中考数学压轴题6

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中考数学压轴题6

9.(2014 年上海市杨浦区中考模拟第 24 题) 已知抛物线 y=ax2-2ax-4 与 x 轴交于点 A、B(点 A 在点 B 的左侧),与 y 轴交于点 C, △ABC 的面积为 12. (1)求抛物线的对称轴及表达式; (2)若点 P 在 x 轴上方的抛物线上,且 tan∠PAB= 2 1 ,求点 P 的坐标; (3)在(2)的条件下,过 C 作射线交线段 AP 于点 E,使得 tan∠BCE= ,联结 BE, 试问 BE 与 BC 是否垂直?请通过计算说明. 9.(1)由 y=ax2-2ax-4,得 C(0,-4),对称轴为直线 x=1.所以 OC=4. 如图 1,由 S△ABC= 1 2 AB OC =12,得 AB=6. 由直线 x=1 垂直平分 AB,得 A(-2, 0),B(4,0). 将 B(4,0)代入 y=ax2-2ax-4,得 1 2a  . 所以抛物线的表达式为 1 ( 2)( 4)2y x x   21 42 xx   . (2)如图 2,作 PH⊥x 轴于 H,设 1( , ( 2)( 4))2P x x x. 由 1tan 2 PHPAB AH   ,得 1 ( 2)( 4) 12 22 xx x   . 解得 x=5.所以 7(5, )2P . 第 9 题图 1 第 9 题图 2 (3)如图 3,由 tan∠PAB=tan∠ACO=tan∠ECB= 1 2 ,知∠PAB=∠ACO=∠ECB. 由∠PAB=∠ACO,可得∠PAC=90°. 由∠ACO=∠ECB,可得∠ACE=∠BCO=45°. 所以△ACE 是等腰直角三角形. 因此△EMA≌△ANC.所以 EM=AN=4,MA=NC=2.所以 E(2, 2). 由 B(4,0),C(0,-4),E(2, 2),可得 CE2=40,BC2=32,CE2=8. 因此 CE2=BC2+CE2.所以∠EBC=90°.所以 BE⊥BC. 【解法二】如图 4,由 A(-2, 0),B(4,0),C(0,-4),E(2, 2), 可得 25CA  , 4CO  , 2 10CE  , 42CB  . 由 2 5 5 42 CA CO , 2 10 5 242 CE CB ,得 CA CE CO CB . 又因为∠ACO=∠ECB,所以△ACO∽△ECB. 因此∠AOC=∠EBC=90°.所以 BE⊥BC. 第 9 题图 3 第 9 题图 4 【解法三】由△ACE 和△OCB 都是等腰直角三角形, 可得 CA CE CO CB .又因为∠ACO=∠ECB,所以△ACO∽△ECB. 因此∠AOC=∠EBC=90°.所以 BE⊥BC. 【解法四】如图 5,设 CE 的中点为 Q. 由 C(0,-4),E(2, 2),可得 Q(1,-1), 2 10CE  . 由 B(4,0),Q(1,-1),可得 10QB  . 因此 QC=QE=QB.由此可得∠EBC=90°. 【解法六】如图 6,由∠EAB=∠ECB,可知 A、C、B、E 四点共圆. 所以∠EBA=∠ECA=45°(如图 7). 所以∠EBC=∠EBA+∠CBA=90°. 【解法七】由 C(0,-4)、B(4,0)、E(2, 2),可知∠EBO=45°,∠CBO=45°. 所以∠EBC=∠EBO+∠CBO=90°. 第 9 题图 5 第 9 题图 6 第 9 题图 7 10.(2014 年上海市静安区中考模拟第 25 题) 如图 1,反比例函数的图像经过点 A(-2, 5)和点 B(-5, p),平行四边形 ABCD 的顶点 C、 D 分别在 y 轴的负半轴、x 轴的正半轴上,二次函数的图像经过点 A、C、D. (1)求直线 AB 的表达式; (2)求点 C、D 的坐标; (3)如 果点 E 在第四象限内的二次函数的图像上,且∠DCE=∠BDO,求点 E 的坐标. 10.(1)因为反比例函数的图像经过点 A(-2, 5),所以 10y x . 代入点 B(-5, p),得 p=2.所以 B(-5, 2). 设直线 AB 的解析式为 y=kx+b,代入 A(-2, 5)和 B(-5, 2),得 2 5, 5 2. kb kb       解得 1, 7. k b    所以直线 AB 的表达式为 y=-x+7. (2)如图 1,由 A(-2, 5)、B(-5, 2),可知 A、B 两点间的水平距离、垂直距离都是 3, 直线 AB 与坐标轴的夹角为 45°. 因为 CD=AB,CD//AB,所以 C、D 两点间的水平距离、垂直距离也都是 3. 所以 C(0,-3)、D(3, 0). (3)设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c,代入 A(-2, 5)、C(0,-3)、D(3, 0),得 4 2 5, 3, 9 3 0. a b c c a b c          解得 1, 2, 3. a b c      所以物线的解析式为 y=x2-2x-3. 第 10 题图 1 第 10 题图 2 第 10 题图 3 如图 2,延长 CE 交 x 轴于 F. 由 B(-5, 2),C(0,-3)、可知 B、C 两点间的水平距离、垂直距离都是 5,直线 BC 与坐 标轴的夹角也为 45°.设 BC 与 x 轴交于点 G. 因此∠BGD=∠FDC=135°. 当∠DCE=∠BDO 时,△BGD∽△FDC. 所以 GB DF GD DC .因此 22 6 32 DF .解得 DF=2. 如图 3,过点 E 作 EH⊥x 轴,垂足为 H.设点 E 的坐标为(x, x2-2x-3). 由 EH CO FH FO ,可得 2( 2 3) 3 55 xx x     . 解得 13 5x  .所以点 E 的坐标为 13 36( , )5 25 . 【解法二】如图 4,延长 CE 交 x 轴于 F,过点 C 作 BD 的平行线交 x 轴于 M. 由 1tan tan 4OMC BDO    ,OC=3,可得 OM=12. 当∠BDO=∠FMC=∠DCE 时,△FDC∽△FCM. 因此 FD FC FC FM ,即 2FC FD FM . 设 FD=m,那么 32+(3+m)2=m(m+15).解得 FD=m=2. 【解法三】如图 5,△FDC∽△CGM. 所以 DF GC DC GM .因此 32 932 DF  .解得 FD=2. 第 10 题图 4 第 10 题图 5 【解法四】如图 6,过 F 作 CD 的垂线与 CD 的延长线交于点 N,那么△DFN 是等腰直 角三角形. 设 NF=ND=m,由 1tan 4NCF,可得 1 432 m m   .解得 2m  .所以 DF=2. 第 10 题图 6 9.( 2014 年上海市浦东新区中考模拟第 24 题) 如图,已知在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 21 4y x bx c   与 x 轴交于点 A、B(点 A 在点 B 右侧),与 y 轴交于点 C(0,-3),且 OA=2OC. (1)求这条抛物线的表达式及顶点 M 的坐标; (2)求 tan∠MAC 的值; (3)如果点 D 在这条抛物线的对称轴上,且∠CAD=45°,求点 D 的坐标. 9.(1)如图 1,由 C(0,-3),OA=2OC,得 OC=3,OA=6.所以 A(6, 0). 将 A (6, 0)、C(0,-3)代入 21 4y x bx c   ,得 9 6 0, 3. bc c      解得 b=-1,c=-3. 所以抛物线的解析式为 22113 ( 2) 444y x x x      . 顶点 M 的坐标为(2,-4). 第 9 题图 1 第 9 题图 2 (2)由 A (6, 0)、M (2,-4),得 A、M 两点间的水平距离、垂直距离都为 4. 所以直线 AM 与坐标轴的夹角为 45°. 如图 2,设直线 AM 与 y 轴交于点 N,那么 ON=OA=6. 作 CH⊥AM 于 H,作 HG⊥y 轴于 G, 那么△CHN、△NGH 都是等腰直角三角形. 由 ON=6,OC=3,得 CN=3.因此 NG=1.5,GO=4.5. 所以 tan∠MAC= 1.5 1 4.5 3 CH NH NG HA HA GO    . (3)如图 3,设抛物线的对称轴直线 x=2 与 x 轴的交点为 E. ①当点 D 在 AC 上方时,因为∠CAD=∠NAO=45°, 所以∠DAE=∠CAN. 在 Rt△ADE 中,AE=4,tan∠DAE= 1 3 . 所以 DE= 4 3 .此时点 D 的坐标为 4(2, )3 . ②当点 D′在 AC 下方时,因为∠CAD=∠CAD′=45°, 所以∠DAD′=90°.因此∠AD′D=∠DAE. 在 Rt△AD′E 中,AE=4,tan∠AD′E= . 所以 D′E=12.此时点 D′的坐标为(2,-12). 第 9 题图 3 10.(2014 年上海市闵行区中考模拟第 25 题) 如图 1,△ABC 中,AI、BI 分别平分∠BAC、∠ABC,CE 是△ABC 的外角∠ACB 的平 分线,交 BI 的延长线于 E,联结 CI. (1)设∠BAC=2 .如果用 表示∠BIC 和∠E,那么∠BIC=______,∠E=______; (2)如果 AB=1,且△ABC 与△ICE 相似时,求线段 AC 的长; (3)如图 2,延长 AI 交 EC 的延长线于 F,如果∠ =30°,sin∠F= 3 5 ,设 BC=m, 试用 m 的代数式表示 BE. 图 1 图 2 10.(1)如图 1,∠BIC= 0 11180 ( )22ABC ACB    = 001180 (180 )2 BAC   = 090  . 如图 2,∠ACE= E     , 如图 3,∠ACD= 2 2 2       ,所以得∠E= . 第 10 题图 1 第 10 题图 2 第 10 题图 3 (2)由于 CI 和 CE 分别是∠ACB 及其外角的平分线,所以∠ICE=90°. 如果△ABC 与△ICE 相似,那么△ABC 是直角三角形,有三种情况: ①如图 4,如果∠BAC=90°,那么 =45°,此时△ICE 与△ABC 是等腰直角三角形. 所以 AC=AB=1. ②如图 5,如果∠ABC=90°,那么∠BCA=∠E= . 在 Rt△ABC 中,3 =90°,所以 =30°.因此 33AC AB. ③如图 6,如果∠ACB=90°,那么∠ABC=∠E= . 同样的, =30°.因此 11 22AC AB. 第 10 题图 4 第 10 题图 5 第 10 题图 6 (3)如图 7,作 CH⊥BE,垂足为 H. 由∠ACE= F     ,∠ACD= ,得∠F=  . 在 Rt△BCH 中,sin =sin∠F= 3 5 ,BC=m,所以 3 5CH m , 4 5BH m . 在 Rt△ECH 中,∠E=30°,所以 333 5EH CH m. 因此 BE=BH+EH= 4 3 3 4 3 3 5 5 5m m m . 第 10 题图 7
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