中考数学专题复习——四边形的折叠剪切旋转

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中考数学专题复习——四边形的折叠剪切旋转

中考数学专题复习——四边形中的折叠、剪切、旋转与动点最值问题 一、折叠、剪切类问题 ‎1、折叠后求度数 ‎(1)将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠,BC、BD为折痕,则∠CBD的度数为( )‎ A.600 B.750 C.900 D.950‎ ‎ ‎ ‎(2)如图,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D、C分别落在D′、C′的位置,若∠EFB=65°,则∠AED′等于(  )‎ A.50° B.55°   C.60° D.65°‎ C D E B A 图②‎ ‎(3)用一条宽相等的足够长的纸条,打一个结,如图①所示,然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图②所示的正五边形ABCDE,其中∠BAC=____________度.‎ 图①‎ 2、 折叠后求长度 ‎(1)将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠,AE、EF为折痕,∠BAE=30°,AB=,折叠后,点C落在AD边上的C1处,并且点B落在EC1边上的B1处.则BC的长为( ).‎ A、 B、2 C、3 D、‎ A B C D E F ‎(2)如图,已知边长为5的等边三角形ABC纸片,点E在AC边上,点F在AB边上,沿着EF折叠,使点A落在BC边上的点D的位置,且,则CE的长是( )‎ ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D)‎ ‎(3)如图,将边长为8㎝的正方形ABCD折叠,使点D落在BC边的中点E处,N M F E D C B A 点A落在F处,折痕为MN,则线段CN的长是( )‎ A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm ‎(4)如图,将矩形纸ABCD的四个角向内折起,恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH,若EH=3厘米,EF=4厘米,则边AD的长是___________厘米. ‎ ‎(5)如图,是一张矩形纸片ABCD,AD=10cm,若将纸片沿DE折叠,使DC落在DA上,点C的对应点为点F,若BE=6cm,则CD= ‎ ‎(6)如图(1),把一个长为、宽为的长方形()沿虚线剪开,拼接成图(2),成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形,则去掉的小正方形的边长为m n n n ‎(2)‎ ‎(1)‎ ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3、折叠后求面积 ‎(1)如图,有一矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠,使AD边落在AB边上,折痕为AE,再将△AED以DE为折痕向右折叠,AE与BC交于点F,则△CEF的面积为(  )‎ A.4 B.6 C.8 D.10‎ ‎(2)如图,正方形硬纸片ABCD的边长是4,点E、F分别是AB、BC的中点,若沿左图中的虚线剪开,拼成如下右图的一座“小别墅”,则图中阴影部分的面积是(  )‎ ‎ A.2 B.4 C.8 D.10‎ ‎(3)如图a,ABCD是一矩形纸片,AB=6cm,AD=8cm,E是AD上一点,且AE=6cm。操作:①将AB向AE折过去,使AB与AE重合,得折痕AF,如图b;②将△AFB以BF为折痕向右折过去,得图c。则△GFC的面积是( )‎ E A A A B B B C C C G D D D F F F 图a 图b 图c ‎ ‎ A.1cm2 B.2 cm2 C.3 cm2 D.4 cm2‎ ‎(4)点E、F分别在一张长方形纸条ABCD的边AD、BC上,将这张纸条沿着直线EF对折后如图,BF与DE交于点G,如果∠BGD=30°,长方形纸条的宽AB=2cm,那么这张纸条对折后的重叠部分△GEF的面积=______ cm2‎ ‎(5)如图,红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志.将宽为的红丝带交叉成60°角重叠在一起,则重叠四边形的面积为_______‎ ‎(6)如图,一个四边形花坛ABCD,被两条线段MN、EF分成四个部分,‎ 分别种上红、黄、紫、白四种花卉,种植面积依次是S1、S2、S3、S4,若 MN∥AB∥DC、EF∥DA∥CB,请你写出一个关于S1、S2、S3、S4的等量关系 ‎________________________________.‎ ‎4、折叠、剪切后得图形 ‎(1)将一张矩形纸对折再对折(如图),然后沿着图中的虚线剪下,得到①、②两部分,将①展开后得到的平面图形是( )‎ A.矩形 B.三角形 C.梯形 D.菱形 ‎(2)在下列图形中,沿着虚线将长方形剪成两部分,那么由这两部分既能拼成平行四边形又能拼成三角形和梯形的是( ) ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎(3)小强拿了张正方形的纸如图(1),沿虚线对折一次如图(2),再对折一次得图(3),然后用剪刀沿图(3)中的虚线(虚线与底边平行)剪去一个角,再打开后的形状应是( )‎ ‎(4)将一圆形纸片对折后再对折,得到图1,然后沿着图中的虚线剪开,得到两部分,其中一部分展开后的平面图形是( )‎ ‎ ‎ 图1‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(5)如图1所示,把一个正方形三次对折后沿虚线剪下,则所得的图形是( )‎ ‎(6)如图,已知BC为等腰三角形纸片ABC的底边,AD⊥BC,AD=BC. 将此三角形纸片沿AD剪开,得到两个三角形,若把这两个三角形拼成一个平面四边形,则能拼出互不全等的四边形的个数是( )‎ A. 1 B. 2‎ C. 3 D. 4‎ ‎(7)如图7所示,将一张正方形纸片对折两次,然后在上面打3个洞,则纸片展开后是( )‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎5、折叠后得结论 ‎(1)亲爱的同学们,在我们的生活中处处有数学的身影.请看图,折叠一张三角形纸片,把三角形的三个角拼在一起,就得到一个著名的几何定理,请你写出这一定理的结论:“三角形的三个内角和等于_______°.”‎ ‎ ‎ ‎(1)‎ ‎(2)‎ ‎(2)从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形(如图1),然后将剩余部分剪拼成一个矩形(如图2),上述操作所能验证的等式是( ) A.a2–b2 =(a+b)(a-b) B.(a–b)2 = a2–2ab+b2 ‎ C.(a+b)2 = a2 +2ab+ b2 D.a2 + ab = a (a+b) ‎ ‎(3)如图,一张矩形报纸ABCD的长AB=a cm,宽BC=b cm,E、F分别是AB、CD的中点,将这张报纸沿着直线EF对折后,矩形AEFD的长与宽之比等于矩形ABCD的长与宽之比,则a∶b等于(  ).‎ A. B. C. D.‎ ‎6、折叠和剪切的应用 D C B A ‎(1)如图,有一个边长为5的正方形纸片,要将其剪拼成边长分别为的两个小正方形,使得.①的值可以是________(写出一组即可);②请你设计一种具有一般性的裁剪方法,在图中画出裁剪线,并拼接成两个小正方形,同时说明该裁剪方法具有一般性:‎ ‎_____________________________________________________________‎ ‎_____________________________________________________________‎ ‎_____________________________________________________________‎ ‎(2)如图,已四边形纸片ABCD,现需将该纸片剪拼成一个与它面积相等的平行四边形纸片,如果限定裁剪线最多有两条,能否做到:__________(用“能”‎ 或“不能”填空)。若填“能”,请确定裁剪线的位置,并说明拼接方法;若填“不能”,请简要说明理由。‎ ‎____________________________________________________‎ ‎____________________________________________________‎ ‎____________________________________________________‎ ‎____________________________________________________‎ ‎____________________________________________________‎ ‎(3)如图,已知五边形ABCDE中,AB//ED,∠A=∠B=90°,‎ 则可以将该五边形ABCDE分成面积相等的两部分的直线 有__________条,满足条件的直线可以这样趋确定:‎ ‎____________________________________________________‎ ‎____________________________________________________‎ ‎____________________________________________________‎ ‎(4)如图,有一个边长为a的正六边形纸片ABCDEF.①六边形ABCDEF的外接圆半径与内切圆半径之比为_____________;②请你设计一种用剪刀只剪两刀将其拼为一个矩形(在图中画出裁剪线),叙述裁剪过程并简要说明得到的矩形是否是正方形:‎ ‎__________________________________________________‎ ‎__________________________________________________‎ ‎__________________________________________________‎ ‎__________________________________________________‎ ‎__________________________________________________‎ ‎(5)如图,有一个长:宽=2:1的长方形纸片ABCD.①含有30°、60°的直角三角形最短边与最长边之比为___________;②请你设计一种折叠一次使这张纸片出现30°和60°(在图中画出折叠线和折叠后图线),叙述折叠过程并简要说明理由:‎ ‎__________________________________________________‎ ‎__________________________________________________‎ ‎__________________________________________________‎ ‎__________________________________________________‎ ‎(6)如图,有一个长方体的底面边长分别是1cm和3cm,高为6cm.①现用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B,那么细线最短需要________cm;②若从点A经过开始经过3个侧面缠绕n圈到达点B,此时细线最短需要____________________cm.③若有一个长方体的边长为a的正方形,高为b,那么细线从点A到点C的最短距离:‎ ‎__________________________________________________________‎ ‎__________________________________________________________‎ ‎__________________________________________________________.‎ ‎(7)如图,正方形纸片ABCD的边长为1,M、N分别是AD、BC边上的点,将纸片的一角沿过点B的直线折叠,使A落在MN上,落点记为A′,折痕交AD于点E,若M、N分别是AD、BC边的中点,则A′N= ; 若M、N分别是AD、BC边的上距DC最近的n等分点(,且n为整数),则A′N= (用含有n的式子表示)‎ ‎(8)如图,现有两个边长之比为1:2的正方形ABCD与A′B′C′D′,点B、C、B′、C′在同一直线上,且点C与点B′重合,能否利用这两个正方形,通过裁割、平移、旋转的方法,拼出两个相似比为1:3的三角形? (填能或否),若你认为能,请在原图上画出裁剪线和拼接线说明你的操作方法:‎ ‎__________________________________________________________‎ ‎__________________________________________________________‎ ‎__________________________________________________________.‎ ‎(9)用剪刀将形状如图1所示的矩形纸片ABCD沿着直线CM剪成两部分,其中M为AD的中点.用这两部分纸片可以拼成一些新图形,例如图2中的Rt△BCE就是拼成的一个图形.‎ E B A C B A M C D M 图3‎ 图4‎ 图1‎ 图2‎ ‎①用这两部分纸片除了可以拼成图2中的Rt△BCE外,还可以拼成一些四边形.请你试一试,把拼好的四边形分别画在图3、图4的虚框内.‎ ‎②若利用这两部分纸片拼成的Rt△BCE是等腰直角三角形,设原矩形纸片中的边AB和BC的长分别为a厘米、b厘米,且a、b恰好是关于x的方程的两个实数根,试求出原矩形纸片的面积.‎ ‎(10)在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内,要折出一个菱形.甲同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH(见方案一),乙同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠DAC,∠ACF=∠ACB的方法得到菱形AECF(见方案二),请你通过计算,比较甲同学和乙同学的折法中,哪种菱形面积较大?‎ A D E H F B C G ‎(方案一)‎ A D E F B C ‎(方案二)‎ ‎(11)有一张矩形形状的纸ABCD如图所示,只用折叠的方法将直角三等分,步骤如下:‎ E C B B C H N M D D A A 第一步:先把矩形对折,设折痕为MN;‎ 第二步:再把点B折叠到折痕MN上,折痕为AE,点B在MN上的对应点为H,沿AH折叠.‎ 此时,AE、AH是否就是直角BAD的三等分线?并说明理由.‎ ‎(12)如图,若把边长为1的正方形ABCD的四个角(阴影部分)剪掉,得一四边形A1B1C1D1.试问怎样剪,才能使剩下的图形仍为正方形,且剩下图形的面积为原正方形面积的,请说明理由(写出证明及计算过程).‎ 二、旋转类问题 ‎(1)如图,由“基本图案”正方形ABCO绕O点顺时针旋转90°后的图形是 ( ).‎ A D C B E ‎ 图 A. B. C. D.‎ ‎(2)如图,边长为1的两个正方形互相重合,按住其中一个不动,将另一个绕顶点A顺时针旋转,则这两个正方形重叠部分的面积是 .‎ D A P (3) 如图,P是正方形ABCD内一点,将△ABP绕点B顺时针方向旋转90°能 C B 与△CBP'重合,若PB=3,则PP'=________________.‎ P'‎ ‎(4)如图,已知正方形ABCD的边长为3,E为CD上一点,DE=1,以点A为中心,把△ADE顺时针旋转90°得△ABE',连接EE',则EE'=________________.‎ ‎(5)已知在正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB,DC(或延长线)于点M,N.‎ ‎(Ⅰ)如图①所示,当∠MAN绕点A旋转到BMDN时,求证:BM+DN=MN.‎ D A 思路点拨:考虑证明BM+DN=MN需将线段BM、DN转化到同一条直线上,再证明BM+DN=MN.可将△ADM顺时针旋转90°‎ 请你完成证明过程:‎ N C B M D A ‎(Ⅱ)当∠MAN绕点A旋转到如图②所示时,线段BM,DN和MN之间又有怎样的数量关系?写出猜想,并加以证明.‎ C B M N ‎(6)在图1至图2中,点B是线段AC的中点,点D是线段CE的中点.四边形BCGF和CDHN都是正方形.AE的中点是M.‎ ‎(Ⅰ)如图1,点E在AC的延长线上,点N与点G重合时,点M与点C重合,求证:FM = MH,FM⊥MH;‎ ‎(Ⅱ)将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角,得到图2,求证:△FMH是等腰直角三角形;‎ 三、动点类问题 ‎1、动点距离和最小值问题 ‎(1)如图,菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,E是AB的中点,P是对角线AC上的一个动点,则PE+PB的最小值是    . ‎ M D A (2) 如图,梯形ABCD中,AD//BC,AB=CD=AD=1,∠B=60°,M、N分别为AD、‎ BC中点,P为MN上一动点,那么PC+PD的最小值为_________________.‎ P N C B C D F P (3) 如图,正方形ABCD的边长为8,AE=3,CF=1,点P是对角线AC 上一动点,则PE+PF的最小值________.‎ E B A ‎(4)在平面直角坐标系中,矩形的顶点O在坐标原点,顶点A、B分别在轴、‎ 轴的正半轴上,,,D为边OB的中点.‎ 温馨提示:如图,可以作点D关于轴的对称点,连接与轴交于点E,此时△的周长是最小的.这样,你只需求出的长,就可以确定点的坐标了.‎ ‎(Ⅰ)若为边上的一个动点,当△的周长最小时,求点的坐标;‎ 第(25)题 y B O D C A x E y B O D C A x ‎(Ⅱ)若、为边上的两个动点,且,当四边形的周长最小时,求点、的坐标.‎ ‎2、动点运动问题 ‎(1)如图,在矩形ABCD中,AB﹦16㎝,AD﹦6㎝,动点P、Q分别从A、C同时出发,点P以每秒3㎝的速度向B移动,一直达到B止,点Q以每秒2㎝的速度向D移动.⑴P、Q两点出发后多少秒时,为四边形PBCQ的面积为36㎝?⑵是否存在某一时刻,使PBCQ为正方形,若存在,求出该时刻,若不存在说明理由.‎ ‎ ‎ ‎(2)如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动,点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动,如果P,Q同时出发,用t(s)表示移动的时间(0≤t≤6).‎ ‎(1)当t为何值时,△QAP为等腰直角三角形?(2)求四边形QAPC的面积,并提供一个与计算结果有关的结论.‎ C D Q B P A ‎(3)如图,在梯形ABCD中,AD//BC,∠B=90°,AB=14㎝,AD=15㎝,BC=21㎝.点M从A点开始,沿AD边向D运动,速度为1㎝/s,点N从点C开始沿CB边向点B运动,速度为2㎝/s.如果点M、N分别从A,C同时出发,设时间为t s.(1)当t为何值时,四边形MNCD是平行四边形?(2)当t为何值时,四边形MNCD是等腰梯形?‎ M D A N C B (2) 如图,在△ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN//BC,交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F.‎ (1) 求证:OE=OF;‎ (2) 当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?并证明你的结论;‎ (3) 在(2)的条件下,当△ABC满足什么条件时,四边形AECF是正方形?请你说明你的理由.‎ A O F E N M D C B
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