数学人教版八年级上册 期中试卷（1）

数学人教版八年级上册 期中试卷（1）

第 1页（共 28页） 期中试卷（1） 一、选择题（在各小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在 答题卡上指定的位置填涂符合要求的选项前面的字母代号.本大题共 15 小题，每 题 3 分，计 45 分） 1．（3 分）若一个三角形的两边长分别为 3 和 7，则第三边长可能是（ ） A．2 B．3 C．5 D．11 2．（3 分）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中， 不是轴对称的是（ ） A． B． C． D． 3．（3 分）如图，过△ABC 的顶点 A，作 BC 边上的高，以下作法正确的是（ ） A． B． C． D． 4．（3 分）如图，在△ABC 中，∠A=50°，∠C=70°，则外角∠ABD 的度数是（ ） A．110°B．120°C．130°D．140° 5．（3 分）如图，在方格纸中，以 AB 为一边作△ABP，使之与△ABC 全等，从 P1，P2，P3，P4 四个点中找出符合条件的点 P，则点 P 有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 第 2页（共 28页） 6．（3 分）如图，已知∠ABC=∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD 的是（ ） A．AC=BD B．∠CAB=∠DBA C．∠C=∠DD．BC=AD 7．（3 分）一个正多边形的内角和为 540°，则这个正多边形的每一个外角等于 （ ） A．108°B．90° C．72° D．60° 8．（3 分）一个等腰三角形的两边长分别为 4，8，则它的周长为（ ） A．12 B．16 C．20 D．16 或 20 9．（3 分）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形 ABCD 是一个 筝形，其中 AD=CD，AB=CB，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论： ①AC⊥BD；②AO=CO= AC；③△ABD≌△CBD， 其中正确的结论有（ ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 10．（3 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，以顶点 A 为圆心，适当长为半径画 弧，分别交 AC，AB 于点 M，N，再分别以点 M，N 为圆心，大于 MN 的长为半 径画弧，两弧交于点 P，作射线 AP 交边 BC 于点 D，若 CD=4，AB=15，则△ABD 的面积是（ ） A．15 B．30 C．45 D．60 第 3页（共 28页） 11．（3 分）如图，在△ABC 中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点 E 在 BC 的延长线上， ∠ABC 的平分线 BD 与∠ACE 的平分线 CD 相交于点 D，连接 AD，下列结论中不 正确的是（ ） A．∠BAC=70° B．∠DOC=90° C．∠BDC=35° D．∠DAC=55° 12．（3 分）如图，在△ABC 中，AC 的垂直平分线分别交 AC、BC 于 E，D 两点， EC=4，△ABC 的周长为 23，则△ABD 的周长为（ ） A．13 B．15 C．17 D．19 13．（3 分）如图，直线 MN 是四边形 AMBN 的对称轴，点 P 是直线 MN 上的点， 下列判断错误的是（ ） A．AM=BM B．AP=BN C．∠MAP=∠MBP D．∠ANM=∠BNM 14．（3 分）如图，AD 是△ABC 的角平分线，则 AB：AC 等于（ ） A．BD：CD B．AD：CD C．BC：AD D．BC：AC 15．（3 分）如图，△ABC 是等边三角形，AQ=PQ，PR⊥AB 于点 R，PS⊥AC 于点 第 4页（共 28页） S，PR=PS，则下列结论：①点 P 在∠A 的角平分线上； ②AS=AR； ③QP∥AR； ④△BRP≌△QSP．正确的有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 二．解答题（共 9 小题） 16．（6 分）如图，在△ABC 中，AD 是高，AE、BF 是角平分线，它们相交于点 O， ∠BAC=80°，∠ABC=70°．求∠BAD，∠AOF． 17．（6 分）如图，AB=AD，CB=CD，求证：AC 平分∠BAD． 18．（7 分）如图，已知 AC=AE，∠BAD=∠CAE，∠B=∠ADE，求证：BC=DE． 19．（7 分）如图，在△ABC 中，AB=AC，点 D 是 BC 边上的中点，DE、DF 分别垂 直 AB、AC 于点 E 和 F． 求证：DE=DF． 第 5页（共 28页） 20．（8 分）如图，一艘轮船以 18 海里/时的速度由西向东航行，在 A 处测得小 岛 C 在北偏东 75°方向上，两小时后，轮船在 B 处测得小岛 C 在北偏东 60°方向 上，在小岛周围 15 海里处有暗礁，若轮船仍然按 18 海里/时的速度向东航行， 请问是否有触礁危险？并说明理由． 21．（8 分）如图，在等腰三角形 ABC 中，AC=BC，分别以 BC 和 AC 为直角边向 上作等腰直角三角形△BCD 和△ACE，AE 与 BD 相交于点 F，连接 CF 并延长交 AB 于点 G．求证：CG 垂直平分 AB． 22．（10 分）如图，在等边△ABC 中，点 F 是 AC 边上一点，延长 BC 到点 D，使 BF=DF，若 CD=CF，求证： （1）点 F 为 AC 的中点； （2）过点 F 作 FE⊥BD，垂足为点 E，请画出图形并证明 BD=6CE． 23．（11 分）如图，△ABC 是边长为 6 的等边三角形，P 是 AC 边上一动点，由 A 向 C 运动（与 A、C 不重合），Q 是 CB 延长线上一点，与点 P 同时以相同的速度 由 B 向 CB 延长线方向运动（Q 不与 B 重合），过 P 作 PE⊥AB 于 E，连接 PQ 交 第 6页（共 28页） AB 于 D． （1）当∠BQD=30°时，求 AP 的长； （2）当运动过程中线段 ED 的长是否发生变化？如果不变，求出线段 ED 的长； 如果变化请说明理由． 24．（12 分）在等腰 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，点 D 是 BC 边上一点，BN ⊥AD 交 AD 的延长线于点 N． （1）如图 1，若 CM∥BN 交 AD 于点 M． ①直接写出图 1 中所有与∠MCD 相等的角： ；（注：所找到的相等关系可以 直接用于第②小题的证明过程 ②过点 C 作 CG⊥BN，交 BN 的延长线于点 G，请先在图 1 中画出辅助线，再回 答线段 AM、CG、BN 有怎样的数量关系，并给予证明． （2）如图 2，若 CM∥AB 交 BN 的延长线于点 M．请证明：∠MDN+2∠BDN=180°． 第 7页（共 28页） 参考答案与试题解析 一、选择题（在各小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在 答题卡上指定的位置填涂符合要求的选项前面的字母代号.本大题共 15 小题，每 题 3 分，计 45 分） 1．（3 分）若一个三角形的两边长分别为 3 和 7，则第三边长可能是（ ） A．2 B．3 C．5 D．11 【考点】三角形三边关系． 【分析】根据三角形三边关系，两边之和第三边，两边之差小于第三边即可判断． 【解答】解：设第三边长为 x，由题意得： 7﹣3＜x＜7+3， 则 4＜x＜10， 故选：C． 【点评】本题考查三角形三边关系定理，记住两边之和第三边，两边之差小于第 三边，属于基础题，中考常考题型． 2．（3 分）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中， 不是轴对称的是（ ） A． B． C． D． 【考点】轴对称图形． 【分析】根据轴对称图形的概念求解． 【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项错误； C、是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项正确． 故选 D． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形 第 8页（共 28页） 两部分折叠后可重合． 3．（3 分）如图，过△ABC 的顶点 A，作 BC 边上的高，以下作法正确的是（ ） A． B． C． D． 【考点】三角形的角平分线、中线和高． 【分析】根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之 间的线段叫做三角形的高线解答． 【解答】解：为△ABC 中 BC 边上的高的是 A 选项． 故选 A． 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，熟记高线的定义是解题的 关键． 4．（3 分）如图，在△ABC 中，∠A=50°，∠C=70°，则外角∠ABD 的度数是（ ） A．110°B．120°C．130°D．140° 【考点】三角形的外角性质． 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得 解． 【解答】解：由三角形的外角性质的，∠ABD=∠A+∠C=50°+70°=120°． 故选 B． 【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质， 熟记性质是解题的关键． 5．（3 分）如图，在方格纸中，以 AB 为一边作△ABP，使之与△ABC 全等，从 第 9页（共 28页） P1，P2，P3，P4 四个点中找出符合条件的点 P，则点 P 有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【考点】全等三角形的判定． 【分析】根据全等三角形的判定得出点 P 的位置即可． 【解答】解：要使△ABP 与△ABC 全等，点 P 到 AB 的距离应该等于点 C 到 AB 的距离，即 3 个单位长度，故点 P 的位置可以是 P1，P3，P4 三个， 故选 C 【点评】此题考查全等三角形的判定，关键是利用全等三角形的判定进行判定点 P 的位置． 6．（3 分）如图，已知∠ABC=∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD 的是（ ） A．AC=BD B．∠CAB=∠DBA C．∠C=∠DD．BC=AD 【考点】全等三角形的判定． 【分析】根据全等三角形的判定：SAS，AAS，ASA，可得答案． 【解答】解：由题意，得∠ABC=∠BAD，AB=BA， A、∠ABC=∠BAD，AB=BA，AC=BD，（SSA）三角形不全等，故 A 错误； B、在△ABC 与△BAD 中， ，△ABC≌△BAD（ASA），故 B 正确； C、在△ABC 与△BAD 中， ，△ABC≌△BAD（AAS），故 C 正确； 第 10页（共 28页） D、在△ABC 与△BAD 中， ，△ABC≌△BAD（SAS），故 D 正确； 故选：A． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、 SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三 角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 7．（3 分）一个正多边形的内角和为 540°，则这个正多边形的每一个外角等于 （ ） A．108°B．90° C．72° D．60° 【考点】多边形内角与外角． 【分析】首先设此多边形为 n 边形，根据题意得：180（n﹣2）=540，即可求得 n=5，再由多边形的外角和等于 360°，即可求得答案． 【解答】解：设此多边形为 n 边形， 根据题意得：180（n﹣2）=540， 解得：n=5， 故这个正多边形的每一个外角等于： =72°． 故选 C． 【点评】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定 理：（n﹣2）•180°，外角和等于 360°． 8．（3 分）一个等腰三角形的两边长分别为 4，8，则它的周长为（ ） A．12 B．16 C．20 D．16 或 20 【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系． 【分析】由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析． 【解答】解：①当 4 为腰时，4+4=8，故此种情况不存在； ②当 8 为腰时，8﹣4＜8＜8+4，符合题意． 故此三角形的周长=8+8+4=20． 故选 C． 第 11页（共 28页） 【点评】本题考查的是等腰三角形的性质和三边关系，解答此题时注意分类讨论， 不要漏解． 9．（3 分）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形 ABCD 是一个 筝形，其中 AD=CD，AB=CB，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论： ①AC⊥BD；②AO=CO= AC；③△ABD≌△CBD， 其中正确的结论有（ ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】新定义． 【分析】先证明△ABD 与△CBD 全等，再证明△AOD 与△COD 全等即可判断． 【解答】解：在△ABD 与△CBD 中， ， ∴△ABD≌△CBD（SSS）， 故③正确； ∴∠ADB=∠CDB， 在△AOD 与△COD 中， ， ∴△AOD≌△COD（SAS）， ∴∠AOD=∠COD=90°，AO=OC， ∴AC⊥DB， 故①②正确； 第 12页（共 28页） 故选 D 【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据 SSS 证明△ABD 与△CBD 全等和利用 SAS 证明△AOD 与△COD 全等． 10．（3 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，以顶点 A 为圆心，适当长为半径画 弧，分别交 AC，AB 于点 M，N，再分别以点 M，N 为圆心，大于 MN 的长为半 径画弧，两弧交于点 P，作射线 AP 交边 BC 于点 D，若 CD=4，AB=15，则△ABD 的面积是（ ） A．15 B．30 C．45 D．60 【考点】角平分线的性质． 【分析】判断出 AP 是∠BAC 的平分线，过点 D 作 DE⊥AB 于 E，根据角平分线上 的点到角的两边距离相等可得 DE=CD，然后根据三角形的面积公式列式计算即可 得解． 【解答】解：由题意得 AP 是∠BAC 的平分线，过点 D 作 DE⊥AB 于 E， 又∵∠C=90°， ∴DE=CD， ∴△ABD 的面积= AB•DE= ×15×4=30． 故选 B． 【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质以及角平分线的 画法，熟记性质是解题的关键． 11．（3 分）如图，在△ABC 中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点 E 在 BC 的延长线上， ∠ABC 的平分线 BD 与∠ACE 的平分线 CD 相交于点 D，连接 AD，下列结论中不 第 13页（共 28页） 正确的是（ ） A．∠BAC=70° B．∠DOC=90° C．∠BDC=35° D．∠DAC=55° 【考点】角平分线的性质；三角形内角和定理． 【专题】计算题． 【分析】根据三角形的内角和定理列式计算即可求出∠BAC=70°，再根据角平分 线的定义求出∠ABO，然后利用三角形的内角和定理求出∠AOB 再根据对顶角相 等可得∠DOC=∠AOB，根据邻补角的定义和角平分线的定义求出∠DCO，再利用 三角形的内角和定理列式计算即可∠BDC，判断出 AD 为三角形的外角平分线， 然后列式计算即可求出∠DAC． 【解答】解：∵∠ABC=50°，∠ACB=60°， ∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣50°﹣60°=70°， 故 A 选项正确， ∵BD 平分∠ABC， ∴∠ABO= ∠ABC= ×50°=25°， 在△ABO 中， ∠AOB=180°﹣∠BAC﹣∠ABO=180°﹣70°﹣25°=85°， ∴∠DOC=∠AOB=85°， 故 B 选项错误； ∵CD 平分∠ACE， ∴∠ACD= （180°﹣60°）=60°， ∴∠BDC=180°﹣85°﹣60°=35°， 故 C 选项正确； ∵BD、CD 分别是∠ABC 和∠ACE 的平分线， ∴AD 是△ABC 的外角平分线， 第 14页（共 28页） ∴∠DAC= （180°﹣70°）=55°， 故 D 选项正确． 故选：B． 【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义， 熟记定理和概念是解题的关键． 12．（3 分）如图，在△ABC 中，AC 的垂直平分线分别交 AC、BC 于 E，D 两点， EC=4，△ABC 的周长为 23，则△ABD 的周长为（ ） A．13 B．15 C．17 D．19 【考点】线段垂直平分线的性质． 【分析】根据线段垂直平分线性质得出 AD=DC，AE=CE=4，求出 AC=8，AB+BC=15， 求出△ABD 的周长为 AB+BC，代入求出即可． 【解答】解：∵AC 的垂直平分线分别交 AC、BC 于 E，D 两点， ∴AD=DC，AE=CE=4， 即 AC=8， ∵△ABC 的周长为 23， ∴AB+BC+AC=23， ∴AB+BC=23﹣8=15， ∴△ABD 的周长为 AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=15， 故选 B． 【点评】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，能熟记线段垂直平分线性质定 理的内容是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离 相等． 13．（3 分）如图，直线 MN 是四边形 AMBN 的对称轴，点 P 是直线 MN 上的点， 下列判断错误的是（ ） 第 15页（共 28页） A．AM=BM B．AP=BN C．∠MAP=∠MBP D．∠ANM=∠BNM 【考点】轴对称的性质． 【分析】根据直线 MN 是四边形 AMBN 的对称轴，得到点 A 与点 B 对应，根据 轴对称的性质即可得到结论． 【解答】解：∵直线 MN 是四边形 AMBN 的对称轴， ∴点 A 与点 B 对应， ∴AM=BM，AN=BN，∠ANM=∠BNM， ∵点 P 时直线 MN 上的点， ∴∠MAP=∠MBP， ∴A，C，D 正确，B 错误， 故选 B． 【点评】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 14．（3 分）如图，AD 是△ABC 的角平分线，则 AB：AC 等于（ ） A．BD：CD B．AD：CD C．BC：AD D．BC：AC 【考点】角平分线的性质． 【专题】压轴题． 【分析】先过点 B 作 BE∥AC 交 AD 延长线于点 E，由于 BE∥AC，利用平行线分 线段成比例定理的推论、平行线的性质，可得∴△BDE∽△CDA，∠E=∠DAC，再 利用相似三角形的性质可有 = ，而利用 AD 时角平分线又知∠E=∠DAC=∠ BAD，于是 BE=AB，等量代换即可证． 第 16页（共 28页） 【解答】解：如图 过点 B 作 BE∥AC 交 AD 延长线于点 E， ∵BE∥AC， ∴∠DBE=∠C，∠E=∠CAD， ∴△BDE∽△CDA， ∴ = ， 又∵AD 是角平分线， ∴∠E=∠DAC=∠BAD， ∴BE=AB， ∴ = ， ∴AB：AC=BD：CD． 故选：A． 【点评】此题考查了角平分线的定义、相似三角形的判定和性质、平行线分线段 成比例定理的推论．关键是作平行线． 15．（3 分）如图，△ABC 是等边三角形，AQ=PQ，PR⊥AB 于点 R，PS⊥AC 于点 S，PR=PS，则下列结论：①点 P 在∠A 的角平分线上； ②AS=AR； ③QP∥AR； ④△BRP≌△QSP．正确的有（ ） 第 17页（共 28页） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【考点】等边三角形的性质；全等三角形的判定；角平分线的性质． 【分析】根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上可得 AP 平分∠BAC， 从而判断出①正确，然后根据等边对等角的性质可得∠APQ=∠PAQ，然后得到∠ APQ=∠PAR，然后根据内错角相等两直线平行可得 QP∥AB，从而判断出②正确， 然后证明出△APR 与△APS 全等，根据全等三角形对应边相等即可得到③正确， ④由△BPR≌△CPS，△BRP≌△QSP，即可得到④正确． 【解答】解：∵△ABC 是等边三角形，PR⊥AB，PS⊥AC，且 PR=PS， ∴P 在∠A 的平分线上，故①正确； 由①可知，PB=PC，∠B=∠C，PS=PR， ∴△BPR≌△CPS， ∴AS=AR，故②正确； ∵AQ=PQ， ∴∠PQC=2∠PAC=60°=∠BAC， ∴PQ∥AR，故③正确； 由③得，△PQC 是等边三角形， ∴△PQS≌△PCS， 又由②可知，④△BRP≌△QSP，故④也正确， ∵①②③④都正确， 故选 D． 【点评】本题考查了角平分线的性质与全等三角形的判定与性质，准确识图并熟 练掌握全等三角形的判定方法与性质是解题的关键． 二．解答题（共 9 小题） 16．（6 分）如图，在△ABC 中，AD 是高，AE、BF 是角平分线，它们相交于点 O， 第 18页（共 28页） ∠BAC=80°，∠ABC=70°．求∠BAD，∠AOF． 【考点】三角形内角和定理；三角形的角平分线、中线和高． 【分析】在直角三角形中，根据两锐角互余即可得到∠BAD=20°，根据角平分线 的性质可求出∠BAO 和∠ABO，最后由三角形外角的性质求得∠AOF=75°． 【解答】解：∵AD 是高，∠ABC=70°， ∴∠BAD=90°﹣70°=20°， ∵AE、BF 是角平分线，∠BAC=80°，∠ABC=70°， ∴∠ABO=35°，∠BAO=40°， ∴∠AOF=∠ABO+∠BAO=75°． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，外角的性质，三角形的高线与角平分 线的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键． 17．（6 分）如图，AB=AD，CB=CD，求证：AC 平分∠BAD． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【分析】根据全等三角形的判定定理 SSS 推出△BAC≌△DAC，根据全等三角形 的性质可得∠BAC=∠DAC 即可． 【解答】解：在△BAC 和△DAC 中， ， ∴△BAC≌△DAC（SAS）， ∴∠BAC=∠DAC， 第 19页（共 28页） ∴AC 平分∠BAD． 【点评】本题考查了角平分线定义和全等三角形的性质和判定的应用，关键是推 出△BAC≌△DAC，全等三角形的判定方法有 SAS、ASA、AAS． 18．（7 分）如图，已知 AC=AE，∠BAD=∠CAE，∠B=∠ADE，求证：BC=DE． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【分析】先通过∠BAD=∠CAE 得出∠BAC=∠DAE，从而证明△ABC≌△ADE，得 到 BC=DE． 【解答】证明：∵∠BAD=∠CAE， ∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC． 即∠BAC=∠DAE， 在△ABC 和△ADE 中， ∴△ABC≌△ADE（AAS）． ∴BC=DE． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形 全等的一般方法有：AAS、SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA 不能判定两个 三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等 时，角必须是两边的夹角 19．（7 分）如图，在△ABC 中，AB=AC，点 D 是 BC 边上的中点，DE、DF 分别垂 直 AB、AC 于点 E 和 F． 求证：DE=DF． 第 20页（共 28页） 【考点】等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题． 【分析】D 是 BC 的中点，那么 AD 就是等腰三角形 ABC 底边上的中线，根据等 腰三角形三线合一的特性，可知道 AD 也是∠BAC 的角平分线，根据角平分线的 点到角两边的距离相等，那么 DE=DF． 【解答】证明： 证法一：连接 AD． ∵AB=AC，点 D 是 BC 边上的中点 ∴AD 平分∠BAC（三线合一性质）， ∵DE、DF 分别垂直 AB、AC 于点 E 和 F． ∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）． 证法二：在△ABC 中， ∵AB=AC ∴∠B=∠C（等边对等角） …（1 分） ∵点 D 是 BC 边上的中点 ∴BD=DC …（2 分） ∵DE、DF 分别垂直 AB、AC 于点 E 和 F ∴∠BED=∠CFD=90°…（3 分） 在△BED 和△CFD 中 ∵ ， ∴△BED≌△CFD（AAS）， ∴DE=DF（全等三角形的对应边相等）． 第 21页（共 28页） 【点评】本题考查了等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质；利用等腰三 角形三线合一的性质是解答本题的关键． 20．（8 分）如图，一艘轮船以 18 海里/时的速度由西向东航行，在 A 处测得小 岛 C 在北偏东 75°方向上，两小时后，轮船在 B 处测得小岛 C 在北偏东 60°方向 上，在小岛周围 15 海里处有暗礁，若轮船仍然按 18 海里/时的速度向东航行， 请问是否有触礁危险？并说明理由． 【考点】解直角三角形的应用-方向角问题． 【分析】作 CE⊥AB，利用直角三角形性质求出 CE 长，和 15 海里比较即可看出 船不改变航向是否会触礁． 【解答】解：作 CE⊥AB 于 E， ∵A 处测得小岛 P 在北偏东 75°方向， ∴∠CAB=15°， ∵在 B 处测得小岛 P 在北偏东 60°方向， ∴∠ACB=15°， ∴AB=PB=2×18=36（海里）， ∵∠CBD=30°， ∴CE= BC=18＞15， ∴船不改变航向，不会触礁． 第 22页（共 28页） 【点评】此题考查了解直角三角形的应用，关键找出题中的等腰三角形，然后再 根据直角三角形性质求解． 21．（8 分）如图，在等腰三角形 ABC 中，AC=BC，分别以 BC 和 AC 为直角边向 上作等腰直角三角形△BCD 和△ACE，AE 与 BD 相交于点 F，连接 CF 并延长交 AB 于点 G．求证：CG 垂直平分 AB． 【考点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰直角三角形． 【分析】求证△AFC≌△CEB 可得∠ACF=∠BCF，根据等腰三角形底边三线合一即 可解题． 【解答】证明：∵CA=CB ∴∠CAB=∠CBA ∵△AEC 和△BCD 为等腰直角三角形， ∴∠CAE=∠CBD=45°，∠FAG=∠FBG， ∴∠FAB=∠FBA， ∴AF=BF， 在三角形 ACF 和△CBF 中， ， ∴△AFC≌△BCF（SSS）， ∴∠ACF=∠BCF ∴AG=BG，CG⊥AB（三线合一）， 即 CG 垂直平分 AB． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角相等的性质， 考查了等腰三角形底边三线合一的性质． 第 23页（共 28页） 22．（10 分）如图，在等边△ABC 中，点 F 是 AC 边上一点，延长 BC 到点 D，使 BF=DF，若 CD=CF，求证： （1）点 F 为 AC 的中点； （2）过点 F 作 FE⊥BD，垂足为点 E，请画出图形并证明 BD=6CE． 【考点】作图—基本作图；等边三角形的性质． 【专题】作图题． 【分析】（1）根据等边三角形的性质得∠ABC=∠ACB=60°，利用∠CFD=∠D，则 根据三角形外角性质得到∠ACB=2∠D，即∠D= ∠ACB=30°，然后利用 FB=FD 得 到∠FBD=∠D=30°，则 BF 平分∠ABC，于是根据等边三角形的性质可得到点 F 为 AC 的中点； （2）如图，过点 F 作 FE⊥BD 于 E，利用含 30 度的直角三角形三边的关系得到 CF=2CE，而 CD=CF，则 CF=2CE，再利用 BC=2CF，所以 BD=6CE． 【解答】解：（1）∵△ABC 为等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60°， ∵CF=CD， ∴∠CFD=∠D， ∴∠ACB=2∠D，即∠D= ∠ACB=30°， ∵FB=FD， ∴∠FBD=∠D=30°， ∴BF 平分∠ABC， ∴AF=CF，即点 F 为 AC 的中点； （2）如图， 在 Rt△EFC 中，CF=2CE， 而 CD=CF， ∴CF=2CE， 第 24页（共 28页） 在 Rt△BCF 中，BC=2CF， ∴BC=4CE， ∴BD=6CE． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知 线段．作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线； 过一点作已知直线的垂线）．记住含 30 度的直角三角形三边的关系． 23．（11 分）如图，△ABC 是边长为 6 的等边三角形，P 是 AC 边上一动点，由 A 向 C 运动（与 A、C 不重合），Q 是 CB 延长线上一点，与点 P 同时以相同的速度 由 B 向 CB 延长线方向运动（Q 不与 B 重合），过 P 作 PE⊥AB 于 E，连接 PQ 交 AB 于 D． （1）当∠BQD=30°时，求 AP 的长； （2）当运动过程中线段 ED 的长是否发生变化？如果不变，求出线段 ED 的长； 如果变化请说明理由． 【考点】等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；含 30 度角的直角三角 形． 【专题】压轴题；动点型． 【分析】（1）由△ABC 是边长为 6 的等边三角形，可知∠ACB=60°，再由∠BQD=30° 可知∠QPC=90°，设 AP=x，则 PC=6﹣x，QB=x，在 Rt△QCP 中，∠BQD=30°，PC= QC， 即 6﹣x= （6+x），求出 x 的值即可； （2）作 QF⊥AB，交直线 AB 于点 F，连接 QE，PF，由点 P、Q 做匀速运动且速 第 25页（共 28页） 度相同，可知 AP=BQ，再根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由 AE=BF，PE=QF 且 PE∥QF，可知四边形 PEQF 是平行四边形，进而可得出 EB+AE=BE+BF=AB，DE= AB，由等边△ABC 的边长为 6 可得出 DE=3，故当点 P、 Q 运动时，线段 DE 的长度不会改变． 【解答】解：（1）∵△ABC 是边长为 6 的等边三角形， ∴∠ACB=60°， ∵∠BQD=30°， ∴∠QPC=90°， 设 AP=x，则 PC=6﹣x，QB=x， ∴QC=QB+BC=6+x， ∵在 Rt△QCP 中，∠BQD=30°， ∴PC= QC，即 6﹣x= （6+x），解得 x=2， ∴AP=2； （2）当点 P、Q 同时运动且速度相同时，线段 DE 的长度不会改变．理由如下： 作 QF⊥AB，交直线 AB 于点 F，连接 QE，PF， 又∵PE⊥AB 于 E， ∴∠DFQ=∠AEP=90°， ∵点 P、Q 速度相同， ∴AP=BQ， ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°， 在△APE 和△BQF 中， ∵∠AEP=∠BFQ=90°， ∴∠APE=∠BQF， ， ∴△APE≌△BQF（AAS）， ∴AE=BF，PE=QF 且 PE∥QF， ∴四边形 PEQF 是平行四边形， 第 26页（共 28页） ∴DE= EF， ∵EB+AE=BE+BF=AB， ∴DE= AB， 又∵等边△ABC 的边长为 6， ∴DE=3， ∴点 P、Q 同时运动且速度相同时，线段 DE 的长度不会改变． 【点评】本题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、平行四边形 的判定与性质，根据题意作出辅助线构造出全等三角形是解答此题的关键． 24．（12 分）在等腰 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，点 D 是 BC 边上一点，BN ⊥AD 交 AD 的延长线于点 N． （1）如图 1，若 CM∥BN 交 AD 于点 M． ①直接写出图 1 中所有与∠MCD 相等的角： ∠CAD，∠CBN ；（注：所找到 的相等关系可以直接用于第②小题的证明过程 ②过点 C 作 CG⊥BN，交 BN 的延长线于点 G，请先在图 1 中画出辅助线，再回 答线段 AM、CG、BN 有怎样的数量关系，并给予证明． （2）如图 2，若 CM∥AB 交 BN 的延长线于点 M．请证明：∠MDN+2∠BDN=180°． 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；作图—基本作图． 【分析】（1）①结论：∠CAD、CBN．利用同角的余角相等，平行线的性质即可 证明． ②由△ACM≌△BCG，推出 CM=CG，AM=BG，由∠CMN=∠MNG=∠G=90°，推出 第 27页（共 28页） 四边形 MNGC 是矩形，推出 CM=GN=CG，由此即可证明． （2）过点 C 作 CE 平分∠ACB，交 AD 于点 E．由△ACE≌△BCM（ASA），推出 CE=CM， 又因为∠1=∠2，CD=CD，推出∠CDE=∠CDM，由∠BDN=∠CDE，∠MDN+∠CDE+ ∠CDM=180°，即可证明． 【解答】解：（1）①∵CM∥BN，BN⊥AN， ∴∠CMD=∠N=90°，∠MCD=∠CBN， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACM+∠CAD=90°，∠MCD+∠ACM=90°， ∴∠MCD=∠CAD， 故答案为∠CAD、∠CBN． ②在图 1 中画出图形，如图所示， 结论：AM=CG+BN， 证明：在△ACM 和△BCG 中， ， ∴△ACM≌△BCG， ∴CM=CG，AM=BG， ∵∠CMN=∠MNG=∠G=90°， ∴四边形 MNGC 是矩形， ∴CM=GN=CG， ∴AM=BG=BN+GN=BN+CG． （2）过点 C 作 CE 平分∠ACB，交 AD 于点 E． 第 28页（共 28页） ∵在△ACD 和△BDN 中，∠ACB=90°，AN⊥ND ∴∠4+∠ADC=90°=∠5+∠BDN 又∵∠ADC=∠BDN ∴∠4=∠5， ∵∠ACB=90°，AC=BC，CE 平分∠ACB， ∴∠6=45°，∠2=∠3=45° 又∵CM∥AB， ∴∠1=∠6=45°=∠2=∠3， 在△ACE 和△BCM 中， ， ∴△ACE≌△BCM（ASA） ∴CE=CM 又∵∠1=∠2，CD=CD ∴∠CDE=∠CDM 又∵∠BDN=∠CDE，∠MDN+∠CDE+∠CDM=180° ∴∠MDN+2∠BDN=180°． 【点评】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解 题的关键是灵活运用所学知识，学会添加常用辅助线、构造全等三角形，属于中 考常考题型．