中考数学一轮复习专题图形折叠问题综合复习

中考数学一轮复习专题图形折叠问题综合复习

‎2019年中考数学一轮复习专题 ‎ 图形折叠问题 综合复习 一 选择题：‎ ‎1.如图，E是矩形ABCD中BC边的中点，将△ABE沿AE折叠到△AFE，F在矩形ABCD内部，延长AF交DC于G点，若∠AEB=55°，则∠DAF=(　　)‎ ‎  A．40°         B．35°    C．20°         D．15°‎ ‎ 　‎ ‎2.如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB=65°，则∠AED′等于（　　）‎ ‎ A．50° B．55° C．60° D．65°‎ ‎3.如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（　　）‎ ‎ A．12      B．24      C．12       D．16‎ ‎4.如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD=8，AB=4，则DE长为（　　）‎ ‎ A．3    B．4     C．5    D．6‎ ‎5.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF.若AB=3，则BC的长为（  ）‎ ‎ A．1         B．2 C.       D.‎ ‎6.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为（  ）‎ ‎ A．12          B．10 C．8          D．6‎ ‎7.如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC的点F处．若AE=5，BF=3，则CD的长是（　　）‎ ‎　    A.7     B.8       C．9       D． 10‎ ‎8.如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（　　）‎ ‎ A．78°    B．75°    C．60°   D．45°‎ ‎9.如图，将边长为12cm的正方形ABCD折叠，使得点A落在CD边上的点E处，折痕为MN．若CE的长为7cm，则MN的长为（　　）‎ ‎　  A． 10        B． 13        C． 15          D． 12   ‎ ‎10.如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内翻折，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH=12厘米，EF=16厘米，则边AD的长是 (    )‎ ‎ A．12厘米            B．16厘米        C．20厘米        D．28厘米 ‎11.如图，在矩形 OABC 中，OA=8，OC=4，沿对角线 OB 折叠后，点 A 与点 D 重合，OD 与 BC 交于点 E，则点 D 的坐标是（     ）‎ ‎ A．（4，8）  B．（5，8）  C．（，）    D．（，）‎ ‎12.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE=30°，，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处．则BC的长为（   ）‎ ‎ A.            B. 2          C. 3         D.‎ ‎13.如图，矩形纸片ABCD中，AD=3cm，点E在BC上，将纸片沿AE折叠，使点B落在AC上的点F处，且∠AEF=∠CEF，则AB的长是(  )‎ ‎ A.1 cm      B．cm      C．2 cm     D． cm  ‎ ‎14.如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E是AD上一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰好落在∠BCD的平分线上时，CA1的长为（  ）  ‎ ‎ A．3或4  B．4或3 C．3或4 D．3或4‎ ‎15.如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AB，BC上，且AE=AB．将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q．对于下列结论：①EF=2BE，②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是( )‎ ‎ A．①②         B．②③           C．①③          D．①④‎ ‎16.如图，点M、N分别在矩形ABCD边AD、BC上，将矩形ABCD沿MN翻折后点C恰好与点A重合，若 此时=,则△AMD′ 的面积与△AMN的面积的比为( )‎ ‎ ‎ ‎ A．1:3            B．1:4      C．1:6        D．1: 9‎ ‎17.图，矩形ABCD中，点E是AD的中点，将△ABE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，若CF=1，FD=2，则BC的长为(     )‎ ‎  A.3          B.2         C.2          D.2‎ ‎18.如图，矩形ABCD边AD沿拆痕AE折叠，使点D落在BC上的F处，已知AB=6，△ABF的面积是24，则FC等于（　 　）.‎ ‎ A．2        B．3        C．4         D．5 ‎ ‎  ‎ ‎19.如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，将纸片折叠，点A、D分别落在点A′、D′处，且A′D′经过点B，EF为折痕，当D′F⊥CD时，的值为（　　）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎ ‎ ‎20.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5.折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动。若限定点P，Q分别在AB，AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为（   ）‎ ‎ A.2         B.4    C.       D.‎ 二 填空题:‎ ‎21.如图，矩形ABCD 的边长AB=8，AD=4，若将△DCB沿BD所在直线翻折，点C落在点F处，DF与AB交于点E. 则cos∠ADE =          ．‎ ‎22.如图，有一块矩形纸片ABCD，AB=8，AD=6，将纸片折叠，使得AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，则△CEF的面积为__________.‎ ‎23.将矩形ABCD沿折线EF折叠后点B恰好落在CD边上的点H处，且∠CHE=40°，则∠EFB=　　　　．‎ ‎24.在菱形ABCD中，AB=5，AC=8，点P是AC上的一个动点，过点P作EF垂直于AC交AD于点E，交AB于点F，将△AEF沿EF折叠，使点A落在点A'处，当△A'CD是直角三角形时，AP的长为        .‎ ‎25.如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD＝2AB，若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A1处，则∠EA1B＝______°。‎ ‎26.如图，将矩形纸片ABC（D）折叠，使点（D）与点B重合，点C落在点处，折痕为EF，若，那么的度数为     度。‎ ‎27.如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，且，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使A落在MN上，落点记为A′，折痕交AD于点E，若M是AD、BC边的上距DC最近的n等分点（n≥2，且n为整数），则A′N=　　　　　　（用含有n的式子表示）．‎ ‎28.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8,点E是BC边上一点，将△ABE沿AE折叠，‎ 使点B落在点B′处.‎ ‎（1）矩形ABCD的面积=      ；‎ ‎（2）当△CEB′为直角三角形时，BE=           ．  ‎ ‎29.如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为       .  ‎ ‎30.如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，且点F在矩形ABCD内部．将AF延长交边BC于点G．若=，则=　　　　　　用含k的代数式表示）．‎ ‎31.如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=6，点E是AD上一点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰落在∠ADC的平分线上时，DA1=　　　　　　．‎ ‎32.小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图①，AD>CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，那么矩形ABCD长与宽的比值为       ．‎ ‎33.如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=8，点E为DC边上的一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点刚好D落在矩形ABCD的对称轴上时，则DE的长为　　　　　　．‎ ‎34.如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，AD=10cm，点E、F在矩形ABCD的边AB、AD上运动，将△AEF沿EF折叠，使点A′在BC边上，当折痕EF移动时，点A′在BC边上也随之移动．则A′C的取值范围为　　　　　　．‎ 三 简答题:‎ ‎35、长为1，宽为a的矩形纸片（＜a＜1），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去，若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．‎ ‎（I）第二次操作时，剪下的正方形的边长为　　 ；‎ ‎（Ⅱ）当n=3时，a的值为　　．（用含a的式子表示）‎ ‎36.问题情境：如图将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点B恰好落在AD边的中点F处，折痕EG分别交AB、CD于点E、G，FN与DC交于点M，连接BF交EG于点P.‎ 独立思考：‎ ‎（1）AE=_______cm，△FDM的周长为_____cm ‎（2）猜想EG与BF之间的位置关系与数量关系，‎ 并证明你的结论.‎ 拓展延伸：‎ 如图2，若点F不是AD的中点，且不与点A、D重合：‎ ‎ ①△FDM的周长是否发生变化，并证明你的结论.‎ ‎②判断（2）中的结论是否仍然成立，若不成立请直接写出新的结论（不需证明）.  ‎ ‎37.长方形ABCD中，AD=10，AB=8，将长方形ABCD折叠，折痕为EF ‎（1）当A′与B重合时（如图1），EF=        ；‎ ‎（2）当直线EF过点D时（如图2），点A的对应点A′落在线段BC上，求线段EF的长；‎ ‎（3）如图3，点A的对应点A′落在线段BC上，E点在线段AB上，同时F点也在线段AD上，则A′在BC上的运动距离是      ； ‎ ‎ ‎ ‎38.感知：如图①，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形ABCD内部的点F处，延长AF交CD于点G，连结FC，易证∠GCF=∠GFC．         ‎ 探究：将图①中的矩形ABCD改为平行四边形，其他条件不变，如图②，判断∠GCF=∠GFC是否仍然相等，并说明理由．           ‎ 应用：如图②，若AB=5，BC=6，则△ADG的周长为　16　．            ‎ ‎            ‎ ‎39.（1）观察与发现：小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；在第一次的折叠基础上第二次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．‎ ‎（2）实践与运用：将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D′处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中∠α的大小．                                                                            ‎ ‎                    ‎ ‎　                ‎ 参考答案 ‎1、C　 2、A 3、D 4、C 5、D 6、B　 7、C 8、B 9、13 10、C 11、C 12、C； ‎ ‎13、B 14、D 15、D 16、A 17、B  18、A 19、A 20、A　 21、  22、 2 ‎ ‎23、25°　．24、2或 25、60°．26、125º 27、 28、 （1）48 （2） 3，6‎ ‎29、6    30、 31、：2． 32、 33、或　． 34、　4cm≤A′C≤8cm　．‎ ‎35、1﹣a 或【考点】翻折变换（折叠问题）．‎ ‎【解答】解：由题意，可知当＜a＜1时，第一次操作后剩下的矩形的长为a，宽为1﹣a，所以第二次操作时正方形的边长为1﹣a，第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为1﹣a，2a﹣1．‎ 故答案为：1﹣a；此时，分两种情况：‎ ‎①如果1﹣a＞2a﹣1，即a＜，那么第三次操作时正方形的边长为2a﹣1．‎ ‎∵经过第三次操作后所得的矩形是正方形，∴矩形的宽等于1﹣a，‎ 即2a﹣1=（1﹣a）﹣（2a﹣1），解得a=；‎ ‎②如果1﹣a＜2a﹣1，即a＞，那么第三次操作时正方形的边长为1﹣a．‎ 则1﹣a=（2a﹣1）﹣（1﹣a），解得a=．故答案为：或．‎ ‎36、（1）3，16‎ ‎(2)EG⊥BF, EG=BF则∠EGH+∠GEB=90°‎ 由折叠知，点B、F关于直线GE所在直线对称∴∠FBE=∠EGH ‎∵ABCD是正方形∴AB=BC    ∠C=∠ABC=90°四边形GHBC是矩形，∴GH=BC=AB ‎∴△AFB全等△HEG∴BF=EG ‎(3)①△FDM的周长不发生变化由折叠知∠EFM=∠ABC=90°∴∠DFM+∠AFE=90°‎ ‎∵四边形ABCD为正方形，∠A=∠D=90°∴∠DFM+∠DMF=90°‎ ‎∴∠AFE=∠DMF∴△AEF∽△DFM∴‎ 设AF为x，FD=8-x∴ ∴ ‎ FMD的周长=∴△FMD的周长不变②（2）中结论成立 ‎37、1）EF=10 （2）5   （3）4 ‎ ‎38、【解答】解：探究：∠GCF=∠GFC，理由如下：           ‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠B+∠ECG=180°，         ‎ 又∵△AFE是由△ABE翻折得到，∴∠AFE=∠B，EF=BE，            ‎ 又∵∠AFE+∠EFG=180°，∴∠ECG=∠EFG，         ‎ 又∵点E是边BC的中点，∴EC=BE，           ‎ ‎∵EF=BE，∴EC=EF，∴∠ECF=∠EFC，∴∠ECG﹣∠ECF=∠EFG﹣∠EFC，∴∠GCF=∠GFC；         ‎ 应用：∵△AFE是由△ABE翻折得到，∴AF=AB=5，         ‎ 由（1）知∠GCF=∠GFC，∴GF=GC，‎ ‎∴△ADG的周长AD+AF+GF+GD=AD+AB+GC+GD=AD+AB+CD=6+5+5=16，           ‎ 故答案为：应用、16．            ‎ ‎39、【解答】解：（1）同意．如图，设AD与EF交于点G．由折叠知，AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD．‎ 又由折叠知，∠AGE=∠DGE，∠AGE+∠DGE=180°，所以∠AGE=∠AGF=90°，所以∠AEF=∠AFE．所以AE=AF，‎ 即△AEF为等腰三角形．     ‎ ‎（2）由折叠知，四边形ABFE是正方形，∠AEB=45°，所以∠BED=135度．‎ 又由折叠知，∠BEG=∠DEG，所以∠DEG=67.5度．从而∠α=67.5°﹣45°=22.5°．  ‎