真题推荐2010全国高考数学试题分类汇编平面向量

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真题推荐2010全国高考数学试题分类汇编平面向量

‎2010平面向量 ‎1.(2010·湖南高考理科·T4)在中,=90°AC=4,则等于( )‎ A、-16 B、-8 C、8 D、16‎ ‎【命题立意】以直角三角形为依托,考查平面向量的数量积,基底的选择和平面向量基本定理.‎ ‎【思路点拨】由于=90,因此选向量CA,CB为基底.‎ ‎【规范解答】选D.=(CB-CA)·(-CA)=-CB·CA+CA2=16.‎ ‎【方法技巧】平面向量的考查常常有两条路:一是考查加减法,平行四边形法则和三角形法则,平面向量共线定理.二是考查数量积,平面向量基本定理,考查垂直,夹角和距离(长度).‎ ‎2.(2010·安徽高考理科·T3)设向量, 则下列结论中正确的是( )‎ A、 B、‎ C、与垂直 D、∥‎ ‎【命题立意】本题主要考查向量的长度、数量积的坐标运算,考查向量平行、垂直的坐标判定方法,考查考生的向量坐标运算求解能力。‎ ‎【思路点拨】利用向量的坐标运算逐项验证。‎ ‎【规范解答】选 C.向量, , ‎ 由, ,所以,故A错误;‎ 由,故B错误;‎ 由,所以,故C正确;‎ 由,故D错误;‎ ‎3.(2010·辽宁高考理科·T8)平面上O,A,B三点不共线,设,则△OAB的面积等于( )‎ ‎ (A) (B) ‎ ‎(C) (D) ‎ ‎【命题立意】本题考查了平面向量的数量积,夹角公式,考查了三角恒等变换和三角形的面积公式以及运算能力。‎ ‎【思路点拨】‎cos‎ sin‎ S△OAB 化简整理 ‎【规范解答】选C,‎ ‎∴‎ ‎4.(2010·北京高考文科·T4)若是非零向量,且,,则函数是( )‎ ‎(A)一次函数且是奇函数 (B)一次函数但不是奇函数 ‎(C)二次函数且是偶函数 (D)二次函数但不是偶函数 ‎【命题立意】本题考查向量与一次函数的相关知识。‎ ‎【思路点拨】把转化为,再代入到中去。‎ ‎【规范解答】选A。函数,,。‎ ‎,,为一次函数且是奇函数。‎ ‎【方法技巧】一次函数,当时为非奇非偶函数;当时为奇函数 ‎5.(2010·山东高考理科·T12)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下,对任意的,,令⊙,下面说法错误的是( )‎ A.若与共线,则⊙ B.⊙⊙‎ C.对任意的,有⊙⊙ D. (⊙)2‎ ‎【命题立意】本题在平面向量的基础上,加以创新,属创新题型,考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力.‎ ‎【思路点拨】根据所给定义逐个验证.‎ ‎【规范解答】选B,若与共线,则有⊙,故A正确;因为⊙,‎ 而⊙,所以有⊙⊙ ,故选项B错误,故选B. ‎ ‎【方法技巧】自定义型信息题 ‎1、基本特点:该类问题的特点是背景新颖,信息量大,是近几年高考的热点题型. ‎ ‎2、基本对策:解答这类问题时,要通过联想类比,仔细分析题目中所提供的命题,找出其中的相似性和一致性 ‎6.(2010·天津高考文科·T9)如图,在ΔABC中,,,,‎ 则=( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【命题立意】考查平面向量的概念、平面向量的运算以及向量的运算性质。:‎ ‎【思路点拨】根据向量的概念及运算法则进行运算。‎ ‎【规范解答】选D,由图可得:‎ ‎【方法技巧】对于此类向量运算题,要注意向量加减法运算的灵活应用,适当的时候,结合三角形进行化简可以降低难度。‎ ‎7.(2010·广东高考文科·T5)若向量=(1,1),=(2,5),=(3,x)满足条件(8—)·=30,则x=( )‎ A.6 B.5 C.4 D.3‎ ‎【命题立意】本题考察向量的坐标运算及向量的数量积运算.‎ ‎【思路点拨】 先算出,再由向量的数量积列出方程,从而求出 ‎【规范解答】选. ,所以 ‎.即:,解得:,故选.‎ ‎8. (2010·湖南高考理科·T4) 若非零向量a,b满足|,则a与b的夹角为( )‎ A. 300 B. 600 C. 1200 D. 1500‎ ‎【命题立意】条件简洁明了,内涵丰富,考查学生合情推理的能力.‎ ‎【思路点拨】要求向量a和b的夹角,因此由已知条件产生目标cosθ.‎ ‎【规范解答】选C.∵(2a+b)·b=0,∴2a·b+b2=0,∴2|a||b|cosθ+|b|2=0,又∵|a|=|b|≠0,‎ ‎∴cosθ=-,∴θ=1200.‎ ‎【方法技巧】求向量的夹角常借助数量积.‎ ‎9.(2010·浙江高考理科·T16)已知平面向量满足,且与的夹角为120°,则的取值范围是__________________ .‎ ‎【命题立意】本题考查向量的相关知识,考查向量的模、夹角等。‎ ‎【思路点拨】利用向量的几何意义,作出图形,数列结合的方法求的取值范围。‎ ‎【规范解答】如图所示,,,又,‎ 点P在以AB为弦半径为的圆上的优弧APB上运动。因此。‎ ‎【答案】‎ ‎10.(2010·浙江高考文科·T13)已知平面向量则的值是。‎ ‎【命题立意】本题主要考察了平面向量的四则运算及其几何意义,属中档题。‎ ‎【思路点拨】本题先把垂直关系转化为数量积为0,再利用向量求模公式求解。‎ ‎【规范解答】由题意可知,结合,解得,‎ 所以2=,开方可知答案为.‎ ‎【答案】‎ ‎【方法技巧】(1);(2)。‎ ‎11.(2010·天津高考理科·T15)如图,在中,,,‎ ‎,则= ‎ ‎【命题立意】考查平面向量的概念、平面向量的运算以及向量的运算性质。‎ ‎【思路点拨】根据向量的概念及运算法则进行运算。‎ ‎【规范解答】由图可得:‎ ‎【答案】‎ ‎【方法技巧】对于此类向量运算题,要注意向量加减法运算的灵活应用,适当的时候,结合三角形进行化简可以降低难度。‎ ‎12.(2010·江苏高考·T15)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-2)、B(2,3)、C(-2,-1)。‎ (1) 求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长;‎ (2) 设实数t满足()·=0,求t的值。‎ ‎【命题立意】本题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积,考查运算求解能力。‎ ‎【思路点拨】(1)将平行四边形两条对角线的长转化为向量的模长问题解决;‎ ‎(2)利用向量的坐标运算解决.‎ ‎【规范解答】(1)方法一:由题设知,则 所以 故所求的两条对角线的长分别为、。‎ 方法二:设该平行四边形的第四个顶点为D,两条对角线的交点为E,则:‎ E为B、C的中点,E(0,1)‎ 又E(0,1)为A、D的中点,所以D(1,4)‎ ‎ 故所求的两条对角线的长分别为BC=、AD=;‎ ‎(2)由题设知:=(-2,-1),。‎ 由()·=0,得:,‎ 从而所以。‎ 或者:,‎ ‎13.(2010·陕西高考理科·T11)已知向量 ,若∥,‎ ‎ 则=_____________.‎ ‎【命题立意】本题考查平面向量的坐标运算及平行的条件,属送分题。‎ ‎【思路点拨】∥关于的方程 ‎【规范解答】由∥得: ‎ ‎【答案】‎ ‎2011平面向量 一、选择题 ‎1.(2011·福建卷理科·T10)已知函数.对于曲线y=f(x)上横坐标成等差数列的三个点A,B,C,给出以下判断:‎ ‎①△ABC一定是钝角三角形 ‎②△ABC可能是直角三角形 ‎③△ABC可能是等腰三角形 ‎④△ABC不可能是等腰三角形 其中,正确的判断是( )‎ A.①③ B.①④ C. ②③ D.②④‎ ‎【思路点拨】设出表示,结合A,B,C三个点的横坐标判断的符号,的符号判断三角形是钝角三角形还是锐角三角形或是直角三角形,再 ‎【精讲精析】选B. 设 ,‎ ‎①正确,②不正确,对于③, ,‎ 选④,③错误..‎ ‎2.(2011·新课标全国高考理科·T10)已知a与b均为单位向量,其夹角为,有下列四个命题 其中的真命题是( )‎ A. B. C. D. ‎【思路点拨】,,将展开并化成与有关的式子,解关于的不等式,得的取值范围.‎ ‎【精讲精析】选A.,而 ,,解得,同理由,可得.‎ ‎3.(2011·广东高考理科·T3)若向量a,b,c满足a∥b且a⊥c,则c·(a+2b)=‎ ‎ A.4 B.3 C.2 D.0‎ ‎【思路点拨】本题主要考查向量数量积的性质及运算律.由两向量垂直数量积为零,然后运用数量积对加法的分配律可求解.‎ ‎【精讲精析】选D.且,,从而..故选D.‎ ‎4.(2011·辽宁高考理科·T10)若,,均为单位向量,且,(-)·(-)≤0,则|+-|的最大值为 ‎(A) (B)1 (C) (D)2‎ ‎【思路点拨】先化简已知的式子,再将所求式子平方,然后利用化简的结果即可.‎ ‎【精讲精析】选B,由(-)·(-)≤0,得,又 ‎ 且,,均为单位向量,得,|+-|2=(+-)2=‎ =,故|+-|的最大值为1.‎ ‎5.(2011·辽宁高考文科·T3)已知向量=(2,1),=(-1,k),·(2-)=0,则k=‎ ‎(A)-12 (B)-6 (C)6 (D)12 ‎ ‎【思路点拨】考察向量的数量积和向量的坐标运算.‎ ‎【精讲精析】选D,因为,所以.‎ ‎ 又,所以,得.‎ 二、填空题 ‎6.(2011·安徽高考理科·T13)已知向量、满足,且,,则与 的夹角为_____________________‎ ‎【思路点拨】可以求出,再利用夹角公式可求夹角.‎ ‎【精讲精析】答案:.,即则=1,所以所以.‎ ‎7.(2011·福建卷理科·T15)设V是全体平面向量构成的集合,若映射满足:对任意向量以及任意∈R,均有 则称映射f具有性质P. 现给出如下映射: ‎① ‎② ‎③ 其中,具有性质P的映射的序号为________.(写出所有具有性质P的映射的序号)‎ ‎【思路点拨】对三个映射分别验证是否满,满足则具有性质P,不满足则不具有.‎ ‎【精讲精析】①③ 由题意知 ,‎ 对于①: 而 .故①中映射具有性质P.‎ 对于②:,‎ 而,‎ ,故②中映射不具有性质P.‎ 对于③:,‎ ..故③中映射具有性质P.‎ 具有性质P的映射的序号为①③.‎ ‎8.(2011·福建卷文科·T13)若向量a=(1,1),b=(-1,2),则a·b等于_____________.‎ ‎【思路点拨】用数量积的坐标运算法则求值.‎ ‎【精讲精析】1. .‎ ‎9.(2011·江苏高考·T10)已知是夹角为的两个单位向量,若,则实数k的值为________‎ ‎【思路点拨】本题考查的是平面向量的运算,解题的关键是表示出,然后找到关于k的等式进行求解。‎ ‎【精讲精析】由题,可以解得 ‎【答案】.‎ ‎10.(2011·新课标全国高考文科·T13)已知a与b为两个不共线的单位向量,k为实数,若向量a+b与向量ka-b垂直,则k=_______ ‎ ‎【思路点拨】向量与向量垂直,展开用数量积公式求得的值.‎ ‎【精讲精析】1,,‎ 即, 又为两不共线单位向量,式可化为,‎ 若,则,这与,不共线矛盾;‎ 若,则恒成立.‎ 综上可知,时符合题意.‎ ‎11.(2011·湖南高考理科·T14)在边长为1的正三角形ABC中,设,‎ 则_______‎ ‎【思路点拨】本题主要考查向量的基本知识,关键是找好基底,再把向量用基底表示,再进行向量运算.‎ ‎【精讲精析】答案:选为基底.则,‎ ,()·()= ‎12.(2011·江西高考理科·T11) 已知==2,·=-2,则与的夹角为.‎ ‎【思路点拨】先根据条件求出与的数量积,再由数量积的定义求出两者的夹角.‎ ‎【精讲精析】答案: ‎13.(2011·江西高考文科·T11)已知两个单位向量,的夹角为,若向量, ‎【思路点拨】首先根据数量积的定义,将,再结合即得。‎ ‎【精讲精析】答案:-6‎ ‎14.(2011·浙江高考理科·T14)若平面向量满足,且以向量为邻边的平行四边形的面积为,则与的夹角的取值范围是 ‎ ‎【思路点拨】利用平行四边形的面积可得出的范围,尽而求出夹角的范围.‎ ‎【精讲精析】由可得,,故. ‎ ‎2012平面向量 一、选择题 ‎1.(2012·江西高考理科·T7)在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则=( )‎ A.2 B.4 C.5 D.10‎ ‎【解题指南】用向量法求解.‎ ‎【解析】选D .将各边均赋予向量,则 ‎.‎ ‎2.(2012·安徽高考理科·T8)在平面直角坐标系中,,将向量绕点O按逆时针旋转后得向量,则点的坐标是( )‎ ‎【解题指南】先写出向量,在把向量按逆时针旋转,计算出向量,既得点的坐标.‎ ‎【解析】选.将向量按逆时针旋转后得,则 ‎.‎ ‎3.(2012·辽宁高考理科·T3)已知两个非零向量,满足|+|=||,则下面结论正确的是( )‎ ‎(A)∥ (B) ⊥ ‎(C)︱︱=︱︱ (D)+= ‎【解题指南】将所给等式两边平方,找到两个向量的关系.‎ ‎【解析】选B. ‎ ‎.‎ ‎4.(2012·辽宁高考文科·T1)已知向量,若,则( )‎ ‎【解题指南】按照数量积的坐标运算,展开即可解决问题.‎ ‎【解析】选D..‎ ‎5.(2012·福建高考文科·T3)已知向量,,则的充要条件是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解题指南】垂直表明数量积为0,结合平面向量的数量积的坐标运算公式进行求解 .‎ ‎【解析】选D .,解得.‎ ‎6.(2012·广东高考理科·T8)‎ 对任意两个非零的平面向量和,定义.若平面向量满足,与的夹角,且和都在集合中,则=( )‎ A. B.1 C. D. ‎ ‎【解题指南】解决本小题首先搞清的定义,然后根据,再结合确定是解决本题的关键。‎ ‎【解析】选C.‎ ‎,‎ ‎,.‎ ‎7.(2012·广东高考文科·T10)对任意两个非零的平面向量,定义. 若两个非零的平面向量a,b满足a与b的夹角,且和都在集合中,则=( )‎ A. B. C.1 D.‎ ‎【解题指南】解决本小题首先搞清的定义,然后根据 ‎,再结合确定是解决本题的关键。‎ ‎【解析】选D.‎ ‎,‎ ‎,.‎ ‎8.(2012·陕西高考文科·T7)设向量=(1,)与=(,2)垂直,则等于 ( )‎ ‎(A) (B) (C)0 (D)‎ ‎【解题指南】由向量垂直关系,可计算的值,再由二倍角公式计算.‎ ‎【解析】选C. 已知=(1,),=(,2), ∵,∴,∴,故选C.‎ ‎9.(2012·天津高考理科·T7)已知△为等边三角形,AB=2,设点P,Q满足若( )‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎【解题指南】根据向量的线性运算及数量积进行运算.‎ ‎【解析】选A.‎ ‎∵=,=,‎ 又∵,且,,‎ ‎,‎ ‎∴,‎ ‎,又在等边三角形中:‎ ‎,所以,解得.‎ 二、填空题 ‎10.(2012·浙江高考文科·T15)与(2012·浙江高考理科·T15)相同 在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,则=________.‎ ‎【解题指南】考查向量的数量积运算,要注意把所求向量往已知向量上去化。‎ ‎【解析】不妨设△ABC为等腰三角形,则,‎ ‎.‎ ‎【答案】-16.‎ ‎11.(2012·安徽高考理科·T14)若平面向量满足:;则的最小值是 ‎【解题指南】将两边同时平方,得,根据即可求得.‎ ‎【解析】‎ ‎【答案】.‎ ‎12.(2012·北京高考文科·T13)与(2012·北京高考理科·T13)相同 己知正方形ABCD的边长为l,点E是AB边上的动点.则的值为,的最大值为_________.‎ ‎【解题指南】利用图形中的直角关系建系用坐标计算。也可以适当选取基向量进行计算.‎ ‎【解析】方法一:如图所示,以AB,AD所在直线分别为x,y轴建立坐标系,设,,则,B(1,0),C(1,1),,.‎ ‎.‎ 方法二:选取作为基向量,设,,则 ‎。‎ ‎【答案】1,1.‎ ‎13.(2012·湖南高考文科·T15)如图4,在平行四边形ABCD中 ,AP⊥BD,垂足为P,且= .‎ ‎【解题指南】本题考查平面向量加法的几何运算、平面向量的数量积运算,考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.根据向量的三角形法则和平行四边形法则进行线性运算,向量垂直时数量级为零。向量的平方等于模的平方。‎ ‎【解析】设,则,=‎ ‎.‎ ‎【答案】18.‎ ‎14.(2012·江苏高考·T9A B C D E F )如图,在矩形中,,点是的中点,点在边上,若,则的值是 ‎【解题指南】先建立坐标系。再恰当的表示向量,最后用数量积公式.‎ ‎【解析】以A点为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为 y轴建立直角坐标系xOy,则设,‎ 所以.‎ ‎【答案】.‎ ‎15. (2012·安徽高考文科·T1)‎ 设向量⊥,则||=____________‎ ‎【解题指南】根据向量的坐标运算,求出,由,得,从而求出.‎ ‎【解析】 .‎ ‎【答案】.‎ ‎16.(2012·江西高考文科·T12)设单位向量 =(x,y),=(2,-1)。若,则=_______________‎ ‎【解题指南】由已知条件联立方程组求得向量的坐标,然后求.‎ ‎【解析】由可得,又因为为单位向量所以,联立解得或,故=.‎ ‎【答案】.‎ ‎17.(2012·新课标全国高考文科·T15)与(2012·新课标全国高考理科·T13)相同 已知向量夹角为45。 ,且,则 ‎【解题指南】将|2a-b|平方展开,将|a|、代入展开式,将展开式看作关于|b|的方程,解得|b|.‎ ‎【解析】的夹角为,,,‎ ‎,.‎ ‎【答案】.‎ 三、解答题 ‎18. (2012·山东高考理科·T17)‎ 已知向量,函数的最大值为6.(Ⅰ)求;‎ ‎(Ⅱ)将函数的图象向左平移个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数的图象.求在上的值域.‎ ‎【解题指南】(1)先利用数量积的坐标运算,再利用和差倍角公式化为的形式;(2)先利用图象变换法求出的解析式,再利用整体代入法求值域.‎ ‎【解析】(1) ‎ 所以的最大值为A,函数的最大值为6‎ 所以A=6.‎ ‎(2) 将函数的图象向左平移个单位得到的图象,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数的图象.‎ 所以在上的值域为.‎ ‎2013平面向量 一、选择题 错误!未指定书签。 .(2013年高考上海卷(理))在边长为1的正六边形ABCDEF中,记以A为起点,其余顶点为终点的向量分别为;以D为起点,其余顶点为终点的向量分别为.若分别为的最小值、最大值,其中,,则满足 (  )‎ A.B.C.D. ‎【答案】 D.‎ 错误!未指定书签。 .(2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题(WORD版))已知点 (  )‎ A.B.C.D. ‎【答案】A 21世纪教育网 错误!未指定书签。 .(2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题(纯WORD版))设是边上一定点,满足,且对于边上任一点,恒有.则 (  )‎ A.B.C.D. ‎【答案】D[21世纪教育网 错误!未指定书签。 .(2013年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题(纯WORD版))在四边形ABCD中,,,则四边形的面积为 (  )[来源:21世纪教育网]‎ A.B.C.5 D.10‎ ‎【答案】C ‎ 错误!未指定书签。 .(2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯WORD版))在平面直角坐标系中,是坐标原点,两定点满足则点集所表示的区域的面积是 (  )‎ A.B.C.D. ‎【答案】D 错误!未指定书签。 .‎ ‎(2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题(含答案))在平面上,,,.若,则的取值范围是 (  )21世纪教育网 A.B.C.D.‎ ‎【答案】D 错误!未指定书签。 .(2013年高考湖南卷(理))已知是单位向量,.若向量满足 (  )21世纪教育网 A.B. C.D. ‎【答案】A ‎ 错误!未指定书签。 .(2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD版含答案(已校对))已知向量,若,则 (  )‎ A.B.C.D.21世纪教育网 ‎【答案】B 错误!未指定书签。 .(2013年高考湖北卷(理))已知点...,则向量在方向上的投影为 (  )‎ A.B.C.D. ‎【答案】A [21世纪教育网]‎ 二、填空题21世纪教育网 错误!未指定书签。.(2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理)(纯WORD版含答案))已知正方形的边长为,为的中点,则_______.‎ ‎【答案】2 ‎ 错误!未指定书签。.(2013年上海市春季高考数学试卷(含答案))已知向量,.若,则实数 __________ ‎ ‎【答案】 错误!未指定书签。.(2013年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题(含答案))已知向量与的夹角为°,且,,若,且,‎ 则实数的值为__________.‎ ‎【答案】 错误!未指定书签。.(2013年高考新课标1(理))已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b,若b·c=0,则t=_____.21世纪教育网 ‎【答案】=.‎ 错误!未指定书签。.(2013年高考北京卷(理))向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若c=λa+μb (λ,μ∈R),则=_________.‎ ‎【答案】4 21世纪教育网 错误!未指定书签。.(2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题(纯WORD版))设为单位向量,非零向量,若的夹角为,则的最大值等于________.‎ ‎【答案】2 ‎ 错误!未指定书签。.(2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学)(已校对纯WORD版含附加题))设分别是的边上的点,,,若 (为实数),则的值为__________.‎ ‎【答案】 错误!未指定书签。.(2013年高考四川卷(理))在平行四边形中,对角线与交于点,,则_________.‎ ‎【答案】2 ‎ 错误!未指定书签。.(2013年高考江西卷(理))设,为单位向量.且,的夹角为,若,,则向量在方向上的射影为 ___________‎ ‎【答案】 错误!未指定书签。.(2013年普通高等学校招生统一考试天津数学(理)试题(含答案))在平行四边形ABCD中, AD = 1, , E为CD的中点. 若, 则AB的长为______.‎ ‎【答案】
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