【数学】2018届一轮复习人教A版专题14平面向量的概念与基本运算学案

【数学】2018届一轮复习人教A版专题14平面向量的概念与基本运算学案

专题14　平面向量的概念与基本运算 ‎1．向量的概念及表示．‎ ‎2．向量的加法运算．‎ ‎3．向量的减法运算．‎ ‎4．向量的数乘运算及向量共线定理．‎ ‎5．平面向量基本定理．‎ ‎6．向量的夹角．‎ ‎7．向量的正交分解及坐标表示．‎ ‎8．向量的坐标运算．‎ ‎9．向量平行的坐标表示．‎ 例1　下列命题正确的是(　　)‎ A．a与b共线，b与c共线，则a与c也共线 B．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点 C．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量 D．有相同起点的两个非零向量不平行 变式训练1　判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．‎ ‎①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；‎ ‎②单位向量都相等；‎ ‎③任一向量与它的相反向量不相等；‎ ‎④四边形ABCD是平行四边形当且仅当＝；‎ ‎⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；‎ ‎⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同．‎ 例2　如图所示，已知▱ABCD中，E、F分别是BC、DC边上的中点．若＝a，＝b，试以a，b表示、.‎ 变式训练2　在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则等于(　　)‎ A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b 例3　已知O为坐标原点，点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，求OB与AC交点P的坐标．‎ 变式训练3　已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，求线段AB中点C的坐标．‎ A级 ‎1.如图所示，在平行四边形ABCD中，＋＋等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎2．在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则等于(　　)‎ A．a－b＋c B．b－(a＋c)‎ C．a＋b＋c D．b－a＋c ‎3．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是(　　)‎ A．e1＝(0，0)，e2＝(1，－2)‎ B．e1＝(5，7)，e2＝(－1，2)‎ C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)‎ D．e1＝(2，－3)，e2＝(，－)‎ ‎4．若||＝8，||＝5，则||的取值范围是(　　)‎ A．[3，8] B．(3，8)‎ C．[3，13] D．(3，13)‎ ‎5．已知向量a＝(m，4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________．‎ ‎6．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________．‎ ‎7．如图所示，已知在矩形ABCD中，||＝4，设＝a，＝b，＝c.则|a＋b＋c|＝________．‎ B级 ‎8．已知点O为△ABC外接圆的圆心，且＋＋＝0，则△ABC的内角A等于(　　)‎ A．30° B．60°‎ C．90° D．120°‎ ‎9．已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m等于(　　)‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎10．在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝________；y＝________.‎ ‎11．化简(－)－(－)的结果是________．‎ ‎12．已知e1，e2是两个非零不共线的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2，若a与b是共线向量，求实数k的值．‎ ‎13．已知A(1，1)，B(3，－1)，C(a，b)．‎ ‎(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；‎ ‎(2)若＝2，求点C的坐标．‎ 专题14　平面向量的概念与基本运算 典型例题 例1　C　[由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以D不正确．所以应选C.]‎ 变式训练1　解　①不正确．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上．‎ ‎②不正确．单位向量模均相等且为1，但方向并不确定．‎ ‎③不正确．零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的．‎ ‎④、⑤正确．‎ ‎⑥不正确，如图与共线，虽起点不同，但其终点却相同．‎ 例2　解　∵四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC、DC边上的中点，∴＝＝2，＝＝2，‎ ‎∴＝＝b，＝＝＝－＝－a，‎ ‎∴＝＋＋＝－＋＋＝a－b，‎ ‎∴＝＋＝＋＝b－a.‎ 变式训练2　B　[如图，＝＋，‎ 由题意知，DE∶BE＝1∶3＝DF∶AB，‎ ‎∴＝.∴＝a＋b＋(a－b)＝a＋b.]‎ 例3　解　设P(x，y)，则＝(x，y)，＝(4，4)，＝(x－2，y－6)，＝(2，－6)，因为、共线，所以x＝y，①‎ 又、共线，所以－6(x－2)－2(y－6)＝0②‎ 解①、②得x＝3，y＝3，即点P的坐标为(3，3)．‎ 变式训练3　解　设C(x，y)，由题意，＝，‎ 即(x－x1，y－y1)＝(x2－x1，y2－y1)，‎ 所以解得 强化提高 ‎1．C　[＋＋＝＋(＋)＝＋0＝.]‎ ‎2．A　[＝－＝(＋)－＝a－b＋c.]‎ ‎3．B　[不共线的向量才能作为一组基底．]‎ ‎4．C　[＝－，∴|||－|||≤||≤|||＋|||，‎ ‎∴||的取值范围是[3，13]．]‎ ‎5．－6‎ 解析　由题意得－2m－12＝0.所以m＝－6.‎ ‎6．－ 解析　由已知得a＋λb＝－k(b－3a)，‎ ‎∴解得 ‎7．8 解析　a＋b＋c＝＋＋＝＋.‎ 延长BC至E，使CE＝BC，连接DE.‎ 由于＝＝，∴四边形ACED是平行四边形，‎ ‎∴＝，∴＋＝＋＝，‎ ‎∴|a＋b＋c|＝||＝2||＝2||＝8.‎ ‎8．B　[由＋＋＝0，知点O为△ABC的重心，‎ 又∵O为△ABC外接圆的圆心，‎ ‎∴△ABC为等边三角形，A＝60°.]‎ ‎9．B　[设BC的中点为D，由已知条件可得M为△ABC的重心，＋＝2，又＝，故m＝3.]‎ ‎10.　－ 解析　＝＋ ‎＝＋ ‎＝＋(－)‎ ‎＝－，‎ ‎∴x＝，y＝－.‎ ‎11．0‎ 解析　方法一　(－)－(－)‎ ‎＝－－＋＝＋＋＋ ‎＝(＋)＋(＋)‎ ‎＝＋＝0.‎ 方法二　(－)－(－)‎ ‎＝－－＋ ‎＝(－)＋(－)‎ ‎＝＋＝0.‎ ‎12．解　∵a与b是共线向量，∴a＝λb，‎ ‎∴2e1－e2＝λ(ke1＋e2)＝λke1＋λe2，‎ ‎∴∴ ‎∴k＝－2.‎ ‎13．解　(1)由已知得＝(2，－2)，＝(a－1，b－1)，‎ ‎∵A，B，C三点共线，∴∥.‎ ‎∴2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2.‎ ‎(2)∵＝2，‎ ‎∴(a－1，b－1)＝2(2，－2)．‎ ‎∴解得 ‎∴点C的坐标为(5，－3)．‎