高考圆锥曲线难题集粹

高考圆锥曲线难题集粹

高考数学圆锥曲线训练 ‎1.已知的顶点在椭圆上，在直线上，且．‎ ‎（Ⅰ）当边通过坐标原点时，求的长及的面积；‎ ‎（Ⅱ）当，且斜边的长最大时，求所在直线的方程．‎ 解：（Ⅰ）因为，且边通过点，所以所在直线的方程为．‎ 设两点坐标分别为．由得．‎ 所以．‎ 又因为边上的高等于原点到直线的距离．所以，．‎ ‎（Ⅱ）设所在直线的方程为，‎ 由得．‎ 因为在椭圆上，所以．‎ 设两点坐标分别为，则，，‎ 所以．‎ 又因为的长等于点到直线的距离，即．‎ 所以．‎ 所以当时，边最长，（这时）‎ 此时所在直线的方程为．‎ ‎2.如图，椭圆：的一个焦点为F（1，0），且过点．‎ y x A B M F N l O ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若为垂直于轴的动弦，直线：与轴交 于点，直线与交于点．‎ ‎（ⅰ）求证：点恒在椭圆上；‎ ‎（ⅱ）求面积的最大值．‎ ‎（Ⅰ）由题设，，从而．所以椭圆的方程为．‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）由题意得，，‎ 设，则，．……①‎ 与的方程分别为：， ．‎ 设，则有 由②，③得 y x A B M F N O ‎，．‎ 由于 ‎．所以点恒在椭圆上．‎ ‎（ⅱ）设的方程为，代入得．‎ 设，，则有：，．‎ y x A B M F N O ‎．‎ 令，则 ‎，‎ 因为，，所以当，即，时，‎ 有最大值，此时过点．‎ 的面积有最大值．‎ ‎3.设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)、B(0,1)是它的两个顶点，直线y=kx(k>0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点.‎ ‎(Ⅰ)若=6，求k的值；Ⅱ)求四边形AEBF面积的最大值。‎ ‎22．（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为，‎ 直线的方程分别为，． 2分 如图，设，其中，‎ D F B y x A O E 且满足方程，‎ 故．①‎ 由知，得；‎ 由在上知，得．‎ 所以，‎ 化简得，‎ 解得或． 6分 ‎（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为，‎ ‎． 9分 又，所以四边形的面积为 当，即当时，上式取等号．所以的最大值为． 12分 解法二：由题设，，．‎ 设，，由①得，，‎ 故四边形的面积为 ‎ 9分 当时，上式取等号．所以的最大值为． 12分 ‎4.已知曲线所围成的封闭图形的面积为，曲线的内切圆半径为．记为以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设是过椭圆中心的任意弦，是线段的垂直平分线．是上异于椭圆中心的点．‎ ‎（1）若（为坐标原点），当点在椭圆上运动时，求点的轨迹方程；‎ ‎（2）若是与椭圆的交点，求的面积的最小值．‎ 22．解：（Ⅰ）由题意得 又，‎ 解得，．‎ 因此所求椭圆的标准方程为．‎ ‎（Ⅱ）（1）假设所在的直线斜率存在且不为零，设所在直线方程为，‎ ‎．‎ 解方程组得，，‎ 所以．‎ 设，由题意知，‎ 所以，即，‎ 因为是的垂直平分线，‎ 所以直线的方程为，即，‎ 因此，‎ 又，‎ 所以，‎ 故．‎ 又当或不存在时，上式仍然成立．‎ 综上所述，的轨迹方程为．‎ ‎（2）当存在且时，由（1）得，，‎ 由解得，，‎ 所以，，．‎ 解法一：由于 ‎，‎ 当且仅当时等号成立，即时等号成立，此时面积的最小值是．‎ 当，．‎ 当不存在时，．‎ 综上所述，的面积的最小值为．‎ 解法二：因为，‎ 又，，‎ 当且仅当时等号成立，即时等号成立，‎ 此时面积的最小值是．‎ 当，．‎ 当不存在时，．‎ 综上所述，的面积的最小值为．‎ ‎ ‎ ‎5.已知抛物线：，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点．‎ ‎（Ⅰ）证明：抛物线在点处的切线与平行；‎ ‎（Ⅱ）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由．‎ 解法一：（Ⅰ）如图，设，，把代入得，‎ x A y ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ M N B O 由韦达定理得，，‎ ‎，点的坐标为．‎ 设抛物线在点处的切线的方程为，‎ 将代入上式得，‎ 直线与抛物线相切，‎ ‎，．即．‎ ‎（Ⅱ）假设存在实数，使，则，又是的中点，‎ ‎．由（Ⅰ）知 ‎．‎ 轴，．‎ 又 ‎ ．‎ ‎，解得．‎ 即存在，使．‎ 解法二：（Ⅰ）如图，设，把代入得 ‎．由韦达定理得．‎ ‎，点的坐标为．，，‎ 抛物线在点处的切线的斜率为，．‎ ‎（Ⅱ）假设存在实数，使．‎ 由（Ⅰ）知，则 ‎，‎ ‎，，解得．‎ 即存在，使．‎ ‎6.抛物线和三个点，过点的一条直线交抛物线于、两点，的延长线分别交曲线于．‎ ‎（1）证明三点共线；‎ ‎（2）如果、、、四点共线，问：是否存在，使以线段为直径的圆与抛物线有异于、的交点？如果存在，求出的取值范围，并求出该交点到直线的距离；若不存在，请说明理由．‎ ‎22．（1）证明：设，‎ 则直线的方程： ‎ 即：‎ 因在上，所以① ‎ 又直线方程：‎ 由得：‎ 所以 ‎ 同理，‎ 所以直线的方程： ‎ 令得 将①代入上式得，即点在直线上 所以三点共线 ‎ ‎（2）解：由已知共线，所以 ‎ 以为直径的圆的方程：‎ 由得 所以（舍去）， ‎ 要使圆与抛物线有异于的交点，则 所以存在，使以为直径的圆与抛物线有异于的交点 ‎ 则，所以交点到的距离为 ‎ ‎7.如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为点在边所在直线上．‎ ‎（I）求边所在直线的方程；‎ ‎（II）求矩形外接圆的方程；‎ ‎（III）若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程．‎ 解：（I）因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线的斜率为．‎ 又因为点在直线上，‎ 所以边所在直线的方程为．即．‎ ‎（II）由解得点的坐标为，‎ 因为矩形两条对角线的交点为．‎ 所以为矩形外接圆的圆心．‎ 又．‎ 从而矩形外接圆的方程为．‎ ‎（III）因为动圆过点，所以是该圆的半径，又因为动圆与圆外切，‎ 所以，‎ 即．‎ 故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支．‎ 因为实半轴长，半焦距．‎ 所以虚半轴长．‎ 从而动圆的圆心的轨迹方程为．‎ O y x ‎1‎ l F ‎8.如图，已知，直线，为平面上的动点，过点作的垂线，垂足为点，且．‎ ‎（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点的直线交轨迹于两点，交直线于点．‎ ‎（1）已知，，求的值；‎ ‎（2）求的最小值．‎ 解法一：（Ⅰ）设点，则，由得：‎ ‎，化简得．‎ ‎（Ⅱ）（1）设直线的方程为：．‎ 设，，又，‎ P B Q M F O A x y 联立方程组，消去得：，，‎ 由，得： ‎ ‎，，整理得：‎ ‎，，‎ ‎．‎ 解法二：（Ⅰ）由得：，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 所以点的轨迹是抛物线，由题意，轨迹的方程为：．‎ ‎（Ⅱ）（1）由已知，，得．‎ 则：．…………①‎ 过点分别作准线的垂线，垂足分别为，，‎ 则有：．…………②‎ 由①②得：，即．‎ ‎（Ⅱ）（2）解：由解法一，‎ ‎．‎ 当且仅当，即时等号成立，所以最小值为．‎ ‎9.已知椭圆C:=1(a＞b＞0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的方程;‎ ‎(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值.‎ 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，依题意，所求椭圆方程为．‎ ‎（Ⅱ）设，．‎ ‎（1）当轴时，．‎ ‎（2）当与轴不垂直时，设直线的方程为．‎ 由已知，得．‎ 把代入椭圆方程，整理得，‎ ‎，．‎ ‎．‎ 当且仅当，即时等号成立．‎ 当时，， 综上所述．‎ 当最大时，面积取最大值．‎ ‎07天津（22）（本小题满分14分）‎ 设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为．‎ ‎（Ⅰ）证明；（Ⅱ）求使得下述命题成立：设圆上任意点处的切线交椭圆于，两点，则．‎ ‎（Ⅰ）证法一：由题设及，，不妨设点，其中 ‎，由于点在椭圆上，有，，‎ 解得，从而得到，‎ 直线的方程为，整理得 ‎．‎ 由题设，原点到直线的距离为，即，‎ 将代入原式并化简得，即．‎ 证法二：同证法一，得到点的坐标为，‎ 过点作，垂足为，易知，故 由椭圆定义得，又，所以 ‎，‎ 解得，而，得，即．‎ ‎（Ⅱ）解法一：圆上的任意点处的切线方程为．‎ 当时，圆上的任意点都在椭圆内，故此圆在点处的切线必交椭圆于两个不同的点和，因此点，的坐标是方程组 的解．当时，由①式得 代入②式，得，即 ‎，‎ 于是，‎ ‎．‎ 若，则．‎ 所以，．‎ 由，得．在区间内此方程的解为．‎ 当时，必有，同理求得在区间内的解为．‎ 另一方面，当时，可推出，从而．‎ 综上所述，使得所述命题成立．‎ ‎10.设、分别是椭圆的左、右焦点．‎ ‎（Ⅰ）若是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点的作标；‎ ‎（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于同的两点、，且为锐角（其中为作标原点），求直线的斜率的取值范围．‎ ‎（Ⅰ），，．∴，．设．则 ‎，又，‎ 联立，解得，．‎ ‎（Ⅱ）显然不满足题设条件．可设的方程为，设，．‎ 联立 ‎∴，‎ 由 ‎，，得．①‎ 又为锐角，∴‎ 又 ‎∴‎ ‎ ∴．②‎ 综①②可知，∴的取值范围是．‎ ‎11.在平面直角坐标系中，过定点作直线与抛物线（）相交于两点．‎ ‎（I）若点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值；‎ ‎（II）是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．‎ A B x y N C O 解法1：（Ⅰ）依题意，点的坐标为，可设，‎ N O A C B y x 直线的方程为，与联立得消去得．‎ 由韦达定理得，．‎ 于是．‎ ‎，‎ 当，．‎ ‎（Ⅱ）假设满足条件的直线存在，其方程为，‎ 设的中点为，与为直径的圆相交于点，的中点为，‎ N O A C B y x l 则，点的坐标为．‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，‎ 解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得 ‎，‎ 又由点到直线的距离公式得．‎ 从而，‎ 当时，．‎ ‎（Ⅱ）假设满足条件的直线存在，其方程为，则以为直径的圆的方程为，‎ 将直线方程代入得，‎ 则．‎ 设直线与以为直径的圆的交点为，‎ 则有．‎ 令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，‎ ‎12.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于B，D两点，过的直线交椭圆于A，C两点，且，垂足为P．‎ ‎（Ⅰ）设P点的坐标为，证明：；（Ⅱ）求四边形ABCD面积最小值．‎ ‎22．证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距，‎ 由知点在以线段为直径的圆上，故，‎ 所以，．‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得．‎ 设，，则 ‎，，‎ ‎；‎ 因为与相交于点，且的斜率为．‎ 所以，．四边形的面积 ‎．‎ 当时，上式取等号．‎ ‎（ⅱ）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积．‎ 综上，四边形的面积的最小值为．‎