【数学】2019届高考一轮复习北师大版理2-9函数模型及其应用学案
第9讲 函数模型及其应用
1．几种常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，
a>0且a≠1，b≠0)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c
(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
幂函数模型
f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)
2.三种函数模型性质比较
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)
上的单调性
增函数
增函数
增函数
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x值增大，图象与y轴接近平行
随x值增大，图象与x轴接近平行
随n值变化而不同
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)幂函数增长比一次函数增长更快．( )
(2)在(0，＋∞)内，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xα(α>0)的增长速度．( )
(3)指数型函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题．( )
(4)不存在x0，使ax0
0，解得x≥2.3，因为x为整数，所以3≤x≤6.
当x>6时，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115.
令－3x2＋68x－115>0，有3x2－68x＋115<0，结合x为整数得6185，
所以当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．
一次函数、二次函数及分段函数
模型的选取与应用策略
(1)在实际问题中，若两个变量之间的关系是直线上升或直线下降或图象为直线(或其一部分)，一般构建一次函数模型，利用一次函数的图象与性质求解．
(2)实际问题中的如面积问题、利润问题、产量问题或其图象为抛物线(或抛物线的一部分)等一般选用二次函数模型，根据已知条件确定二次函数解析式．结合二次函数的图象、最值求法、单调性、零点等知识将实际问题解决．
(3)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．但应关注以下两点：
①构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏；
②分段函数的最值是各段的最大(或最小)值中的最大(或最小)值．
[提醒] (1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域．
(2)对构建的较复杂的函数模型，要适时地用换元法转化为熟悉的函数问题求解．
[通关练习]
1．某种新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克，如图所示为函数y＝f(x)的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为( )
A．上午10：00 B．中午12：00
C．下午4：00 D．下午6：00
解析：选C.当x∈[0，4]时，设y＝k1x，
把(4，320)代入，得k1＝80，所以y＝80x.
当x∈[4，20]时，设y＝k2x＋b.把(4，320)，(20，0)分别代入
可得所以y＝400－20x.
所以y＝f(x)＝由y≥240，
得或
解得3≤x≤4或40)模型
[典例引领]
小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝x2＋x(万元)．在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋－38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(
注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
【解】 (1)因为每件商品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元，
依题意得，当00)模型的关键点
(1)明确对勾函数是正比例函数f(x)＝ax与反比例函数f(x)＝叠加而成的．
(2)解决实际问题时一般可以直接建立f(x)＝ax＋的模型，有时可以将所列函数解析式转化为f(x)＝ax＋的形式．
[提醒] (1)解决此类问题时一定要关注函数的定义域．
(2)利用模型f(x)＝ax＋求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件．
某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室，在矩形温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大面积是多少？
解：设矩形温室的左侧边长为x m，则后侧边长为 m，
所以蔬菜种植面积y＝(x－4)＝808－2(4200，即1.12x>⇒x>＝≈＝3.8，所以该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年．
(2)M＝lg 1 000－lg 0.001＝3－(－3)＝6.
设9级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为A1，A2，则9＝lg A1－lg A0＝lg ，则＝109，
5＝lg A2－lg A0＝lg ，则＝105，所以＝104.
即9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10 000倍．
【答案】 (1)B (2)6 10 000
指数型、对数型函数模型
(1)在实际问题中，有
关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解．
(2)有关对数型函数的应用题，一般都会给出函数解析式，要求根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据值回答其实际意义．
(2018·湛江模拟)一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．
解析：当t＝0时，y＝a；
当t＝8时，y＝ae－8b＝a，故e－8b＝.
当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝ae－bt＝a，e－bt＝＝(e－8b)3＝e－24b，则t＝24，所以再经过16 min容器中的沙子只有开始时的八分之一．
答案：16
解决实际应用问题的四大步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题．
以上过程用框图表示如下：
“对勾”函数的性质
函数f(x)＝x＋(a>0)．
(1)该函数在(－∞，－]和[，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0，]上单调递减．
(2)当x>0时，x＝时取最小值2；
当x<0时，x＝－时取最大值－2.
易错防范
(1)易忽视实际问题的自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域．
(2)注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．
1.如图，在不规则图形ABCD中，AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线l⊥AB于E，当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时，把图形ABCD分成两部分，设AE＝x，左侧部分面积为y，则y关于x的大致图象为( )
解析：选D.因为左侧部分面积为y，随x的变化而变化，最初面积增加得快，后来均匀增加，最后缓慢增加，只有D选项适合．
2．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如表：
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
－0.99
－0.01
0.98
2.00
则对x，y最适合的拟合函数是( )
A．y＝2x B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝log2x
解析：选D.根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．
3．利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的关系可近似地表示为y＝－30x＋4 000，则每吨的成本最低时的年产量为( )
A．240吨 B．200吨
C．180吨 D．160吨
解析：选B.依题意，得每吨的成本为＝＋－30，则≥2－30＝10，
当且仅当＝， 即x＝200时取等号，
因此，当每吨成本最低时，年产量为200吨．
4．(2018·福建质检)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( )
A．8 B．9
C．10 D．11
解析：选C.设死亡生物体内原有的碳14含量为1，则经过n(n∈N*)个“半衰期”后的含量为，由<得n≥10.所以，若探测不到碳14含量，则至少经过了10个“半衰期”．故选C.
5．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同的路程，三辆汽车中，甲车消耗汽油量最多
C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该城市用丙车比用乙车更省油
解析：选D.根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对．
6.有一批材料可以建成200 m长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成矩形的最大面积为________．(围墙厚度不计)
解析：设矩形的长为x m，宽为m，
则S＝x·＝(－x2＋200x)．
当x＝100时，Smax＝2 500 m2.
答案：2 500 m2
7．(2018·上海宝山区模拟)王先生购买了一部手机，欲使用中国移动“神州行”卡或加入联通的130网，经调查其收费标准见下表：(注：本地话费以分为计费单位，长途话费以秒为计费单位)
网络
月租费
本地话费
长途话费
甲：联通130
12元
0.36元/分
0.06元/秒
乙：移动“神州行”
无
0.60元/分
0.07元/秒
若王先生每月拨打本地电话的时间是拨打长途电话时间的5倍，若用联通130应最少打________秒长途电话才合算．
解析：设王先生每月拨打长途电话的时间为x分钟，所需话费为y元，若使用联通130，则所需话费y元与通话时间x分钟的函数关系式为y＝12＋0.36×5x＋3.6x＝5.4x＋12；若使用移动“神州行”，则所需话费y元与通话时间x分钟的函数关系式为y＝0.6×5x＋4.2x＝7.2x.若用联通130合算，则5.4x＋12≤7.2x，解得x≥(分钟)＝400(秒)．
答案：400
8．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，则y(万元)与x(件)的函数关系式为________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大(年利润＝年销售总收入－年总投资)．
解析：当0＜x≤20时，y＝(33x－x2)－x－100＝－x2＋32x－100；当x＞20时，y＝260－100－x＝160－x.
故y＝(x∈N*)．
当0＜x≤20时，y＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156，x＝16时，ymax＝156.而当x＞20时，160－x＜140，故x＝16时取得最大年利润．
答案：y＝(x∈N*) 16
9．A，B两城相距100 km，在两城之间距A城x(km)处建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A城供电量为每月20亿度，B城供电量为每月10亿度．
(1)求x的取值范围；
(2)把月供电总费用y表示成x的函数；
(3)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用y最少？
解：(1)x的取值范围为10≤x≤90.
(2)y＝5x2＋(100－x)2(10≤x≤90)．
(3)因为y＝5x2＋(100－x)2＝x2－500x＋25 000＝＋，所以当x＝时，ymin＝
.故核电站建在距A城 km处，能使供电总费用y最少．
10．某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到(15－0.1x)万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格．问：
(1)每套丛书售价定为100元时，书商所获得的总利润是多少万元？
(2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？解：(1)每套丛书售价定为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，所以每套丛书的供货价格为30＋＝32(元)，
故书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元)．
(2)每套丛书售价定为x元时，由得00，所以P＝－[(150－x)＋]＋120，
又(150－x)＋≥2＝2×10＝20，
当且仅当150－x＝，即x＝140时等号成立，
所以Pmax＝－20＋120＝100.
故每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，为100元．
1．已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某商人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)．如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是( )
A．40万元 B．60万元
C．120万元 D．140万元
解析：选C.甲6元时该商人全部买入甲商品，可以买120÷6＝20(万份)，在t2时刻全部卖出，此时获利20×2＝40(万元)，乙4元时该商人买入乙商品，可以买(120＋40)÷4＝40(万份)，
在t4时刻全部卖出，此时获利40×2＝80(万元)，共获利40＋80＝120(万元)，故选C.
2．我们定义函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)为“下整函数”；定义y＝{x}({x}表示不小于x的最小整数)为“上整函数”；例如[4.3]＝4，[5]＝5；{4.3}＝5，{5}＝5.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时(包括1小时)收费2元，超过一小时，不超过2小时(包括2小时)收费4元，以此类推．若李刚停车时间为x小时，则李刚应付费为(单位：元)( )
A．2[x＋1] B．2([x]＋1)
C．2{x} D．{2x}
解析：选C.如x＝1时，应付费2元，
此时2[x＋1]＝4，2([x]＋1)＝4，排除A，B；当x＝0.5时，付费为2元，此时{2x}＝1排除D，故选C.
3．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在 0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．
解析：由已知条件，得192＝eb，
所以b＝ln 192.
又因为 48＝e22k＋b＝e22k＋ln 192＝192e22k＝192(e11k)2，
所以e11k＝()＝()＝.
设该食品在33 ℃的保鲜时间是t小时，则t＝e33k＋ln 192＝192e33k＝192(e11k)3＝192×()3＝24.
答案：24
4．某超市2017年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型．
①f(x)＝p·qx(q>0，q≠1)；
②f(x)＝logpx＋q(p>0，p≠1)；
③f(x)＝x2＋px＋q.
(1)能较准确反映超市月销售额f(x)与月份x关系的函数模型为________．
(2)若所选函数满足f(1)＝10，f(3)＝2，则f(x)min＝________．
解析：(1)因为f(x)＝pqx，f(x)＝logpx＋q是单调函数，f(x)＝x2＋px＋q中，f′(x)＝2x＋p，令f′(x)＝0，得x＝－p，f(x)有一个零点，可以出现一个递增区间和一个递减区间，所以应选③f(x)＝x2＋px＋q模拟函数．
(2)因为f(1)＝10，f(3)＝2，
所以
解得，p＝－8，q＝17，
所以f(x)＝x2－8x＋17＝(x－4)2＋1，所以f(x)min＝f(4)＝1.
答案：(1)③ (2)1
5．声强级Y(单位：分贝)由公式Y＝10lg给出，其中I为声强(单位：W/m2)．
(1)平常人交谈时的声强约为10－6W/m2，求其声强级；
(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？
(3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y≤50分贝，已知熄灯后两位同学在宿舍说话的声强为5×10－7W/m2，问这两位同学是否会影响其他同学休息？
解：(1)当声强为10－6W/m2时，由公式Y＝10lg得Y＝10lg＝10lg 106＝60(分贝)．
(2)当Y＝0时，由公式Y＝10lg
得10lg＝0.
所以＝1，即I＝10－12W/m2，
则最低声强为10－12W/m2.
(3)当声强为5×10－7W/m2时，声强级Y＝10lg＝10lg(5×105)＝50＋10lg 5，
因为50＋10lg 5>50，
所以这两位同学会影响其他同学休息．
6．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得投资收益的范围是[10，100](单位：万元)．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加且资金不超过5万元，同时资金不超过投资收益的20%.
(1)若建立函数模型y＝f(x)制定奖励方案，请你根据题意，写出奖励函数模型应满足的条件；
(2)现有两个奖励函数模型：(ⅰ)y＝x＋1；
(ⅱ)y＝log2x－2.试分析这两个函数模型是否符合公司要求．
解：(1)设奖励函数模型为y＝f(x)，
则该函数模型满足的条件是：
①当x∈[10，100]时，f(x)是增函数；
②当x∈[10，100]时，f(x)≤5恒成立．
③当x∈[10，100]时，f(x)≤恒成立．
(2)(a)对于函数模型(ⅰ)y＝x＋1，
它在[10，100]上是增函数，满足条件①；
但当x＝80时，y＝5，因此，当x>80时，y>5，不满足条件②；
故该函数模型不符合公司要求．
(b)对于函数模型(ⅱ)y＝log2x－2，它在[10，100]上是增函数，满足条件①，
x＝100时，ymax＝log2100－2＝2log25<5，即f(x)≤5恒成立．满足条件②，
设h(x)＝log2x－2－x，则h′(x)＝－，
又x∈[10，100]，
所以≤≤，
所以h′(x)<－<－＝0，
所以h(x)在[10，100]上是递减的，因此h(x)0，b>0时 当a＝b＝1时，函数化为f(x)＝x＋.
①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．②奇偶性：f(－x)＝－x＋＝－＝－f(x)，函数为奇函数．之后只需讨论x>0时的情况.，③单调性：Δy＝(x1x2－1)，令x1＝x2＝x，x1x2－1＝0，解得x＝1，当00，b>0)①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．②奇偶性：f(－x)＝－f(x)，函数为奇函数.，③单调性：Δy＝(ax1x2－b)，同情况1，x＝，得f(x)在上为增函数，在上为减函数．④渐近线：当x→0＋时，y→－；当x→＋∞时，y→－ax＋.⑤图象略．⑥值域：当x＝时，f(x)＝－a－＝－2，即为最大值－2，值域为.
当a>0，b<0时
当a＝1，b＝－1时，函数化为f(x)＝x－.①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．②奇偶性：f(－x)＝－＝－f(x)，函数为奇函数.，③单调性：Δy＝(x1x2＋1)，得Δy>0，f(x)为增函数．④渐近线：当x→0＋时，y→－；当x→＋∞时y→x＋.⑤作出函数图象，如图3.⑥值域为(－∞，＋∞)．
改函数为f(x)＝ax－(此时b>0)．①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．②奇偶性：f(－x)＝－＝－f(x)，函数为奇函数.，③单调性：Δy＝(ax1x2＋b)，得Δy>0，f
(x)为增函数．④渐近线：当x→0＋时，y→－；当x→＋∞时，y→ax＋.⑤图象略．⑥值域为(－∞，＋∞)．
当a<0，b>0时此情况与情况3基本相同，作出函数图象，如图4.设函数为
f(x)＝－ax＋(此时a>0)．①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．②奇偶性：f(－x)＝－f(x)，函数为奇函数．③单调性：Δy＝·(ax1x2＋b)(x>0)，得Δy<0，f(x)为减函数．④渐近线：当x→0＋时，y→；当x→＋∞时，y→－ax＋.⑤图象略．⑥值域为.
1.如图，在不规则图形ABCD中，AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线l⊥AB于E，当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时，把图形ABCD分成两部分，设AE＝x，左侧部分面积为y，则y关于x的大致图象为( )
解析：选D.因为左侧部分面积为y，随x的变化而变化，最初面积增加得快，后来均匀增加，最后缓慢增加，只有D选项适合．
2．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如表：
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
－0.99
－0.01
0.98
2.00
则对x，y最适合的拟合函数是( )
A．y＝2x B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝log2x
解析：选D.根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．
3．利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的关系可近似地表示为y＝－30x＋4 000，则每吨的成本最低时的年产量为( )
A．240吨 B．200吨
C．180吨 D．160吨
解析：选B.依题意，得每吨的成本为＝＋－30，则≥2－30＝10，
当且仅当＝， 即x＝200时取等号，
因此，当每吨成本最低时，年产量为200吨．
4．(2018·福建质检)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( )
A．8 B．9
C．10 D．11
解析：选C.设死亡生物体内原有的碳14含量为1，则经过n(n∈N*)个“半衰期”
后的含量为，由<得n≥10.所以，若探测不到碳14含量，则至少经过了10个“半衰期”．故选C.
5．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同的路程，三辆汽车中，甲车消耗汽油量最多
C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该城市用丙车比用乙车更省油
解析：选D.根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对．
6.有一批材料可以建成200 m长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成矩形的最大面积为________．(围墙厚度不计)
解析：设矩形的长为x m，宽为m，
则S＝x·＝(－x2＋200x)．
当x＝100时，Smax＝2 500 m2.
答案：2 500 m2
7．(2018·上海宝山区模拟)王先生购买了一部手机，欲使用中国移动“神州行”卡或加入联通的130网，经调查其收费标准见下表：(注：本地话费以分为计费单位，长途话费以秒为计费单位)
网络
月租费
本地话费
长途话费
甲：联通130
12元
0.36元/分
0.06元/秒
乙：移动“神州行”
无
0.60元/分
0.07元/秒
若王先生每月拨打本地电话的时间是拨打长途电话时间的5倍，若用联通130应最少打________秒长途电话才合算．
解析：设王先生每月拨打长途电话的时间为x分钟，所需话费为y元，若使用联通130，则所需话费y元与通话时间x分钟的函数关系式为y＝12＋0.36×5x＋3.6x＝5.4x＋12；若使用移动“神州行”，则所需话费y元与通话时间x分钟的函数关系式为y＝0.6×5x＋4.2x＝7.2x.若用联通130合算，则5.4x＋12≤7.2x，解得x≥(分钟)＝400(秒)．
答案：400
8．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，则y(万元)与x(件)的函数关系式为________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大(年利润＝年销售总收入－年总投资)．
解析：当0＜x≤20时，y＝(33x－x2)－x－100＝－x2＋32x－100；当x＞20时，y＝260－100－x＝160－x.
故y＝(x∈N*)．
当0＜x≤20时，y＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156，x＝16时，ymax＝156.而当x＞20时，160－x＜140，故x＝16时取得最大年利润．
答案：y＝(x∈N*) 16
9．A，B两城相距100 km，在两城之间距A城x(km)处建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A城供电量为每月20亿度，B城供电量为每月10亿度．
(1)求x的取值范围；
(2)把月供电总费用y表示成x的函数；
(3)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用y最少？
解：(1)x的取值范围为10≤x≤90.
(2)y＝5x2＋(100－x)2(10≤x≤90)．
(3)因为y＝5x2＋(100－x)2＝x2－500x＋25 000＝＋，所以当x＝时，ymin＝
.故核电站建在距A城 km处，能使供电总费用y最少．
10．某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到(15－0.1x)万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格．问：
(1)每套丛书售价定为100元时，书商所获得的总利润是多少万元？
(2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？解：(1)每套丛书售价定为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，所以每套丛书的供货价格为30＋＝32(元)，
故书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元)．
(2)每套丛书售价定为x元时，由得00，所以P＝－[(150－x)＋]＋120，
又(150－x)＋≥2＝2×10＝20，
当且仅当150－x＝，即x＝140时等号成立，
所以Pmax＝－20＋120＝100.
故每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，为100元．
1．已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某商人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)．如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是( )
A．40万元 B．60万元
C．120万元 D．140万元
解析：选C.甲6元时该商人全部买入甲商品，可以买120÷6＝20(万份)，在t2时刻全部卖出，此时获利20×2＝40(万元)，乙4元时该商人买入乙商品，可以买(120＋40)÷4＝40(万份)，
在t4时刻全部卖出，此时获利40×2＝80(万元)，共获利40＋80＝120(万元)，故选C.
2．我们定义函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)为“下整函数”；定义y＝{x}({x}表示不小于x的最小整数)为“上整函数”；例如[4.3]＝4，[5]＝5；{4.3}＝5，{5}＝5.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时(包括1小时)收费2元，超过一小时，不超过2小时(包括2小时)收费4元，以此类推．若李刚停车时间为x小时，则李刚应付费为(单位：元)( )
A．2[x＋1] B．2([x]＋1)
C．2{x} D．{2x}
解析：选C.如x＝1时，应付费2元，
此时2[x＋1]＝4，2([x]＋1)＝4，排除A，B；当x＝0.5时，付费为2元，此时{2x}＝1排除D，故选C.
3．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在 0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．
解析：由已知条件，得192＝eb，
所以b＝ln 192.
又因为 48＝e22k＋b＝e22k＋ln 192＝192e22k＝192(e11k)2，
所以e11k＝()＝()＝.
设该食品在33 ℃的保鲜时间是t小时，则t＝e33k＋ln 192＝192e33k＝192(e11k)3＝192×()3＝24.
答案：24
4．某超市2017年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型．
①f(x)＝p·qx(q>0，q≠1)；
②f(x)＝logpx＋q(p>0，p≠1)；
③f(x)＝x2＋px＋q.
(1)能较准确反映超市月销售额f(x)与月份x关系的函数模型为________．
(2)若所选函数满足f(1)＝10，f(3)＝2，则f(x)min＝________．
解析：(1)因为f(x)＝pqx，f(x)＝logpx＋q是单调函数，f(x)＝x2＋px＋q中，f′(x)＝2x＋p，令f′(x)＝0，得x＝－p，f(x)有一个零点，可以出现一个递增区间和一个递减区间，所以应选③f(x)＝x2＋px＋q模拟函数．
(2)因为f(1)＝10，f(3)＝2，
所以
解得，p＝－8，q＝17，
所以f(x)＝x2－8x＋17＝(x－4)2＋1，所以f(x)min＝f(4)＝1.
答案：(1)③ (2)1
5．声强级Y(单位：分贝)由公式Y＝10lg给出，其中I为声强(单位：W/m2)．
(1)平常人交谈时的声强约为10－6W/m2，求其声强级；
(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？
(3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y≤50分贝，已知熄灯后两位同学在宿舍说话的声强为5×10－7W/m2，问这两位同学是否会影响其他同学休息？
解：(1)当声强为10－6W/m2时，由公式Y＝10lg得Y＝10lg＝10lg 106＝60(分贝)．
(2)当Y＝0时，由公式Y＝10lg
得10lg＝0.
所以＝1，即I＝10－12W/m2，
则最低声强为10－12W/m2.
(3)当声强为5×10－7W/m2时，声强级Y＝10lg＝10lg(5×105)＝50＋10lg 5，
因为50＋10lg 5>50，
所以这两位同学会影响其他同学休息．
6．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得投资收益的范围是[10，100](单位：万元)．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加且资金不超过5万元，同时资金不超过投资收益的20%.
(1)若建立函数模型y＝f(x)制定奖励方案，请你根据题意，写出奖励函数模型应满足的条件；
(2)现有两个奖励函数模型：(ⅰ)y＝x＋1；
(ⅱ)y＝log2x－2.试分析这两个函数模型是否符合公司要求．
解：(1)设奖励函数模型为y＝f(x)，
则该函数模型满足的条件是：
①当x∈[10，100]时，f(x)是增函数；
②当x∈[10，100]时，f(x)≤5恒成立．
③当x∈[10，100]时，f(x)≤恒成立．
(2)(a)对于函数模型(ⅰ)y＝x＋1，
它在[10，100]上是增函数，满足条件①；
但当x＝80时，y＝5，因此，当x>80时，y>5，不满足条件②；
故该函数模型不符合公司要求．
(b)对于函数模型(ⅱ)y＝log2x－2，它在[10，100]上是增函数，满足条件①，
x＝100时，ymax＝log2100－2＝2log25<5，即f(x)≤5恒成立．满足条件②，
设h(x)＝log2x－2－x，则h′(x)＝－，
又x∈[10，100]，
所以≤≤，
所以h′(x)<－<－＝0，
所以h(x)在[10，100]上是递减的，因此h(x)0，b>0时
当a＝b＝1时，函数化为f(x)＝x＋.
①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．②奇偶性：f(－x)＝－x＋＝－＝－f(x)，函数为奇函数．之后只需讨论x>0时的情况.，③单调性：Δy＝(x1x2－1)，令x1＝x2＝x，x1x2－1＝0，解得x＝1，当00，b>0)①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．②奇偶性：f(－x)＝－f(x)，函数为奇函数.，③单调性：Δy＝(ax1x2－b)，同情况1，x＝，得f(x)在上为增函数，在上为减函数．④渐近线：当x→0＋时，y→－；当x→＋∞时，y→－ax＋.⑤图象略．⑥值域：当x＝时，f(x)＝－a－＝－2，即为最大值－2，值域为.
当a>0，b<0时
当a＝1，b＝－1时，函数化为f(x)＝x－.①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．②奇偶性：f(－x)＝－＝－f(x)，函数为奇函数.，③单调性：Δy＝(x1x2＋1)，得Δy>0，f(x)为增函数．④渐近线：当x→0＋时，y→－；当x→＋∞时y→x＋.⑤作出函数图象，如图3.⑥值域为(－∞，＋∞)．
改函数为f(x)＝ax－(此时b>0)．①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．②奇偶性：f(－x)＝－＝－f(x)，函数为奇函数.，③单调性：Δy＝(ax1x2＋b)，得Δy>0，f
(x)为增函数．④渐近线：当x→0＋时，y→－；当x→＋∞时，y→ax＋.⑤图象略．⑥值域为(－∞，＋∞)．
当a<0，b>0时
此情况与情况3基本相同，作出函数图象，如图4.设函数为
f(x)＝－ax＋(此时a>0)．①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．②奇偶性：f(－x)＝－f(x)，函数为奇函数．③单调性：Δy＝·(ax1x2＋b)(x>0)，得Δy<0，f(x)为减函数．④渐近线：当x→0＋时，y→；当x→＋∞时，y→－ax＋.⑤图象略．⑥值域为.
