【数学】2019届高考一轮复习北师大版理1-1集合及其运算学案
知识点
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集 合
集合的含义与表示
(1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系.
(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.
集合间的基本关系
(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.
(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义.
集合的基本运算
(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.
(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.
(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.
命题及其关系、充分条件与必要条件
理解命题的概念.
了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.
理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.
理解全称量词和存在量词的意义.
能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
第1讲 集合及其运算
1．集合与元素
(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
2.集合间的基本关系
表示
关系
自然语言
符号
语言
Venn图
子集
集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)
A⊆B
(或B⊇A)
真子集
集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中
AB
(或BA)
集合相等
集合A，B中元素相同
A＝B
3.集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
图形语言
续 表
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号语言
A∪B＝
{x|x∈A，或x∈B}
A∩B＝
{x|x∈A，且x∈B}
∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A，B，C表示同一个集合．( )
(2)若a在集合A中，则可用符号表示为a⊆A.( )
(3)若AB，则A⊆B且A≠B.( )
(4)N*NZ.( )
(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×
(教材习题改编)已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则( )
A．A⊆B B．C⊆B
C．D⊆C D．A⊆D
答案：B
(教材习题改编)设集合A＝{x|2≤x<5}，B＝{x∈Z|3x－7≥8－2x}，则A∩B＝( )
A．{x|3≤x<5} B．{x|2≤x≤3}
C．{3，4} D．{3，4，5}
解析：选C.因为A＝{x|2≤x<5}，
B＝{x∈Z|3x－7≥8－2x}＝{x∈Z|x≥3}，
所以A∩B＝{3，4}．
(2017·高考江苏卷)已知集合A＝{1，2}，B＝{a，a2＋3}．若A∩B＝{1}，则实数a的值为________．
解析：因为a2＋3≥3，所以由A∩B＝{1}得a＝1，即实数a的值为1.
答案：1
(教材习题改编)已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2
5}，如何求解？
解：因为B⊆A，
所以①当B＝∅时，即2m－14.
综上可知，实数m的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．
[通关练习]
1．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|00时，因为A＝{x|x2－2x－3<0}＝{x|－10}＝(0，＋∞)，B＝{y|y＝＋1}＝{y|y≥1}＝[1，＋∞)，所以A∩(∁UB)＝(0，＋∞)∩(－∞，1)＝(0，1)．
【答案】 (1)B (2)C
角度二 已知集合的运算结果求参数的值(范围)
(1)(2017·高考全国卷Ⅱ)设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝( )
A．{1，－3} B．{1，0}
C．{1，3} D．{1，5}
(2)(2018·合肥市第二次教学质量检测)已知集合A＝[1，＋∞)，B＝{x∈R|a≤x≤2a－1}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．[，1]
C．[，＋∞) D．(1，＋∞)
【解析】 (1)因为A∩B＝{1}，所以1∈B，所以1是方程x2－4x＋m＝0的根，所以1－4＋m＝0，m＝3，方程为x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以B＝{1，3}，选择C.
(2)因为A∩B≠∅，所以，解得a≥1，故选A.
【答案】 (1)C (2)A
(1)集合基本运算的求解策略
①当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算．
②当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验．
③根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解．
(2)集合的交、并、补运算口诀
交集元素仔细找，属于A且属于B；并集元素勿遗漏，切记重复仅取一；全集U是大范围，去掉U中A元素，剩余元素成补集．
[通关练习]
1．(2016·高考全国卷Ⅱ)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，x∈Z}，则A∪B＝( )
A．{1} B．{1，2}
C．{0，1，2，3} D．{－1，0，1，2，3}
解析：选C.由已知可得B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，x∈Z}＝{x|－1＜x＜2，x∈Z}＝{0，1}，所以A∪B＝{0，1，2，3}，故选C.
2．(2018·洛阳市第一次统一考试)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x－4>0}，B＝{x|－2≤x≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为( )
A．{x|－2≤x<4} B．{x|x≤2或x≥4}
C．{x|－2≤x≤－1} D．{x|－1≤x≤2}
解析：选D.依题意得A＝{x|x<－1或x>4}，因此∁RA＝{x|－1≤x≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁RA)∩B＝{x|－1≤x≤2}，选D.
3．(2018·河北衡水中学第七次调研)已知集合A＝{x|log2x<1}，B＝{x|02}，则∁UA＝( )
A．(－2，2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．[－2，2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
解析：选C.由已知可得，集合A的补集∁UA＝[－2，2]．
2．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则( )
A．A∩B＝{x|x<0} B．A∪B＝R
C．A∪B＝{x|x>1} D．A∩B＝∅
解析：选A.集合A＝{x|x<1}，B＝{x|x<0}，所以A∩B＝{x|x<0}，A∪B＝{x|x<1}．故选A.
3．已知集合A＝{x∈R|x－＝0}，则满足A∪B＝{－1，0，1}的集合B的个数是( )
A．2 B．3
C．4 D．9
解析：选C.解方程x－＝0，得x＝1或x＝－1，所以A＝{1，－1}，又A∪B＝{－1，0，1}，所以B＝{0}或{0，1}或{0，－1}或{0，1，－1}，集合B共有4个．
4．已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|x＝，n∈A}，则A∩B的真子集个数为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选C.由题意，得B＝{0，1，，，2}，所以A∩B＝{0，1，2}，所以A∩B的真子集个数为23－1＝7.故选C.
5．(2018·云南省第一次统一检测)设集合A＝{x|－x2－x＋2<0}，B＝{x|2x－5>0}，则集合A与集合B的关系是( )
A．B⊆A B．B⊇A
C．B∈A D．A∈B
解析：选A.因为A＝{x|－x2－x＋2<0}＝{x|x>1或x<－2}，B＝{x|2x－5>0}＝{x|x>}，所以B⊆A，故选A.
6．(2018·陕西西安模拟)已知集合M＝{－1，0，1}，N＝{x|x＝ab，a，b∈M，且a≠b}，则集合M与集合N的关系是( )
A．M＝N B．M∩N＝N
C．M∪N＝N D．M∩N＝∅
解析：选B.因为集合M＝{－1，0，1}．N＝{x|x＝ab，a，b∈M，且a≠b}，所以N＝{－1，0}，所以集合M∩N＝N.故选B.
7．(2018·河南百校联盟联考)若集合A＝{x|y＝lg(3x－x2)}，B＝{y|y＝1＋，x∈A}，则A∩∁RB等于( )
A．(0，2] B．(2，3)
C．(3，5) D．(－2，－1)
解析：选A.因为A＝(0，3)，所以B＝(2，5)，所以A∩∁RB＝(0，2]．故选A.
8．(2018·湖北武昌模拟)设A，B是两个非空集合，定义集合A－B＝{x|x∈A，且x∉B}．若A＝{x∈N|0≤x≤5}，B＝{x|x2－7x＋10<0}，则A－B＝( )
A．{0，1} B．{1，2}
C．{0，1，2} D．{0，1，2，5}
解析：选D.因为 A＝{x∈N|0≤x≤5}＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{x|x2－7x＋10<0}＝{x|20且x－1<2，即10}，若A⊆B，则实数c的取值范围是( )
A．(0，1] B．[1，＋∞)
C．(0，1) D．(1，＋∞)
解析：选B.法一：由题意知，A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0，1)，B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝(0，c)．
由A⊆B，画出数轴，如图所示，得c≥1.
法二：因为A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0，1)，取c＝1，则B＝(0，1)，所以A⊆B成立，可排除C，D；取c＝2，则B＝(0，2)，所以A⊆B成立，可排除A.
3．设函数f(x)＝lg(1－x2)，集合A＝{x|y＝f(x)}，B＝{y|y＝f(x)}，则图中阴影部分表示的集合为________．
解析：因为A＝{x|y＝f(x)}＝{x|1－x2>0}＝{x|－1
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