【数学】2020届一轮复习北师大版简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词学案
§1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
最新考纲
考情考向分析
1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．
2.理解全称量词和存在量词的意义．
3.能正确地对含一个量词的命题进行否定.
逻辑联结词和含有一个量词的命题的否定是高考的重点；命题的真假判断常以函数、不等式为载体，考查学生的推理判断能力，题型为选择、填空题，低档难度.
1．简单的逻辑联结词
(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．
(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断
p
q
p且q
p或q
非p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
2.全称量词和存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．
3．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定
命题名称
语言表示
符号表示
命题的否定
全称命题
对M中任意一个x，有p(x)成立
∀x∈M，p(x)
∃x0∈M，綈p(x0)
特称命题
存在M中的一个x0，
∃x0∈M，p(x0)
∀x∈M，綈p(x)
使p(x0)成立
概念方法微思考
含有逻辑联结词的命题的真假有什么规律？
提示 p∨q：一真即真；p∧q：一假即假；p，綈p：真假相反．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)命题“3≥2”是真命题．( √ )
(2)命题p和綈p不可能都是真命题．( √ )
(3)“全等三角形的面积相等”是特称命题．( × )
(4)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q都是真命题．( √ )
题组二 教材改编
2．[P18A组T1]已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．
3．[P30T6(4)]命题“正方形都是矩形”的否定是__________．
答案 存在一个正方形，这个正方形不是矩形
题组三 易错自纠
4．已知命题p，q，“綈p为真”是“p∧q为假”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由綈p为真知，p为假，可得p∧q为假；反之，若p∧q为假，则可能是p真q假，从而綈p为假，故“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件，故选A.
5．(2018·唐山五校联考)已知命题p：“a>b”是“2a>2b”的充要条件；q：∃x0∈R，|x0＋1|≤x0，则( )
A．(綈p)∨q为真命题 B．p∨q为真命题
C．p∧q为真命题 D．p∧(綈q)为假命题
答案 B
解析 由函数y＝2x是R上的增函数，知命题p是真命题．对于命题q，当x＋1≥0，即x≥－1时，|x＋1|＝x＋1>x；当x＋1<0，即x<－1时，|x＋1|＝－x－1，由－x－1≤x，得x≥－，无解，因此命题q是假命题．所以(綈p)∨q为假命题，A错误；p∨q为真命题，B正确；p∧q为假命题，C错误；p∧(綈q)为真命题，D错误．
6．若“∀x∈，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．
答案 1
解析 ∵函数y＝tan x在上是增函数，
∴ymax＝tan ＝1.依题意知，m≥ymax，即m≥1.
∴m的最小值为1.
题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断
1．(2018·石家庄模拟)命题p：若sin x>sin y，则x>y；命题q：x2＋y2≥2xy.下列命题为假命题的是( )
A．p或q B．p且q C．q D．綈p
答案 B
解析 取x＝，y＝，可知命题p是假命题；
由(x－y)2≥0恒成立，可知命题q是真命题，故綈p为真命题，p或q是真命题，p且q是假命题．
2．设命题p：函数y＝log2(x2－2x)的单调增区间是[1，＋∞)，命题q：函数y＝的值域为(0,1)，则下列命题是真命题的为( )
A．p∧q B．p∨q
C．p∧(綈q) D．綈q
答案 B
解析 函数y＝log2(x2－2x)的单调增区间是(2，＋∞)，所以命题p为假命题．
由3x>0，得0<<1，
所以函数y＝的值域为(0,1)，
故命题q为真命题．
所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，p∧(綈q)为假命题，綈q为假命题．故选B.
3．已知命题p：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q：在空间中，对于三条不同的直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.对以上两个命题，有以下命题：
①p∧q为真；②p∨q为假；③p∨q为真；④(綈p)∨(綈q)为假．
其中，正确的是________．(填序号)
答案 ②
解析 命题p是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q也是假命题，这两条直线也可能异面，相交．
思维升华 “p∨q”“p∧q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤
(1)确定命题的构成形式；
(2)判断其中命题p，q的真假；
(3)确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假．
题型二 含有一个量词的命题
命题点1 全称命题、特称命题的真假
例1 (1)(2018·沈阳模拟)下列四个命题中真命题是( )
A．∀n∈R，n2≥n
B．∃n0∈R，∀m∈R，m·n0＝m
C．∀n∈R，∃m0∈R，m
0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0
C．∃x0∈R，lg x0<1 D．∃x0∈R，tan x0＝2
答案 B
解析 当x∈N*时，x－1∈N，可得(x－1)2≥0，当且仅当x＝1时取等号，故B不正确；易知A，C，D正确，故选B.
命题点2 含一个量词的命题的否定
例2 (1)已知命题p：“∃x0∈R，－x0－1≤0”，则綈p为( )
A．∃x0∈R，－x0－1≥0
B．∃x0∈R，－x0－1>0
C．∀x∈R，ex－x－1>0
D．∀x∈R，ex－x－1≥0
答案 C
解析 根据全称命题与特称命题的否定关系，可得綈p为“∀x∈R，ex－x－1>0”，故选C.
(2)(2018·福州质检)已知命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0，则綈p是( )
A．∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0
B．∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0
C．∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0
D．∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0
答案 C
解析 已知全称命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)≥0，则綈p：∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0，故选C.
思维升华 (1)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x＝x0，使p(x0)成立．
(2)对全(特)称命题进行否定的方法
①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词；
②对原命题的结论进行否定．
跟踪训练1 (1)下列命题中的真命题是( )
A．∃x0∈R，使得sin x0＋cos x0＝
B．∀x∈(0，＋∞)，ex>x＋1
C．∃x0∈(－∞，0)，2x0<3x0
D．∀x∈(0，π)，sin x>cos x
答案 B
解析 ∵sin x＋cos x＝sin≤<，故A错误；设f(x)＝ex－x－1，则f′(x)＝ex－1，
∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数，又f(0)＝0，
∴∀x∈(0，＋∞)，f(x)>0，即ex>x＋1，故B正确；
当x<0时，y＝2x的图象在y＝3x的图象上方，故C错误；∵当x∈时，sin x0
C．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0
D．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0
答案 B
解析 因为3x>0，所以3x＋1>1，则log2(3x＋1)>0，所以p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0.故选B.
题型三 命题中参数的取值范围
例3 (1)(2018·大同质检)已知命题p：“∀x∈[0,1]，a≥ex”；命题q：“∃x0∈R，使得x＋4x0＋a＝0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为____________．
答案 [e,4]
解析 若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题．由∀x∈[0,1]，a≥ex，得a≥e；由∃x0∈R，使x＋4x0＋a＝0，得Δ＝16－4a≥0，则a≤4，因此e≤a≤4.则实数a的取值范围为[e,4]．
(2)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________________．
答案
解析 当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1,2]时，
g(x)min＝g(2)＝－m，由f(x)min≥g(x)min，
得0≥－m，所以m≥.
引申探究
本例(2)中，若将“∃x2∈[1,2]”改为“∀x2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是________________．
答案
解析 当x∈[1,2]时，g(x)max＝g(1)＝－m，
由f(x)min≥g(x)max，得0≥－m，∴m≥.
思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围．
(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．
跟踪训练2 (1)已知命题“∀x∈R，x2－5x＋a>0”的否定为假命题，则实数a的取值范围是______________．
答案
解析 由“∀x∈R，x2－5x＋a>0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x2－5x＋a>0对任意实数x恒成立．
设f(x)＝x2－5x＋a，则其图象恒在x轴的上方．
故Δ＝25－4×a<0，解得a>，
即实数a的取值范围为.
(2)已知c>0，且c≠1，设命题p：函数y＝cx为减函数．命题q：当x∈时，函数f(x)＝x＋>恒成立．如果“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则c的取值范围为________．
答案 ∪(1，＋∞)
解析 由命题p为真知，0恒成立，需<2，即c>，
若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，
则p，q中必有一真一假，
当p真q假时，c的取值范围是01.
综上可知，c的取值范围是∪(1，＋∞)．
常用逻辑用语
有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等偏下．解决这类问题应熟练把握各类知识的内在联系．
一、命题的真假判断
例1 (1)下列命题的否定为假命题的是________．(填序号)
①∀x∈R，－x2＋x－1<0；
②∀x∈R，|x|>x；
③∀x，y∈Z,2x－5y≠12；
④∀x∈R，sin2x＋sin x＋1＝0.
答案 ①
解析 命题的否定为假命题亦即原命题为真命题，只有①为真命题．
(2)(2018·贵州适应性考试)已知命题p：∀x∈R，log2(x2＋4)≥2，命题q：y＝是定义域上的减函数，则下列命题中为真命题的是( )
A．p∨(綈q) B．p∧q
C．(綈p)∨q D．(綈p)∧(綈q)
答案 A
解析 命题p：函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，x2＋4≥4，所以log2(x2＋4)≥log24＝2，即命题p是真命题，因此綈p为假命题；命题q：y＝在定义域上是增函数，故命题q是假命题，綈q是真命题．因此选项A是真命题，选项B，C，D是假命题，故选A.
二、充要条件的判断
例2 (1)(2018·北京)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 由|a－3b|＝|3a＋b|，得(a－3b)2＝(3a＋b)2，
即a2＋9b2－6a·b＝9a2＋b2＋6a·b.
又a，b均为单位向量，所以a2＝b2＝1，
所以a·b＝0，能推出a⊥b.
由a⊥b得|a－3b|＝，|3a＋b|＝，
能推出|a－3b|＝|3a＋b|.
所以“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的充要条件．
故选C.
(2)已知圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)．设p：00，即a2－2a－3>0，解得a<－1或a>3.
(2)已知命题p：∃x∈R，(m＋1)·(x2＋1)≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立．若p∧q为假命题，则实数m的取值范围为____________．
答案 (－∞，－2]∪(－1，＋∞)
解析 由命题p：∃x∈R，(m＋1)(x2＋1)≤0，可得m≤－1，
由命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，可得－2－1.
1．设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cos x的图象关于直线x＝对称，则下列判断正确的是( )
A．p为真 B．綈q为假
C．p∧q为假 D．p∨q为真
答案 C
解析 函数y＝sin 2x的最小正周期为＝π，故命题p为假命题；x＝不是y＝cos x的对称轴，故命题q为假命题，故p∧q为假．故选C.
2．以下四个命题中既是特称命题又是真命题的是( )
A．锐角三角形有一个内角是钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，>2
答案 B
解析 A中锐角三角形的内角都是锐角，所以A是假命题；B中当x＝0时，x2＝0，满足x2≤0，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0不是无理数，所以C是假命题；D中对于任意一个负数x，都有<0，不满足>2，所以D是假命题．
3．(2018·安庆模拟)设命题p：∃x0∈(0，＋∞)，x0＋>3，命题q：∀x∈(2，＋∞)，x2>2x，则下列命题为真的是( )
A．p∧(綈q) B．(綈p)∧q
C．p∧q D．(綈p)∨q
答案 A
解析 命题p：∃x0∈(0，＋∞)，x0＋>3，当x0＝3时，x0＋＝>3，命题p为真；命题q：∀x∈(2，＋∞)，x2>2x，当x＝4时，42＝24，命题q为假．所以p∧(綈q)为真，故选A.
4．命题“∀x∈R，∃n0∈N*，使得n0≤x2”的否定形式是( )
A．∀x∈R，∃n0∈N*，使得n0>x2
B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n>x2
C．∃x0∈R，∃n0∈N*，使得n0>x
D．∃x0∈R，∀n∈N*，使得n>x
答案 D
解析 ∀改写为∃，∃改写为∀，n≤x2的否定是n>x2，则该命题的否定形式为“∃x0∈R，∀n∈N*，使得n>x”．故选D.
5．若∃x0∈，使得2x－λx0＋1<0成立是假命题，则实数λ的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．(2，3]
C. D．{3}
答案 A
解析 因为∃x0∈，使得2x－λx0＋1<0成立是假命题，所以∀x∈，2x2－λx＋1≥0恒成立是真命题，即∀x∈，λ≤2x＋恒成立是真命题，令f(x)＝2x＋，则f′(x)＝2－，当x∈时，f′(x)<0，当x∈时，f′(x)>0，所以f(x)≥f＝2，则λ≤2.
6．已知p：∃x0∈R，mx＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是( )
A．[2，＋∞)
B．(－∞，－2]
C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
D．[－2,2]
答案 A
解析 依题意知，p，q均为假命题．
当p是假命题时，mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；
当q是假命题时，则有Δ＝m2－4≥0，
解得m≤－2或m≥2.
因此由p，q均为假命题得即m≥2.
7．下列命题中，真命题是( )
A．∃x0∈R，≤0
B．∀x∈R,2x>x2
C．a＋b＝0的充要条件是＝－1
D．“a>1，b>1”是“ab>1”的充分条件
答案 D
解析 因为y＝ex>0，x∈R恒成立，所以A不正确；
因为当x＝－5时，2－5<(－5)2，所以B不正确；
“＝－1”是“a＋b＝0”的充分不必要条件，C不正确；
当a>1，b>1时，显然ab>1，D正确．
8．(2018·东莞外国语学校月考)已知命题p：∃x0∈R，cos x0＝；命题q：∀x∈R，x2－x＋1>0.则下列结论正确的是( )
A．命题p∧q是真命题
B．命题p∧(綈q)是真命题
C．命题(綈p)∧q是真命题
D．命题(綈p)∨(綈q)是假命题
答案 C
解析 因为对任意x∈R，都有cos x≤1成立，而>1，所以命题p：∃x0∈R，cos x0＝是假命题；因为对任意的x∈R，x2－x＋1＝2＋>0，
所以命题q：∀x∈R，x2－x＋1>0是真命题．
由此对照各个选项，可知命题(綈p)∧q是真命题．
9．命题p的否定是“对所有正数x，>x＋1”，则命题p可写为______________．
答案 ∃x0∈(0，＋∞)，≤x0＋1
解析 因为p是綈p的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否定即可．
10．若命题“对∀x∈R，kx2－kx－1<0”是真命题，则k的取值范围是________________．
答案 (－4,0]
解析 “对∀x∈R，kx2－kx－1<0”是真命题，当k＝0时，则有－1<0；当k≠0时，则有k<0且Δ＝(－k)2－4×k×(－1)＝k2＋4k<0，解得－40，由题意知，其为真命题，即Δ＝(a－1)2－4×2×<0，则－22x，p2：∃θ0∈R，sin θ0＋cos θ0＝，则在命题q1：p1∨p2；q2：p1∧p2；q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2)中，真命题是________．
答案 q1，q4
解析 因为y＝x在R上是增函数，即y＝x>1在(0，＋∞)上恒成立，所以命题p1是真命题；sin θ＋cos θ＝sin≤，所以命题p2是假命题，綈p2是真命题，所以命题q1：p1∨p2，q4：p1∧(綈p2)是真命题．
13．(2018·三明模拟)已知命题p：∃x0∈R，使tan x0＝1；命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|11时，f′(x)>0，函数f(x)＝在(1，＋∞)上是单调递增函数；当0m(x2＋1)，q：函数f(x)＝4x＋2x＋1＋m－1存在零点．若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则实数m的取值范围是____________．
答案
解析 ∀x∈，2x>m(x2＋1)，即m<＝在上恒成立，当x＝时，max＝，∴min＝，
∴由p真得m<.
设t＝2x，则t∈(0，＋∞)，则函数f(x)化为g(t)＝t2＋2t＋m－1，由题意知g(t)在(0，＋∞)上存在零点，令g(t)＝0，得m＝－(t＋1)2＋2，又t>0，所以由q真得m<1.
又“p∨q”为真，“p∧q”为假，∴p，q一真一假，
则或解得≤m<1.
故所求实数m的取值范围是.
