第3讲 分层演练直击高考
1．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝ B．y＝|x|－1
C．y＝lg x D．y＝
解析：选B．y＝为奇函数；y＝lg x的定义域为(0，＋∞)，不具备奇偶性；y＝在(0，＋∞)上为减函数；y＝|x|－1在(0，＋∞)上为增函数，且在定义域上为偶函数．
2．(2019·高考北京卷)已知函数f(x)＝3x－，则f(x)( )
A．是偶函数，且在R上是增函数
B．是奇函数，且在R上是增函数
C．是偶函数，且在R上是减函数
D．是奇函数，且在R上是减函数
解析：选B．由f(－x)＝()x－3x＝－f(x)，知f(x)为奇函数，因为y＝()x在R上是减函数，所以y＝－()x在R上是增函数，又y＝3x在R上是增函数，所以函数f(x)＝3x－()x在R上是增函数，故选B．
3．若函数f(x)＝ln(ax＋)是奇函数，则a的值为( )
A．1 B．－1
C．±1 D．0
解析：选C．因为f(x)＝ln(ax＋)是奇函数，
所以f(－x)＋f(x)＝0.
即ln(－ax＋)＋ln(ax＋)＝0恒成立，
所以ln[(1－a2)x2＋1]＝0，即(1－a2)x2＝0恒成立，
所以1－a2＝0，即a＝±1.
4．(2019·成都第一次诊断)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，且当x∈时，f(x)＝－x3，则f＝( )
A．－ B．
C．－ D．
解析：选B．由f(x＋3)＝f(x)知函数f(x)的周期为3，又函数f(x)为奇函数，所以f＝f＝－f＝＝.
5．设f(x)是定义在实数集上的函数，且f(2－x)＝f(x)，若当x≥1时，f(x)＝ln x，则有( )
A．f
0的x的集合为________．
解析：由奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f＝0，得函数y＝f(x)在(－∞，0)上递增，且f＝0，
所以f(x)>0时，x>或－0的x的集合为.
答案：
7．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)－g(x)＝，则f(1)，g(0)，g(－1)之间的大小关系是________．
解析：在f(x)－g(x)＝中，用－x替换x，得f(－x)－g(－x)＝2x，
由于f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，
所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，
因此得－f(x)－g(x)＝2x.
联立方程组解得f(x)＝，g(x)＝－，
于是f(1)＝－，g(0)＝－1，
g(－1)＝－，
故f(1)>g(0)>g(－1)．
答案：f(1)>g(0)>g(－1)
8．已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>时，f＝f.则f(6)＝________.
解析：当x>0时，x＋>，所以f＝f，即f(x＋1)＝f(x)，所以f(6)＝f(5)＝f(4)＝…＝f(1)＝－f(－1)＝2.
答案：2
9．设f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝.
(1)求当x<0时，f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x)<－.
解：(1)因为f(x)是奇函数，
所以当x<0时，f(x)＝－f(－x)，－x>0，
又因为当x>0时，f(x)＝，
所以当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－＝.
(2)f(x)<－，当x>0时，即<－，
所以<－，所以>，所以3x－1<8，
解得x<2，所以x∈(0，2)．
当x<0时，即<－，
所以>－，
所以3－x>32，所以x<－2，
所以解集是(－∞，－2)∪(0，2)．
10．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解：(1)设x＜0，则－x＞0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
于是x＜0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.
(2)由(1)知f(x)在[－1，1]上是增函数，要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增．
结合f(x)的图象知
所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1，3]．
1．(2019·成都第二次诊断检测)已知函数f(x)的定义域为R，当x∈[－2，2]时，f(x)单调递减，且函数f(x＋2)为偶函数．则下列结论正确的是( )
A．f(π)0在[－1，3]上的解集为( )
A．(1，3) B．(－1，1)
C．(－1，0)∪(1，3) D．(－1，0)∪(0，1)
解析：选C．f(x)的图象如图．
当x∈[－1，0)时，由xf(x)>0，得x∈(－1，0)；
当x∈[0，1)时，由xf(x)>0，得x∈∅；
当x∈[1，3]时，由xf(x)>0，得x∈(1，3)．
故x∈(－1，0)∪(1，3)．
4．已知函数f(x)＝asin x＋b＋4，若f(lg 3)＝3，则f＝________.
解析：由f(lg 3)＝asin(lg 3)＋b＋4＝3得asin(lg 3)＋b＝－1，而f＝f(－lg 3)＝－asin(lg 3)－b＋4＝－[asin(lg 3)＋b]＋4＝1＋4＝5.
答案：5
5．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成的图形的面积．
解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数．
所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)
＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.
(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，
得f((x－1)＋2)＝－f(x－1)＝f(－(x－1))，
即f(1＋x)＝f(1－x)．
从而可知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．
又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．
设当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×＝4.
6．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值．
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论．
(3)如果f(4)＝1，f(x－1)＜2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．
解：(1)因为对于任意x1，x2∈D，
有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，
所以令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，所以f(1)＝0.
(2)f(x)为偶函数．证明如下：
令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，
所以f(－1)＝f(1)＝0.
令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，
所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．
(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，由(2)知，f(x)是偶函数，所以f(x－1)＜2，等价于f(|x－1|)＜f(16)．又f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
所以0＜|x－1|＜16，解得－15＜x＜17且x≠1.
所以x的取值范围是{x|－15＜x＜17且x≠1}．
