安徽省高考数学理科试卷分析

安徽省高考数学理科试卷分析

‎2009年安徽省高考数学(理科)试卷分析 高三数学（理）备课组 一、试卷综述 ‎2009年是安徽省实行新课程标准后的第一个高考年。在保持基本稳定的前提下，今年的安徽理科数学试卷的布局有所调整。总题量数改为21题，比08年减少了一个小题。命题严格遵守《普通高等学校招生全国统一考试大纲（理科﹒课程标准实验﹒2009年版）》（以下简称《考试大纲》）和《2009年普通高等学校招生全国统一考试安徽卷考试说明（理科﹒课程标准实验版）》（以下简称《考试说明》），遵循“有助于高等学校选拔新生，有助于中学实施素质教育和课程改革，有助于对学生创新意思、实践能力的培养”的指导思想。命题根据了安徽省高中数学教学的实际情况，不拘泥于某一版本，重点考查高中数学的主体内容，适当考查新课标的新增内容，体现了新课程改革的理念。试卷在考查基础知识、基本技能和基本能力的基础上，突出了对考生数学思维能力、应用意思和创新意思的考查。‎ 试卷的知识覆盖面广，只有必修3中的第二章统计没有涉及到。命题稳中有变，稳中有新。题目数量、难度安排适宜，题目立意新颖，试卷难、中、易比例恰当。试卷具有较高的信度、效度和区分度。达到了考基础、考能力、考素质、考潜能的考试目标。‎ 整套试卷难度不大，比08年容易。具体，选择题中1—8题比较简单，9、10两题有难度。填空题中，11、12、13题考生容易下手，14、15题较难。6道解答题中，没有明显的送分题，每题都有一定的思维量，其中第（18）题的第（Ⅱ）问、第（20）题的第（Ⅰ）问、第（21）题相对较难一点，但也没有过难题，所以解答题区分度不是非常明显。相比较而言，选择题与填空题的区分度更好。‎ 二、知识点分布 按照《考试大纲》和《考试说明》，从20个大项进行了题数和分值的统计（原23个大项，其中把基本初等函数Ⅱ、三角恒等变换和解三角形合并在一起，推理与证明没有单独列）‎ 章 节 题 号 分 值 小 记 备 注 集合 ‎（2）‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎1.（2）题是绝对值不等式、分式不等式的解法与集合的基本运算的综合应用 ‎2.（4）题是基本初等函数的图像和性质、不等式的性质与常用逻辑用语的综合应用 ‎3.（10）题是立体几何初步、计数原理与概率的综合应用 ‎4.（12）题表面为极坐标与参数方程化为直角坐标方程后即为直线与圆的位置关系问题 ‎5.（21）题是数列与不等式、推理与证明的综合应用 函数概念与基 本初等函数Ⅰ ‎（4）（6）（9）（19）‎ ‎27‎ ‎27‎ 三角函数与 解三角形 ‎（8）（16）‎ ‎17‎ ‎17‎ 向量 ‎（14）‎ ‎5‎ ‎5‎ 数列 ‎（5）（21）‎ ‎18‎ ‎18‎ 不等式 ‎（2）（4）（7）（21）‎ ‎28‎ ‎28‎ 立体几何初步 ‎（10）（15）‎ ‎10‎ ‎23‎ 空间向量与 立体几何 ‎（18）‎ ‎13‎ 平面解析 几何初步 ‎（12）‎ ‎5‎ ‎23‎ 圆锥曲线 ‎（3）（20）‎ ‎18‎ 算法初步 ‎（13）‎ ‎5‎ ‎5‎ 统计 无 ‎0‎ ‎22‎ 概率 ‎（10）‎ ‎5‎ 概率与统计 ‎（11）（17）‎ ‎17‎ 常用逻辑用语 ‎（4）‎ ‎5‎ ‎5‎ 导数及其应用 ‎（9）（19）‎ ‎17‎ ‎17‎ 复数 ‎（1）‎ ‎5‎ ‎5‎ 计数原理 ‎（10）‎ ‎5‎ ‎5‎ 坐标系与 参数方程 ‎（12）‎ ‎5‎ ‎5‎ 不等式选讲 ‎（2）‎ ‎5‎ ‎5‎ 三、试题特点 ‎1.试题稳中有变，稳中有新 ‎2009年是安徽省实行新课程标准后的第一个高考年。在题目的排列顺序上，延续了一贯的由易到难的排列原则，体现高考中的人文关怀精神，有利于考生稳定情绪，顺利作答。整张试卷难度适中，可以看出安徽的数学自主命题已逐步走向成熟。在保持基本稳定的前提下，今年的安徽文理科数学试卷的布局均有所调整。总题量数改为21题，比08年减少了一个小题。在题目类型的分布上也有所变化，不仅减少了两道选择题，增加了一道填空题，而且填空题的分值也有所上升。这种变动增大了试题的区分度，更好地体现出高考试题的选拔功能。‎ 例如第（10）题、第（14）题、第（15）题、第（18）题的第（Ⅱ）问、第（20）题的第（Ⅱ）问、第（21）题都比较有新意。特别是第（17）题在情景设置上更贴近现实生活。‎ ‎2.思维量大，计算量小 整套试卷无论是选择、填空，还是解答计算量都不大，推理过程也不繁杂。重点考查通性通法，避免偏题、怪题，很好地控制了运算量，加大思维量。每道解答题只要想到合理的解法很快就能解决问题。只有第（20）题的第（Ⅰ）问，如果联立方程利用判别式法 ‎，计算量较大一点。这完全符合新课改的理念。‎ ‎3.注重基础知识，突出课改理念 试题覆盖了高中数学中的主要知识点，突出了对主干知识的考查力度。解答题则沿袭了多年的传统做法，分别涉及函数、数列、不等式、三角、立几、解几和概率统计等内容，体现了平稳过渡的精神。同时试卷中渗入了新课改元素。例如，在对解析几何的考核中，添入了极坐标和参数方程的内容。在对题目的选配上，突出了对考生数学思维能力、应用意识和创新意识的考查，避免繁杂运算的理念。例如，第20题，以改往年联立方程消元，借助于韦达定理解题。对选修内容的考查比例进行统计，发现约占总分值的33%，完全符合《考试说明》的要求。概率应用题情景设置贴近生活、贴近时代，清新公平。体现了关注实际，注重应用的新课改理念。‎ ‎4.注重考查数学的各种思想和能力 ‎4.1数形结合的思想 数形结合的思想是借助于形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性。利用这种数学思想往往能简化解题过程，在今年的高考试题中也有所体现。‎ 例1（6）设＜b,函数的图像可能是高.考.资.源.网 高.考.资.源.网 ‎[解析]：本小题主要考查利用函数性质确定函数图象的能力。‎ 方法一：，由得，，∴当时，取极大值0，当时取极小值且极小值为负。故选C。‎ 方法二：当时，当时，故选C。‎ 例2（7）若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是高.考.资.源.网 ‎（A） （B） （C） （D） 高.考.资.源.网 ‎[解析]：本小题主要考查不等式表示平面区域，考查数形结合的能力。‎ 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC 由得A（1，1），又B（0，4），C（0，）‎ B ‎∴△ABC=，设与的交点为D，‎ 则由知，∴‎ ‎∴选A。‎ ‎4.2分类讨论的思想 分类讨论思想是一种重要的数学思想，这种思想能够使我们思路清晰，处理问题井井有条，真正做到不重不漏，养成严谨慎密的思维习惯。这种思想应该在中学数学的教学中得到充分的重视。在2009年的试题中，这一点得到了充分的体现。‎ A B C D E F 例3（10）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于高.考.资.源.网 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎[解析]：本小题主要考查空间中直线与直线的位置关系、排列组合 的知识和古典概型，考查空间想象能力和分类讨论的思想方法。‎ 如图，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中 任意选两个点连成直线，共有种不同取法，其中所得的两条直线相互平行但不重合，在菱形中有4对，同理在菱形和菱形中也分别有4对，分成3类w.共12对，所以所求概率为，选D 例4（19）（本小题满分12分）‎ 已知函数，讨论的单调性 ‎[解析]‎ ‎：本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性，考查分类讨论的思想方法和运算求解的能力。‎ 解：的定义域是(0,+),‎ 设,二次方程的判别式.‎ ① 当，即时，对一切都有,此时在上是增函数。‎ ② 当,即时，仅对有,对其余的都有,此时在上也是增函数。w. ‎ ③ 当，即时，‎ 方程有两个不同的实根,,.‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎_‎ ‎0‎ ‎+‎ 单调递增 极大 单调递减 极小 单调递增 此时在上单调递增,在是上单调递减,在上单调递增。‎ ‎4.3函数与方程的思想 今年的试卷中，更多地体现了函数与方程的思想，例如第（9）题，第（19）题，第（20）题，都是利用了函数和方程的思想。‎ 例5（9）已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是高.考.资.源.网 ‎（A） （B） （C） （D）高.考.资.源.网 ‎[解析]：本小题主要考查抽象函数的知识和导数的几何意义，考查函数与方程的思想和抽象概括能力 由得，‎ 即，∴∴，∴切线方程为 ‎，即选A 例6（19）略 ‎[解析]：本小题除考查上述的思想和方法外，还考查函数与方程的思想，‎ 因为先求出，设，‎ 得二次方程………‎ 例7（20）（本小题满分13分）‎ 点在椭圆上，直线与直线垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为，直线的倾斜角为.‎ ‎（I）证明: 点是椭圆与直线的唯一交点；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（II）证明:构成等比数列 ‎[解析]：本小题也考查函数与方程的思想 解：（I）（方法一）由得代入椭圆,‎ 得 将代入上式,得从而 因此,方程组有唯一解,即直线与椭圆有唯一交点P ‎4.4转化与化归思想 例8（9）略 ‎[解析]：做变换，得 然后与已知联立，得方程组，得即可求解 例9（12）以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长 度单位。已知直线的极坐标方程为，它与曲线（为参数）相 交于两点A和B，则|AB|=_______.‎ ‎[解析]：只要化直线的极坐标方程为直角坐标方程，曲线的参数方程为普通方程 ‎，易得 ‎4.5充分体现、挖掘考生的各项数学能力 数学能力是指空间想象能力，抽象概括能力，推理论证能力，运算求解能力，数据处理能力，以及应用意识和创新意识，在2009年试题中，这些能力都得到了充分的体现。‎ ‎4.5.1‎‎ 运算求解能力：（1）（2）（3）（7）（8）（14）（16）（17）（19）（20）（21）‎ ‎4.5.2‎‎ 数据处理能力：（17）‎ ‎4.5.3‎‎ 空间想象能力：（10）（15）（18）‎ ‎4.5.4‎‎ 抽象概括能力：（5）（6）（7）（9）（12）（14）（19）（20）（21）‎ ‎4.5.5‎‎ 推理论证能力：（4）（18）（20）（21）‎ ‎4.5.6‎‎ 应用意识和创新意识：（17）（20）‎ ‎5.体现宽口径，多角度的命题思路 ‎2009年的试题中，体现命题者这样一种命题思路，即鼓励考试宽口径、多角度的思考和解决问题，不拘泥于某一解法，不局限考生的思想，每个命题尽可能让考生可以从不同角度入手，均能得到好的结果，避免思路单一，想到了就能做，想不到就失败的“华山一条道”的尴尬局面。‎ 例如，第（18）题（综合法或向量法）,第(20)题第（I）问（答案上给出3种方法），第（21）题第（II）问（答案上给出2种方法）。‎ 例10（14）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动，若其中，则的最大值是________.‎ 方法一：设，则 ‎，即 ‎∴‎ 方法二：‎ 因为，所以（当且仅当时等号成立）‎ 所以 四、对今后高三复习的启示 ‎09年是我省进入新课改后的第一次高考，09年的高考命题为今后的课程改革和高考改革提供哪些重要的信息成为人们关注的焦点。高考命题的导向在很大程度上决定着中学推行新课改的力度和发展新课改的深度，及高三复习的方向。我认为应该做好以下几个方面 ‎1.夯实基础，落实基本知识和基本技能的学习 从09年的试卷中不难看出，函数、数列、不等式、三角、立几、解几和概率统计仍然是考查的主要内容，从本文的知识点统计中更是一目了然。‎ 试题的框架主体仍是考查数学的基础知识和通性通法。如函数的图象、单调性、定义域等性质及变换；数列的基本性质及应用；不等式的求解与证明；三角函数图象与性质；空间图形的识别及线面的位置关系（包括体积和夹角）；圆锥曲线的基本概念、性质及应用；几种常见类型的概率问题等。‎ 所以今后的高三复习这些内容仍然是重中之重，只有夯实这些章节的基础知识，才能从容应对高考。‎ ‎2.坚定新课程改革方向 随着新课程改革的不断深入，执行和推广新课标是大势所趋，所以新课标中新增加的教学内容会不断地出现在今后的高考试题中。特别是今年高考中未涉及到的几何概型、三视图、定积分、类比推理、独立性检验（2×2列联表）与回归分析中的基本概念和性质、统计中的散点图、茎叶图、回归直线方程等，我们在今后的高三复习中更应引起重视。‎ ‎3.通法为主，变法为辅，培养能力 重视高中数学的通性通法，倡导举一反三、一题多解和多题一解，努力培养学生“五种能力、两个意识”，即空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识。能力的分类和要求与以前有不同，必然要反映在命题中。特别应注意新增加的“数据处理能力”和“应用意识和创新意识”。前者与统计有关，后者与应用问题有关。另外，“推理论证能力”有别于先前四大能力之一的“逻辑思维能力”，逻辑思维能力注重是演绎推理，“合情推理”也应引起我们的重视，它可以有效地培养学生的创新意识，这正是新课改大力倡导的。‎ ‎09年的试题中在“数据处理能力”方面体现得不是很明显，所以我们要加以重视。‎ ‎4. 注意立体几何的命题动向 ‎09年试题中立体几何题目学生普遍反映较难，特别是第（II）问用不上向量法，有“返祖”趋势，回归立体几何的核心——培养学生的空间想象能力和推理论证能力。所以教学中不能完全依赖向量工具，也要注重培养学生的空间想象能力和推理论证能力，也就是要适当加强学生用综合法解立体几何题的训练。‎