【数学】2020届一轮复习北师大版简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词学案

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【数学】2020届一轮复习北师大版简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词学案

‎§1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 最新考纲 考情考向分析 ‎1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.‎ ‎2.理解全称量词和存在量词的意义.‎ ‎3.能正确地对含一个量词的命题进行否定.‎ 逻辑联结词和含有一个量词的命题的否定是高考的重点;命题的真假判断常以函数、不等式为载体,考查学生的推理判断能力,题型为选择、填空题,低档难度.‎ ‎1.简单的逻辑联结词 ‎(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词.‎ ‎(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断 p q p且q p或q 非p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 ‎2.全称量词和存在量词 ‎(1)全称量词:短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词,用符号“∀”表示.‎ ‎(2)存在量词:短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“∃”表示.‎ ‎3.全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定 命题名称 语言表示 符号表示 命题的否定 全称命题 对M中任意一个x,有p(x)成立 ‎∀x∈M,p(x)‎ ‎∃x0∈M,綈p(x0)‎ 特称命题 存在M中的一个x0,‎ ‎∃x0∈M,p(x0)‎ ‎∀x∈M,綈p(x)‎ 使p(x0)成立 概念方法微思考 含有逻辑联结词的命题的真假有什么规律?‎ 提示 p∨q:一真即真;p∧q:一假即假;p,綈p:真假相反.‎ 题组一 思考辨析 ‎1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)命题“3≥2”是真命题.( √ )‎ ‎(2)命题p和綈p不可能都是真命题.( √ )‎ ‎(3)“全等三角形的面积相等”是特称命题.( × )‎ ‎(4)命题綈(p∧q)是假命题,则命题p,q都是真命题.( √ )‎ 题组二 教材改编 ‎2.[P18A组T1]已知p:2是偶数,q:2是质数,则命题綈p,綈q,p∨q,p∧q中真命题的个数为(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ 答案 B 解析 p和q显然都是真命题,所以綈p,綈q都是假命题,p∨q,p∧q都是真命题.‎ ‎3.[P30T6(4)]命题“正方形都是矩形”的否定是__________.‎ 答案 存在一个正方形,这个正方形不是矩形 题组三 易错自纠 ‎4.已知命题p,q,“綈p为真”是“p∧q为假”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由綈p为真知,p为假,可得p∧q为假;反之,若p∧q为假,则可能是p真q假,从而綈p为假,故“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件,故选A.‎ ‎5.(2018·唐山五校联考)已知命题p:“a>b”是“2a>2b”的充要条件;q:∃x0∈R,|x0+1|≤x0,则(  )‎ A.(綈p)∨q为真命题 B.p∨q为真命题 C.p∧q为真命题 D.p∧(綈q)为假命题 答案 B 解析 由函数y=2x是R上的增函数,知命题p是真命题.对于命题q,当x+1≥0,即x≥-1时,|x+1|=x+1>x;当x+1<0,即x<-1时,|x+1|=-x-1,由-x-1≤x,得x≥-,无解,因此命题q是假命题.所以(綈p)∨q为假命题,A错误;p∨q为真命题,B正确;p∧q为假命题,C错误;p∧(綈q)为真命题,D错误.‎ ‎6.若“∀x∈,tan x≤m”是真命题,则实数m的最小值为________.‎ 答案 1‎ 解析 ∵函数y=tan x在上是增函数,‎ ‎∴ymax=tan =1.依题意知,m≥ymax,即m≥1.‎ ‎∴m的最小值为1.‎ 题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断 ‎1.(2018·石家庄模拟)命题p:若sin x>sin y,则x>y;命题q:x2+y2≥2xy.下列命题为假命题的是(  )‎ A.p或q B.p且q C.q D.綈p 答案 B 解析 取x=,y=,可知命题p是假命题;‎ 由(x-y)2≥0恒成立,可知命题q是真命题,故綈p为真命题,p或q是真命题,p且q是假命题.‎ ‎2.设命题p:函数y=log2(x2-2x)的单调增区间是[1,+∞),命题q:函数y=的值域为(0,1),则下列命题是真命题的为(  )‎ A.p∧q B.p∨q C.p∧(綈q) D.綈q 答案 B 解析 函数y=log2(x2-2x)的单调增区间是(2,+∞),所以命题p为假命题.‎ 由3x>0,得0<<1,‎ 所以函数y=的值域为(0,1),‎ 故命题q为真命题.‎ 所以p∧q为假命题,p∨q为真命题,p∧(綈q)为假命题,綈q为假命题.故选B.‎ ‎3.已知命题p:若平面α⊥平面β,平面γ⊥平面β,则有平面α∥平面γ.命题q:在空间中,对于三条不同的直线a,b,c,若a⊥b,b⊥c,则a∥c.对以上两个命题,有以下命题:‎ ‎①p∧q为真;②p∨q为假;③p∨q为真;④(綈p)∨(綈q)为假.‎ 其中,正确的是________.(填序号)‎ 答案 ②‎ 解析 命题p是假命题,这是因为α与γ也可能相交;命题q也是假命题,这两条直线也可能异面,相交.‎ 思维升华 “p∨q”“p∧q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤 ‎(1)确定命题的构成形式;‎ ‎(2)判断其中命题p,q的真假;‎ ‎(3)确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假.‎ 题型二 含有一个量词的命题 命题点1 全称命题、特称命题的真假 例1 (1)(2018·沈阳模拟)下列四个命题中真命题是(  )‎ A.∀n∈R,n2≥n B.∃n0∈R,∀m∈R,m·n0=m C.∀n∈R,∃m0∈R,m0 B.∀x∈N*,(x-1)2>0‎ C.∃x0∈R,lg x0<1 D.∃x0∈R,tan x0=2‎ 答案 B 解析 当x∈N*时,x-1∈N,可得(x-1)2≥0,当且仅当x=1时取等号,故B不正确;易知A,C,D正确,故选B.‎ 命题点2 含一个量词的命题的否定 例2 (1)已知命题p:“∃x0∈R,-x0-1≤0”,则綈p为(  )‎ A.∃x0∈R,-x0-1≥0‎ B.∃x0∈R,-x0-1>0‎ C.∀x∈R,ex-x-1>0‎ D.∀x∈R,ex-x-1≥0‎ 答案 C 解析 根据全称命题与特称命题的否定关系,可得綈p为“∀x∈R,ex-x-1>0”,故选C.‎ ‎(2)(2018·福州质检)已知命题p:∀x1,x2∈R,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)≥0,则綈p是(  )‎ A.∃x1,x2∈R,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)≤0‎ B.∀x1,x2∈R,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)≤0‎ C.∃x1,x2∈R,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0‎ D.∀x1,x2∈R,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0‎ 答案 C 解析 已知全称命题p:∀x1,x2∈R,[f(x2)-f(x1)]·(x2-x1)≥0,则綈p:∃x1,x2∈R,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0,故选C.‎ 思维升华 (1)判定全称命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立;要判断特称命题是真命题,只要在限定集合内找到一个x=x0,使p(x0)成立.‎ ‎(2)对全(特)称命题进行否定的方法 ‎①找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义先加上量词,再改变量词;‎ ‎②对原命题的结论进行否定.‎ 跟踪训练1 (1)下列命题中的真命题是(  )‎ A.∃x0∈R,使得sin x0+cos x0= B.∀x∈(0,+∞),ex>x+1‎ C.∃x0∈(-∞,0),2x0<3x0‎ D.∀x∈(0,π),sin x>cos x 答案 B 解析 ∵sin x+cos x=sin≤<,故A错误;设f(x)=ex-x-1,则f′(x)=ex-1,‎ ‎∴f(x)在(0,+∞)上为增函数,又f(0)=0,‎ ‎∴∀x∈(0,+∞),f(x)>0,即ex>x+1,故B正确;‎ 当x<0时,y=2x的图象在y=3x的图象上方,故C错误;∵当x∈时,sin x0‎ C.p是真命题;綈p:∀x∈R,log2(3x+1)≤0‎ D.p是真命题;綈p:∀x∈R,log2(3x+1)>0‎ 答案 B 解析 因为3x>0,所以3x+1>1,则log2(3x+1)>0,所以p是假命题;綈p:∀x∈R,log2(3x+1)>0.故选B.‎ 题型三 命题中参数的取值范围 例3 (1)(2018·大同质检)已知命题p:“∀x∈[0,1],a≥ex”;命题q:“∃x0∈R,使得x+4x0+a=0”.若命题“p∧q”是真命题,则实数a的取值范围为____________.‎ 答案 [e,4]‎ 解析 若命题“p∧q”是真命题,那么命题p,q都是真命题.由∀x∈[0,1],a≥ex,得a≥e;由∃x0∈R,使x+4x0+a=0,得Δ=16-4a≥0,则a≤4,因此e≤a≤4.则实数a的取值范围为[e,4].‎ ‎(2)已知f(x)=ln(x2+1),g(x)=x-m,若对∀x1∈[0,3],∃x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2),则实数m的取值范围是________________.‎ 答案  解析 当x∈[0,3]时,f(x)min=f(0)=0,当x∈[1,2]时,‎ g(x)min=g(2)=-m,由f(x)min≥g(x)min,‎ 得0≥-m,所以m≥.‎ 引申探究 本例(2)中,若将“∃x2∈[1,2]”改为“∀x2∈[1,2]”,其他条件不变,则实数m的取值范围是________________.‎ 答案  解析 当x∈[1,2]时,g(x)max=g(1)=-m,‎ 由f(x)min≥g(x)max,得0≥-m,∴m≥.‎ 思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假,可根据每个命题的真假,利用集合的运算求解参数的取值范围.‎ ‎(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题,可根据命题的含义,利用函数值域(或最值)解决.‎ 跟踪训练2 (1)已知命题“∀x∈R,x2-5x+a>0”的否定为假命题,则实数a的取值范围是______________.‎ 答案  解析 由“∀x∈R,x2-5x+a>0”的否定为假命题,可知原命题必为真命题,即不等式x2-5x+a>0对任意实数x恒成立.‎ 设f(x)=x2-5x+a,则其图象恒在x轴的上方.‎ 故Δ=25-4×a<0,解得a>,‎ 即实数a的取值范围为.‎ ‎(2)已知c>0,且c≠1,设命题p:函数y=cx为减函数.命题q:当x∈时,函数f(x)=x+>恒成立.如果“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,则c的取值范围为________.‎ 答案 ∪(1,+∞)‎ 解析 由命题p为真知,0恒成立,需<2,即c>,‎ 若“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,‎ 则p,q中必有一真一假,‎ 当p真q假时,c的取值范围是01.‎ 综上可知,c的取值范围是∪(1,+∞).‎ 常用逻辑用语 有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现,多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合,难度中等偏下.解决这类问题应熟练把握各类知识的内在联系.‎ 一、命题的真假判断 例1 (1)下列命题的否定为假命题的是________.(填序号)‎ ‎①∀x∈R,-x2+x-1<0;‎ ‎②∀x∈R,|x|>x;‎ ‎③∀x,y∈Z,2x-5y≠12;‎ ‎④∀x∈R,sin2x+sin x+1=0.‎ 答案 ①‎ 解析 命题的否定为假命题亦即原命题为真命题,只有①为真命题.‎ ‎(2)(2018·贵州适应性考试)已知命题p:∀x∈R,log2(x2+4)≥2,命题q:y=是定义域上的减函数,则下列命题中为真命题的是(  )‎ A.p∨(綈q) B.p∧q C.(綈p)∨q D.(綈p)∧(綈q)‎ 答案 A 解析 命题p:函数y=log2x在(0,+∞)上是增函数,x2+4≥4,所以log2(x2+4)≥log24=2,即命题p是真命题,因此綈p为假命题;命题q:y=在定义域上是增函数,故命题q是假命题,綈q是真命题.因此选项A是真命题,选项B,C,D是假命题,故选A.‎ 二、充要条件的判断 例2 (1)(2018·北京)设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 C 解析 由|a-3b|=|3a+b|,得(a-3b)2=(3a+b)2,‎ 即a2+9b2-6a·b=9a2+b2+6a·b.‎ 又a,b均为单位向量,所以a2=b2=1,‎ 所以a·b=0,能推出a⊥b.‎ 由a⊥b得|a-3b|=,|3a+b|=,‎ 能推出|a-3b|=|3a+b|.‎ 所以“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的充要条件.‎ 故选C.‎ ‎(2)已知圆C:(x-1)2+y2=r2(r>0).设p:00,即a2-2a-3>0,解得a<-1或a>3.‎ ‎(2)已知命题p:∃x∈R,(m+1)·(x2+1)≤0,命题q:∀x∈R,x2+mx+1>0恒成立.若p∧q为假命题,则实数m的取值范围为____________.‎ 答案 (-∞,-2]∪(-1,+∞)‎ 解析 由命题p:∃x∈R,(m+1)(x2+1)≤0,可得m≤-1,‎ 由命题q:∀x∈R,x2+mx+1>0恒成立,可得-2-1.‎ ‎1.设命题p:函数y=sin 2x的最小正周期为;命题q:函数y=cos x的图象关于直线x=对称,则下列判断正确的是(  )‎ A.p为真 B.綈q为假 C.p∧q为假 D.p∨q为真 答案 C 解析 函数y=sin 2x的最小正周期为=π,故命题p为假命题;x=不是y=cos x的对称轴,故命题q为假命题,故p∧q为假.故选C.‎ ‎2.以下四个命题中既是特称命题又是真命题的是(  )‎ A.锐角三角形有一个内角是钝角 B.至少有一个实数x,使x2≤0‎ C.两个无理数的和必是无理数 D.存在一个负数x,>2‎ 答案 B 解析 A中锐角三角形的内角都是锐角,所以A是假命题;B中当x=0时,x2=0,满足x2≤0,所以B既是特称命题又是真命题;C中因为+(-)=0不是无理数,所以C是假命题;D中对于任意一个负数x,都有<0,不满足>2,所以D是假命题.‎ ‎3.(2018·安庆模拟)设命题p:∃x0∈(0,+∞),x0+>3,命题q:∀x∈(2,+∞),x2>2x,则下列命题为真的是(  )‎ A.p∧(綈q) B.(綈p)∧q C.p∧q D.(綈p)∨q 答案 A 解析 命题p:∃x0∈(0,+∞),x0+>3,当x0=3时,x0+=>3,命题p为真;命题q:∀x∈(2,+∞),x2>2x,当x=4时,42=24,命题q为假.所以p∧(綈q)为真,故选A.‎ ‎4.命题“∀x∈R,∃n0∈N*,使得n0≤x2”的否定形式是(  )‎ A.∀x∈R,∃n0∈N*,使得n0>x2‎ B.∀x∈R,∀n∈N*,使得n>x2‎ C.∃x0∈R,∃n0∈N*,使得n0>x D.∃x0∈R,∀n∈N*,使得n>x 答案 D 解析 ∀改写为∃,∃改写为∀,n≤x2的否定是n>x2,则该命题的否定形式为“∃x0∈R,∀n∈N*,使得n>x”.故选D.‎ ‎5.若∃x0∈,使得2x-λx0+1<0成立是假命题,则实数λ的取值范围是(  )‎ A.(-∞,2] B.(2,3]‎ C. D.{3}‎ 答案 A 解析 因为∃x0∈,使得2x-λx0+1<0成立是假命题,所以∀x∈,2x2-λx+1≥0恒成立是真命题,即∀x∈,λ≤2x+恒成立是真命题,令f(x)=2x+,则f′(x)=2-,当x∈时,f′(x)<0,当x∈时,f′(x)>0,所以f(x)≥f=2,则λ≤2.‎ ‎6.已知p:∃x0∈R,mx+1≤0,q:∀x∈R,x2+mx+1>0,若p∨q为假命题,则实数m的取值范围是(  )‎ A.[2,+∞)‎ B.(-∞,-2]‎ C.(-∞,-2]∪[2,+∞)‎ D.[-2,2]‎ 答案 A 解析 依题意知,p,q均为假命题.‎ 当p是假命题时,mx2+1>0恒成立,则有m≥0;‎ 当q是假命题时,则有Δ=m2-4≥0,‎ 解得m≤-2或m≥2.‎ 因此由p,q均为假命题得即m≥2.‎ ‎7.下列命题中,真命题是(  )‎ A.∃x0∈R,≤0‎ B.∀x∈R,2x>x2‎ C.a+b=0的充要条件是=-1‎ D.“a>1,b>1”是“ab>1”的充分条件 答案 D 解析 因为y=ex>0,x∈R恒成立,所以A不正确;‎ 因为当x=-5时,2-5<(-5)2,所以B不正确;‎ ‎“=-1”是“a+b=0”的充分不必要条件,C不正确;‎ 当a>1,b>1时,显然ab>1,D正确.‎ ‎8.(2018·东莞外国语学校月考)已知命题p:∃x0∈R,cos x0=;命题q:∀x∈R,x2-x+1>0.则下列结论正确的是(  )‎ A.命题p∧q是真命题 B.命题p∧(綈q)是真命题 C.命题(綈p)∧q是真命题 D.命题(綈p)∨(綈q)是假命题 答案 C 解析 因为对任意x∈R,都有cos x≤1成立,而>1,所以命题p:∃x0∈R,cos x0=是假命题;因为对任意的x∈R,x2-x+1=2+>0,‎ 所以命题q:∀x∈R,x2-x+1>0是真命题.‎ 由此对照各个选项,可知命题(綈p)∧q是真命题.‎ ‎9.命题p的否定是“对所有正数x,>x+1”,则命题p可写为______________.‎ 答案 ∃x0∈(0,+∞),≤x0+1‎ 解析 因为p是綈p的否定,所以只需将全称量词变为存在量词,再对结论否定即可.‎ ‎10.若命题“对∀x∈R,kx2-kx-1<0”是真命题,则k的取值范围是________________.‎ 答案 (-4,0]‎ 解析 “对∀x∈R,kx2-kx-1<0”是真命题,当k=0时,则有-1<0;当k≠0时,则有k<0且Δ=(-k)2-4×k×(-1)=k2+4k<0,解得-40,由题意知,其为真命题,即Δ=(a-1)2-4×2×<0,则-22x,p2:∃θ0∈R,sin θ0+cos θ0=,则在命题q1:p1∨p2;q2:p1∧p2;q3:(綈p1)∨p2和q4:p1∧(綈p2)中,真命题是________.‎ 答案 q1,q4‎ 解析 因为y=x在R上是增函数,即y=x>1在(0,+∞)上恒成立,所以命题p1是真命题;sin θ+cos θ=sin≤,所以命题p2是假命题,綈p2是真命题,所以命题q1:p1∨p2,q4:p1∧(綈p2)是真命题.‎ ‎13.(2018·三明模拟)已知命题p:∃x0∈R,使tan x0=1;命题q:x2-3x+2<0的解集是{x|11时,f′(x)>0,函数f(x)=在(1,+∞)上是单调递增函数;当0m(x2+1),q:函数f(x)=4x+2x+1+m-1存在零点.若“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,则实数m的取值范围是____________.‎ 答案  解析 ∀x∈,2x>m(x2+1),即m<=在上恒成立,当x=时,max=,∴min=,‎ ‎∴由p真得m<.‎ 设t=2x,则t∈(0,+∞),则函数f(x)化为g(t)=t2+2t+m-1,由题意知g(t)在(0,+∞)上存在零点,令g(t)=0,得m=-(t+1)2+2,又t>0,所以由q真得m<1.‎ 又“p∨q”为真,“p∧q”为假,∴p,q一真一假,‎ 则或解得≤m<1.‎ 故所求实数m的取值范围是.‎
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