高中数学北师大版新教材必修一课时素养评价： 七 全称量词命题与存在量词命题
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课时素养评价
七 全称量词命题与存在量词命题
(15分钟 30分)
1.“存在集合A,使∅A”,对这个命题,下面说法中正确的是 ( )
A.全称量词命题、真命题
B.全称量词命题、假命题
C.存在量词命题、真命题
D.存在量词命题、假命题
【解析】选C.当A≠∅时,∅ A,是存在量词命题,且为真命题.故选C.
2.将命题“x2+y2≥2xy”改写成全称量词命题为 ( )
A.对任意x,y∈R,都有x2+y2≥2xy成立
B.存在x,y∈R,使x2+y2≥2xy成立
C.对任意x>0,y>0,都有x2+y2≥2xy成立
D.存在x<0,y<0,使x2+y2≤2xy成立
【解析】选A.命题“x2+y2≥2xy”是指对任意x,y∈R,都有x2+y2≥2xy成立,
故命题“x2+y2≥2xy”改写成全称量词命题为:对任意x,y∈R,都有x2+y2≥2xy成立.
【补偿训练】
将a2+b2+2ab=(a+b)2改写成全称量词命题是 ( )
A.∃a,b∈R,a2+b2+2ab=(a+b)2
B.∃a<0,b>0,a2+b2+2ab=(a+b)2
C.∀a>0,b>0,a2+b2+2ab=(a+b)2
D.∀a,b∈R,a2+b2+2ab=(a+b)2
【解析】选D.命题对应的全称量词命题为:∀a,b∈R,a2+b2+2ab=(a+b)2.
3.若“任意x∈,x≤m”是真命题,则实数m的最小值为 ( )
A.- B.-
C. D.
【解析】选D.因为“任意x∈,x≤m”是真命题,所以m≥,
所以实数m的最小值为.
4.对每一个x1∈R,x2∈R,且x1
,故此命题是假命题.
答案:全称 假
5.用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题,并判断真假:
(1)实数都能写成小数形式.
(2)有的有理数没有倒数.
(3)不论m取什么实数,方程x2+x-m=0必有实根.
(4)存在一个实数x,使x2+x+4≤0.
【解析】(1)∀a∈R,a都能写成小数形式,此命题是真命题.
(2)∃x∈Q,x没有倒数,有理数0没有倒数,故此命题是真命题.
(3)∀m∈R,方程x2+x-m=0必有实根.
当m=-1时,方程无实根,是假命题.
(4)∃x∈R,使x2+x+4≤0.x2+x+4=+>0恒成立,所以为假命题.
(20分钟 40分)
一、单选题(每小题5分,共15分)
1.下列命题中,存在量词命题的个数是 ( )
①实数的绝对值是非负数;
②正方形的四条边相等;
③存在整数n,使n能被11整除.
A.1 B.2 C.3 D.0
【解析】选A.①②是全称量词命题,③是存在量词命题.
2.设非空集合P,Q满足P∩Q=Q且P≠Q,则下列命题是假命题的是 ( )
A.∀x∈Q,有x∈P B.∃x∈P,有x∉Q
C.∃x∉Q,有x∈P D.∀x∉Q,有x∉P
【解析】选D.因为P∩Q=Q且P≠Q,
所以QP,所以集合Q中的元素都是集合P的元素,但是集合P中有元素集合Q中是没有的,所以A,B,C正确,D错误.
3.(2020·丹东高一检测)已知∀x∈[0,2],p>x;∃x∈[0,2],q>x.那么p,q的取值范围分别为 ( )
A.p∈(0,+∞),q∈(0,+∞)
B.p∈(0,+∞),q∈(2,+∞)
C.p∈(2,+∞),q∈(0,+∞)
D.p∈(2,+∞),q∈(2,+∞)
【解析】选C.由∀x∈[0,2],p>x;得p>2.
由∃x∈[0,2],q>x;得q>0.
所以p,q的取值范围分别为(2,+∞),(0,+∞).
二、多选题(共5分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
4.下列命题是真命题的为 ( )
A.∀x∈R,-x2-1<0
B.∀n∈Z,∃m∈Z,nm=m
C.所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径
D.存在实数x,使得=
【解析】选ABC.对于A,∀x∈R,-x2≤0,
所以-x2-1<0,此命题是真命题;
对于B,当m=0时,nm=m恒成立,此命题是真命题;对于C,任何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径,此命题是真命题.对于D,
因为x2-2x+3=(x-1)2+2≥2,
所以≤<.故该命题是假命题.
三、填空题(每小题5分,共10分)
5.能够说明“存在两个不相等的正数a,b,使得a-b=ab”是真命题的一组有序数对为 .
【解析】当a=,b=时,存在两个不相等的正数a,b,使得a-b=ab是真命题,故所求有序数对可以为.
答案:(答案不唯一)
6.给出下列命题,
①存在a,b∈R,使得a2+b2-2a-2b+2<0;
②任何实数都有算术平方根;
③某些四边形不存在外接圆;
④∀x∈R,y∈R,都有x2+|y|>0.
其中正确命题的序号为 .
【解析】①是假命题,因为对任意的a,b∈R,
都有a2+b2-2a-2b+2=+≥0;
②是假命题,例如-4没有算术平方根;
③是真命题,因为只有对角互补的四边形有外接圆;
④为假命题,当x=y=0时,x2+|y|=0.
答案:③
【误区警示】解答本题①容易忽视配方法的应用.
四、解答题
7.(10分)是否存在整数m,使得命题“∀x≥-,-5<3-4m
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