上海市虹口区高考数学二模试卷文科解析版

上海市虹口区高考数学二模试卷文科解析版

‎2016年上海市虹口区高考数学二模试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.‎ ‎1．设集合M={x|x2=x}，N={x|log2x≤0}，则M∪N=　　　　　　．‎ ‎2．已知虚数1+2i是方程x2+ax+b=0（a，b∈R）的一个根，则a+b=　　　　　　．‎ ‎3．在报名的5名男生和4名女生中，选取5人参加志愿者服务，要求男生、女生都有，则不同的选取方法的种数为　　　　　　（结果用数值表示）‎ ‎4．已知复数z在复平面内对应的点在曲线y=上运动，则|z|的最小值为　　　　　　．‎ ‎5．已知函数f（x）的对应关系如表：‎ x ‎﹣2‎ ‎﹣1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ f（x）‎ ‎3‎ ‎﹣2‎ ‎1‎ ‎5‎ m 若函数f（x）不存在反函数，则实数m的取值集合为　　　　　　．‎ ‎6．在正项等比数列{an}中，a1a3=1，a2+a3=，则（a1+a2+…+an）=　　　　　　．‎ ‎7．已知f（x）=2sinωx（ω＞0）在[0，]单调递增，则实数ω的最大值为　　　　　　．‎ ‎8．若行列式中的元素4的代数余子式的值等于，则实数x的取值集合为　　　　　　．‎ ‎9．二项式（2x﹣）n展开式中的第5项为常数项，则展开式中各项的二项式系数之和为　　　　　　．‎ ‎10．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，则球O的表面积为　　　　　　．‎ ‎11．如图，A，B为椭圆+=1（a＞b＞0）的两个顶点，过椭圆的右焦点F作x轴的垂线，与其交于点C，若AB∥OC（O为坐标原点），则直线AB的斜率为　　　　　　．‎ ‎12．若经过抛物线y2=4x焦点的直线l与圆（x﹣4）2+y2=4相切，则直线l的方程为　　　　　　．‎ ‎13．设函数f（x）=（其中a＞0，a≠1），若不等式f（x）≤3的解集为（﹣∞，3]，则实数a的取值范围为　　　　　　．‎ ‎14．在直角坐标平面，已知两定点A（1，0）、B（1，1）和一动点M（x，y）满足，则点P（x+y，x﹣y）构成的区域的面积为　　　　　　．‎ ‎　‎ 二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得5分，否则一律零分.‎ ‎15．“a=3“是“直线（a2﹣2a）x+y=0和直线3x+y+1=0平行”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎16．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）‎ A．3π B．4π C．3π+4 D．2π+4‎ ‎17．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若S△ABC=（其中S△ABC表示△ABC的面积），且（+）•=0，则△ABC的形状是（　　）‎ A．有一个角是30°的等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 ‎18．已知抛物线y=x2﹣7上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于（　　）‎ A．5 B． C．6 D．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.‎ ‎19．在锐角△ABC中，sinA=sin2B+sin（+B）sin（﹣B）．‎ ‎（1）求角A的值；‎ ‎（2）若=12，求△ABC的面积．‎ ‎20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，AB=AD=AP=2，BC=1．求：‎ ‎（1）异面直线PC与AD所成角的大小；‎ ‎（2）四棱锥P﹣ABCD的体积与侧面积．‎ ‎21．已知函数f（x）=log（）满足f（﹣2）=1，其中a为实常数．‎ ‎（1）求a的值，并判定函数f（x）的奇偶性；‎ ‎（2）若不等式f（x）＞（）x+t在x∈[2，3]上恒成立，求实数t的取值范围．‎ ‎22．已知直线y=2x是双曲线C：﹣=1的一条渐近线，点A（1，0），M（m，n）（n≠0）都在双曲线C上，直线AM与y轴相交于点P，设坐标原点为O．‎ ‎（1）求双曲线C的方程，并求出点P的坐标（用m，n表示）；‎ ‎（2）设点M关于y轴的对称点为N，直线AN与y轴相交于点Q，问：在x轴上是否存在定点T，使得TP⊥TQ？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎（3）若过点D（0，2）的直线l与双曲线C交于R，S两点，且|+|=||，试求直线l的方程．‎ ‎23．已知数列{an}的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列．设数列{an}的前n项和为Sn，且满足a4=S3，a9=a3+a4．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若akak+1=ak+2，求正整数k的值；‎ ‎（3）是否存在正整数k，使得恰好为数列{an}的一项？若存在，求出所有满足条件的正整数k；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016年上海市虹口区高考数学二模试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.‎ ‎1．设集合M={x|x2=x}，N={x|log2x≤0}，则M∪N=　[0，1]　．‎ ‎【考点】并集及其运算．‎ ‎【分析】求出M中方程的解确定出M，求出N中不等式的解集确定出N，找出两集合的并集即可．‎ ‎【解答】解：由M中方程变形得：x（x﹣1）=0，‎ 解得：x=0或x=1，即M={0，1}，‎ 由N中不等式变形得：log2x≤0=log21，即0＜x≤1，‎ ‎∴N=（0，1]，‎ 则M∪N=[0，1]，‎ 故答案为：[0，1]‎ ‎　‎ ‎2．已知虚数1+2i是方程x2+ax+b=0（a，b∈R）的一个根，则a+b=　3　．‎ ‎【考点】复数代数形式的混合运算．‎ ‎【分析】根据实系数的一元二次方程x2+ax+b=0的两个虚数根互为共轭复数，再利用根与系数的关系，即可求出a、b的值．‎ ‎【解答】解：虚数1+2i是方程x2+ax+b=0的一个根，‎ ‎∴共轭虚数1﹣2i也是此方程的一个根，‎ ‎∴a=﹣（x1+x2）=﹣（1+2i+1﹣2i）=﹣2；‎ b=x1x2=（1+2i）（1﹣2i）=5；‎ ‎∴a+b=﹣2+5=3．‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ ‎3．在报名的5名男生和4名女生中，选取5人参加志愿者服务，要求男生、女生都有，则不同的选取方法的种数为　125　（结果用数值表示）‎ ‎【考点】计数原理的应用．‎ ‎【分析】根据题意，运用排除法分析，先在9名中选取5人，参加志愿者服务，由组合数公式可得其选法数目，再排除其中只有男生的情况，即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，报名的5名男生和4名女生，共9名学生，‎ 在9名中选取5人，参加志愿者服务，有C95=126种；‎ 其中只有男生C55=1种情况；‎ 则男、女生都有的选取方式的种数为126﹣1=125种；‎ 故答案为：125．‎ ‎　‎ ‎4．已知复数z在复平面内对应的点在曲线y=上运动，则|z|的最小值为　2　．‎ ‎【考点】复数求模．‎ ‎【分析】设z=x+i（x∈R，x≠0），利用复数模的计算公式、基本不等式的性质即可得出．‎ ‎【解答】解：设z=x+i（x∈R，x≠0），‎ 则|z|=≥=2，当且仅当x=时取等号，‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎5．已知函数f（x）的对应关系如表：‎ x ‎﹣2‎ ‎﹣1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ f（x）‎ ‎3‎ ‎﹣2‎ ‎1‎ ‎5‎ m 若函数f（x）不存在反函数，则实数m的取值集合为　{﹣2，1，3，5}　．‎ ‎【考点】反函数．‎ ‎【分析】由已知可得：f（﹣2）=3，f（﹣1）=﹣2，f（0）=1，f（1）=5，f（2）=m，利用反函数的定义及其性质即可得出．‎ ‎【解答】解：由已知可得：f（﹣2）=3，f（﹣1）=﹣2，f（0）=1，f（1）=5，f（2）=m，‎ ‎∵函数f（x）不存在反函数，‎ 则m的值只可以为：﹣2，1，3，5，否则存在反函数．‎ ‎∴实数m的取值集合为{﹣2，1，3，5}．‎ 故答案为：{﹣2，1，3，5}．‎ ‎　‎ ‎6．在正项等比数列{an}中，a1a3=1，a2+a3=，则（a1+a2+…+an）=　　．‎ ‎【考点】等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】利用等比数列的通项公式、等比数列前n项和的极限性质即可得出．‎ ‎【解答】解：设正项等比数列{an}的公比为q＞0，∵a1a3=1，a2+a3=，‎ ‎∴=1， =．‎ 解得a1=3，q=．‎ 则（a1+a2+…+an）===．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎7．已知f（x）=2sinωx（ω＞0）在[0，]单调递增，则实数ω的最大值为　　．‎ ‎【考点】正弦函数的图象．‎ ‎【分析】由条件利用正弦函数的单调性可得ω•≤，由此求得实数ω的最大值．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=2sinωx（ω＞0）在[0，]单调递增，∴ω•≤，‎ 求得ω≤，则实数ω的最大值为，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎8．若行列式中的元素4的代数余子式的值等于，则实数x的取值集合为　　．‎ ‎【考点】三阶矩阵．‎ ‎【分析】根据余子式的定义求出元素4的代数余子式的表达式，列出关于x的方程化简，利用余弦函数的性质求出实数x的取值集合．‎ ‎【解答】解：由题意得，f（x）=‎ ‎=cos（π+x）×1﹣2×（﹣1）=﹣cosx+2=，‎ 解得cosx=，则，‎ 所以实数x的取值集合是，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎9．二项式（2x﹣）n展开式中的第5项为常数项，则展开式中各项的二项式系数之和为　64　．‎ ‎【考点】二项式系数的性质．‎ ‎【分析】T5==2n﹣4xn﹣6，令n﹣6=0，解得n．再利用展开式中各项的二项式系数之和为2n，即可得出．‎ ‎【解答】解：T5==2n﹣4xn﹣6，‎ 令n﹣6=0，解得n=6．‎ ‎∴展开式中各项的二项式系数之和为26=64．‎ 故答案为：64．‎ ‎　‎ ‎10．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，则球O的表面积为　64π　．‎ ‎【考点】球的体积和表面积．‎ ‎【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，求出半径，即可求出球O的表面积．‎ ‎【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时VO﹣ABC=VC﹣AOB===，‎ 故R=4，则球O的表面积为4πR2=64π，‎ 故答案为：64π．‎ ‎　‎ ‎11．如图，A，B为椭圆+=1（a＞b＞0）的两个顶点，过椭圆的右焦点F作x轴的垂线，与其交于点C，若AB∥OC（O为坐标原点），则直线AB的斜率为　　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由已知得C（c，），A（﹣a，0），B（0，b），从而得到，即b=c，由此能求出直线AB的斜率．‎ ‎【解答】解：∵A，B为椭圆+=1（a＞b＞0）的两个顶点，‎ 过椭圆的右焦点F作x轴的垂线，与其交于点C，AB∥OC（O为坐标原点），‎ ‎∴C（c，），A（﹣a，0），B（0，b），‎ ‎∴，∴bc=b2，∴b=c，‎ ‎∴a2=b2+c2=2c2，‎ ‎∴a==，‎ ‎∴直线AB的斜率k==．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎12．若经过抛物线y2=4x焦点的直线l与圆（x﹣4）2+y2=4相切，则直线l的方程为　y=±　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】求出抛物线的焦点坐标，设出l的点斜式方程，利用切线的性质列方程解出k．‎ ‎【解答】解：抛物线的焦点为F（1，0），设直线l的方程为y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0，‎ ‎∵直线l与圆（x﹣4）2+y2=4相切，‎ ‎∴=2，解得k=±．‎ ‎∴直线l的方程为：y=±（x﹣1）．‎ 故答案为：y=±（x﹣1）．‎ ‎　‎ ‎13．设函数f（x）=（其中a＞0，a≠1），若不等式f（x）≤3的解集为（﹣∞，3]，则实数a的取值范围为　（1，3]　．‎ ‎【考点】指、对数不等式的解法．‎ ‎【分析】利用分段函数，结合指数函数的单调性，推出不等式，求解即可得到答案．‎ ‎【解答】解：a＞0，且a≠1，设函数f（x）=，若不等式f（x）≤3的解集是（﹣∞，3]，‎ 当x≥1时，|x2﹣2x|≤3，可得﹣3≤x2﹣2x≤3，解得1≤x≤3；‎ 当x＜1，即x∈（﹣∞，1）时，ax≤3，不等式恒成立可得1＜a≤3．‎ 综上可得1＜a≤3．‎ ‎∴实数a的取值范围为：（1，3]．‎ 故答案为：（1，3]．‎ ‎　‎ ‎14．在直角坐标平面，已知两定点A（1，0）、B（1，1）和一动点M（x，y）满足，则点P（x+y，x﹣y）构成的区域的面积为　4　．‎ ‎【考点】简单线性规划的应用；二元一次不等式（组）与平面区域；数量积的坐标表达式．‎ ‎【分析】利用数量的数量积将不等式组进行化简，设M（s，t），将条件进行中转化，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：由，得 设M（s，t），则，解得，‎ 由，得．‎ 作出不等式组对应的平面区域，‎ 则对应平行四边形OABC，‎ 则A（0，2），B（2，0），C（2，﹣2），‎ 则四边形的面积S=2×，‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ 二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得5分，否则一律零分.‎ ‎15．“a=3“是“直线（a2﹣2a）x+y=0和直线3x+y+1=0平行”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】本题考查的知识点是充要条件的定义及直线平行的充要条件，我们可以先判断“a=3”⇒“直线（a2﹣2a）x+y=0和直线3x+y+1=0互相平行”的真假，再判断“直线（a2﹣2a）x+y=0和直线3x+y+1=0互相平行”⇒“a=3”的真假，进而根据兖要条件的定义，得到结论．‎ ‎【解答】解：当“a=3”时，直线（a2﹣2a）x+y=0的方程可化为3x+y=0，‎ 此时“直线（a2﹣a）x+y=0和直线3x+y+1=0互相平行”‎ 即“a=3”⇒“直线（a2﹣2a）x+y=0和直线3x+y+1=0互相平行”为真命题；‎ 而当“直线（a2﹣2a）x+y=0和直线3x+y+1=0互相平行”时，‎ a2﹣2a﹣3=0，即a=3或a=﹣1，此时“a=3”不一定成立，‎ 即“直线（a2﹣2a）x+y=0和直线3x+y+1=0互相平行”⇒“a=3”为假命题；‎ 故“a=3”是“直线（a2﹣2a）x+y=0和直线3x+y+1=0互相平行”的充分不必要条件 故选：A．‎ ‎　‎ ‎16．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）‎ A．3π B．4π C．3π+4 D．2π+4‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由三视图可知：该几何体是一个半圆柱．‎ ‎【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个半圆柱．‎ ‎∴该几何体的表面积=π×12+π×1×2+2×2=4+3π．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎17．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若S△ABC=（其中S△ABC表示△ABC的面积），且（+）•=0，则△ABC的形状是（　　）‎ A．有一个角是30°的等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】可作，从而可作出平行四边形ADFE，并且该四边形为菱形，且有，根据条件即可得出AF⊥BC，进而便可得出AB=AC，即b=c，这样即可求得，而根据条件可得，从而有，进一步即可得到a2=2c2=b2+c2，这样便可得出△ABC的形状．‎ ‎【解答】解：如图，在边AB，AC上分别取点D，E，使，以AD，AE为邻边作平行四边形ADFE，则：‎ 四边形ADFE为菱形，连接AF，DE，AF⊥DE，且；‎ ‎∵；‎ ‎∴；‎ ‎∴AF⊥BC；‎ 又DE⊥AF；‎ ‎∴DE∥BC，且AD=AE；‎ ‎∴AB=AC，即b=c；‎ ‎∴延长AF交BC的中点于O，则：，b=c；‎ ‎∴；‎ ‎∴；‎ ‎∴4c2﹣a2=a2；‎ ‎∴a2=2c2=b2+c2；‎ ‎∴∠BAC=90°，且b=c；‎ ‎∴△ABC的形状为等腰直角三角形．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎18．已知抛物线y=x2﹣7上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于（　　）‎ A．5 B． C．6 D．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系．‎ ‎【分析】先设出直线AB的方程，代入抛物线方程消去y，根据韦达定理求得x1+x2的值，由中点坐标公式求得AB中点M的坐标，代入直线x+y=0中求得b，进而由弦长公式求得|AB|．‎ ‎【解答】解：由题意可得，可设AB的方程为 y=x+b，‎ 代入抛物线y=x2﹣7化简可得 x2﹣x﹣b﹣7=0，‎ ‎∴x1+x2=1，x1•x2=﹣b﹣7，‎ y1+y2=x12﹣7+x22﹣7=（x1+x2）2﹣2x1•x2﹣14=1+2b+14﹣14=1+2b，‎ 故AB 的中点为M（，b+），‎ 由点M在x+y=0上，即+b+=0，解得：b=﹣1，‎ ‎∴x1•x2=﹣6，‎ ‎∴由弦长公式可求出丨AB丨=•=•=5，‎ 故答案选：B．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.‎ ‎19．在锐角△ABC中，sinA=sin2B+sin（+B）sin（﹣B）．‎ ‎（1）求角A的值；‎ ‎（2）若=12，求△ABC的面积．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．‎ ‎【分析】（1）根据两角和差的正弦公式便可以得出=，从而可由得出，这样即可得到A=；‎ ‎（2）可由及便可得出的值，这样根据三角形的面积公式即可求出△ABC的面积．‎ ‎【解答】解：（1）在△ABC中，‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=；‎ 又A为锐角；‎ ‎∴；‎ ‎（2）；‎ ‎∴；‎ ‎∴=．‎ ‎　‎ ‎20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，AB=AD=AP=2，BC=1．求：‎ ‎（1）异面直线PC与AD所成角的大小；‎ ‎（2）四棱锥P﹣ABCD的体积与侧面积．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】（1）BC与PC所成的角∠PCB等于AD与PC所成的角，且BC⊥PB，即可求出异面直线PC与AD所成角的大小；‎ ‎（2）利用体积、侧面积公式求出四棱锥P﹣ABCD的体积与侧面积．‎ ‎【解答】解：（1）由已知，有BC∥AD，AD⊥面PAB，‎ 故BC与PC所成的角∠PCB等于AD与PC所成的角，‎ 且BC⊥PB．…‎ 因BC=1，易知，故．‎ 故异面直线BC与PC所成角的大小为．…‎ 求得：，‎ 故由余弦定理，得；‎ 从而．…‎ 又，‎ 因此．…‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=log（）满足f（﹣2）=1，其中a为实常数．‎ ‎（1）求a的值，并判定函数f（x）的奇偶性；‎ ‎（2）若不等式f（x）＞（）x+t在x∈[2，3]上恒成立，求实数t的取值范围．‎ ‎【考点】函数恒成立问题．‎ ‎【分析】（1）根据f（﹣2）=1，构造方程，可得a的值，结合奇偶性的宝义，可判定函数f（x）的奇偶性；‎ ‎（2）若不等式f（x）＞（）x+t在x∈[2，3]上恒成立，则t＜log（）﹣（）x在x∈[2，3]上恒成立，构造函数求出最值，可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）∵函数f（x）=log（）满足f（﹣2）=1，‎ ‎∴log（）=1，‎ ‎∴=，‎ 解得：a=﹣1，‎ ‎∴f（x）=log（）的定义域（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）关于原点对称；‎ 又∵f（﹣x）=log（）=log（）=﹣log（）=﹣f（x），‎ 故函数f（x）为奇函数；‎ ‎（2）若不等式f（x）＞（）x+t在x∈[2，3]上恒成立，‎ 则t＜log（）﹣（）x在x∈[2，3]上恒成立，‎ 设g（x）=log（）﹣（）x，‎ 则g（x）在[2，3]上是增函数．‎ ‎∴g（x）＞t对x∈[2，3]恒成立，‎ ‎∴t＜g（2）=﹣．‎ ‎　‎ ‎22．已知直线y=2x是双曲线C：﹣=1的一条渐近线，点A（1，0），M（m，n）（n≠0）都在双曲线C上，直线AM与y轴相交于点P，设坐标原点为O．‎ ‎（1）求双曲线C的方程，并求出点P的坐标（用m，n表示）；‎ ‎（2）设点M关于y轴的对称点为N，直线AN与y轴相交于点Q，问：在x轴上是否存在定点T，使得TP⊥TQ？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎（3）若过点D（0，2）的直线l与双曲线C交于R，S两点，且|+|=||，试求直线l的方程．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】（1）求得双曲线的渐近线方程，可得b=2a，由题意可得a=1，b=2，可得双曲线的方程，求出直线AM的方程，可令x=0，求得P的坐标；‎ ‎（2）求得对称点N的坐标，直线AN方程，令x=0，可得N的坐标，假设存在T，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，结合M在双曲线上，化简整理，即可得到定点T；‎ ‎（3）设出直线l的方程，代入双曲线的方程，运用韦达定理，由向量数量积的性质，可得向量OR，OS的数量积为0，化简整理，解方程可得k的值，检验判别式大于0成立，进而得到直线l的方程．‎ ‎【解答】解：（1）双曲线C：﹣=1的渐近线为y=±x，‎ 由题意可得=2，a=1，可得b=2，‎ 即有双曲线的方程为x2﹣=1，‎ 又AM的方程为y=（x﹣1），‎ 令x=0，可得P（0，）；‎ ‎（2）点M关于y轴的对称点为N（﹣m，n），‎ 直线AN的方程为y=（x﹣1），‎ 令x=0，可得Q（0，），‎ 假设x轴存在点T（t，0），使得TP⊥TQ．‎ 即有kTP•kTQ=﹣1，‎ 即为•=﹣1，‎ 可得t2=，‎ 由（m，n）满足双曲线的方程，可得m2﹣=1，‎ 即有=4，‎ 可得t2=4，解得t=±2，‎ 故存在点T（±2，0），使得TP⊥TQ；‎ ‎（3）可设过点D（0，2）的直线l：y=kx+2，‎ 代入双曲线的方程可得（4﹣k2）x2﹣4kx﹣8=0，‎ 即有△=16k2+32（4﹣k2）＞0，即k2＜8，‎ 设R（x1，y1），S（x2，y2），‎ 可得x1+x2=，x1x2=﹣，‎ 由|+|=||=|﹣|，‎ 两边平方可得•=0，‎ 即有x1x2+y1y2=0，‎ 即x1x2+（kx1+2）（kx2+2）=（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4=0，‎ 即为（1+k2）•（﹣）+2k（）+4=0，‎ 化简可得k2=2，检验判别式大于0成立，‎ 即有k=±，‎ 则所求直线的方程为y=±x+2．‎ ‎　‎ ‎23．已知数列{an}的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列．设数列{an}的前n项和为Sn，且满足a4=S3，a9=a3+a4．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若akak+1=ak+2，求正整数k的值；‎ ‎（3）是否存在正整数k，使得恰好为数列{an}的一项？若存在，求出所有满足条件的正整数k；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】等差数列与等比数列的综合．‎ ‎【分析】（1）设{an}的奇数项构成的等差数列的公差为d，偶数项构成的等比数列的公比为q，运用通项公式，解方程可得d=2，q=3，即可得到所求通项公式；‎ ‎（2）当k为奇数时，当k为偶数时，运用通项公式，解方程可得k的值；‎ ‎（3）求得S2k，S2k﹣1，若为数列{an}中的一项，整理化简求得k，m的值，再由数学归纳法证明，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）设{an}的奇数项构成的等差数列的公差为d，‎ 偶数项构成的等比数列的公比为q，‎ 则．‎ 由已知，得 故数列{an}的通项公式为：．‎ ‎（2）当k为奇数时，由akak+1=ak+2，‎ 得．‎ 由于 当k为偶数时，由akak+1=ak+2，‎ 得．‎ 综上，得k=2．‎ ‎（3）由（1）可求得，．‎ 若为数列{an}中的一项，‎ 则．‎ ‎（ i）若，‎ 则．‎ 当k=1时，m=3，结论成立；‎ 当k≠1时，，由，‎ 由于m为正奇数，故此时满足条件的正整数k不存在．‎ ‎（ ii）若，显然k≠1，‎ ‎．‎ 由k＞1得．，‎ 因此，从而．‎ 当k=2时，3k﹣1=k2﹣1；‎ 下面用数学归纳法证明：当k≥3时，3k﹣1＞k2﹣1．‎ ‎①当k=3时，显然3k﹣1＞k2﹣1；‎ ‎②假设当k=l≥3时，有3l﹣1＞l2﹣1；‎ 当k=l+1时，由l≥3得3（l2﹣1）﹣[（l+1）2﹣1]=（l﹣1）2+（l2﹣4）＞0，‎ 故3（l+1）﹣1=3•3l﹣1＞3（l2﹣1）＞（l+1）2﹣1，‎ 即当k=l+1时，结论成立．‎ 由①，②知：当k≥3时，3k﹣1＞k2﹣1．‎ 综合（ i），（ ii）得：存在两个正整数k，k=1或2，使为数列{an}中的项．‎ ‎　‎ ‎2016年8月27日