高中数学经典高考难题集锦解析版

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‎2015年10月18日姚杰的高中数学组卷 ‎　‎ 一．解答题（共10小题）‎ ‎1．（2012•宣威市校级模拟）设点C为曲线（x＞0）上任一点，以点C为圆心的圆与x轴交于点E、A，与y轴交于点E、B．‎ ‎（1）证明多边形EACB的面积是定值，并求这个定值；‎ ‎（2）设直线y=﹣2x+4与圆C交于点M，N，若|EM|=|EN|，求圆C的方程．‎ ‎　‎ ‎2．（2010•江苏模拟）已知直线l：y=k（x+2）与圆O：x2+y2=4相交于A、B两点，O是坐标原点，三角形ABO的面积为S．‎ ‎（Ⅰ）试将S表示成的函数S（k），并求出它的定义域；‎ ‎（Ⅱ）求S的最大值，并求取得最大值时k的值．‎ ‎　‎ ‎3．（2013•越秀区校级模拟）已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线l：x﹣2y=0的距离为．求该圆的方程．‎ ‎　‎ ‎4．（2013•柯城区校级三模）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且过点（2，1）．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）是否存在直线l：y=kx+t，与圆x2+（y+1）2=1相切且与抛物线交于不同的两点M，N，当∠MON为钝角时，有S△MON=48成立？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由．‎ ‎　‎ ‎5．（2009•福建）（1）已知矩阵M所对应的线性变换把点A（x，y）变成点A′（13，5），试求M的逆矩阵及点A的坐标．‎ ‎（2）已知直线l：3x+4y﹣12=0与圆C：（θ为参数 ）试判断他们的公共点个数；‎ ‎（3）解不等式|2x﹣1|＜|x|+1．‎ ‎　‎ ‎6．（2009•东城区一模）如图，已知定圆C：x2+（y﹣3）2=4，定直线m：x+3y+6=0，过A（﹣1，0）的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，M是PQ中点．‎ ‎（Ⅰ）当l与m垂直时，求证：l过圆心C；‎ ‎（Ⅱ）当时，求直线l的方程；‎ ‎（Ⅲ）设t=，试问t是否为定值，若为定值，请求出t的值；若不为定值，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎7．（2009•天河区校级模拟）已知圆C：（x+4）2+y2=4，圆D的圆心D在y 轴上且与圆C外切，圆D与y 轴交于A、B两点，定点P的坐标为（﹣3，0）．‎ ‎（1）若点D（0，3），求∠APB的正切值；‎ ‎（2）当点D在y轴上运动时，求∠APB的最大值；‎ ‎（3）在x轴上是否存在定点Q，当圆D在y轴上运动时，∠AQB是定值？如果存在，求出Q点坐标；如果不存在，说明理由．‎ ‎　‎ ‎8．（2007•海南）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2﹣12x+32=0的圆心为Q，过点P（0，2）且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B．‎ ‎（Ⅰ）求k的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎9．如图，已知圆心为O，半径为1的圆与直线l相切于点A，一动点P自切点A沿直线l向右移动时，取弧AC的长为，直线PC与直线AO交于点M．又知当AP=时，点P的速度为v，求这时点M的速度．‎ ‎　‎ ‎10．过原点O作圆x2+y2﹣2x﹣4y+4=0的任意割线交圆于P1，P2两点，求P1P2的中点P的轨迹．‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎2015年10月18日姚杰的高中数学组卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．解答题（共10小题）‎ ‎1．（2012•宣威市校级模拟）设点C为曲线（x＞0）上任一点，以点C为圆心的圆与x轴交于点E、A，与y轴交于点E、B．‎ ‎（1）证明多边形EACB的面积是定值，并求这个定值；‎ ‎（2）设直线y=﹣2x+4与圆C交于点M，N，若|EM|=|EN|，求圆C的方程．‎ 考点：‎ 直线和圆的方程的应用．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）由题意，由于以点C为圆心的圆与x轴交于点E、A，与y轴交于点E、B，所以先得到点E为原点，利用方程的思想设出圆心C的坐标，进而利用面积公式求解；‎ ‎（2）由于|EM|=|EN|此可以转化为点E应在线段MN的垂直平分线上，利用圆的性质可得EC与MN垂直建立t的方程求解即可．‎ 解答：‎ 解：‎ ‎（1）证明：点（t＞0），‎ 因为以点C为圆心的圆与x轴交于点E、A，与y轴交于点E、B．‎ 所以点E是直角坐标系原点，即E（0，0）．‎ 于是圆C的方程是．则．‎ 由|CE|=|CA|=|CB|知，圆心C在Rt△AEB斜边AB上，‎ 于是多边形EACB为Rt△AEB，‎ 其面积．‎ 所以多边形EACB的面积是定值，这个定值是4．‎ ‎（2）若|EM|=|EN|，则E在MN的垂直平分线上，即EC是MN的垂直平分线，，kMN=﹣2．‎ 所以由kEC•kMN=﹣1，得t=2，‎ 所以圆C的方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．‎ 点评：‎ ‎（1）重点考查了利用方程的思想用以变量t写出圆的方程，判断出圆心O在AB上，故四边形为直角三角形，还考查了三角形的面积公式；‎ ‎（2）重点考查了垂直平分线的等价式子，还考查了方程的求解思想，及两直线垂直的实质解直线的斜率互为负倒数．‎ ‎　‎ ‎2．（2010•江苏模拟）已知直线l：y=k（x+2）与圆O：x2+y2=4相交于A、B两点，O是坐标原点，三角形ABO的面积为S．‎ ‎（Ⅰ）试将S表示成的函数S（k），并求出它的定义域；‎ ‎（Ⅱ）求S的最大值，并求取得最大值时k的值．‎ 考点：‎ 直线与圆的位置关系；二次函数的性质．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；压轴题．‎ 分析：‎ ‎（Ⅰ）先求出原点到直线的距离，并利用弦长公式求出弦长，代入三角形的面积公式进行化简．‎ ‎（Ⅱ）换元后把函数S的解析式利用二次函数的性质进行配方，求出函数的最值，注意换元后变量范围的改变．‎ 解答：‎ 解：（Ⅰ）直线l方程，‎ 原点O到l的距离为（3分）‎ 弦长（5分）‎ ‎•ABO面积•‎ ‎∵|AB|＞0，∴﹣1＜K＜1（K≠0），•‎ ‎∴‎ ‎（﹣1＜k＜1且K≠0）（8分），‎ ‎（Ⅱ） 令 ，‎ ‎∴．‎ ‎∴当t=时，时，Smax=2（12分）‎ 点评：‎ 本题考查点到直线的距离公式、弦长公式的应用，以及利用二次函数的性质求函数的最大值，注意换元中变量范围的改变．‎ ‎　‎ ‎3．（2013•越秀区校级模拟）已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线l：x﹣2y=0的距离为．求该圆的方程．‎ 考点：‎ 直线与圆的位置关系．菁优网版权所有 专题：‎ 综合题；压轴题．‎ 分析：‎ 设出圆P的圆心坐标，由圆被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，得到圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°，根据垂径定理得到圆截x轴的弦长，找出r与b的关系式，又根据圆与y轴的弦长为2，利用垂径定理得到r与a的关系式，两个关系式联立得到a与b的关系式；然后利用点到直线的距离公式求出P到直线x﹣2y=0的距离，让其等于，得到a与b的关系式，将两个a与b的关系式联立即可求出a与b的值，得到圆心P的坐标，然后利用a与b的值求出圆的半径r，根据圆心和半径写出圆的方程即可．‎ 解答：‎ 解：设圆P的圆心为P（a，b），半径为r，‎ 则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|．‎ 由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°，‎ 知圆P截x轴所得的弦长为．故r2=2b2‎ 又圆P被y轴所截得的弦长为2，所以有r2=a2+1．从而得2b2﹣a2=1；‎ 又因为P（a，b）到直线x﹣2y=0的距离为，所以=，即有a﹣2b=±1，‎ 由此有或 解方程组得或 ‎，于是r2=2b2=2，‎ 所求圆的方程是：（x+1）2+（y+1）2=2，或（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．‎ 点评：‎ 本小题主要考查轨迹的思想，考查综合运用知识建立曲线方程的能力，是一道中档题．‎ ‎　‎ ‎4．（2013•柯城区校级三模）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且过点（2，1）．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）是否存在直线l：y=kx+t，与圆x2+（y+1）2=1相切且与抛物线交于不同的两点M，N，当∠MON为钝角时，有S△MON=48成立？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由．‎ 考点：‎ 直线与圆的位置关系；平面向量数量积的运算；抛物线的标准方程．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析：‎ ‎（Ⅰ）‎ ‎ 设抛物线方程为x2=2py，把点（2，1）代入运算求得 p的值，即可求得抛物线的标准方程．‎ ‎（Ⅱ） 由直线与圆相切可得 ．把直线方程代入抛物线方程并整理，由△＞0求得t的范围．利用根与系数的关系及，求得，求得点O到直线的距离，从而求得，由此函数在（0，4）单调递增，故有，从而得出结论．‎ 解答：‎ 解：（Ⅰ） 设抛物线方程为x2=2py，‎ 由已知得：22=2p，所以 p=2，‎ 所以抛物线的标准方程为 x2=4y．‎ ‎（Ⅱ） 不存在．‎ 因为直线与圆相切，所以 ．‎ 把直线方程代入抛物线方程并整理得：x2﹣4kx﹣4t=0．‎ 由△=16k2+16t=16（t2+2t）+16t＞0，得 t＞0或t＜﹣3．‎ 设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=4k且x1•x2=﹣4t，‎ ‎∴．‎ ‎∵∠MON为钝角，∴，解得0＜t＜4，∵，‎ 点O到直线的距离为 ‎，∴，易证在（0，4）单调递增，‎ ‎∴，故不存在直线，当∠MON为钝角时，S△MON=48成立．‎ 点评：‎ 本题主要考查直线和圆的位置关系，两个向量的数量积公式的应用，点到直线的距离公式，利用函数的单调性求函数的值域，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎5．（2009•福建）（1）已知矩阵M所对应的线性变换把点A（x，y）变成点A′（13，5），试求M的逆矩阵及点A的坐标．‎ ‎（2）已知直线l：3x+4y﹣12=0与圆C：（θ为参数 ）试判断他们的公共点个数；‎ ‎（3）解不等式|2x﹣1|＜|x|+1．‎ 考点：‎ 直线与圆的位置关系；二阶矩阵；绝对值不等式的解法．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；压轴题；转化思想．‎ 分析：‎ ‎（1）由矩阵的线性变换列出关于x和y的一元二次方程组，求出方程组的解集即可得到点A的坐标；可设出矩阵M的逆矩阵，根据逆矩阵的定义得到逆矩阵与矩阵M的乘积等于单位矩阵，得到一个一元二次方程组，求出方程组的解集即可得到M的逆矩阵；‎ ‎（2）把圆的参数方程化为普通方程后，找出圆心坐标与半径，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d与半径r比较大小得到直线与圆的位置关系，即可得到交点的个数；‎ ‎（3）分三种情况x大于等于，x大于等于0小于和x小于0，分别化简绝对值后，求出解集，即可得到原不等式的解集．三个题中任选两个作答即可．‎ 解答：‎ 解：（1）由题意可知（x，y）=（13，5），即，‎ 解得，所以A（2，﹣3）；‎ 设矩阵M的逆矩阵为，则•‎ ‎=，即，‎ 且，解得a=﹣1，b=3，c=﹣1，d=2‎ 所以矩阵M的逆矩阵为；‎ ‎（2）把圆的参数方程化为普通方程得（x+1）2+（y﹣2）2=4，圆心（﹣1，2），半径r=2‎ 则圆心到已知直线的距离d==＜2=r，得到直线与圆的位置关系是相交，‎ 所以直线与圆的公共点有两个；‎ ‎（3）当x≥‎ 时，原不等式变为：2x﹣1＜x+1，解得x＜2，所以原不等式的解集为[，2）；‎ 当0≤x＜时，原不等式变为：1﹣2x＜x+1，解得x＞0，所以原不等式的解集为（0，）；‎ 当x＜0时，原不等式变为：1﹣2x＜﹣x+1，解得x＞0，所以原不等式无解．‎ 综上，原不等式的解集为[0，2）．‎ 点评：‎ 此题考查学生会求矩阵的逆矩阵及掌握矩阵的线性变换，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，掌握直线与圆的位置关系的判断方法，会利用讨论的方法求绝对值不等式的解集，是一道综合题．‎ ‎　‎ ‎6．（2009•东城区一模）如图，已知定圆C：x2+（y﹣3）2=4，定直线m：x+3y+6=0，过A（﹣1，0）的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，M是PQ中点．‎ ‎（Ⅰ）当l与m垂直时，求证：l过圆心C；‎ ‎（Ⅱ）当时，求直线l的方程；‎ ‎（Ⅲ）设t=，试问t是否为定值，若为定值，请求出t的值；若不为定值，请说明理由．‎ 考点：‎ 直线与圆的位置关系；平面向量数量积的运算；直线的一般式方程．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ ‎（Ⅰ）根据已知，容易写出直线l的方程为y=3（x+1）．将圆心C（0，3）代入方程易知l过圆心C．‎ ‎（Ⅱ）过A（﹣1，0）的一条动直线l．应当分为斜率存在和不存在两种情况；当直线l与x轴垂直时，进行验证．当直线与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+1），由于弦长，利用垂径定理，则圆心C到弦的距离|CM|=1．从而解得斜率K来得出直线l的方程为．‎ ‎（Ⅲ）同样，当l与x轴垂直时，要对设t=，进行验证．当l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），代入圆的方程得到一个二次方程．充分利用“两根之和”和“两根之积”去找．再用两根直线方程联立，去找．从而确定t=的代数表达式，再讨论t是否为定值．‎ 解答：‎ 解：（Ⅰ）由已知，故kl=3，‎ 所以直线l的方程为y=3（x+1）．‎ 将圆心C（0，3）代入方程易知l过圆心C．（3分）‎ ‎（Ⅱ）当直线l与x轴垂直时，易知x=﹣1符合题意；（4分）‎ 当直线与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+1），由于，‎ 所以|CM|=1．由，解得．‎ 故直线l的方程为x=﹣1或4x﹣3y+4=0．（8分）‎ ‎（Ⅲ）当l与x轴垂直时，易得M（﹣1，3），，‎ 又A（﹣1，0）则，，故 ‎．即t=﹣5．（10分）‎ 当l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），代入圆的方程得（1+k2）x2+（2k2﹣6k）x+k2﹣6k+5=0．‎ 则，，‎ 即，=．‎ 又由得，‎ 则 ‎．‎ 故t=．‎ 综上，t的值为定值，且t=﹣5．（14分）‎ 另解一：连接CA，延长交m于点R，由（Ⅰ）知AR⊥m．又CM⊥l于M，‎ 故△ANR∽△AMC．于是有|AM|•|AN|=|AC|•|AR|．‎ 由，得|AM|•|AN|=5．‎ 故（14分）‎ 另解二：连接CA并延长交直线m于点B，连接CM，CN，由（Ⅰ）知AC⊥m，又CM⊥l，‎ 所以四点M，C，N，B都在以CN为直径的圆上，‎ 由相交弦定理得．（14分）‎ 点评：‎ ‎（1）用直线方程时，一定要注意分为斜率存在和不存在两种情况．一般是验证特殊，求解一般．‎ ‎（2）解决直线与圆相交弦相关计算时一般采用垂径定理求解．‎ ‎（3）涉及到直线和圆、圆锥曲线问题时，常常将直线代入曲线方程得到一个一元二次方程，再充分利用“两根之和”和“两根之积”整体求解．这种方法通常叫做“设而不求”．‎ ‎　‎ ‎7．（2009•天河区校级模拟）已知圆C：（x+4）2+y2=4，圆D的圆心D在y 轴上且与圆C外切，圆D与y 轴交于A、B两点，定点P的坐标为（﹣3，0）．‎ ‎（1）若点D（0，3），求∠APB的正切值；‎ ‎（2）当点D在y轴上运动时，求∠APB的最大值；‎ ‎（3）在x轴上是否存在定点Q，当圆D在y轴上运动时，∠AQB是定值？如果存在，求出Q点坐标；如果不存在，说明理由．‎ 考点：‎ 直线和圆的方程的应用．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；证明题；压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）由已知中圆C：（x+4）2+y2=4，点D（0，3），我们易求出CD的长，进而求出圆D的半径，求出A，B两点坐标后，可由tan∠APB=kBP得到结果．‎ ‎（2）设D点坐标为（0，a），圆D半径为r，我们可以求出对应的圆D的方程和A，B两点的坐标，进而求出∠APB正切的表达式（含参数r），求出其最值后，即可根据正切函数的单调性，求出∠APB的最大值；‎ ‎（3）假设存在点Q（b，0），根据∠AQB是定值，我们构造关于b的方程，若方程有解，则存在这样的点，若方程无实根，则不存在这样的点．‎ 解答：‎ 解：（1）∵|CD|=5，‎ ‎∴圆D的半径r=5﹣2=3，此时A、B坐标分别为A（0，0）、B（0，6）‎ ‎∴tan∠APB=kBP=2（3分）‎ ‎（2）设D点坐标为（0，a），圆D半径为r，则（r+2）2=16+a2，A、B的坐标分别为（0，a﹣r），（0，a+r）‎ ‎∴，‎ ‎∴==‎ ‎∵|r+2|2≥16，‎ ‎∴r≥2，‎ ‎∴8r﹣6≥10，‎ ‎∴‎ ‎∴．（8分）‎ ‎（3）假设存在点Q（b，0），由，，得 ‎∵a2=（r+2）2﹣16，‎ ‎∴‎ 欲使∠AQB的大小与r无关，则当且仅当b2=12，即，‎ 此时有，即得∠AQB=60°为定值，‎ 故存在或，使∠AQB为定值60°．（13分）‎ 点评：‎ 本题考查的知识点是直线和圆的方程的应用，其中根据已知中圆C：（x+4）2+y2=4，圆D的圆心D在y ‎ 轴上且与圆C外切，圆D与y 轴交于A、B两点，确定圆D的方程，进而求出A，B的方程是解答本题的关键．‎ ‎　‎ ‎8．（2007•海南）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2﹣12x+32=0的圆心为Q，过点P（0，2）且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B．‎ ‎（Ⅰ）求k的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 直线和圆的方程的应用；向量的共线定理．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；压轴题．‎ 分析：‎ ‎（Ⅰ）先把圆的方程整理成标准方程，进而求得圆心，设出直线方程代入圆方程整理后，根据判别式大于0求得k 的范围，‎ ‎（Ⅱ）A（x1，y1），B（x2，y2），根据（1）中的方程和韦达定理可求得x1+x2的表达式，根据直线方程可求得y1+y2的表达式，进而根据以与 共线可推知（x1+x2）=﹣3（y1+y2），进而求得k，根据（1）k的范围可知，k不符合题意．‎ 解答：‎ 解：（Ⅰ）圆的方程可写成（x﹣6）2+y2=4，所以圆心为Q（6，0），过P（0，2）‎ 且斜率为k的直线方程为y=kx+2．‎ 代入圆方程得x2+（kx+2）2﹣12x+32=0，‎ 整理得（1+k2）x2+4（k﹣3）x+36=0． ①‎ 直线与圆交于两个不同的点A，B等价于△=[4（k﹣3）2]﹣4×36（1+k2）=42（﹣8k2﹣6k）＞0，‎ 解得，即k的取值范围为．‎ ‎（Ⅱ）设A（x1，y1‎ ‎），B（x2，y2），则，‎ 由方程①，②‎ 又y1+y2=k（x1+x2）+4． ③‎ 而．‎ 所以与共线等价于（x1+x2）=﹣3（y1+y2），‎ 将②③代入上式，解得．‎ 由（Ⅰ）知，故没有符合题意的常数k．‎ 点评：‎ 本题主要考查了直线与圆的方程的综合运用．常需要把直线方程与圆的方程联立，利用韦达定理和判别式求得问题的解．‎ ‎　‎ ‎9．如图，已知圆心为O，半径为1的圆与直线l相切于点A，一动点P自切点A沿直线l向右移动时，取弧AC的长为，直线PC与直线AO交于点M．又知当AP=时，点P的速度为v，求这时点M的速度．‎ 考点：‎ 直线与圆的位置关系．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ 设AP的长为x，AM的长为y，用x表示y，并用复合函数求导法则对时间t进行求导．‎ 解答：‎ 解：如图，作CD⊥AM，并设AP=x，AM=y，∠COA=θ，‎ 由题意弧AC的长为，半径OC=1，可知θ=，考虑θ∈（0，π）．‎ ‎∵△APM∽△DCM，∴．‎ ‎∵DM=y﹣（1﹣cos），DC=sin，∴‎ ‎∴．‎ 上式两边对时间t进行求导，则y′t=y′x•x′t．‎ ‎∴y′t=‎ 当时，x′t=v，代入上式得点M的速度．‎ 点评：‎ 本题是难度较大题目，考查了弦长、弧度、相似、特别是复合函数的导数，以及导数的几何意义；‎ 同时也考查了逻辑思维能力和计算能力．‎ ‎　‎ ‎10．过原点O作圆x2+y2﹣2x﹣4y+4=0的任意割线交圆于P1，P2两点，求P1P2的中点P的轨迹．‎ 考点：‎ 直线与圆的位置关系；轨迹方程．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；压轴题；数形结合．‎ 分析：‎ 设割线OP1P2的直线方程为y=kx与圆的方程联立得（1+k2）x2﹣2（1+2k）x+4=0，再由韦达定理得：，因为P是P1P2的中点，所以，再由P点在直线y=kx上，得到，代入上式得 整理即可．要注意范围．‎ 解答：‎ 解：设割线OP1P2的直线方程为y=kx代入圆的方程，‎ 得：x2+k2x2﹣2x﹣4kx+4=0‎ 即（1+k2）x2﹣2（1+2k）x+4=0‎ 设两根为x1，x2即直线与圆的两交点的横坐标；‎ 由韦达定理得：‎ 又设P点的坐标是（x，y）‎ P是P1P2的中点，所以 又P点在直线y=kx上，‎ ‎∴，代入上式得 两端乘以，得 即x2+y2=x+2y ‎（0＜x＜）‎ 这是一个一点为中心，以为半径的圆弧，‎ 所求轨迹是这个圆在所给圆内的一段弧．‎ 点评：‎ 本题主要考查直线与圆的位置关系，韦达定理，中点坐标公式及点的轨迹方程．‎ ‎　‎ 考点卡片 ‎　‎ ‎1．二次函数的性质 ‎【知识点的认识】‎ ‎ 其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．‎ ‎【解题方法点拨】‎ ‎ 以y=ax2+bx+c为例：‎ ‎ ①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x=﹣；最值为：f（﹣）；判别式△=b2﹣4ac，当△=0时，函数与x轴只有一个交点；△＞0时，与x轴有两个交点；当△＜0时无交点．‎ ‎ ②根与系数的关系．若△≥0，且x1、x2为方程y=ax2+bx+c的两根，则有x1+x2=﹣，x1•x2=；‎ ‎ ③二次函数其实也就是抛物线，所以x2=2py的焦点为（0，），准线方程为y=﹣，含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离．‎ ‎ ④平移：当y=a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y=a（x﹣1+b）2+c；‎ 例题：y=2x2+x﹣3‎ ‎ 那么由2＞0，可知抛物线开口向上，对称轴为x=﹣，最小值为f（﹣）=﹣，；△=1+24=25＞0，故方程2x2+x﹣3=0有两个根，其满足x1+x2=﹣；x1•x2=﹣；‎ ‎ 另外，方程可以写成（y+）=2（x+）2，当沿x轴向右，在向下平移时，就变成y=2x2；‎ ‎【命题方向】‎ ‎ 重点关注高中所学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．另外在解析几何当做要灵活运用韦达定理．‎ ‎　‎ ‎2．向量的共线定理 ‎【概念】‎ ‎ 共线向量又叫平行向量，指的是方向相同或方向相反的向量．‎ ‎【定理】‎ ‎ 假设向量=（1，2），向量=（2，4），则=2，那么向量与向量平行，且有1×4﹣2×2=0，即当向量=（x1，y1）与向量=（x2，y2）平行时，有x1•y2﹣x2•y1=0，这也是两向量平行的充要条件．‎ ‎【例题解析】‎ 例：设与是两个不共线的向量，且向量与共线，则λ=　﹣0.5　．‎ 解；∵向量与共线，∴存在常数k，使得=k（）‎ ‎∴2=k．﹣1=λk ‎ 解得，λ=﹣0.5‎ ‎ 故答案为﹣0.5．‎ 根据向量共线的充要条件，若向量与共线，就能得到含λ的等式，解出λ即可．‎ ‎【考点分析】‎ ‎ 向量共线定理和向量垂直定理是向量里面最重要的两个定理，要学会应用这两个定理去判别向量之间的关系．‎ ‎　‎ ‎3．平面向量数量积的运算 ‎【平面向量数量积的运算】‎ ‎ 平面向量数量积运算的一般定理为①（±）2=2±2•+2．②（﹣）（+）=2﹣2．③•（•）≠（•）•，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．‎ ‎【例题解析】‎ 例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：‎ ‎①“mn=nm”类比得到“”‎ ‎②“（m+n）t=mt+nt”类比得到“（）•=”；‎ ‎③“t≠0，mt=nt⇒m=n”类比得到“⇒”；‎ ‎④“|m•n|=|m|•|n|”类比得到“||=||•||”；‎ ‎⑤“（m•n）t=m（n•t）”类比得到“（）•=”；‎ ‎⑥“”类比得到． 以上的式子中，类比得到的结论正确的是　①②　．‎ ‎ 解：∵向量的数量积满足交换律，‎ ‎∴“mn=nm”类比得到“”，‎ 即①正确；‎ ‎∵向量的数量积满足分配律，‎ ‎∴“（m+n）t=mt+nt”类比得到“（）•=”，‎ 即②正确；‎ ‎∵向量的数量积不满足消元律，‎ ‎∴“t≠0，mt=nt⇒m=n”不能类比得到“⇒”，‎ 即③错误；‎ ‎∵||≠||•||，‎ ‎∴“|m•n|=|m|•|n|”不能类比得到“||=||•||”；‎ 即④错误；‎ ‎∵向量的数量积不满足结合律，‎ ‎∴“（m•n）t=m（n•t）”不能类比得到“（）•=”，‎ 即⑤错误；‎ ‎∵向量的数量积不满足消元律，‎ ‎∴”不能类比得到，‎ 即⑥错误．‎ 故答案为：①②．‎ ‎ 向量的数量积满足交换律，由“mn=nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t=mt+nt”类比得到“（）•=”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt=nt⇒m=n”不能类比得到“⇒”；||≠||•||，故“|m•n|=|m|•|n|”不能类比得到“||=||•||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t=m（n•t）”不能类比得到“（）•=”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．‎ ‎【考点分析】‎ ‎ 本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．‎ ‎　‎ ‎4．直线的一般式方程 ‎【直线的一般式方程】‎ ‎ 直线方程表示的是只有一个自变量，自变量的次数为一次，且因变量随着自变量的变化而变化．直线的一般方程的表达式是ay+bx+c=0．‎ ‎　‎ ‎5．轨迹方程 ‎【知识点的认识】‎ ‎1．曲线的方程和方程的曲线 在平面内建立直角坐标系以后，坐标平面内的动点都可以用有序实数对（x，y）表示，这就是动点的坐标．当点按某种规律运动形成曲线时，动点坐标（x，y）中的变量x、y存在着某种制约关系，这种制约关系反映到代数中，就是含有变量x、y的方程．‎ 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看做适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y）=0的实数解建立了如下的关系：‎ ‎（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；‎ ‎（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．‎ 那么这个方程就叫做曲线的方程，这条曲线就叫做方程的曲线．‎ ‎2．求曲线方程的一般步骤（直接法）‎ ‎（1）建系设点：建立适当的直角坐标系，用（x，y）表示曲线上任一点M的坐标；‎ ‎（2）列式：写出适合条件p的点M的集合{M|p（M）}；‎ ‎（3）代入：用坐标表示出条件p（M），列出方程f（x，y）=0；‎ ‎（4）化简：化方程f（x，y）=0为最简形式；‎ ‎（5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是在曲线上的点 ‎【常用解法】‎ ‎（1）直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（如两点间的距离公式、点到直线的距离公式、夹角公式等）进行整理、化简．这种求轨迹方程的过程不需要特殊的技巧．‎ ‎（2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．关键是条件的转化，即转化为某一基本轨迹的定义条件．‎ ‎（3）相关点法：用所求动点P的坐标（x，y）表示已知动点M的坐标（x0，y0），即得到x0=f（x，y），y0=g（x，y），再将x0，y0代入M满足的条件F（x0，y0）=0中，即得所求．一般地，定比分点问题、对称问题可用相关点法求解，相关点法的一般步骤是：设点→转换→代入→化简．‎ ‎（4）待定系数法 ‎（5）参数法 ‎（6）交轨法．‎ ‎　‎ ‎6．直线与圆的位置关系 ‎【知识点的认识】‎ ‎1．直线与圆的位置关系 ‎2．判断直线与圆的位置关系的方法 直线Ax+By+C=0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0）的位置关系的判断方法：‎ ‎（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．‎ ‎ 圆心到直线的距离d=‎ ‎ ①相交：d＜r ‎ ②相切：d=r ‎ ③相离：d＞r ‎（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．‎ ‎ 由消元，得到一元二次方程的判别式△‎ ‎ ①相交：△＞0‎ ‎ ②相切：△=0‎ ‎ ③相离：△＜0．‎ ‎　‎ ‎7．直线和圆的方程的应用 ‎【知识点的知识】‎ ‎1、直线方程的形式：‎ ‎2、圆的方程：‎ ‎（1）圆的标准方程：‎ ‎（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0），其中圆心C（a，b），半径为r．‎ 特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为：x2+y2=r2．‎ 其中，圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件．‎ ‎（2）圆的一般方程：‎ ‎ x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0）‎ ‎ 其中圆心（﹣，﹣），半径r=．‎ ‎　‎ ‎8．抛物线的标准方程 ‎【知识点的认识】‎ 抛物线的标准方程的四种种形式：‎ ‎（1）y2=2px，焦点在x轴上，焦点坐标为F（，0），（p可为正负）‎ ‎（2）x2=2py，焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，），（p可为正负）‎ 四种形式相同点：形状、大小相同；‎ 四种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．‎ 下面以两种形式做简单的介绍：‎ 标准方程 y2=2px（p＞0），焦点在x轴上 x2=2py（p＞0），焦点在y轴上 图形 顶点 ‎（0，0）‎ ‎（0，0）‎ 对称轴 ‎ x轴 焦点在x轴长上 y轴 焦点在y轴长上 ‎ 焦点 ‎ （，0）‎ ‎（0，） ‎ 焦距 无 无 离心率 e=1‎ ‎ e=1‎ 准线 x=﹣‎ y=﹣‎ ‎　‎ ‎9．二阶矩阵 ‎【知识点的知识】‎ ‎1、矩阵 ‎ 由m×n个数aij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）排成的m行n列的数表称为m行n列矩阵，简称m×n矩阵．为表示这个数是一个整体，总是加一个括弧，并用大写黑体字母表示它，记作 这m×n个数称为矩阵A的元素，简称为元，数aij位于矩阵的第i行第j列，称为矩阵的（i，j）元．以数aij为（i，j）元的矩阵可简记作（aij）或（aij）m×n．矩阵A也记作Am×n．‎ 注意：‎ ‎①矩阵的记号是在数表外加上括弧，与行列式的记号（在数表外加上双竖线）是不同的，这是两个不同的概念．‎ ‎②矩阵的行数和列数不一定相等．‎ ‎2．二阶矩阵 ‎ 由四个数a，b，c，d排成的正方形数表称为二阶矩阵，其中称为矩阵的元素，矩阵通常用大写字母A，B，C，…或（aij）表示（其中i，j分别为元素aij所在的行和列）．‎ ‎2．矩阵的乘法 ‎ 行矩阵[a11 a12]与列矩阵的乘法规则为，二阶矩阵与列矩阵的乘法规则为=．矩阵乘法满足结合律，不满足交换律和消去律．‎ ‎　‎ ‎10．绝对值不等式的解法 ‎【知识点的认识】‎ 绝对值不等式的解法 ‎1、绝对值不等式|x|＞a与|x|＜a的解集 ‎ 不等式 ‎ a＞0 ‎ a=0 ‎ a＜0 ‎ ‎|x|＜a ‎ ‎{x|﹣a＜x＜a} ‎ ‎∅‎ ‎∅‎ ‎|x|＞a ‎ ‎{x|x＞a，或x＜﹣a} ‎ ‎{x|x≠0} ‎ R ‎ ‎2、|ax+b|≤c（c＞0）和|ax+b|≥c（c＞0）型不等式的解法：‎ ‎ （1）|ax+b|≤c⇔﹣c≤ax+b≤c；‎ ‎ （2）|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤﹣c；‎ ‎ （3）|x﹣a|+|x﹣b|≥c（c＞0）和|x﹣a|+|x﹣b|≤c（c＞0）型不等式的解法：‎ 方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．‎ 方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；‎ 方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．‎ ‎【解题方法点拨】‎ ‎1、解绝对值不等式的基本方法：‎ ‎（1）利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；‎ ‎（2）当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；‎ ‎（3）利用绝对值的几何意义，数形结合求解．‎ ‎2．解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式（组）进行求解．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x﹣a|+|x﹣b|＞m或|x﹣a|+|x﹣b|＜m （m为正常数），利用实数绝对值的几何意义求解较简便．‎ ‎3．不等式|x﹣a|+|x﹣b|≥c的解就是数轴上到A（a），B（b）两点的距离之和不小于c的点所对应的实数，只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解．‎ ‎4．不等式|a|﹣|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，右侧“=”成立的条件是ab≥0，左侧“=”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|﹣|b|≤|a﹣b|≤|a|+|b|，右侧“=”成立的条件是ab≤0，左侧“=”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|．‎ ‎　‎