高考物理一轮复习第四章曲线运动万有引力与航天第1节曲线运动运动的合成与分解

高考物理一轮复习第四章曲线运动万有引力与航天第1节曲线运动运动的合成与分解

第 1 节 曲线运动 运动的合成与分解 第四章 曲线运动 万有引力与航天 [全国卷考情分析] 基础考点 常考考点(2013－2016 考情统计) 命题概率 常考角度 匀速圆周运 动、角速度、 线速度、向心 加速度(Ⅰ) 运动的合 成与分解 (Ⅱ) '16 乙卷 T18(6 分) '15Ⅱ卷 T16(6 分) 综合命题概率 50% (1)对运动的合成与 分解的考查 (2)对平抛运动规律 的考查 (3)对圆周运动中角 速度、线速度关系及 向心力的考查 (4)平抛运动、圆周运 动与功能关系的综合 考查 (5)天体质量、密度的 计算 (6)卫星运动的各物 理量间的比较 (7)卫星的发射与变 轨问题 离心现象 (Ⅰ) 抛体运动 (Ⅱ) '15Ⅰ卷 T18(6 分) '14Ⅱ卷 T15(6 分) 独立命题概率 50% 第二宇宙速 度和第三宇宙 速度(Ⅰ) 匀速圆周 运动的向 心力(Ⅱ) '16 甲卷 T16(6 分) '14Ⅰ卷 T20(6 分) '13Ⅱ卷 T21(6 分) 综合命题概率 100% 经典时空观 和相对论时空 观(Ⅰ) 万有引力 定律及其 应用(Ⅱ) '16 乙卷 T17(6 分) '15Ⅰ卷 T21(6 分) '14Ⅰ卷 T19(6 分) '14Ⅱ卷 T18(6 分) '13Ⅰ卷 T20(6 分) '13Ⅱ卷 T20(6 分) 独立命题概率 100% 以上 4 个考点 未曾独立命题 环绕速度 (Ⅱ) '15Ⅱ卷 T16(6 分) '13Ⅰ卷 T20(6 分) 独立命题概率 30% 第 1 节 曲线运动__运动的合成与分解 (1)速度发生变化的运动，一定是曲线运动。(×) (2)做曲线运动的物体加速度一定是变化的。(×) (3)做曲线运动的物体速度大小一定发生变化。(×) (4)曲线运动可能是匀变速运动。(√) (5)两个分运动的时间一定与它们的合运动的时间相等。(√) (6)合运动的速度一定比分运动的速度大。(×) (7)只要两个分运动为直线运动，合运动一定是直线运动。(×) (8)分运动的位移、速度、加速度与合运动的位移、速度、加速度间满足平行四边形定 则。(√) 突破点(一) 物体做曲线运动的条件与轨迹分析 1．运动轨迹的判断 (1)若物体所受合力方向与速度方向在同一直线上，则物体做直线运动。 (2)若物体所受合力方向与速度方向不在同一直线上，则物体做曲线运动。 2．合力方向与速率变化的关系 [多角练通] 1.(2017·苏北三市联考)内壁光滑的牛顿管抽成真空，现让牛顿管竖直倒立，同时水平 向右匀速移动，则管中羽毛的运动轨迹可能是( ) 解析：选 C 羽毛在水平方向做匀速运动，在竖直方向做自由落体运动，加速度方向向 下，根据合力方向指向轨迹曲线的凹侧可知，羽毛的运动轨迹可能是 C。 2．关于曲线运动，下列说法中正确的是( ) A．做曲线运动的物体速度方向必定变化 B．速度变化的运动必定是曲线运动 C．加速度恒定的运动不可能是曲线运动 D．加速度变化的运动必定是曲线运动 解析：选 A 做曲线运动的物体速度大小不一定变化，但速度方向必定变化，A 正确； 速度变化的运动可能是速度方向在变，也可能是速度大小在变，不一定是曲线运动，B 错误； 加速度恒定的运动可能是匀变速直线运动，也可能是匀变速曲线运动，C 错误；加速度变化 的运动可能是变速直线运动，也可能是变速曲线运动，D 错误。 3.如图所示为质点做匀变速曲线运动轨迹的示意图，且质点运动到 D 点时速度方向与加速度方向恰好互相垂直，则质点从 A 点运动到 E 点 的过程中，下列说法中正确的是( ) A．质点经过 C 点的速率比 D 点的大 B．质点经过 A 点时的加速度方向与速度方向的夹角小于 90° C．质点经过 D 点时的加速度比 B 点的大 D．质点从 B 到 E 的过程中加速度方向与速度方向的夹角先增大后减小 解析：选 A 质点做匀变速曲线运动，所以加速度不变，C 错误；由于在 D 点速度方向 与加速度方向垂直，则在 A、B、C 点时速度方向与加速度方向的夹角为钝角，B 错误；质点 由 C 到 D 速率减小，所以 C 点速率比 D 点大，A 正确；质点从 B 到 E 的过程中加速度方向与 速度方向的夹角先减小后增大，D 错误。 突破点(二) 运动的合成与分解的应用 1．合运动与分运动的关系 等时性 各个分运动与合运动总是同时开始，同时结束，经历时间相等(不同时的运动不能 合成) 等效性 各分运动叠加起来与合运动有相同的效果 独立性 一个物体同时参与几个运动，其中的任何一个分运动都会保持其运动性质不变， 并不会受其他分运动的干扰。虽然各分运动互相独立，但是合运动的性质和轨迹 由它们共同决定 2．运动的合成与分解的运算法则 运动的合成与分解是指描述运动的各物理量，即位移、速度、加速度的合成与分解，由 于它们均是矢量，故合成与分解都遵守平行四边形定则。 3．合运动的性质和轨迹的判断 (1)若合加速度不变，则为匀变速运动；若合加速度(大小或方向)变化，则为非匀变速 运动。 (2)若合加速度的方向与合初速度的方向在同一直线上，则为直线运动，否则为曲线运 动。 [典例] (多选)在一光滑水平面内建立平面直角坐标系，一物体从 t＝0 时刻起，由坐 标原点 O(0,0)开始运动，其沿 x 轴和 y 轴方向运动的速度—时间图像如图甲、乙所示，下 列说法中正确的是( ) A．前 2 s 内物体沿 x 轴做匀加速直线运动 B．后 2 s 内物体继续做匀加速直线运动，但加速度沿 y 轴方向 C．4 s 末物体坐标为(4 m,4 m) D．4 s 末物体坐标为(6 m,2 m) [思路点拨] (1)判断物体运动性质时要分析物体的加速度特点及加速度与速度方向间的关系。 (2)确定物体在某时刻的坐标时，要沿 x 轴和 y 轴分别计算物体的位移。 [解析] 前 2 s 内物体在 y 轴方向速度为 0，由题图甲知物体沿 x 轴方向做匀加速直线 运动，A 正确；后 2 s 内物体在 x 轴方向做匀速运动，在 y 轴方向做初速度为 0 的匀加速运 动，加速度沿 y 轴方向，合运动是曲线运动，B 错误；4 s 内物体在 x 轴方向上的位移是 x ＝ 1 2 ×2×2＋2×2 m＝6 m，在 y 轴方向上的位移为 y＝1 2 ×2×2 m＝2 m，所以 4 s 末物体 坐标为(6 m,2 m)，D 正确，C 错误。 [答案] AD [集训冲关] 1．(2017·淄博二模)质量为 2 kg 的质点在 xy 平面上运动，x 方向的速度—时间图像 和 y 方向的位移—时间图像分别如图所示，则质点( ) A．初速度为 4 m/s B．所受合外力为 4 N C．做匀变速直线运动 D．初速度的方向与合外力的方向垂直 解析：选 B x 轴方向初速度为 vx＝4 m/s，y 轴方向初速度 vy＝3 m/s，质点的初速度 v0＝ vx 2＋vy 2＝5 m/s，故 A 错误；x 轴方向的加速度 a＝2 m/s2，y 轴方向做匀速直线运动， 质点所受合力 F 合＝ma＝4 N，故 B 正确；x 轴方向的合力恒定不变，y 轴方向做匀速直线运 动，合力为零，则质点的合力恒定不变，做匀变速曲线运动，故 C 错误；合力沿 x 轴方向， 而初速度方向既不沿 x 轴方向，也不沿 y 轴方向，质点初速度的方向与合外力方向不垂直， 故 D 错误，故选 B 项。 2.(2017·衡阳联考)如图所示，当汽车静止时，车内乘客看到窗外雨滴沿竖直方向 OE 匀速运动。现从 t＝0 时汽车由静止开始做甲、乙两种匀加速启动， 甲种状态启动后 t1 时刻，乘客看到雨滴从 B 处离开车窗，乙种状态启 动后 t2 时刻，乘客看到雨滴从 F 处离开车窗，F 为 AB 的中点。则 t1∶ t2 为( ) A．2∶1 B．1∶ 2 C．1∶ 3 D．1∶( 2－1) 解析：选 A 雨滴在竖直方向的分运动为匀速直线运动，其速度大小与水平方向的运动 无关，故 t1∶t2＝AB v ∶AF v ＝2∶1，选项 A 正确。 3．(多选)(2017·山东实验中学高三段考)一物体在以 xOy 为直角坐标系的平面上运动， 其运动规律为 x＝－2t2－4t，y＝3t2＋6t(式中的物理量单位均为国际单位)，关于物体的运 动，下列说法正确的是( ) A．物体在 x 轴方向上做匀减速直线运动 B．物体在 y 轴方向上做匀加速直线运动 C．物体运动的轨迹是一条直线 D．物体运动的轨迹是一条曲线 解析：选 BC 对应位移时间公式 x＝v0t＋1 2 at2，x＝－2t2－4t，y＝3t2＋6t，可得初速 度：v0x＝－4 m/s，v0y＝6 m/s； 加速度：ax＝－4 m/s2，ay＝6 m/s2； 物体在 x 轴上分运动的初速度和加速度同方向，是匀加速直线运动，故 A 错误；物体在 y 轴方向的初速度和加速度同方向，是匀加速直线运动，故 B 正确；题中分运动的初速度和 加速度数值完全相同，故合运动的初速度数值和方向也是相同的；合运动的初速度方向与加 速度方向相同，故合运动一定是匀加速直线运动；故 C 正确，D 错误。 突破点(三) 小船渡河问题 1．小船渡河问题的分析思路 2．小船渡河的两类问题、三种情景 渡河时间最短 当船头方向垂直于河岸时，渡河时间最短，最短 时间 tmin＝ d v 船 渡河位移最短 如果 v 船>v 水，当船头方向与上游夹角θ满足 v 船 cos θ＝v 水时，合速度垂直于河岸，渡河位移 最短，等于河宽 d 如果 v 船t1，v2＝x2v1 x1 B．t2>t1，v2＝x1v1 x2 C．t2＝t1，v2 ＝x2v1 x1 D．t2＝t1，v2＝x1v1 x2 解析：选 C 设河宽为 d，船自身的速度为 v，与河岸上游的夹角为θ，对垂直河岸的 分运动，过河时间 t＝ d vsin θ ，则 t1＝t2；对合运动，过河时间 t＝x1 v1 ＝x2 v2 ，解得 v2＝v1x2 x1 ， C 正确。 3.(2017·潍坊统考)如图所示，河水由西向东流，河宽为 800 m，河中各点的水流速度 大小为 v 水，各点到较近河岸的距离为 x，v 水与 x 的关系为 v 水 ＝ 3 400 x(m/s)(x 的单位为 m)，让小船船头垂直河岸由南向北渡 河，小船划水速度大小恒为 v 船＝4 m/s，则下列说法正确的是( ) A．小船渡河的轨迹为直线 B．小船在河水中的最大速度是 5 m/s C．小船在距南岸 200 m 处的速度小于在距北岸 200 m 处的速度 D．小船渡河的时间是 160 s 解析：选 B 小船在南北方向上做匀速直线运动，在东西方向上先加速，到达河中间后 再减速，小船的合运动是曲线运动，A 错误；当小船运动到河中间时，东西方向上的分速度 最大，此时小船的合速度最大，最大值 vm＝5 m/s，B 正确；小船在距南岸 200 m 处的速度 等于在距北岸 200 m 处的速度，C 错误；小船的渡河时间 t＝ d v 船 ＝200 s，D 错误。 突破点(四) 绳(杆)端速度分解问题 两物体通过绳 杆 相牵连，当两物体都发生运动时，两物体的速度往往不相等，但因 绳 杆 的长度是不变的，因此两物体的速度沿绳 杆 方向的分速度大小是相等的。 [典例] (多选)如图甲所示，有一个沿水平方向做匀速直线运动的半径为 R 的半圆柱 体，半圆柱面上搁着一个只能沿竖直方向运动的竖直杆，在竖直杆未达到半圆柱体的最高点 之前( ) A．半圆柱体向右匀速运动时，竖直杆向上做匀减速直线运动 B．半圆柱体向右匀速运动时，竖直杆向上做减速直线运动 C．半圆柱体以速度为 v 向右匀速运动，杆同半圆柱体接触点和柱心的连线与竖直方向 的夹角为θ时，竖直杆向上的运动速度为 vtan θ D．半圆柱体以速度为 v 向右匀速运动，杆同半圆柱体接触点和柱心的连线与竖直方向 的夹角为θ时，竖直杆向上的运动速度为 vsin θ [模型建立] 以杆与半圆柱体接触点为研究对象，沿接触点的弹力方向即半径方向两物体的速度分量 相等。半圆柱体可以简化为长度为 R 的杆 OA，O 点代表半圆柱体的运动，A 点代表杆 AB 的 运动，如图乙所示。 [解析] O 点向右运动，O 点的运动使杆 AO 绕 A 点逆时针转动的同时，沿杆 OA 方向向 上推动 A 点； 竖直杆的实际运动(A 点的速度)方向竖直向上，使 A 点绕 O 点逆时针转动的同时，沿 OA 方向(弹力方向)与 OA 杆具有相同的速度。速度分解如图丙所示，对 O 点，v1＝vsin θ，对 于 A 点，vAcos θ＝v1，解得 vA＝vtan θ，O 点(半圆柱体)向右匀速运动时，杆向上运动， θ角减小，tan θ减小，vA 减小，但杆不做匀减速运动，A 错误，B 正确；由 vA＝vtan θ可 知 C 正确，D 错误。 [答案] BC [应用领悟] 绳(杆)端速度分解思路及常见模型 [集训冲关] 1.(2017·邯郸检测)如图所示，汽车用跨过定滑轮的轻绳提升物 块 A。汽车匀速向右运动，在物块 A 到达滑轮之前，关于物块 A，下 列说法正确的是( ) A．将竖直向上做匀速运动 B．将处于超重状态 C．将处于失重状态 D．将竖直向上先加速后减速 解析：选 B 设汽车向右运动的速度为 v，绳子与水平方向的夹角为α，物块上升的速 度为 v′，则 vcos α＝v′，汽车匀速向右运动，α减小，v′增大，物块向上加速运动，A、 D 错误；物块加速度向上，处于超重状态，B 正确，C 错误。 2．(2017·北京朝阳区二模)如图所示 ，长为 L 的直棒一端可绕固 定轴转动，另一端搁在升降平台上，平台以速度 v 匀速上升，当棒与竖 直方向的夹角为α时，棒的角速度为( ) A.vsin α L B. v Lsin α C.vcos α L D. v Lcos α 解析：选 B 棒与平台接触点的实际运动即合运动，方向是垂 直于棒指向左上方，如图所示，合速度 v 实＝ωL，沿竖直向上方向 上的速度分量等于 v，即ωLsin α＝v，所以ω＝ v Lsin α 。所以 A、 C、D 均错，B 正确。 3.(2017·安徽“江淮十校”联考)如图所示，AB 杆以恒定角速度 绕 A 点转动，并带动套在水平杆 OC 上的质量为 M 的小环运动，运动开 始时，AB 杆在竖直位置，则小环 M 的加速度将( ) A．逐渐增大 B．先减小后增大 C．先增大后减小 D．逐渐减小 解析：选 A 设经过时间 t，∠OAB＝ωt，则 AM 的长度为 h cos ωt ，则 AB 杆上小环 M 绕 A 点的线速度 v＝ω· h cos ωt 。将小环 M 的速度沿 AB 杆方向和垂直于 AB 杆方向分解， 垂直于 AB 杆上分速度等于小环 M 绕 A 点的线速度 v′，则小环 M 的速度 v′＝ v cos ωt ＝ ωh cos2ωt ，随着时间的延长，小环 M 的速度的大小不断变大，故 A 正确，B、C、D 错误。 生活中的运动合成问题 (一)骑马射箭 1.(多选)民族运动会上有一骑射项目如图所示，运动员骑在 奔跑的马上，弯弓放箭射击侧向的固定目标。假设运动员骑马奔 驰的速度为 v1，运动员静止时射出的箭速度为 v2，跑道离固定目 标的最近距离为 d。要想命中目标且射出的箭在空中飞行时间最 短，则( ) A．运动员放箭处离目标的距离为dv2 v1 B．运动员放箭处离目标的距离为d v1 2＋v2 2 v2 C．箭射到固定目标的最短时间为d v2 D．箭射到固定目标的最短时间为 d v2 2－v1 2 解析：选 BC 要想以箭在空中飞行的时间最短的情况下击中目标， v2 必须垂直于 v1，并且 v1、v2 的合速度方向指向目标，如图所示，故箭 射到目标的最短时间为d v2 ，C 对，D 错；运动员放箭处离目标的距离为 d2＋x2，又 x＝v1t＝v1·d v2 ，故 d2＋x2＝ d2＋ v1d v2 2＝d v1 2＋v2 2 v2 ，A 错，B 对。 (二)下雨打伞 2．雨滴在空中以 4 m/s 的速度竖直下落，人打伞以 3 m/s 的速度向西急行，如果希望 雨滴垂直打向伞的截面而少淋雨，伞柄应指向什么方向？ 解析：雨滴相对于人的速度方向即为伞柄的指向。雨滴相对人有向东 3 m/s 的速度 v1，有竖直向下的速度 v2＝4 m/s，如图所示，雨滴对人的合速 度 v＝ v1 2＋v2 2＝5 m/s。 tan α＝v1 v2 ＝3 4 ，即α＝37°。 答案：向西倾斜，与竖直方向成 37°角 (三)转台投篮 3．趣味投篮比赛中，运动员站在一个旋转较快的大平台边缘上，相对平台静止，向平 台圆心处的球筐内投篮球。则下图各俯视图中篮球可能被投入球筐(图中箭头指向表示投篮 方向)的是( ) 解析：选 C 当沿圆周切线方向的速度和出手速度的合速度沿球筐方向，球就会被投入 球筐。故 C 正确，A、B、D 错误。 (四)风中骑车 4．某人骑自行车以 4 m/s 的速度向正东方向行驶，天气预报报告当时是正北风，风速 为 4 m/s，那么，骑车人感觉到的风向和风速为( ) A．西北风 风速为 4 m/s B．西北风 风速为 4 2 m/s C．东北风 风速为 4 m/s D．东北风 风速为 4 2 m/s 解析：选 D 以骑车人为参考系，人向正东方向骑行，感觉风向 正西，风速大小为 v1＝4 m/s，当时有正北风，人感觉到的风向为正 南，风速为 v2＝4 m/s，如图所示，可求得人感觉到的风向为东北风， 风速 v＝4 2 m/s，D 正确。 对点训练：物体做曲线运动的条件与轨迹分析 1．(2017·重庆月考)关于两个运动的合成，下列说法正确的是( ) A．两个直线运动的合运动一定也是直线运动 B．方向不共线的两个匀速直线运动的合运动一定也是匀速直线运动 C．小船渡河的运动中，小船的对地速度一定大于水流速度 D．小船渡河的运动中，水流速度越大，小船渡河所需时间越短 解析：选 B 两个直线运动可以合成为直线运动(匀速直线＋匀速直线)，也可以合成为 曲线运动(匀变速直线＋匀速直线)，故选项 A 错误；两个分运动为匀速直线运动，没有分加 速度，合运动就没有加速度，则合运动一定是匀速直线运动，则选项 B 正确；小船对地的速 度是合速度，其大小可以大于水速(分速度)，等于水速，或小于水速，故选项 C 错误；渡河 时间由小船垂直河岸方向的速度决定，由运动的独立性知与水速的大小无关，选项 D 错误。 2.(多选)一质点在 xOy 平面内的运动轨迹如图所示，下列判断正确 的是( ) A．质点沿 x 轴方向可能做匀速运动 B．质点沿 y 轴方向可能做变速运动 C．若质点沿 y 轴方向始终匀速运动，则沿 x 轴方向可能先加速后 减速 D．若质点沿 y 轴方向始终匀速运动，则沿 x 轴方向可能先减速后加速 解析：选 BD 质点做曲线运动，合力大致指向轨迹凹侧，即加速度大致指向轨迹凹侧， 由题图可知加速度方向指向弧内，不可能沿 y 轴方向，x 轴方向有加速度分量，所以沿 x 轴 方向上，质点不可能做匀速运动，y 轴方向可能有加速度分量，故质点沿 y 轴方向可能做变 速运动，A 错误，B 正确；质点在 x 轴方向先沿正方向运动，后沿负方向运动，最终在 x 轴 方向上的位移为零，所以质点沿 x 轴方向不能一直加速，也不能先加速后减速，只能先减速 后反向加速，C 错误，D 正确。 3.(2017·合肥一模)如图所示，在长约 1.0 m 的一端封闭的 玻璃管中注满清水，水中放一个大小适当的圆柱形的红蜡块，将 玻璃管的开口端用胶塞塞紧，并迅速竖直倒置，红蜡块就沿玻璃 管由管口匀速上升到管底。将此玻璃管倒置安装在小车上，并将 小车置于水平导轨上。若小车一端连接细线绕过定滑轮悬挂小物 体，小车从 A 位置由静止开始运动，同时红蜡块沿玻璃管匀速上升。经过一段时间后，小车 运动到虚线表示的 B 位置。按照装置图建立坐标系，在这一过程中红蜡块实际运动的轨迹可 能是( ) 解析：选 C 红蜡块在水平方向上做初速度为零的匀加速直线运动，在竖直方向上做匀 速直线运动，其合力方向水平向右，指向轨迹的凹侧，故选项 C 正确，A、B、D 均错误。 对点训练：运动的合成与分解的应用 4．(2017·海南七校联考)帆船船头指向正东以速度 v(静水中速度)航行，海面正刮着 南风，风速为 3v，以海岸为参考系，不计阻力。关于帆船的实际航行方向和速度大小，下 列说法正确的是( ) A．帆船沿北偏东 30°方向航行，速度大小为 2v B．帆船沿东偏北 60°方向航行，速度大小为 2v C．帆船沿东偏北 30°方向航行，速度大小为 2v D．帆船沿东偏南 60°方向航行，速度大小为 2v 解析：选 A 由于帆船的船头指向正东，并以相对静水中的速度 v 航行，南风以 3v 的风速吹来，当以海岸为参考系时，实际速度 v 实＝ v2＋ 3v 2＝2v，cos α＝ v 2v ＝1 2 ， α＝30°，即帆船沿北偏东 30°方向航行，选项 A 正确。 5．在一个光滑水平面内建立平面直角坐标系 xOy，质量为 1 kg 的物体原来静止在坐标 原点 O(0,0)，t＝0 时受到如图所示随时间变化的外力作用，图甲中 Fx 表示沿 x 轴方向的外 力，图乙中 Fy 表示沿 y 轴方向的外力，下列描述正确的是( ) A．0～4 s 内物体的运动轨迹是一条直线 B．0～4 s 内物体的运动轨迹是一条抛物线 C．前 2 s 内物体做匀加速直线运动，后 2 s 内物体做匀加速曲线运动 D．前 2 s 内物体做匀加速直线运动，后 2 s 内物体做匀速圆周运动 解析：选 C 0～2 s 内物体沿 x 轴方向做初速度为零的匀加速直线运动，2 s 时受沿 y 轴方向的恒力作用，与速度方向垂直，故 2～4 s 内物体做类平抛运动，C 项正确。 6.如图所示，在竖直平面内的 xOy 坐标系中，Oy 竖直向 上，Ox 水平。设平面内存在沿 x 轴正方向的恒定风力。一小 球从坐标原点沿 Oy 方向竖直向上抛出，初速度为 v0＝4 m/s， 不计空气阻力，到达最高点的位置如图中 M 点所示，(坐标格为正方形，g 取 10 m/s2)求： (1)小球在 M 点的速度 v1； (2)在图中定性画出小球的运动轨迹并标出小球落回 x 轴时的位置 N； (3)小球到达 N 点的速度 v2 的大小。 解析：(1)设正方形的边长为 s0。 小球竖直方向做竖直上抛运动，v0＝gt1,2s0＝v0 2 t1 水平方向做匀加速直线运动，3s0＝v1 2 t1 解得 v1＝6 m/s。 (2)由竖直方向运动的对称性可知，小球再经过 t1 到 x 轴，水平方向做初速度为零的匀 加速直线运动，所以回到 x 轴时落到 x＝12 处，位置 N 的坐标为(12,0)，运动轨迹及 N 如图。 (3)到 N 点时竖直分速度大小为 v0＝4 m/s， 水平分速度 vx＝a 水平 tN＝2v1＝12 m/s， 故 v2＝ v0 2＋vx 2＝4 10 m/s。 答案：(1)6 m/s (2)见解析图 (3)4 10 m/s 对点训练：小船渡河问题 7．(2017·重庆月考)如图所示，某河段两岸平行，越靠近中央水 流速度越大。一条小船(可视为质点)沿垂直于河岸的方向航行，它在 静水中的速度为 v，沿水流方向及垂直于河岸方向建立直角坐标系 xOy， 则该小船渡河的大致轨迹是( ) 解析：选 C 沿垂直于河岸方向航行的小船速度不变，但水流速度越靠近中央越大，因 此小船过河过程中先具有向下游的加速度，后具有向上游的加速度，结合曲线运动的轨迹特 点可知，加速度方向应指向轨迹的凹侧，故只有选项 C 正确。 8.(2017·雅安月考)如图所示，小船过河时，船头偏向上游与水 流方向成α角，船相对于静水的速度为 v，其航线恰好垂直于河岸。 现水流速度稍有增大，为保持航线不变，且准时到达对岸，下列措施中可行的是( ) A．减小α角，增大船速 v B．增大α角，增大船速 v C．减小α角，保持船速 v 不变 D．增大α角，保持船速 v 不变 解析：选 B 因为合速度方向指向河岸且大小不变，由运动的合成知识可得：vcos β ＝v 水，α＋β＝180°，而 vsin β不变，则当水流速度稍有增大时，可减小β角(即增大α 角)，同时增大船速 v，选项 B 正确；减小α角，增大船速 v，合速度方向将变化，A 错误； 保持船速 v 不变，减小或增大α角，合速度都将变化，C、D 错误。 9．(2017·合肥检测)有一条两岸平直、河水均匀流动，流速恒为 v 的大河，一条小船 渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直，小船在静水中的速度 大小为2v 3 ，回程与去程所用时间之比为( ) A．3∶2 B．2∶1 C．3∶1 D．2 3∶1 解析：选 B 设河宽为 d，则去程所用的时间 t1＝ d 2v 3 ＝ 3d 2v ；返程时的合速度：v′＝ 2v 3 2－v2＝ v 3 ，回程的时间为：t2＝ d v 3 ＝ 3d v ；故回程与去程所用时间之比为 t2∶t1＝2∶ 1，选项 B 正确。 对点训练：绳(杆)端速度分解问题 10．如图所示，开始时 A、B 间的细绳呈水平状态，现由计算机控制物体 A 的运动，使 其恰好以速度 v 沿竖直杆匀速下滑，经细绳通过定滑轮拉动物体 B 在水平面上运动，则下列 v t 图像中，最接近物体 B 的运动情况的是( ) 解析：选 A 将与物体 A 相连的绳端速度 v 分解为沿绳伸长方向 的速度 v1 和垂直于绳方向的速度 v2，则物体 B 的速度 vB＝v1＝vsin θ， 在 t＝0 时刻θ＝0°， vB＝0，C 项错误；之后随θ增大，sin θ增 大，B 的速度增大，但开始时θ变化快，速度增加得快，图线的斜率大，随θ增大，速度增 加得慢，若绳和杆足够长，则物体 B 的速度趋近于 A 的速度，只有 A 项正确。 11.(2017·石家庄检测)一轻杆两端分别固定质量为 mA 和 mB 的 两个小球 A 和 B(可视为质点)。将其放在一个光滑球形容器中从位 置 1 开始下滑，如图所示，当轻杆到达位置 2 时球 A 与球形容器球 心等高，其速度大小为 v1，已知此时轻杆与水平方向成θ＝30°角， B 球的速度大小为 v2，则( ) A．v2＝1 2 v1 B．v2＝2v1 C．v2＝v1 D．v2＝ 3v1 解析： 选 C 球 A 与球形容器球心等高，速度 v1 方向竖直向下，速度 分解如图所示，有 v11＝v1sin 30°＝1 2 v1，球 B 此时速度方向与杆 成α＝60°角，因此 v21＝v2cos 60°＝1 2 v2，沿杆方向两球速度相 等，即 v21＝v11，解得 v2＝v1，C 项正确。 考点综合训练 12.(2017·烟台模拟)如图所示，物体 A、B 经无摩擦的定滑轮 用细线连在一起，A 物体受水平向右的力 F 的作用，此时 B 匀速下降， A 水平向左运动，可知( ) A．物体 A 做匀速运动 B．物体 A 做加速运动 C．物体 A 所受摩擦力逐渐增大 D．物体 A 所受摩擦力不变 解析：选 B 设系在 A 上的细线与水平方向夹角为θ，物体 B 的速度为 vB，大小不变， 细线的拉力为 FT，则物体 A 的速度 vA＝ vB cos θ ，FfA＝μ(mg－FTsin θ), 因物体 B 下降，θ 增大，故 vA 增大，物体 A 做加速运动，A 错误，B 正确；物体 B 匀速下降，FT 不变，故随θ 增大，FfA 减小，C、D 均错误。 13.(多选)如图所示，用一根长杆和两个定滑轮的组合装置来提 升重物 M，长杆的一端放在地上通过铰链连接形成转轴，其端点恰好 处于左侧滑轮正下方 O 点处，在杆的中点 C 处拴一细绳，通过两个滑 轮后挂上重物 M。C 点与 O 点距离为 L，现在杆的另一端用力使其逆时针匀速转动，由竖直 位置以角速度ω缓慢转至水平(转过了 90°角)，此过程中下列说法正确的是( ) A．重物 M 做匀速直线运动 B．重物 M 做匀变速直线运动 C．重物 M 的最大速度是ωL D．重物 M 的速度先增大后减小 解析：选 CD 与杆垂直的速度 v 是 C 点的实际速度，vT 是细绳的速度，即重物 M 的速 度。设 vx 与 v 的夹角是θ，则 vT＝vcos θ，开始时θ减小，则 vT 增大；当杆与细绳垂直(θ ＝0)时，重物 M 的速度最大，为 vmax＝ωL，然后再减小，C、D 正确。 14．河宽 60 m，水流速度 v1＝6 m/s，小船在静水中的速度 v2＝3 m/s，求： (1)它渡河的最短时间； (2)它渡河的最短航程。 解析：(1)设小船与岸成θ角开出，如图甲所示。 渡河时间为 t＝ d v2sin θ 当θ＝90°时渡河时间最短，tmin＝d v2 ＝60 3 s＝20 s。 (2)因为船速小于水速，所以小船一定向下游漂移。如图乙所示，以 v1 矢量末端为圆心， 以 v2 矢量的大小为半径画弧，从 v1 矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向时航 程最短。 由图可知，最短航程为 x 短＝ d sin θ ＝v1 v2 d＝6 3 ×60 m＝120 m。 答案：(1)20 s (2)120 m