【数学】2021届一轮复习北师大版（文）第二章 第1讲 函数及其表示学案
第1讲 函数及其表示
一、知识梳理
1．函数与映射的概念
函数
映射
两集合A，B
设A，B是两个非空的数集
设A，B是两个非空的集合
对应关系f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
y＝f(x)(x∈A)
对应f：A→B是一个映射
2.函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)函数的表示法
表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．
[注意] 函数图象的特征：与x轴垂直的直线与其最多有一个公共点．利用这个特征可以判断一个图形能否作为一个函数的图象．
3．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
[注意] 分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
二、教材衍化
1．下列四个图形中，不是以x为自变量的函数的图象是( )
答案：C
2．下列哪个函数与y＝x相等( )
A．y＝ B．y＝2log2x
C．y＝ D．y＝()3
答案：D
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对于函数f：A→B，其值域是集合B.( )
(2)函数f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一函数．( )
(3)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．( )
(4)函数f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点．( )
(5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)×
二、易错纠偏
(1)对函数概念理解不透彻；
(2)解分段函数不等式忽视范围．
1．下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是( )
A．y＝()2 B．y＝3＋1
C．y＝＋1 D．y＝＋1
解析：选B.对于A.函数y＝()2的定义域为{x|x≥－1}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B.定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C.函数y＝
＋1的定义域为{x|x≠0}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数．
2．设函数f(x)＝则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为 ．
解析：当x<1时，|x|≥1，所以x≥1或x≤－1.
所以x≤－1；
当x≥1时，3x－5≥1，所以x≥2.
所以x≥2；所以x的取值范围为(－∞，－1]∪[2，＋∞)．
答案：(－∞，－1]∪[2，＋∞)
函数的定义域(多维探究)
角度一 求函数的定义域
(2020·陕西汉中一模)函数f(x)＝＋ln(2x＋1)的定义域为( )
A. B.
C. D.
【解析】 要使函数f(x)有意义，需满足解得－
0，
所以x<，所以＝1，所以a＝2.
3．(2020·山东安丘质量检测)已知函数f(x)的定义域为[0，2]，则函数g(x)＝f＋的定义域为( )
A．[0，3] B．[0，2]
C．[1，2] D．[1，3]
解析：选A.由题意，可知x满足解得0≤x≤3，即函数g(x)的定义域为[0，3]，故选A.
函数的解析式(师生共研)
(1)已知f＝lg x，则f(x)的解析式为 ．
(2)若f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2，则f(x)的解析式为 ．
(3)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，则f(x)的解析式为 ．
【解析】 (1)(换元法)令＋1＝t，由于x>0，
所以t>1且x＝，
所以f(t)＝lg，
即f(x)的解析式是f(x)＝lg(x>1)．
(2)(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
又f(0)＝c＝3.
所以f(x)＝ax2＋bx＋3，
所以f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2.
所以
所以
所以所求函数的解析式为f(x)＝x2－x＋3.
(3)(解方程组法)因为2f(x)＋f(－x)＝2x，①
将x换成－x得2f(－x)＋f(x)＝－2x，②
由①②消去f(－x)，得3f(x)＝6x，
所以f(x)＝2x.
【答案】 (1)f(x)＝lg(x＞1) (2)f(x)＝x2－x＋3 (3)f(x)＝2x
求函数解析式的4种方法
1．(一题多解)已知二次函数f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，则f(x)＝ ．
解析：法一(换元法)：令2x＋1＝t(t∈R)，则x＝，
所以f(t)＝4－6·＋5＝t2－5t＋9(t∈R)，
所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．
法二(配凑法)：因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5＝(2x＋1)2－10x＋4＝(2x＋1)2－5(2x＋1)＋9，
所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．
法三(待定系数法)：因为f(x)是二次函数，所以设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(2x＋1)＝a(2x＋1)2＋b(2x＋1)＋c＝4ax2＋(4a＋2b)x＋a＋b＋c.
因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，
所以解得
所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．
答案：x2－5x＋9(x∈R)
2．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝ ．
解析：因为－1≤x≤0，所以0≤x＋1≤1，所以f(x)＝f(x＋1)＝(x＋1)[1－(x＋1)]＝－x(x＋1)．故当－1≤x≤0时，f(x)＝－x(x＋1)．
答案：－x(x＋1)
分段函数(多维探究)
角度一 求分段函数的函数值
(1)(2020·合肥一检)已知函数f(x)＝则f(f(1))＝( )
A．－ B．2
C．4 D．11
(2)(2020·山西太原三中模拟)设函数f(x)＝若f(m)＝3，则f＝ ．
【解析】 (1)因为f(1)＝12＋2＝3，所以f(f(1))＝f(3)＝3＋＝4.故选C.
(2)当m≥2时，m2－1＝3，所以m＝2或m＝－2(舍)；
当00，则实数a的取值范围为( )
A．(1，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
解析：选D.当a>0时，不等式a[f(a)－f(－a)]>0可化为a2＋a－3a>0，解得a>2.当a<0时．不等式a[f(a)－f(－a)]>0可化为－a2－2a<0，解得a<－2.综上所述，a的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
3．(2020·安徽安庆二模)已知函数f(x)＝若实数a满足f(a)＝f(a－1)，则f＝ ．
解析：由题意得a>0.当00且x－1≠1.由此解得x>1且x≠2，即函数y＝的定义域是(1，2)∪(2，＋∞)．
2．已知f＝2x－5，且f(a)＝6，则a等于( )
A．－ B.
C. D．－
解析：选B.令t＝x－1，则x＝2t＋2，
所以f(t)＝2(2t＋2)－5＝4t－1，
所以f(a)＝4a－1＝6，即a＝.
3．(2020·江西南昌一模)设函数f(x)＝
则f(5)的值为( )
A．－7 B．－1
C．0 D.
解析：选D.f(5)＝f(5－3)＝f(2)＝f(2－3)＝f(－1)＝(－1)2－2－1＝.故选D.
4．已知f＝＋，则f(x)等于( )
A．(x＋1)2(x≠1) B．(x－1)2(x≠1)
C．x2－x＋1(x≠1) D．x2＋x＋1(x≠1)
解析：选C.f＝＋＝－＋1，令＝t(t≠1)，则f(t)＝t2－t＋1，即f(x)＝x2－x＋1(x≠1)．
5．设函数f(x)＝则f(f(2))＝ ，函数f(x)的值域是 ．
解析：因为f(2)＝，
所以f(f(2))＝f＝－－2＝－.
当x>1时，f(x)∈(0，1)，
当x≤1时，f(x)∈[－3，＋∞)，
所以f(x)∈[－3，＋∞)．
答案：－ [－3，＋∞)
6．若函数f(x)在闭区间[－1，2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为 ．
解析：由题图可知，当－1≤x<0时，f(x)＝x＋1；当0≤x≤2时，f(x)＝－x，所以f(x)＝
答案：f(x)＝
7．已知f(x)＝则使f(x)≥－1成立的x的取值范围是 ．
解析：由题意知或
解得－4≤x≤0或0＜x≤2，故x的取值范围是[－4，2]．
答案：[－4，2]
8．设函数f(x)＝且f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)画出f(x)的图象．
解：(1)由f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)得解得a＝－1，b＝1，所以f(x)＝
(2)f(x)的图象如图所示．
[综合题组练]
1．(2020·海淀期末)下列四个函数：①y＝3－x；②y＝2x－1(x>0)；③y＝x2＋2x－10；④y＝其中定义域与值域相同的函数的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B.①y＝3－x的定义域与值域均为R，②y＝2x－1(x>0)的定义域为(0，＋∞)，值域为，③y＝x2＋2x－10的定义域为R，值域为[－11，＋∞)，④y＝的定义域和值域均为R.所以定义域与值域相同的函数是①④，共有2个，故选B.
2．(创新型)设f(x)，g(x)都是定义在实数集上的函数，定义函数(f·g)(x)：对任意的x∈R，(f·g)(x)＝f(g(x))．若f(x)＝g(x)＝则( )
A．(f·f)(x)＝f(x) B．(f·g)(x)＝f(x)
C．(g·f)(x)＝g(x) D．(g·g)(x)＝g(x)
解析：选A.对于A，(f·f)(x)＝f(f(x))＝当x>0时，f(x)＝x>0，(f·f)(x)＝f(x)＝x；当x<0时，f(x)＝x2>0，(f·f)(x)＝f(x)＝x2；当x＝0时，(f·f)(x)＝f 2(x)＝0＝02，因此对任意的x∈R，有(f·f)(x)＝f(x)，故A正确，选A.
3．(2020·河南驻马店模拟考试)已知函数f(x)＝则f(x＋1)－9≤0的解集为 ．
解析：因为f(x)＝
所以当x＋1≤0时，解得－4≤x≤－1；
当x＋1>0时，解得x>－1.
综上，x≥－4，即f(x＋1)－9≤0的解集为[－4，＋∞)．
答案：[－4，＋∞)
4．(创新型)设函数f(x)的定义域为D，若对任意的x∈D，都存在y∈D，使得f(y)＝－f(x)成立，则称函数f(x)为“美丽函数”，下列所给出的几个函数：
①f(x)＝x2；②f(x)＝；
③f(x)＝ln(2x＋3)；④f(x)＝2sin x－1.
其中是“美丽函数”的序号有 ．
解析：由已知，在函数定义域内，对任意的x都存在着y，使x所对应的函数值f(x)与y所对应的函数值f(y)互为相反数，即f(y)＝－f(x)．故只有当函数的值域关于原点对称时才会满足“美丽函数”的条件．
①中函数的值域为[0，＋∞)，值域不关于原点对称，故①不符合题意；
②中函数的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域关于原点对称，故②符合题意；
③中函数的值域为(－∞，＋∞)，值域关于原点对称，故③符合题意；
④中函数f(x)＝2sin x－1的值域为[－3，1]，不关于原点对称，故④不符合题意．故本题正确答案为②③.
答案：②③
