【数学】2019届一轮复习北师大版集合的概念与运算学案
第1讲 集合的概念与运算
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点1 集合与元素
1．集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
2．元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或∉表示．
3．集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
4．常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
考点2 集合间的基本关系
表示
关系
文字语言
符号语言
相等
集合A与集合B中的所有元素相同
A⊆B且B⊆A⇔A＝B
子集
A中任意一个元素均为B中的元素
A⊆B或B⊇A
真子集
A中任意一个元素均为B
AB或BA
中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素
空集
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
∅⊆A∅B(B≠∅)
考点3 集合的基本运算
[必会结论]
1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2.
2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.
3．A∩(∁UA)＝∅；A∪(∁UA)＝U；∁U(∁UA)＝A.
[考点自测]
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)集合{x|y＝}与集合{y|y＝}是同一个集合．( )
(2)已知集合A＝{x|mx＝1}，B＝{1,2}，且A⊆B，则实数m＝1 或m＝.( )
(3)M＝{x|x≤1}，N＝{x|x>ρ}，要使M∩N＝∅，则ρ所满足的条件是ρ≥1.( )
(4)若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中有4个元素．( )
(5)若5∈{1，m＋2，m2＋4}，则m的取值集合为{1，－1,3}．( )
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
2．[2017·北京高考]若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，则A∩B＝( )
A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－2＜x＜3}
C．{x|－1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3}
答案 A
解析 ∵A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，
∴A∩B＝{x|－2＜x＜－1}．故选A.
3．[课本改编]已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|0
1} D．A∩B＝∅
答案 A
解析 ∵B＝{x|3x＜1}，∴B＝{x|x＜0}．
又A＝{x|x＜1}，∴A∩B＝{x|x＜0}，A∪B＝{x|x＜1}．
故选A.
5．[2018·重庆模拟]已知集合A＝{x∈N|πx<16}，B＝{x|x2－5x＋4<0}，则A∩(∁RB)的真子集的个数为( )
A．1 B．3
C．4 D．7
答案 B
解析 因为A＝{x∈N|πx<16}＝{0,1,2}，B＝{x|x2－5x＋4<0}＝{x|17}，B＝{x|x<2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是________．
答案 (－∞，－1]
解析 由题意知2m－1≤－3，m≤－1，∴m的取值范围是(－∞，－1]．
本例中的B改为B＝{x|m＋
1≤x≤2m－1}，其余不变，该如何求解？
解 当B＝∅时，有m＋1>2m－1，则m<2.
当B≠∅时，或
解得m>6.综上可知m的取值范围是(－∞，2)∪(6，＋∞)．
本例中的A改为A＝{x|－3≤x≤7}，B改为B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，又该如何求解？
解 当B＝∅时，满足B⊆A，此时有m＋1>2m－1，即m<2；当B≠∅时，要使B⊆A，则有解得2≤m≤4.
综上可知m的取值范围是(－∞，4]．
触类旁通
根据两集合的关系求参数的方法
(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
【变式训练2】 设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．
(1)若a＝，试判定集合A与B的关系；
(2)若BA，求实数a组成的集合C.
解 (1)由x2－8x＋15＝0，
得x＝3或x＝5，∴A＝{3,5}．
若a＝，由ax－1＝0，得x－1＝0，即x＝5.
∴B＝{5}．∴BA.
(2)∵A＝{3,5}，又BA，
故若B＝∅，则方程ax－1＝0无解，有a＝0；
若B≠∅，则a≠0，由ax－1＝0，得x＝.
∴＝3或＝5，即a＝或a＝.
故C＝.
考向 集合的基本运算
命题角度1 集合的交集及运算
例 3 [2017·山东高考]设集合M＝{x||x－1|<1}，N＝{x|x<2}，则M∩N＝( )
A．(－1,1) B．(－1,2)
C．(0,2) D．(1,2)
答案 C
解析 ∵M＝{x|00}，B＝{y|y＝ex＋1}，则A∪B等于( )
A．{x|x<2} B．{x|11} D．{x|x>0}
答案 D
解析 由2x－x2>0得01，故B＝{y|y>1}，所以A∪B＝{x|x>0}．故选D.
命题角度3 集合的补集及运算
例 5 [2016·浙江高考]已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁RQ)＝( )
A．[2,3]
B．(－2,3]
C．[1,2)
D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)
答案 B
解析 ∵Q＝(－∞，－2]∪[2，＋∞)，∴∁RQ＝(－2,2)，∴P∪(∁RQ)＝(－2,3]．故选B.
命题角度4 抽象集合的运算
例 6 [2018·唐山统一测试]若全集U＝R，集合A＝≤0，B＝{x|2x<1}，则下图中阴影部分表示的集合是( )
A．{x|2－1.
9．[2018·郑州模拟]已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________.
答案 －1 1
解析 A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－50或y＝－1，－2}，(∁RA)∩B＝{－1，－2}．所以D正确．
2．[2018·湖南模拟]设常数a∈R，集合A＝{x|(x－1)(x－a)≥0}，B＝{x|x≥a－1}，若A∪B＝R，则a的取值范围为( )
A．(－∞，2) B．(－∞，2]
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
答案 B
解析 集合A讨论后利用数轴可知或
解得1≤a≤2或a≤1，即a≤2.故选B.
3．已知数集A＝{a1，a2，…，an}(1≤a17}．
又Q＝{x|x2－3x－10≤0}＝{x|－2≤x≤5}，所以(∁RP)∩Q＝{x|x<4或x>7}∩{x|－2≤x≤5}＝{x|－2≤x＜4}．
(2)当P≠∅时，由P∪Q＝Q得P⊆Q，
所以解得0≤a≤2；
当P＝∅，即2a＋1
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