平面向量与空间向量知识点及理科高考试题

平面向量与空间向量知识点及理科高考试题

‎ 平面向量与空间向量知识点及理科高考试题 一、 考试内容要求：‎ ‎(一)、平面向量：‎ ‎（1）平面向量的实际背景及基本概念： ①了解向量的实际背景。 ②理解平面向量的概念，理解两个向量的相等含义。 ③理解向量的几何表示.‎ ‎（2）向量的线性运算： ①掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义. ②掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义. ③了解向量线性运算的性质及其几何意义.‎ ‎（3）平面向量的基本定理及坐标表示： ①了解平面向量的基本定理及其意义。‎ ‎ ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. ③会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.④理解用坐标表示的平面向量共线的条件.‎ ‎（4）平面向量的数量积： ①理解平面向量数量积的含义及其物理意义.②了解平面向量的数量积与向量投影的关系. ③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算. ④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.‎ ‎（5）向量的应用： ①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.‎ ‎(二)、(1)空间向量及其运算：①了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。②掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。③掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。‎ ‎（2）空间向量的应用：①理解直线的方向向量与平面的法向量。②能用向量 语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系。③能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）。④能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用。‎ 二、知识要点归纳：‎ ‎(一)、平面向量 ‎§2.1.1、向量的物理背景与概念 ‎1、 了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度. 2、 既有大小又有方向的量叫做向量.‎ ‎§2.1.2、向量的几何表示 ‎1、 带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.‎ ‎2、 向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记作；长度为零的向量叫做零向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量.‎ ‎3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行.‎ ‎§2.1.3、相等向量与共线向量 ‎1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.‎ ‎§2.2.1、向量加法运算及其几何意义 ‎1、 三角形加法法则和平行四边形加法法则.‎ ‎2、≤.‎ ‎§2.2.2、向量减法运算及其几何意义 ‎1、 与长度相等方向相反的向量叫做的相反向量. 2、 三角形减法法则和平行四边形减法法则.‎ ‎§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义 ‎1、 规定：实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：，它的长度和方向规定如下：‎ ‎ ⑴,‎ ‎⑵当时, 的方向与的方向相同；当时, 的方向与的方向相反.‎ ‎2、 平面向量共线定理：向量与 共线，当且仅当有唯一一个实数，使.‎ ‎§2.3.1、平面向量基本定理 ‎1、 平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量，有且只有一对实数，使.‎ ‎§2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示 ‎1、 .‎ ‎§2.3.3、平面向量的坐标运算 1、 设，则： ⑴， ⑵， ‎ ‎ ⑶，⑷.‎ ‎2、 设，则： .‎ ‎§2.3.4、平面向量共线的坐标表示1、设，则 ‎⑴线段AB中点坐标为， ⑵△ABC的重心坐标为.‎ ‎§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义 ‎1、 . 2、 在方向上的投影为：.‎ ‎3、 . 4、 . 5、 .‎ ‎§2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 ‎1、 设，则：‎ ‎⑴ ⑵‎ ‎⑶ ⑷‎ ‎2、 设，则：.‎ 3、 两向量的夹角公式 ‎ ‎ ‎4、点的平移公式 ‎ 平移前的点为（原坐标），平移后的对应点为（新坐标），平移向量为， 则 ‎ 函数的图像按向量平移后的图像的解析式为 ‎§2.5.1、平面几何中的向量方法 ‎§2.5.2、向量在物理中的应用举例 知识链接：空间向量 空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结归纳.‎ ‎ 高考试题(2010―2014)‎ 一、选择题（共 39 题）‎ ‎1、（2010全国2）中，点在上，平方．若，，，，则 ‎（A） （B） （C） （D） 答案：B ‎2．（2011全国）设向量a，b，c满足= =1，=，=，则 最大值等于 A．2 B． C． D．1 答案：A ‎3．（2011全国新课标）已知a与b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 其中的真命题是 ‎ A． B． C． D． 答案：A ‎4、（2012全国）中，边的高为，若，，，，，则 ‎（A） （B） （C） （D） 答案：D ‎5．（2012全国新课标）已知向量，若，则 ‎（A） （B） （C） （D） 答案：B．‎ ‎6.（2014全国）若向量满足：，，，则（ ）‎ A．2 B． C．1 D． 答案：B．‎ ‎7、（2014全国新课标2）设向量a,b满足|a+b|=，|a-b|=，则ab = ( )‎ A. 1‎ B. 2‎ C. 3‎ D. 5‎ 答案：A ‎8、（2010安徽）设向量，则下列结论中正确的是 ‎（A） （B）（C）垂直 （D） 答案： C ‎9、（2012安徽）在平面直角坐标系中，，将向量按逆时针旋转后，得向量则点的坐标是（ ）‎ ‎ 答案：‎ 10、 ‎（2013安徽）在平面直角坐标系中，是坐标原点，两定点满足则点集所表示的区域的面积是 ‎（A） （B） （C） （D） 答案：D ‎11.（2010福建）若点O和点F（-2，0）分别为双曲线（a>0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为 A. [3- , ）B. [3+ , ） C. [, ） D. [, ）答案：B．‎ ‎12．（2011福建）已知O是坐标原点，点A(－1，1)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则的取值范围是(　　)‎ A．[－1，0] B．[0，1] C．[0，2] D．[－1，2] 答案： C ‎13．（2010湖北）已知和点M满足.若存在实数m使得成立，则m=‎ A．2 B．3 C．4 D．5 答案：B．‎ ‎14．（2011湖北）已知向量a=（x+z,3）,b=（2,y-z），且a⊥  b．若x,y满足不等式，则z的取值范围为 A．[-2，2] B．[-2，3] C．[-3，2] D．[-3，3] 答案：D ‎15、（2013湖北）已知点、、、，则向量在方向上的投影为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. 答案：‎ ‎16．（2010湖南在中，，，则等于 ‎ A． B． C．8 D．16 答案：D ‎17.（2012湖南） 在△ABC中，AB=2，AC=3，= 1则.‎ A. B. C. D. 答案：A ‎18. （2013湖南）已知是单位向量，.若向量满足 A． B． C． D． 答案：A ‎19．（2011辽宁）若，，均为单位向量，且，，则的最大值为 ‎ A． B．1 C． D．2 答案：B．‎ ‎20、（2013辽宁）已知点 ‎（A） （B） （C） （D） 答案：A ‎21、（2014辽宁）设是非零向量，学科 网已知命题P：若，，则；命题q：若，则，则下列命题中真命题是（ ）‎ A． B． C． D． 答案： C ‎22、（2010山东）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的。令⊙ 下面说法错误的是 ‎（A）若与共线，则⊙ （B）⊙⊙‎ ‎（C）对任意的⊙⊙ （D）⊙ 答案：B．‎ ‎23．（2011山东）设，，，是平面直角坐标系中两两不同的四点，若 （λ∈R），（μ∈R），且,则称，调和分割， ,已知平面上的点C，D调和分割点A，B则下面说法正确的是 ‎（A）．C可能是线段AB的中点 （B）．D可能是线段AB的中点 ‎（C）．C，D可能同时在线段AB上 （D）．C，D不可能同时在线段AB的延长线上 答案：D ‎24．（2011陕西）设是向量，命题“若，则∣∣= ∣∣”的逆命题是 ‎ A．若，则∣∣∣∣ B．若，则∣∣∣∣‎ C．若∣∣∣∣，则 D．若∣∣=∣∣，则= - 答案：D ‎25.（2013陕西） 设a, b为向量, 则“”是“a//b”的 ‎(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 ‎(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 答案：C ‎26、（2011上海）设是空间中给定的5个不同的点，则使成立的点的个数为〖答〗（ ）‎ A 0 B 1 C 5 D 10 答案：B．‎ ‎27．（2013上海）在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为.若分别为的最小值、最大值，其中,,则满足（ ）. ‎ ‎(A) (B) (C) (D) 答案：D．‎ ‎28、（2010四川）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，则 ‎（A）8 （B）4 （C） 2 （D）1 答案：C 29、 ‎（2011四川）如图，正六边形ABCDEF中，=‎ 30、 ‎(A)0 (B) (C) (D) 答案：D ‎30 （2012四川）、设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ）‎ A、 B、 C、 D、且 答案：C ‎31．（2014四川）平面向量，，（），且与的夹角等于与的夹角，则 A． B． C． D． 答案：D ‎32、（2012天津）已知△ABC为等边三角形，，设点P，Q满足，，，若，则 ‎（A） （Ｂ）　（Ｃ）　　（Ｄ） 答案：A ‎33、（2014天津）已知菱形的边长为2，，点分别在边上，，.若，，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D） 答案：C ‎34．（2012浙江）设a，b是两个非零向量．‎ A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|‎ C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得a＝λb D．若存在实数λ，使得a＝λb，则|a＋b|＝|a|－|b| 答案：C ‎35．（2013浙江）设是边上一定点，满足，且对于边上任一点，恒有。则 A. B. C. D. 答案：D ‎36、（2010重庆）已知向量满足，则（ ）‎ A、0 B、 C、4 D、8 答案：B．‎ ‎37、（2012重庆）设R，向量且，则 ‎（A） （B） （C） （D）10 答案：B．‎ ‎38、（2013重庆）在平面上，，,.若，则的取值范围是（ ）‎ A、 B、 C、 D、 答案：D ‎39、（2014重庆）.已知向量，且，则实数k=‎ ‎ C.3 D. 答案：B．‎ 二、填空题（共 题）‎ ‎1、（2012全国新课标）已知向量夹角为 ，且；则答案：‎ ‎2、（2013全国新课标1）已知两个单位向量，的夹角为60°，.若=0，则 =____________.答案：2‎ ‎3、（2013全国新课标2）已知正方形的边长为，为的中点，则 ‎_______。答案：‎ ‎4、（2014全国新课标1） 已知A，B，C是圆O上的三点，若，则与的夹角为 答案.‎ ‎5、（2011安徽）已知向量a,b满足(a+2b)·(a-b)=-6，且|a|=1,|b|=2，则a与b的夹角为 答案：‎ ‎6、（2014安徽）已知两个不相等的非零向量a，b，两组向量x1，x2，x3，x4，x5和y1，y2，y3，y4，y5均由2个a和3个b排列而成.记S=x1`y1+x2`y2+x3`y3+x4`y4+x5`y5，Smin表示S所有可能取值中的最小值.则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）.‎ ‎①S有5个不同的值 ②若a⊥b，则Smin与无关 ‎③若a∥b，则Smin与无关 ④若，则Smin>0‎ ‎⑤若，Smin=，则a与b的夹角为 答案；②④‎ ‎7．（2011北京）已知向量a=（，1），b=（0，-1），c=（k，）。若a-2b与c共线，则k=___________________。答案：1‎ ‎8．（2012北京）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为________，的最大值为______。答案：1，1‎ ‎9、（2013北京）向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c=λa＋μb(λ，μ∈R)，则=‎ ‎ 答案：4‎ ‎10、（2014北京）已知向量、满足，，且，则 ‎________.答案：‎ ‎11．（2011福建）设V是全体平面向量构成的集合．若映射f：V→R满足：‎ 对任意向量a＝(x1，y1)∈V，b＝(x2，y2)∈V，以及任意λ∈R，均有f(λa＋(1－λ)b)＝λf(a)＋(1－λ)f(b)，则称映射f具有性质P.‎ 现给出如下映射：‎ ‎①f1：V→R，f1(m)＝x－y，m＝(x，y)∈V；‎ ‎②f2：V→R，f2(m)＝x2＋y，m＝(x，y)∈V；‎ ‎③f3：V→R，f3(m)＝x＋y＋1，m＝(x，y)∈V.‎ 其中，具有性质P的映射的序号为________．(写出所有具有性质P的映射的序号 答案：①③‎ ‎12.（2014湖北）设向量，，若，则实数________.‎ 答案：±3‎ ‎13、（2011湖南）在边长为1的正三角形中，设，则。答案：‎ ‎14．（2014湖南）在平面直角坐标系中，O为原点 C(3 0)动点D满足 ，则 的最大值是__________。答案：‎ ‎15.（2010江西）已知向量，满足，， 与的夹角为60°，则 答案： ‎ ‎16．（2011江西）已知,·=-2，则与的夹角为 ‎ 答案： ‎ ‎17、（2013江西）.设，为单位向量。且，的夹角为，若，，则向量在方向上的射影为 答案：5／2‎ ‎18、（2014江西）.已知单位向量与的夹角为，且，向量与的夹角为，则= ‎ ‎19、（2013山东）已知向量与的夹角为，且若 且,则实数的值为 答案： ‎ ‎20、（2014山东）在中，已知，当时，的面积为 .答案：1／6‎ ‎21.（2010陕西）已知向量a=（2，-1），b=（-1，m），c=（-1,2），若（a+b）∥c，则 答案： m=-1 ‎ ‎22。（2010上海）如图所示，直线x=2与双曲线 的渐近线交于,两点，记，任取双曲 线上的点P，若，则a、b满足的 一个等式是 答案： 4ab=1 ‎ ‎23．（2012上海）若是直线的一个法向量，则的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）。‎ ‎24．（2012上海）在平行四边形中，，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是 （2，5） 。‎ ‎25、（2013四川）在平行四边形中，对角线与交于点，，则____________。答案：2‎ ‎26、（2010天津）如图，在中，,, ‎ ‎,则 .答案：‎ ‎27、（2013天津）在平行四边形ABCD中, AD = 1, , E为CD的中点. 若, 则AB的长为 答案：1／2‎ ‎28、（2010浙江）已知平面向量满足的夹角为120°则 。答案：‎ ‎29．（2011浙江）若平面向量α，β满足|α|=1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α与β的夹角的取值范围是 。答案：‎ ‎30．（2013浙江）设为单位向量，非零向量，若的夹角为，则的最大值等于________。答案：2‎ ‎31．（2011重庆）已知单位向量，的夹角为60°，则__________ 答案： ‎ A B C E F D ‎32、（2011江苏）已知是夹角为的两个单位向量， 若，则k的值为 答案：5／4‎ ‎33．（2012江苏）如图，在矩形ABCD中，‎ 点E为BC的中点，‎ 点F在边CD上，若，则的值是 ▲ ．答案：.‎ ‎ ‎ 34、 ‎（2014江苏） 如图，在平行四边形中，‎ A B D C P ‎（第12题）‎ 35、 已知，，，，‎ 36、 则的值是 ▲ . 答案：22 ‎ 三、解答题 ‎1、（2010江苏）（本小题满分14分）‎ 在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。‎ (1) 求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；‎ (2) 设实数t满足()·=0，求t的值。‎ ‎2．（201江苏本小题满分14分）已知，．‎ ‎（1）若，求证：； （2）设，若，求的值．‎