利用洛必达法则来处理高考中的恒成立问题
导数结合洛必达法则巧解高考压轴题
法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) 及；(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0； (3)，那么 =。
法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) 及； (2)，f(x) 和g(x)在与上可导，且g'(x)≠0； (3)，那么 =。
法则3 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) 及； (2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0； (3)，那么 =。
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： 1.将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，，洛必达法则也成立。
2.洛必达法则可处理，，，，，，型。
3.在着手求极限以前，首先要检查是否满足，，，，，，型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。 4.若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
二．高考题处理
1.(2010年全国新课标理)设函数。（1）若，求的单调区间；（2）若当时，求的取值范围
解:（II）当时，，对任意实数a,均在；当时，等价于令(x>0),则，令，则，，
知在上为增函数，；知在上为增函数，；，g(x)在上为增函数。由洛必达法则知，，故综上，知a的取值范围为。
2．（2011年全国新课标理）已知函数，曲线在点处的切线方程为。（Ⅰ）求、的值；（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围。
解：（II）由题设可得，当时，k<恒成立。
令g (x)= (),则，
再令()，则，，易知在上为增函数，且；故当时，，当x（1，+）时，；
在上为减函数，在上为增函数；故>=0
在上为增函数=0当时，，当x（1，+）时，当时，，当x（1，+）时，
在上为减函数，在上为增函数
洛必达法则知
，即k的取值范围为（-，0]
3.已知函数f(x)=x－(1+a)lnx在x=1时，存在极值。（1）求实数a的值；（2）若x>1，mlnx>成立,求正实数m的取值范围
解：=g（x）
=令h(x)= 令则，令M（x）=r(x)，
<0,则，r(x)为减，且r(1)=0,则h（x）为减，且h(1)=0,则g(x)为减，这样，g(x)
0），分子r(x)=,(x[0, )，扩展定义域]，求导0，可知，r(x)为定义域内增函数，而r（x）r(0)=0.所以》0.为增函数。则ah(0)----不存在，罗比达法则可得为1
练习
1. 2006年全国2理
设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．
2. 2006全国1理
已知函数.（Ⅰ）设，讨论的单调性；
（Ⅱ）若对任意恒有，求的取值范围.
1. 2007全国1理
2. 设函数．（Ⅰ）证明：的导数；
（Ⅱ）若对所有都有，求的取值范围．
3. 2008全国2理
设函数．（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）如果对任何，都有，求的取值范围．
解：（Ⅰ）．
当（）时，，即；
当（）时，，即．
因此在每一个区间（）是增函数，在每一个区间（）是减函数
解：（Ⅰ）略
（Ⅱ）应用洛必达法则和导数
若，则；
若，则等价于，即
则.
记，
而.
另一方面，当时，，因此
1. 2008辽宁理
设函数.
⑴求的单调区间和极值;
⑵是否存在实数,使得关于的不等式的解集为?若存在,求的取值范围;若不存在,试说明理由.
7． 2010新课标理
设函数=.（Ⅰ）若，求的单调区间;
（Ⅱ）若当x≥0时≥0，求a的取值范围.
8 .2010新课标文
已知函数.
（Ⅰ）若在时有极值，求函数的解析式；
（Ⅱ）当时，，求的取值范围.
解：（Ⅰ）略
（Ⅱ）应用洛必达法则和导数
当时，，即.
①当时，；
②当时，等价于，也即.
记，，则.
记，，则，因此在上单调递增，且，所以，从而在上单调递增.
由洛必达法则有
，即当时，
所以，即有.综上所述，当，时，成立.
9. 2010全国大纲理
设函数.
（Ⅰ）证明：当时，；
（Ⅱ）设当时，，求的取值范围.
解：（Ⅰ）略
（Ⅱ）应用洛必达法则和导数
由题设，此时.
①当时，若，则，不成立；
②当时，当时，，即；
若，则；
若，则等价于，即.
记，则.
记，则，.
因此，在上单调递增，且，所以，
即在上单调递增，且，所以.
因此，所以在上单调递增.
由洛必达法则有
，即当时，
，即有，所以.综上所述，的取值范围是.
10. 2011新课标理
已知函数，曲线在点处的切线方程为.
（Ⅰ）求、的值；
（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围.
押题 若不等式对于恒成立，求的取值范围.
解：应用洛必达法则和导数
当时，原不等式等价于.
记，则.
记，则.
因为，
，所以在上单调递减，且，
所以在上单调递减，且.因此在上单调递减，
且，故，因此在上单调递减.
由洛必达法则有
，
即当时，，即有.
故时，不等式对于恒成立.
通过以上例题的分析，我们不难发现应用洛必达法则解决的试题应满足：
① 可以分离变量；
②用导数可以确定分离变量后一端新函数的单调性；
② 现“”型式子.
第三部分：新课标高考命题趋势及方法
1. 高考命题趋势
近年来的高考数学试题逐步做到科学化、规范化，坚持了稳中求改、稳中创新的原则，充分发挥数学作为基础学科的作用，既重视考查中学数学基础知识的掌握程度，又注重考查进入高校继续学习的潜能。为此，高考数学试题常与大学数学知识有机接轨，以高等数学为背景的命题形式成为了热点.
2.分类讨论和假设反证
许多省市的高考试卷的压轴题都是导数应用问题，其中求参数的取值范围就是一类重点考查的题型.这类题目容易让学生想到用分离参数的方法，一部分题用这种方法很凑效，另一部分题在高中范围内用分离参数的方法却不能顺利解决，高中阶段解决它只有华山一条路——分类讨论和假设反证的方法.
3.洛必达法则
虽然这些压轴题可以用分类讨论和假设反证的方法求解，但这种方法往往讨论多样、过于繁杂，学生掌握起来非常困难.研究发现利用分离参数的方法不能解决这部分问题的原因是出现了”型的式子，而这就是大学数学中的不定式问题，解决这类问题的有效方法就是洛必达法则.
