中考数学压轴题6

中考数学压轴题6

9．（2014 年上海市杨浦区中考模拟第 24 题） 已知抛物线 y＝ax2－2ax－4 与 x 轴交于点 A、B(点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C， △ABC 的面积为 12． （1）求抛物线的对称轴及表达式； （2）若点 P 在 x 轴上方的抛物线上，且 tan∠PAB＝ 2 1 ，求点 P 的坐标； （3）在（2）的条件下，过 C 作射线交线段 AP 于点 E，使得 tan∠BCE＝ ，联结 BE， 试问 BE 与 BC 是否垂直？请通过计算说明． 9．（1）由 y＝ax2－2ax－4，得 C(0,－4)，对称轴为直线 x＝1．所以 OC＝4． 如图 1，由 S△ABC＝ 1 2 AB OC ＝12，得 AB＝6． 由直线 x＝1 垂直平分 AB，得 A(－2, 0)，B(4,0)． 将 B(4,0)代入 y＝ax2－2ax－4，得 1 2a  ． 所以抛物线的表达式为 1 ( 2)( 4)2y x x   21 42 xx   ． （2）如图 2，作 PH⊥x 轴于 H，设 1( , ( 2)( 4))2P x x x． 由 1tan 2 PHPAB AH   ，得 1 ( 2)( 4) 12 22 xx x   ． 解得 x＝5．所以 7(5, )2P ． 第 9 题图 1 第 9 题图 2 （3）如图 3，由 tan∠PAB＝tan∠ACO＝tan∠ECB＝ 1 2 ，知∠PAB＝∠ACO＝∠ECB． 由∠PAB＝∠ACO，可得∠PAC＝90°． 由∠ACO＝∠ECB，可得∠ACE＝∠BCO＝45°． 所以△ACE 是等腰直角三角形． 因此△EMA≌△ANC．所以 EM＝AN＝4，MA＝NC＝2．所以 E(2, 2)． 由 B(4,0)，C(0,－4)，E(2, 2)，可得 CE2＝40，BC2＝32，CE2＝8． 因此 CE2＝BC2＋CE2．所以∠EBC＝90°．所以 BE⊥BC． 【解法二】如图 4，由 A(－2, 0)，B(4,0)，C(0,－4)，E(2, 2)， 可得 25CA  ， 4CO  ， 2 10CE  ， 42CB  ． 由 2 5 5 42 CA CO ， 2 10 5 242 CE CB ，得 CA CE CO CB ． 又因为∠ACO＝∠ECB，所以△ACO∽△ECB． 因此∠AOC＝∠EBC＝90°．所以 BE⊥BC． 第 9 题图 3 第 9 题图 4 【解法三】由△ACE 和△OCB 都是等腰直角三角形， 可得 CA CE CO CB ．又因为∠ACO＝∠ECB，所以△ACO∽△ECB． 因此∠AOC＝∠EBC＝90°．所以 BE⊥BC． 【解法四】如图 5，设 CE 的中点为 Q． 由 C(0,－4)，E(2, 2)，可得 Q(1,－1)， 2 10CE  ． 由 B(4,0)，Q(1,－1)，可得 10QB  ． 因此 QC＝QE＝QB．由此可得∠EBC＝90°． 【解法六】如图 6，由∠EAB＝∠ECB，可知 A、C、B、E 四点共圆． 所以∠EBA＝∠ECA＝45°（如图 7）． 所以∠EBC＝∠EBA＋∠CBA＝90°． 【解法七】由 C(0,－4)、B(4,0)、E(2, 2)，可知∠EBO＝45°，∠CBO＝45°． 所以∠EBC＝∠EBO＋∠CBO＝90°． 第 9 题图 5 第 9 题图 6 第 9 题图 7 10．（2014 年上海市静安区中考模拟第 25 题） 如图 1，反比例函数的图像经过点 A(－2, 5)和点 B(－5, p)，平行四边形 ABCD 的顶点 C、 D 分别在 y 轴的负半轴、x 轴的正半轴上，二次函数的图像经过点 A、C、D． （1）求直线 AB 的表达式； （2）求点 C、D 的坐标； （3）如 果点 E 在第四象限内的二次函数的图像上，且∠DCE＝∠BDO，求点 E 的坐标． 10．（1）因为反比例函数的图像经过点 A(－2, 5)，所以 10y x ． 代入点 B(－5, p)，得 p＝2．所以 B(－5, 2)． 设直线 AB 的解析式为 y＝kx＋b，代入 A(－2, 5)和 B(－5, 2)，得 2 5, 5 2. kb kb       解得 1, 7. k b    所以直线 AB 的表达式为 y＝－x＋7． （2）如图 1，由 A(－2, 5)、B(－5, 2)，可知 A、B 两点间的水平距离、垂直距离都是 3， 直线 AB 与坐标轴的夹角为 45°． 因为 CD＝AB，CD//AB，所以 C、D 两点间的水平距离、垂直距离也都是 3． 所以 C(0,－3)、D(3, 0)． （3）设抛物线的解析式为 y＝ax2＋bx＋c，代入 A(－2, 5)、C(0,－3)、D(3, 0)，得 4 2 5, 3, 9 3 0. a b c c a b c          解得 1, 2, 3. a b c      所以物线的解析式为 y＝x2－2x－3． 第 10 题图 1 第 10 题图 2 第 10 题图 3 如图 2，延长 CE 交 x 轴于 F． 由 B(－5, 2)，C(0,－3)、可知 B、C 两点间的水平距离、垂直距离都是 5，直线 BC 与坐 标轴的夹角也为 45°．设 BC 与 x 轴交于点 G． 因此∠BGD＝∠FDC＝135°． 当∠DCE＝∠BDO 时，△BGD∽△FDC． 所以 GB DF GD DC ．因此 22 6 32 DF ．解得 DF＝2． 如图 3，过点 E 作 EH⊥x 轴，垂足为 H．设点 E 的坐标为(x, x2－2x－3)． 由 EH CO FH FO ，可得 2( 2 3) 3 55 xx x     ． 解得 13 5x  ．所以点 E 的坐标为 13 36( , )5 25 ． 【解法二】如图 4，延长 CE 交 x 轴于 F，过点 C 作 BD 的平行线交 x 轴于 M． 由 1tan tan 4OMC BDO    ，OC＝3，可得 OM＝12． 当∠BDO＝∠FMC＝∠DCE 时，△FDC∽△FCM． 因此 FD FC FC FM ，即 2FC FD FM ． 设 FD＝m，那么 32＋(3＋m)2＝m(m＋15)．解得 FD＝m＝2． 【解法三】如图 5，△FDC∽△CGM． 所以 DF GC DC GM ．因此 32 932 DF  ．解得 FD＝2． 第 10 题图 4 第 10 题图 5 【解法四】如图 6，过 F 作 CD 的垂线与 CD 的延长线交于点 N，那么△DFN 是等腰直 角三角形． 设 NF＝ND＝m，由 1tan 4NCF，可得 1 432 m m   ．解得 2m  ．所以 DF＝2． 第 10 题图 6 9．（ 2014 年上海市浦东新区中考模拟第 24 题） 如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 21 4y x bx c   与 x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 右侧），与 y 轴交于点 C(0,－3)，且 OA＝2OC． （1）求这条抛物线的表达式及顶点 M 的坐标； （2）求 tan∠MAC 的值； （3）如果点 D 在这条抛物线的对称轴上，且∠CAD＝45°，求点 D 的坐标． 9．（1）如图 1，由 C(0,－3)，OA＝2OC，得 OC＝3，OA＝6．所以 A(6, 0)． 将 A (6, 0)、C(0,－3)代入 21 4y x bx c   ，得 9 6 0, 3. bc c      解得 b＝－1，c＝－3． 所以抛物线的解析式为 22113 ( 2) 444y x x x      ． 顶点 M 的坐标为(2,－4)． 第 9 题图 1 第 9 题图 2 （2）由 A (6, 0)、M (2,－4)，得 A、M 两点间的水平距离、垂直距离都为 4． 所以直线 AM 与坐标轴的夹角为 45°． 如图 2，设直线 AM 与 y 轴交于点 N，那么 ON＝OA＝6． 作 CH⊥AM 于 H，作 HG⊥y 轴于 G， 那么△CHN、△NGH 都是等腰直角三角形． 由 ON＝6，OC＝3，得 CN＝3．因此 NG＝1.5，GO＝4.5． 所以 tan∠MAC＝ 1.5 1 4.5 3 CH NH NG HA HA GO    ． （3）如图 3，设抛物线的对称轴直线 x＝2 与 x 轴的交点为 E． ①当点 D 在 AC 上方时，因为∠CAD＝∠NAO＝45°， 所以∠DAE＝∠CAN． 在 Rt△ADE 中，AE＝4，tan∠DAE＝ 1 3 ． 所以 DE＝ 4 3 ．此时点 D 的坐标为 4(2, )3 ． ②当点 D′在 AC 下方时，因为∠CAD＝∠CAD′＝45°， 所以∠DAD′＝90°．因此∠AD′D＝∠DAE． 在 Rt△AD′E 中，AE＝4，tan∠AD′E＝ ． 所以 D′E＝12．此时点 D′的坐标为(2,－12)． 第 9 题图 3 10．（2014 年上海市闵行区中考模拟第 25 题） 如图 1，△ABC 中，AI、BI 分别平分∠BAC、∠ABC，CE 是△ABC 的外角∠ACB 的平 分线，交 BI 的延长线于 E，联结 CI． （1）设∠BAC＝2 ．如果用 表示∠BIC 和∠E，那么∠BIC＝______，∠E＝______； （2）如果 AB＝1，且△ABC 与△ICE 相似时，求线段 AC 的长； （3）如图 2，延长 AI 交 EC 的延长线于 F，如果∠ ＝30°，sin∠F＝ 3 5 ，设 BC＝m， 试用 m 的代数式表示 BE． 图 1 图 2 10．（1）如图 1，∠BIC＝ 0 11180 ( )22ABC ACB    ＝ 001180 (180 )2 BAC   ＝ 090  ． 如图 2，∠ACE＝ E     ， 如图 3，∠ACD＝ 2 2 2       ，所以得∠E＝ ． 第 10 题图 1 第 10 题图 2 第 10 题图 3 （2）由于 CI 和 CE 分别是∠ACB 及其外角的平分线，所以∠ICE＝90°． 如果△ABC 与△ICE 相似，那么△ABC 是直角三角形，有三种情况： ①如图 4，如果∠BAC＝90°，那么 ＝45°，此时△ICE 与△ABC 是等腰直角三角形． 所以 AC＝AB＝1． ②如图 5，如果∠ABC＝90°，那么∠BCA＝∠E＝ ． 在 Rt△ABC 中，3 ＝90°，所以 ＝30°．因此 33AC AB． ③如图 6，如果∠ACB＝90°，那么∠ABC＝∠E＝ ． 同样的， ＝30°．因此 11 22AC AB． 第 10 题图 4 第 10 题图 5 第 10 题图 6 （3）如图 7，作 CH⊥BE，垂足为 H． 由∠ACE＝ F     ，∠ACD＝ ，得∠F＝  ． 在 Rt△BCH 中，sin ＝sin∠F＝ 3 5 ，BC＝m，所以 3 5CH m ， 4 5BH m ． 在 Rt△ECH 中，∠E＝30°，所以 333 5EH CH m． 因此 BE＝BH＋EH＝ 4 3 3 4 3 3 5 5 5m m m ． 第 10 题图 7