∞时，f(x)>0，所以2－m>0⇒m<2.
又因为f(x)是奇函数，所以x>0时，
f(x)＝＝，
所以f(x)在(0，)上单调递增，(，＋∞)上单调递减，所以>1⇒m>1，
综上，实数m的取值范围是(1，2).
答案 D
二、填空题
9.已知函数f(x)＝若f(2－a)＝1，则f(a)＝________.
解析 当2－a<2，即a>0时，f(2－a)＝－log2(1＋a)＝1.
解得a＝－，不合题意.
当2－a≥2，即a≤0时，f(2－a)＝2－a－1＝1，即2－a＝2，解得a＝－1，所以f(a)＝f(－1)＝－log24＝－2.
答案 －2
10.若函数f(x)＝loga(x>0，a>0且a≠1)的值域为R，则实数a的取值范围是________________.
解析 设g(x)＝x＋－4(x>0)，
又函数f(x)＝loga(a>0且a≠1)的值域为R，
∴x＋－4≤0必有解，故函数g(x)的最小值必须要小于等于零，又g(x)≥2－4，
当且仅当x＝时，等号成立.
要满足题意，需2－4≤0，解得a≤4.
故实数a的取值范围是(0，1)∪(1，4].
答案 (0，1)∪(1，4]
11.(2020·郑州质量预测)已知函数f(x)＝若不等式f(x)≤5－mx恒成立，则实数m的取值范围是________.
解析 如图，在同一平面直角坐标系内作出y＝f(x)和y＝－mx＋5的图象，直线y＝5－mx过定点A(0，5)，当直线y＝－mx＋5位于平行于x轴的位置和直线AB之间时，满足不等式f(x)≤5－mx恒成立，所以≤－m≤0，解得0≤m≤.
答案
12.(2020·南昌调研)若对任意的t∈[1，2]，函数f(x)＝t2x2－(t＋1)x＋a总有零点，则实数a的取值范围是________.
解析 由题意得(t＋1)2－4at2≥0对t∈[1，2]恒成立，
所以4at2≤(t＋1)2对t∈[1，2]恒成立，
则a≤对t∈[1，2]恒成立，
设y＝，则y′＝－<0，
故函数y＝在t∈[1，2]上单调递减，
∴ymin＝＝.
∴的最小值为，故a≤.
答案
B级 能力提升
13.函数f(x)＝，若a＝f，b＝f(ln 2)，c＝f，则有( )
A.c>b>a B.b>a>c
C.c>a>b D.b>c>a
解析 f(x)＝＝＝1＋，
∴f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数，
易知x<0时，f(x)<0，x>0时，f(x)>0，
又∵ln 2>0，－<0，ln <0，∴b>0，a<0，c<0.
又－＝－ln ，ln ＝－ln 3，且－ln >－ln 3，
∴－>ln ，∵f(x)在(－∞，0)上单调递减，
∴fa，∴b>c>a.
答案 D
14.已知函数f(x)＝则函数y＝f(e－x)的大致图象是( )
解析 令g(x)＝f(e－x)，则g(x)＝
即g(x)＝
因此g(x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数，排除A，C；
又ee－0>ln(e－0)＝1，排除D，因而B项成立.
答案 B
15.若函数f(x)＝有且只有2个不同的零点，则实数k的取值范围是( )
A.(－4，0) B.(－∞，0]
C.(－4，0] D.(－∞，0)
解析 x>0时，x＝1为f(x)的零点，x≤0时，x＝0为f(x)的零点，故x<0时，f(x)不能再有其它零点，即方程＝kx2(x<0)无解，等价于＝kx(x<0)无解.
作出y＝(x<0)，y＝kx(x<0)的图象如图.
当k>0时，y＝kx与y＝相交.
∴k≤0时，y＝kx与y＝不相交.
此时f(x)仅有两个零点x＝0与x＝1.
答案 B
16.(2018·全国Ⅰ卷改编)已知函数f(x)＝
g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是________.
解析 依题意，g(x)＝f(x)＋x＋a＝0有两个实根，
∴关于x的方程f(x)＝－x－a有两个实根.
作出f(x)＝与y＝－x－a的图象.
根据图象知，当－a≤1时，即a≥－1时，两图象有两个交点.
故实数a的取值范围是[－1，＋∞).
答案 [－1，＋∞)
C级 创新猜想
17.(多选题)(2020·烟台调研)已知函数f(x)＝ln x＋ln(4－x)，则下列四个命题正确的是( )
A.f(x)在(0，2)上单调递增
B.f(x)在(0，4)上单调递增
C.f(x)的图象关于直线x＝2对称
D.f(x)的图象上存在两点关于点(2，0)对称
解析 f(x)＝ln x＋ln(4－x)＝ln x(4－x)
＝ln[4－(x－2)2]，x∈(0，4).
设z＝4－(x－2)2，x∈(0，4)，
由于z＝4－(x－2)2在(0，2)上单调递增，在(2，4)上单调递减，
y＝ln z在(0，＋∞)上单调递增.
∴f(x)在(0，2)上单调递增，在(2，4)上单调递减，故A正确，B错误.
又f(2＋x)＝ln(4－x2)为偶函数，其图象关于x＝0对称，f(x)由f(x＋2)的图象向右平移两个单位得到，所以f(x)的图象关于x＝2对称，故C正确.
由f(2＋x)＋f(2－x)＝2ln(2－x)＋2ln(2＋x)＝0，得x＝±，
∴f(x)的图象上存在两点(2－，0)，(2＋，0)关于点(2，0)对称，D正确.故选ACD.
答案 ACD
