高考数学一轮复习专题9_9圆锥曲线的综合问题练

高考数学一轮复习专题9_9圆锥曲线的综合问题练

第九节 圆锥曲线的综合问题 A 基础巩固训练 1.【2018 届辽宁省庄河市高级中学高三上学期开学】设椭圆 E ： 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的右顶点为 A ， 右焦点为 F ， B 为椭圆在第二象限内的点，直线 BO 交椭圆于点C ， O 为原点，若直线 BF 平分线段 AC ，则椭圆的离心率为（ ） A. 1 2 B. 1 3 C. 1 4 D. 1 5 【答案】B 【解析】 2．【2018 届河南省中原名校高三上第一次联考】已知抛物线 C： ＝4x，过抛物线 C 焦点 F 的直线 l 交抛 物线 C 于 A、B 两点（点 A 在第一象限），且交抛物线 C 的准线于点 E．若 ＝2 ，则直线 l 的斜率为 A. 3 B. 2 C. D. 1 【答案】B 【解析】分别过 A 和 D 两点做 AD、BC 垂直于准线，交准线于 D、C 两点垂足分别为 D，C， 设 ， ，由抛物线的定义可知： ， ， 由 ＝2 ，则 B 为 AE 的中点， 则 =2 ，即 在 中， ， ，∴ n tan∠CBE= = ， 直线 l 的斜率 k=tan∠AFx=tan∠CBE= ， 故选：B． 3.【2018 届云南省昆明一中高三第二次月考】已知点  3,0A  ，  3,0B ，动点 P 满足 2PA PB ， 则点 P 的轨迹为（ ） A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线 【答案】B 4．【2018 届甘肃省兰州第一中学高三 9 月月考】设点 P 是椭圆 2 2 2 2 1x y a b   （ 0a b  ）上一点，F1， F2 分别是椭圆的左、右焦点，I 为△PF1F2 的内心，若 S△IPF1＋S△IPF2＝2S△IF1F2，则该椭圆的离心率是 A. 1 2 B. 2 2 C. 3 2 D. 1 4 【答案】A 【解析】设  P 1 2F F 的内切圆半径为 r,则由 1IPFS + 2IPFS =2 1 2IF FS 得 1 2 1 2 1 1 122 2 2PF r PF r F F r      即 P 1F +P 2F =2 1 2F F 即 2 2 2a c  椭圆的离心率 1 2 ce a   故选 A 5.【2018 届云南省名校月考（一）】已知 F 是抛物线 2: 8C y x 的焦点， l 是C 的准线， P 是C 上一 点，点 M 在l 上，若 4FM FP  ，则直线 FP 的方程为（ ） A .  15 2y x   B.  2 2 2y x   C.  3 2y x   D.  2 3 2y x   【答案】B B 能力提升训练 1．【2017 届江西省抚州市临川区第一中学高三 4 月模拟】已知 B 、C 为单位圆上不重合的两个定点， A 为此单位圆上的动点，若点 P 满足 AP PB PC    ，则点 P 的轨迹为（ ） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆 【答案】D 【解析】设  ,P x y ，  cos ,sinA   ，  1 1,B x y ，  2 2,C x y ，设单位圆圆心为O ，则根据 AP PB PC    可有： 0PA PB PC      ，所以点 P 为 ABC 的重心，根据重心坐标公式有 1 2 1 2 cos 3{ sin 3 x xx y yy       ，整理得 2 2 1 2 1 2 1 3 3 9 x x y yx y              ，所以点 P 的轨迹为圆，故选择 D. 2.【2017 届浙江省嘉兴市第一中学高三适应性考试】已知 , ,A B C 是抛物线 2 4y x 上不同的三点，且 AB ∥ y 轴， 90ACB   ，点C 在 AB 边上的射影为 D ，则 AD BD  （ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】设    2 24 ,4 , 4 , 4A t t B t t ，  24 ,4C m m ，因为 90ACB   ，所以    22 2 2 216 16 0t m t m    ，因此 2 2 1m t   ，因为 2 24 4CD t m   且在 Rt ABC 中， 2AD BD CD  ，所以 16AD BD  ． 3.【2017 届辽宁省沈阳市东北育才学校高三第八次模拟】平面直角坐标系中，已知O 为坐标原点，点 A 、 B 的坐标分别为 (1,1) 、 3,3 . 若动点 P 满足OP OA OB     ，其中  、 R  ，且 1   ， 则点 P 的轨迹方程为（ ） A. 0x y  B. 0x y  C. 2 3 0x y   D.    2 21 2 5x y    【答案】C 4.【2017 届山西省临汾市高三考前训练（三）】已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的左、右顶点分别为 ,A B ，点 ,M N 是椭圆C 上关于长轴对称的两点，若直线 AM 与 BN 相交于点 P ，则点 P 的轨迹方程 是 （ ） A.  0x a y   B.   2 2 0y b x a y   C.  2 2 2 2 0x y a b y    D.   2 2 2 2 1 0x y ya b    【答案】D 【解析】解：设点    cos , sin , cos , sinM a b N a b    ，且    ,0 , ,0A a B a ，则： 直线 AM 的方程为：  0 sinsin coscos by b x aa a       ， 直线 BN 的方程为：  0 sinsin coscos by b x aa a      ， 消去参数 可得点 P 的轨迹方程是   2 2 2 2 1 0x y ya b    . 本题选择 D 选项. 5【2017 届浙江省嘉兴一中、杭州高级中学、宁波效实中学等高三下学期五校联考】已知双曲线 2 2 1yx m   的焦点为 F1、F2，渐近线为 l1，l2，过点 F2 且与 l1 平行的直线交 l2 于 M，若 1 2 0F M F M   ，则 m 的值为 （ ） A. 1 B. 3 C. 2 D. 3 【答案】D C 思维扩展训练 1.【2017 届浙江省杭州高级中学高三 2 月高考模拟】如图，点 P 在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的表面上 运动，且 P 到直线 BC 与直线 1 1C D 的距离相等，如果将正方体在平面内展开，那么动点 P 的轨迹在展 开图中的形状是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 故排除 C，D， 同理可得， 在平面 ABB1A1 上， 点 P 到点 B 的距离与到直线 C1D1 的距离相等， 从而排除 A， 本题选择 B 选项. 2．【2017 届江苏省如皋市高三下学期联考（二）】动直线 与函数 的图像交于 A、 B 两点，点 是平面上的动点，满足 ，则 的取值范围为____． 【答案】 |PA+PB|=|−2m−2ni|=2， |m+ni|=1， 即 m2+n2=1 是一个圆,即 P 的轨迹是以(3,4)为圆心的单位圆， ∴x2+y2 的取值范围为[16,36]， 故答案为[16,36]. 3.【2018 届安徽省巢湖一中、合肥八中、淮南二中等高中十校联盟高三联考】已知椭圆 的离心率为 ，长轴的一个顶点为 ，短轴的一个顶点为 ， 为坐标原点，且 . （Ⅰ）求椭圆 的标准方程； （Ⅱ）直线 与椭圆 交于 两点，且直线 不经过点 .记直线 的斜率分别为 ，试探究 是否为定值.若是，请求出该定值，若不是，请说明理由. 【答案】(1) ;(2) 为定值，该定值为 0. 【解析】试题分析：(1)布列方程组求椭圆的标准方程;(2)联立方程，利用维达定理表示 ，即可得 到定值.. 试题解析： （Ⅰ）由题意知， ，解得 ， 故椭圆 的方程为 （Ⅱ）结论： ，证明如下： 设 ， 联立 ，得 ， ，解得 ， . ， . 综上所述， 为定值，该定值为 0. 4.【2018 届广东省汕头市金山中学高三上学期期中】在平面直角坐标系 xoy 中，设点 F (1，0)，直线l : 1x   ，点 P 在直线l 上移动， R 是线段 PF 与 y 轴的交点, 异于点 R 的点 Q 满足： RQ FP ， PQ l . （1）求动点Q 的轨迹的方程； （2） 记Q 的轨迹的方程为 E ，过点 F 作两条互相垂直的曲线 E 的弦 AB . CD ，设 AB . CD 的中点分别为 M N， ． 问直线 MN 是否经过某个定点？如果是，求出该定点， 如果不是，说明理由． 【答案】(Ⅰ) 2 4 ( 0)y x x  ；(Ⅱ)以直线 MN 恒过定点 R  3,0 ． 试题解析：(Ⅰ)依题意知，直线l 的方程为： 1x   ．点 R 是线段 FP 的中点， 且 RQ ⊥ FP ，∴ RQ 是线段 FP 的垂直平分线． ∴ PQ 是点 Q 到直线l 的距离． ∵点Q 在线段 FP 的垂直平分线，∴ PQ QF ． 故动点Q 的轨迹 E 是以 F 为焦点， l 为准线的抛物线， 其方程为： 2 4 ( 0)y x x  ． (Ⅱ) 设    , , ,A A B BA x y B x y ，    , ,M M N NM x y N x y， ， 由 AB⊥CD，且 AB、CD 与抛物线均有两个不同的交点，故直线 AB、CD 斜率均存在，设直线 AB 的方程为  1y k x  则     2 2 4 1{ 4 2 A A B B y x y x   （1）—（2）得 4 A By y k   ，即 2 My k  ， 代入方程  1y k x  ，解得 2 2 1Mx k   ．所以点Ｍ的坐标为 2 2 21,k k     ． 同理可得： N 的坐标为 22 1, 2k k  ． 直线 MN 的斜率为 21 M N MN M N y y kk x x k    ，方程为  2 22 2 11 ky k x kk     ，整理得    21 3y k k x   ， 显然，不论 k 为何值，  3,0 均满足方程，所以直线 MN 恒过定点 R  3,0 ． 5．【2018 届云南省师范大学附属中学高三月考二】已知点 为圆 上一动点， 轴于点 ， 若动点 满足 （其中 为非零常数） （1）求动点 的轨迹方程； （2）当 时，得到动点 的轨迹为曲线 ，斜率为 1 的直线 与曲线 相交于 ， 两点，求 面 积的最大值. 【答案】（1） （2） 试题解析：解：（Ⅰ）设动点 ，则 ，且 ，① 又 ，得 ， 代入①得动点 的轨迹方程为 ． （Ⅱ）当 时，动点 的轨迹曲线 为 ． 设直线 的方程为 ，代入 中， 得 ， 由 ，∴ ， 设 ， ， ∵点 到直线 的距离 ， ， ， 当且仅当 ，即 时取到最大值． ∴ 面积的最大值为 ．