2021高考数学一轮复习专练26平面向量基本定理及坐标表示含解析理新人教版

2021高考数学一轮复习专练26平面向量基本定理及坐标表示含解析理新人教版

专练26　平面向量基本定理及坐标表示 命题范围：平面向量基本定理及坐标表示，用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算，用坐标表示的平面向量共线的条件 ‎[基础强化]‎ 一、选择题 ‎1．如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是(　　)‎ A．e1与e1＋e2　　　　　B．e1－2e2与e1＋2e2‎ C．e1＋e2与e1－e2 D．e1＋3e2与6e2＋2e1‎ ‎2．已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量a－b＝(　　)‎ A．(－2，－1) B．(－2,1)‎ C．(－1,0) D．(－1,2)‎ ‎3．已知a＝(2,1)，b＝(1，x)，c(－1,1)．若(a＋b)∥(b－c)，且c＝ma＋nb，则m＋n等于(　　)‎ A. B．1‎ C．－ D．－ ‎4．[2020·海南中学高三测试]设＝(1，－2)，＝(a，－1)；＝(－b,0)，a＞0，b＞0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则＋的最小值是(　　)‎ A．2 B．4‎ C．6 D．8‎ ‎5．[2020·保定九校联考]已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若＝－‎3a，则点N的坐标为(　　)‎ A．(2,0) B．(－3,6)‎ C．(6,2) D．(－2,0)‎ ‎6．[2020·银川一中高三测试]已知向量m＝与向量n＝(3，sinA＋cosA)共线，其中A是△ABC的内角，则角A的大小为(　　)‎ A. B. C. D. ‎7．[2020·江西南昌一中高三测试]已知向量a＝(1，－2)，b＝(x,3y－5)，且a∥b，若x，y均为正数，则xy的最大值是(　　)‎ A．2 B. C. D. ‎8．设向量a＝(－3,4)，向量b与向量a方向相反，且|b|＝10，则向量b的坐标为(　　)‎ A. B．(－6,8)‎ C. D．(6，－8)‎ ‎9．如图所示，在矩形OACB中，E和F分别是边AC和BC上的点，满足AC＝3AE，BC＝3BF，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝(　　)‎ A. B. C. D．1‎ 二、填空题 ‎10．已知向量a＝(2,6)，b＝(－1，λ)，若a∥b，则λ＝________.‎ ‎11．已知＝(2，0)，＝(0,2)，＝t，t∈R，当||最小时，t＝________.‎ ‎12．已知△ABC和点M满足＋＋＝0，若存在实数m，使得＋＝m成立，则m＝________.‎ ‎[能力提升]‎ ‎13．已知在Rt△ABC中，A＝，AB＝3，AC＝4，P为BC上任意一点(含B，C)，以P为圆心，1为半径作圆，Q为圆上任意一点，设＝a＋b，则a＋b的最大值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎14．[2020·湖北武汉一中高三测试]如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为(　　)‎ A. B. C．2 D. ‎15．[2020·河北武邑中学高三测试]已知G是△ABC的重心，过点G作直线MN与AB，AC交于点M，N，且＝x，＝y(x，y＞0)，则3x＋y的最小值是(　　)‎ A. B.＋ C. D. ‎16．如图，已知平面内有三个向量、、，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．‎ 专练26　平面向量基本定理及坐标表示 ‎1．D　选项A中，设e1＋e2＝λe1，则无解；选项B中，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则无解；‎ 选项C中，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则无解；‎ 选项D中，e1＋3e2＝(6e2＋2e1)，所以两向量是共线向量，不能作为平面内所有向量的一组基底．‎ ‎2．D　a－b＝－＝(－1,2)‎ ‎3．C　∵a＋b＝(3,1＋x)，b－c＝(2，x－1)，‎ ‎∵(a＋b)∥(b－c)，∴3(x－1)＝2(x＋1)，‎ 得x＝5，∴b＝(1,5)，又c＝ma＋nb，‎ ‎∴(－1,1)＝m(2,1)＋n(1,5)‎ ‎∴得 ‎∴m＋n＝－＋＝－.‎ ‎4．D　∵＝－＝(a－1,1)，＝(a＋b，－1)，‎ ‎∵A，B，C三点共线，‎ ‎∴(a－1)×(－1)＝1×(a＋b)，∴‎2a＋b＝1，‎ 又a＞0，b＞0，‎ ‎∴＋＝(‎2a＋b)＝4＋＋≥4＋2＝8(当且仅当＝即a＝，b＝时等号成立)‎ ‎5．A　设点N的坐标为(x，y)，则＝(x－5，y＋6)‎ 又＝－‎3a＝(－3,6)，‎ ‎∴得 ‎6．C　∵m∥n，∴sinA(sinA＋cosA)－＝0，‎ ‎∴2sin‎2A＋2sinAcosA＝3.‎ 可化为1－cos‎2A＋sin‎2A＝3，‎ ‎∴sin＝1.‎ ‎∵A∈(0，π)，‎ ‎∴∈.‎ 因此‎2A－＝，解得A＝.故选C.‎ ‎7．C　∵a∥b，∴3y－5＝－2x，∴2x＋3y＝5，‎ 又x，y均为正数，∴5＝2x＋3y≥2＝2，(当且仅当2x＝3y，即：x＝，y＝时等号成立)，‎ ‎∴xy≤，故选C.‎ ‎8．D　由题意不妨设b＝(－‎3m,‎4m)(m<0)，则|b|＝＝10，解得m＝－2或m＝2(舍去)，所以b＝(6，－8)，故选D.‎ ‎9．B　设＝a，＝b，‎ 则＝＋＝a＋b，‎ ＝＋＝b＋a，‎ ‎∴＋＝(a＋b)＝，‎ ‎∴＝＋.又＝λ＋μ，‎ ‎∴λ＝μ＝，∴λ＋μ＝＋＝.‎ ‎10．－3‎ 解析：∵a∥b，∴2λ＝－6，λ＝－3.‎ ‎11. 解析：依题意得－＝t(－2，2)，＝t(－2，2)＋＝(2－2t,2t)，||2＝12(1－t)2＋4t2＝162＋3≥3，当且仅当t＝时取等号．因此，当||最小时，t＝.‎ ‎12．3‎ 解析：∵＋＋＝0，∴M为△ABC的重心，设D为BC边的中点，‎ 则＝(＋)×＝(＋)，‎ ‎∴＋＝3，∴m＝3.‎ ‎13．C　‎ 根据题设条件建立如图所示的平面直角坐标系，则C(0,4)，B(3,0)，易知点Q运动的区域为图中的两条线段DE，GF与两个半圆围成的区域(含边界)，由＝a＋b＝(‎3a,4b)，设z＝a＋b，则b＝z－a，所以＝(‎3a,4z－‎4a)．设Q(x，y)，所以消去a，得y＝－x＋4z，则当点P运动时，直线y＝－x＋4z与圆相切时，直线的纵截距最大，即z取得最大值，不妨作AQ⊥BC于Q，并延长交每个圆的公切线于点R，则|AQ|＝，|AR|＝，所以点A到直线y＝－x＋4z，即4x＋3y－12z＝0的距离为，所以＝，解得z＝，即a＋b的最大值为，故选C.‎ ‎14．B　‎ 建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0,0)．‎ 不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，所以C(2,0)，A(0,2)，B(1,2)，E(0,1)，∴＝(－2,2)，＝(－2,1)，＝(1,2)，‎ ‎∵＝λ＋μ，‎ ‎∴(－2,2)＝λ(－2,1)＋μ(1,2)，‎ ‎∴解得λ＝，μ＝，则λ＋μ＝.故选B.‎ ‎15．B　‎ 设BC的中点为D，则＝＝＋＝＋，‎ ‎∵M，G，N三点共线，‎ ‎∴＋＝1.‎ 又x＞0，y＞0，‎ ‎∴3x＋y＝(3x＋y)＝＋＋≥＋2＝＋.‎ 当且仅当＝，即x＝＋时取等号，‎ ‎∴3x＋y的最小值是＋.故选B.‎ ‎16．6‎ 解析：解法一：如图，作平行四边形OB1CA1，则＝＋，因为与的夹角为120°，与的夹角为30°，所以∠B1OC＝90°.‎ 在Rt△OB‎1C中，∠OCB1＝30°，|OC|＝2，‎ 所以|OB1|＝2，|B‎1C|＝4，‎ 所以|OA1|＝|B‎1C|＝4，所以＝4＋2，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.‎ 解法二：以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(1,0)，‎ B，C(3，)．‎ 由＝λ＋μ，‎ 得解得 所以λ＋μ＝6.‎