高考数学黄金考点精析精训考点11三角化简与求值理

高考数学黄金考点精析精训考点11三角化简与求值理

考点 11 三角化简和求值 【考点剖析】 1.最新考试说明： （1）利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角函数式的化简、求值是高考常考的点． （2）考查同角三角函数的基本关系式、考查诱导公式在三角函数化简求值中的运用． （3）考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力,属于容易题. 2.命题方向预测： （1）考查利用三角函数的公式对三角函数式进行化简求值. （2）公式逆用、变形应用是高考热点． （3）题型以选择题、解答题为主. 3.课本结论总结： （1）同角三角函数的基本关系 ①平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； ②商数关系： sin α cos α ＝tan α. （2）诱导公式 公式一：sin(α＋2kπ)＝sin α，cos(α＋2kπ)＝ cos ，其中 k∈Z. 公式二：sin(π＋α)＝ sin ，cos(π＋α)＝ cos ， tan(π＋α)＝tan α. 公式三：sin(－α)＝ sin ，cos(－α)＝ cos . 公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝ cos . 公式五： ) 2 sin(   ＝ cos ， ) 2 cos(   ＝sin α. 公式六： ) 2 sin(   ＝ cos ， ) 2 cos(   ＝ sin 诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限 (3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ①C(α－β)：cos(α－β)＝  sinsincoscos  ； ②C(α＋β)：cos(α＋β)＝  sinsincoscos  ； ③S(α＋β)：sin(α＋β)＝  sincoscossin  ； ④S(α－β)：sin(α－β)＝  sincoscossin  ； ⑤T(α＋β)：tan(α＋β)＝ tan α＋tan β 1－tan αtan β ； ⑥T(α－β)：tan(α－β)＝ tan α－tan β 1＋tan αtan β . (4)二倍角的正弦、余弦、正切公式 ①S2α：sin 2α＝  cossin2 ； ②C2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； ③T2α：tan 2α＝ 2tan α 1－tan 2α . 4.名师二级结论： （1）有关公式的逆用、变形等 ①tan α±tan β＝ )tantan1)(tan(   ； ②cos2α＝ 1＋cos 2α 2 ，sin2α＝ 1－cos 2α 2 ； ③1＋sin 2α＝(sin α＋cos α) 2, 1－sin 2α＝(sin α－cos α) 2 ， ) 4 sin(2cossin   . （2）函数  sincos)( baf  (a，b 为常数)，可以化为 f(α)＝ a2 ＋b2 sin(α＋φ)或 f(α)＝ a2 ＋b2 cos(α－φ)，其中φ可由 a，b 的值唯一确定． （3）三种方法 在求值与化简时，常用方法有： ①弦切互化法：主要利用公式 tanα＝ sin α cos α 化成正、余弦． ②和积转换法：利用(sin θ±cos θ) 2 ＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化． ③巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π 4 ＝…. （4）三个防范 ①利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负－脱 周－化锐． 特别注意函数名称和符号的确定． ②在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． ③注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化． 5.课本经典习题： (1)新课标 A 版第 64 页，第 A8 题（例题）已知 3tan  ，计算： （1）   sin3cos5 cos2sin4   ；（2）  cossin ；（3） 2)cos(sin   【经典理由】弦化切的典型例题. (2)新课标 A 版第 130 页，第 例 4（3）题（例题）求值： 0 0 15tan1 15tan1   【解析】 360tan)1545tan( 15tan45tan1 15tan45tan 15tan1 15tan1 000 00 00 0 0       【经典理由】”1“的巧用与”变式“的有机结合. (3)新课标 A 版第 137 页，第 A5 题（例题）已知 5 3)30sin( 0  , 00 15060  ,求 cos 的值. 【解析】 00 15060  ， 000 1803090   ；又 5 3)30sin( 0  ， 5 4)30cos( 0   ； 则   000000 30sin)30sin(30cos)30cos(30)30(coscos   10 343 2 1 5 3 2 3 5 4   . 【经典理由】1.求三角函数值时，要注意角的范围；2.注意用已知角表示所求角. 6.考点交汇展示： (1)与三角函数的图像与性质的交汇 1.【2017 课标 3，文 6】函数 1 π π( ) sin( ) cos( ) 5 3 6 f x x x    的最大值为（ ） A． 6 5 B．1 C． 3 5 D． 1 5 【答案】A 【解析】由诱导公式可得： cos cos sin 6 2 3 3 x x x                           ， 则：   1 6sin sin sin 5 3 3 5 3 f x x x x                        , 函数的最大值为 6 5 . 2.【2018 届福建省三明市第一中学高三上第一次月考】已知向量 ， ，函数 的最大值为 . (1)求 的大小； (2)将函数 的图象向左平移 个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变， 得到函数 的图象，作出函数 在 的图象． 【答案】(1) ；(2)图象见解析. 试题解析：(1) ＝ Asin xcos x＋ cos 2x＝A( sin 2x＋ cos 2x) ＝Asin(2x＋ )．因为 f(x)的最大值为 6，A>0，所以 A＝6. (2)由(1)得 f(x)＝6sin(2x＋ )．将函数 y＝f(x)的图象向左平移 个单位后得到 y＝6sin[2(x＋ )＋ ] ＝6sin(2x＋ )的图象； 再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，得到 y＝6sin(4x＋ )的图象．因此 的图像如图所示. (2)与函数的奇偶性、单调性的交汇 1.【2017 浙江，18】已知函数 f（x）=sin 2x–cos 2x–2 3 sin x cos x（xR）． （Ⅰ）求 ) 3 2( f 的值． （Ⅱ）求 )(xf 的最小正周期及单调递增区间． 【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）最小正周期为 ，单调递增区间为 Zkkk  ] 3 2, 6 [  ． 【解析】 试题分析：（Ⅰ）由函数概念 3 2cos 3 2sin32 3 2cos 3 2sin) 3 2( 22  f ，分别计算可得；（Ⅱ） 化简函数关系式得 )sin(   xAy ，结合  2 T 可得周期，利用正弦函数的性质求函数的单调递增 区间． 2.【2018 届黑龙江省伊春市第二中学高三上学期第一次月考】设函数 . （1）求函数 的最小正周期 及最大值； （2）求函数 的单调递增区间. 【答案】（1） ， （2） 【解析】试题分析：（1） 化简为 ,周期最值易得解, （2） 利用整体思想令 解得 x 的范围即可. 试题解析： （1） ， ∴ ， . （2）由 ， ， . (3)与一元二次方程的交汇 【2016 高考上海文数】方程3sin 1 cos 2x x  在区间  2,0 上的解为___________ . 【答案】 5 6 6   或 【解析】3sinx 1 cos 2x  ，即 23sinx 2 2sin x  ，所以 22sin x 3sinx 2 0   ，解得 1sinx 2  或 sinx 2  （舍去），所以在区间  2,0 上的解为 5 6 6   或 . （4）与平面向量的交汇 【2017 江苏，16】已知向量 (cos , sin ), (3, 3), [0, π].x x x   a b （1）若 a∥b,求 x 的值； （2）记 ( )f x  a b ,求 ( )f x 的最大值和最小值以及对应的 x的值. 【答案】（1） 5π 6 x  （2） 0x  时， 取得最大值，为 3； 5π 6 x  时， 取得最小值，为 2 3 . （2） π(cos ,sin ) (3, 3) 3cos 3 sin 2 3 cos(( ) ) 6 f x x x x x x        a b . 因为 ，所以 π π 7π[ , ] 6 6 6 x   ， 从而 π 31 cos( ) 6 2 x    . 于是，当 π π 6 6 x   ，即 0x  时， 取到最大值 3； 当 π 6 x   ，即 5π 6 x  时， 取到最小值 2 3 . 【考点分类】 热点一 利用两角和差的正弦、余弦、正切公式求值 1.【2018 届山东、湖北部分重点中学高三第一次联考】已知 ,  均为锐角，   5 3cos ,sin 13 3 5            ，则 cos 6      = A. 33 65 B. 63 65 C. 33 65  D. 63 65  【答案】A 【解析】由题意可知 , 3     都为钝角，   12 4sin ,cos 13 3 5                  cos cos sin 6 3 2 3                                         12 4 5 3 33 13 5 13 5 65                   答案为 A 2.已知 tan 2   ，   1tan 7    ，则 tan  的值为_______. 【答案】3 【解析】 1 2tan( ) tan 7tan tan( ) 3. 21 tan( ) tan 1 7                     【方法规律】 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数， 在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的. (1)运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如 tan α＋ tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等． (2)应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的 逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形 应用后，才能真正掌握公式的应用. 【解题技巧】 在运用两角和与差的三角公式进行化简或求值时，要注意以下三个变换技巧： （1）变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其方法通常是“配凑”，如： 3 ) 3 (   , )()(2   , )()(2   等 例.设 为锐角，若 3cos 6 5       ，则 sin 12       . 【答案】 2 10 . (2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其方法通常为“化切为弦”等， 例.新课标 A 版第 146 页，第 A5(2) 题（例题）计算 )310(tan40sin 00  . 【答案】-1 【解析】 ) 10cos 10cos310sin(40sin)3 10cos 10sin(40sin)310(tan40sin 0 00 0 0 0 000   1 10cos 10cos 10cos 80sin 10cos 40cos40sin2 0 0 0 0 0 00      （3）变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常 值代换”、“逆用变用公式”（同上例中 )10cos 2 310sin 2 1(210cos310sin 0000  )1030cos(2)10sin30sin10cos30(cos2)10cos30cos10sin30(sin2 0000000000  ） 【易错点睛】 在化简与求值时，一定要注意“所求角”与“已知角”的内在联系，往往起到“事半功陪”的效果. 例.已知 3sin 2 5   ( 2 ) 2     ， 1tan( ) 2    ，则 tan( )  （ ） A．-2 B．-1 C． 2 11  D． 2 11 【答案】A 【解析】可得 4cos 2 5    ，则 3tan 2 4    ， tan 2 tan( )tan( ) tan[2 ( )] 2. 1 tan 2 tan( )                      热点二 利用倍角公式以及诱导公式求值 1.【2016 高考山东理数】函数 f（x）=（ 3 sin x+cos x）（ 3 cos x –sin x）的最小正周期是（ ） （A） 2 π （B）π （C） 2 3π （D）2π 【答案】B 【解析】   2sin 2cos 2sin 2 6 6 3 f x x x x                        ,故最小正周期 2 2 T    ,故选 B. 2.【2016 高考浙江理数】已知 2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0)，则 A=______，b=________． 【答案】 2 1 【解析】 22cos sin 2 2 sin(2 ) 1 4 x x x      ，所以 2, 1.A b  【方法规律】 一、利用诱导公式化简求值时的原则 1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数． 2．“大化小”，利用公式一将大于 360°的角的三角函数化为 0°到 360°的三角函数，利用公式二将大 于 180°的角的三角函数化为 0°到 180°的三角函数． 3．“小化锐”，利用公式六将大于 90°的角化为 0°到 90°的角的三角函数． 4．“锐求值”，得到 0°到 90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得. 二、利用倍角公式化简求值 二倍角公式实际就是由两角和公式中令β＝α所得．特别地，对于余弦：cos 2α＝cos2α－sin2α＝ 2cos2α－1＝1－2sin2α，这三个公式各有用处，同等重要，特别是逆用即为“降幂公式”，在考题中 常有体现． 【解题技巧】 (1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；β＝ α＋β 2 － α－β 2 ； α－β 2 ＝ ) 2 () 2 (   . (2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等 【易错点睛】 (1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”． 例.已知 是锐角，且 1cos( ) 6 3    ，则 5sin(2 ) 6   的值为____________.【答案】 7 9  【解析】 5sin(2 ) 6   sin[2( ) ] 6 2     cos 2( ) 6   22cos ( ) 1 6    7 9   . (2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等． 例.设 1sin 4 4       ，则 sin 2 （ ） A． 7 8 B． 1 8 C． 1 8  D． 7 8  【答案】D． 【解析】由已知及倍角公式得 2 1 7sin 2 cos 2 1 2sin 1 2 . 2 4 16 8                             ． (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常 值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等． 例.新课标 A 版第 138 页，第 A19(3)题（例题）化简： xxx 2coscossin 【答案】 1 sin 4 4 x 【解析】 xxxxxxxxxxx 4sin 4 1 4 2cos2sin2 2 2cos2sin 2 2coscossin22coscossin  . 【热点预测】 1.【2018 届安徽省六安市第一中学高三上第二次月考】 A. B. -1 C. D. 1 【答案】D 【解析】 ， 故选：D. 2.【2016 高考浙江文数】设函数 2( ) sin sinf x x b x c   ，则 ( )f x 的最小正周期（ ） A．与 b 有关，且与 c 有关 B．与 b有关，但与 c无关 C．与 b 无关，且与 c 无关 D．与 b无关，但与 c有关 【答案】B 3.【2016 高考新课标 3 理数】若 3tan 4   ，则 2cos 2sin 2  （ ） (A) 64 25 (B) 48 25 (C) 1 (D) 16 25 【答案】A 【解析】由 3tan 4   ，得 3 4sin ,cos 5 5    或 3 4sin ,cos 5 5      ，所以 2 16 12 64cos 2sin 2 4 25 25 25       ，故选 A． 4.已知 1sin 2 3   ，则 2cos ( ) 4    ( ) A． 1 3 B． 1 3  C． 2 3 D． 2 3  【答案】C 【解析】 2 2sin1 2 2 2cos1 4 cos 2                    3 2 2 3 11    ，故选 C. 5.若 , 2       ，且3cos 2 sin 4        ，则 sin 2 的值为（ ） A. 1 18 B. 1 18  C. 17 18 D. 17 18  【答案】D 6.【2017 课标 II，理 14】函数   2 3sin 3 cos 4 f x x x   （ 0, 2 x      ）的最大值是 。 【答案】1 【解析】 7.【2017 北京，理 12】在平面直角坐标系 xOy 中，角α与角β均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y轴对 称.若 1sin 3   ， cos( )  =___________. 【答案】 7 9  【解析】 8.已知 A 是角 终边上一点，且 A点的坐标为 3 4, 5 5       ，则 2 1 2sin cos cos   ＝ ． 【答案】 25 33 【解析】由题意 3 4cos ,sin 5 5    ，因此 2 2 1 1 25 4 3 32sin cos cos 332 ( ) 5 5 5          ． 9.【【百强校】2017 届河北武邑中学高三上学期周考】已知 2sin( ) 3    ， 1sin( ) 5     ，则 tan tan   的值为__________. 【答案】 7 13 【解析】 2sin( ) sin cos cos sin 3          , 1sin( ) sin cos cos sin 5           ，两式 相加得 7sin cos 30    ，两式相减得 13cos sin 30    ，以上两式相除，得 tan 7 tan 13    . 10.【2016 高考新课标 1 文数】已知θ是第四象限角,且 sin(θ+ π 4 )= 3 5 ,则 tan(θ– π 4 )= . 【答案】 4 3  【解析】由题意 sin sin 4 4 2                    3cos 4 5         , 因为2 2 2 2 k k         k Z ,所以 72 2 4 4 4 k k           k Z , 从而 4sin 4 5         ,因此 4tan 4 3         ．故填 4 3  ． 11.【【百强校】2017 届河北武邑中学高三上学期周考】已知 2 5sin 5   ，求 5sin( ) 2tan( ) 5cos( ) 2           的值. 【答案】当 为第一象限角时， 5 2 ；当 为第二象限角时， 5 2  . 【解析】∵ 2 5sin 0 5    ， ∴ 为第一或第二象限角. 当 为第一象限角时， 2 5cos 1 sin 5     ， 5sin( ) cos sin cos 1 52tan( ) tan5 sin cos sin sin cos 2cos( ) 2                        . 当 为第二象限角时， 2 5cos 1 sin 5       ， 原式 1 5 sin cos 2     . 12.如图 ,在平面直角坐标系 xOy中 ,点 , ,A B C 均在单位圆上 ,已知点 A在第一象限的横坐标是 3 , 5 点 B 在第二象限 ,点  1,0 .C （1）设 ,COA   求 sin 2 的值； （2）若 AOB 为正三角形 ,求点 B的坐标 【答案】   241 25   3 4 3 4 3 32 , 10 10 B         13. 【2017 山东，理 16】设函数 ( ) sin( ) sin( ) 6 2 f x x x      ，其中0 3  .已知 ( ) 0 6 f   . （Ⅰ）求； （Ⅱ）将函数 ( )y f x 的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平 移 4  个单位，得到函数 ( )y g x 的图象，求 ( )g x 在 3[ , ] 4 4    上的最小值. 【答案】（Ⅰ） 2  .（Ⅱ）得最小值 3 2  . 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简得到 ( )y f x 3(sin ) 3 x   由题设知 ( ) 0 6 f   及0 3  可得. （Ⅱ）由（Ⅰ）得 ( ) 3 sin(2 ) 3 f x x    从而 ( ) 3 sin( ) 3 sin( ) 4 3 12 g x x x        . 根据 3[ , ] 4 4 x     得到 2[ , ] 12 3 3 x       ，进一步求最小值. 试题解析：（Ⅰ）因为 ( ) sin( ) sin( ) 6 2 f x x x      ， 所以 3 1( ) sin cos cos 2 2 f x x x x     3 3sin cos 2 2 x x   1 33( sin cos ) 2 2 x x   3(sin ) 3 x   由题设知 ( ) 0 6 f   ， 所以 6 3 k    ， k Z . 故 6 2k   ， k Z ，又0 3  ， 所以 2  . 14.如图，在直角坐标系 xOy中，角 的顶点是原点，始边与 x轴正半轴重合，终边交单位圆于点 A， 且 , ) 6 2    ．将角 的终边按逆时针方向旋转 3  ，交单位圆于点 B．记 ),(),,( 2211 yxByxA ． （Ⅰ）若 3 1 1 x ，求 2x ； （Ⅱ）分别过 ,A B作 x轴的垂线，垂足依次为 ,C D．记△ AOC 的面积为 1S ，△BOD的面积为 2S ．若 1 22S S ，求角 的值． 【答案】（Ⅰ） 2 1 3 1 2 6cos( ) cos sin 3 2 2 6 x          ．（Ⅱ） 4   ． 【解析】（Ⅰ）由三角函数定义，得 1 cosx   ， 2 cos( ) 3 x    ．………………2分 因为 , ) 6 2    ， 1cos 3  ， 所以 2 2 2sin 1 cos 3     ． ………………3分 所以 2 1 3 1 2 6cos( ) cos sin 3 2 2 6 x          ． ………………5分