【数学】2021届新高考一轮复习北师大版第四章第一讲　三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式学案

【数学】2021届新高考一轮复习北师大版第四章第一讲　三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式学案

第四章　三角函数、解三角形 第一讲　三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式 ‎1.若sin(π‎2‎+θ)<0,cos(π‎2‎ - θ)>0,则θ是(　　)‎ A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 ‎2.[2020贵阳市高三摸底测试]已知角α的顶点与原点 O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P( - ‎3‎‎5‎, - ‎4‎‎5‎),则sin(π - α)=(　　)‎ A. - ‎4‎‎5‎ B.‎4‎‎5‎ C. - ‎3‎‎5‎ D.‎‎3‎‎5‎ ‎3.[2020惠州市二调]若sin(π - α)=‎1‎‎3‎,且π‎2‎≤α≤‎3π‎2‎,则sin 2α的值为(　　)‎ A. - ‎4‎‎2‎‎9‎ B. - ‎2‎‎2‎‎9‎ C.‎2‎‎2‎‎9‎ D.‎‎4‎‎2‎‎9‎ ‎4.[2020四川五校联考]已知sin α+‎3‎cos α=2,则tan α=(　　)‎ A.‎3‎‎3‎ B.‎3‎ C.-‎3‎‎3‎ D. - ‎‎3‎ ‎5.[2020洛阳市第一次联考]已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴非负半轴重合,终边在直线y=3x上,且sin α<0,‎ 又P(m,n)是角α终边上一点,且|OP|=‎10‎(O为坐标原点),则m - n等于(　　)‎ A.2 B.-2 C.4 D.-4‎ ‎6.[2019合肥市高三调研]已知tan α=3,则sin(π‎2‎ - α)·cos(π‎2‎+α)的值为(　　)‎ A.‎3‎‎10‎ B. - ‎3‎‎10‎ C.‎3‎‎5‎ D. - ‎‎3‎‎5‎ ‎7.[2020长春市第一次质量监测]已知sin α‎2‎ - cos α‎2‎‎=‎‎1‎‎5‎,则sin α=　　　　. ‎ ‎8.[2020大同市高三调研]已知sin(θ - π‎6‎)=‎1‎‎2‎,且θ∈(0,π‎2‎),则cos(θ - π‎3‎)=　　　　. ‎ ‎9.[2019蓉城名校高三联考]sin( - 390°)= 　. ‎ ‎10.[2019湖南省邵阳市高三大联考]已知tan(α - π‎3‎)=‎2‎‎3‎,则cos2(α - π‎3‎)=　　　　. ‎ ‎11.[2020长春市第一次质量监测]中国传统扇文化有着极其深厚的文化底蕴.一般情况下,折扇可看作是从一个圆面中沿圆的半径剪下的扇形面制作而成的,‎ 设扇形面的面积为S1,圆面中剩余部分的面积为S2,当S1与S2的比值为‎5‎‎-1‎‎2‎时,扇面看上去形状较为美观,那么此时扇面的圆心角的弧度数为(　　)‎ A.(3 - ‎5‎)π B.(‎5‎ - 1)π C.(‎5‎+1)π D.(‎5‎ - 2)π ‎12.[2019湖北武汉调研]若角α满足sinα‎1-cosα=5,则‎1+cosαsinα=(　　)‎ A.‎1‎‎5‎ B.‎5‎‎2‎ C.5或‎1‎‎5‎ D.5‎ ‎13.[2019河南八市重点高中联考]已知点(3,a)和点(2a,4)分别在角β和角β - 45°的终边上,则实数a的值是(　　)‎ A.-1 B.6 C.6或-1 D.6或1‎ ‎14.[2019陕西宝鸡二模]已知曲线f (x)=‎2‎‎3‎x3在点(1,f (1))处的切线的倾斜角为α,则sin‎2‎α-cos‎2‎α‎2sinαcosα+cos‎2‎α=(　　)‎ A.‎1‎‎2‎ B.2 C.‎3‎‎5‎ D.-‎‎3‎‎8‎ ‎15.[2019安徽省池州中学第二次质量检测]已知cos(α - π‎3‎)=‎4‎‎5‎,则sin(α+‎7π‎6‎)的值是　　　　. ‎ ‎16.[2019百校联考]已知cos(α+π‎8‎)=‎2‎‎10‎,α为锐角,则cos(2α - π‎4‎)=　　　　. ‎ 第一讲　三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式 ‎1.B　因为sin(π‎2‎+θ)=cos θ<0,cos(π‎2‎ - θ)=sin θ>0,所以θ是第二象限角,故选B.‎ ‎2.A　 根据题意知sin α= - ‎4‎‎5‎,所以sin(π - α)=sin α= - ‎4‎‎5‎.故选A.‎ ‎3.A　由题意得sin(π - α)=sin α=‎1‎‎3‎,又π‎2‎≤α≤‎3π‎2‎,所以cos α= - ‎1-sin‎2‎α= - ‎2‎‎2‎‎3‎,所以sin 2α=2sin αcos α=2‎×‎1‎‎3‎×‎( - ‎2‎‎2‎‎3‎)= - ‎4‎‎2‎‎9‎,故选A.‎ ‎4.A　解法一　由sinα=2-‎3‎cosα,‎sin‎2‎α+cos‎2‎α=1‎得4cos2α - 4‎3‎cos α+3=(2cos α - ‎3‎)2=0,得cos α=‎3‎‎2‎,则sin α=‎1‎‎2‎,所以tan α=sinαcosα‎=‎‎3‎‎3‎,故选A.‎ 解法二　sin α+‎3‎cos α=2(‎1‎‎2‎sin α+‎3‎‎2‎cos α)=2sin(α+π‎3‎)=2,故sin(α+π‎3‎)=1,可得α+π‎3‎=2kπ+π‎2‎,k∈Z,即α=2kπ+π‎6‎,k∈Z,所以tan α=tan(2kπ+π‎6‎)=tanπ‎6‎‎=‎‎3‎‎3‎,故选A.‎ ‎5.A　因为P(m,n)在直线y=3x上,所以n=3m　①,又sin α<0,所以m<0,n<0.由|OP|=‎10‎,得m2+n2=10　②.联立①②并结合m<0,n<0,可得m= - 1,n= - 3,所以m - n=2,故选A.‎ ‎6.B　解法一　因为tan α=3,所以sin(π‎2‎ - α)·cos(π‎2‎+α)= - cos αsin α=‎-cosαsinαcos‎2‎α+sin‎2‎α‎=‎‎-tanα‎1+tan‎2‎α= - ‎3‎‎10‎,故选B. ‎ 解法二　因为tan α=3,所以sin α=3cos α,又sin2α+cos2α=1,所以cos2α=‎1‎‎10‎,所以sin(π‎2‎ - α)·cos(π‎2‎+α)= - cos αsin α= - 3cos2α= - ‎3‎‎10‎,故选B.‎ ‎7.‎24‎‎25‎　由题意得(sin α‎2‎ - cos α‎2‎)2=(‎1‎‎5‎)2,整理得1 - 2sin α‎2‎·cos α‎2‎‎=‎‎1‎‎25‎,即sin α=‎24‎‎25‎.‎ ‎8.1　因为θ∈(0,π‎2‎),所以θ - π‎6‎∈( - π‎6‎,π‎3‎).由sin(θ - π‎6‎)=‎1‎‎2‎,得θ - π‎6‎‎=‎π‎6‎,所以θ=π‎3‎,则cos(θ - π‎3‎)=cos(π‎3‎‎ - ‎π‎3‎)=1.‎ ‎9. - ‎1‎‎2‎　sin( - 390°)= - sin 390°= - sin 30°= - ‎1‎‎2‎.‎ ‎10.‎9‎‎13‎　cos2(α - π‎3‎)=cos‎2‎(α-π‎3‎)‎sin‎2‎(α-π‎3‎)+cos‎2‎(α-π‎3‎)‎‎=‎1‎tan‎2‎(α-π‎3‎)+1‎=‎‎9‎‎13‎.‎ ‎11.A　设扇面的圆心角的弧度数为θ,其所在圆的半径为r,则S‎1‎S‎2‎‎=‎1‎‎2‎r‎2‎θπr‎2‎-‎1‎‎2‎r‎2‎θ=‎‎5‎‎-1‎‎2‎,解得θ=(3 - ‎5‎)π,故选A.‎ ‎【方法点拨】　弧度制下弧长l=αr,扇形的面积公式是S=‎1‎‎2‎lr=‎1‎‎2‎αr2,其中l是扇形的弧长,α是扇形的圆心角,r是半径.‎ ‎12.D　解法一　由sinα‎1-cosα=5,‎ 得‎1+cosαsinα‎=‎‎(1+cosα)(1-cosα)‎sinα(1-cosα)‎ ‎=‎sin‎2‎αsinα(1-cosα)‎ ‎=‎sinα‎1-cosα ‎=5.故选D.‎ 解法二　因为sinα‎1-cosα·sinα‎1+cosα‎=sin‎2‎α‎1-cos‎2‎α=‎sin‎2‎αsin‎2‎α=1,‎ 所以‎1+cosαsinα‎=‎sinα‎1-cosα=5.‎ 故选D.‎ ‎【解后反思】　解决三角函数化简求值问题时,要灵活利用同角三角函数的基本关系:sin2α+cos2α=1.如本题的解法一,分子乘以(1 - cos α)后得sin2α,化简易得结果;解法二利用已知式与待求式的“倒数”相乘积为1进行巧解.‎ ‎13.B　解法一　由任意角的三角函数的定义得tan β=a‎3‎,tan(β - 45°)=‎4‎‎2a.由tan(β - 45°)=tanβ-1‎‎1+tanβ,得‎4‎‎2a‎=‎a‎3‎‎-1‎‎1+‎a‎3‎,整理得a2 - 5a - 6=0,解得a=6或a= - 1.‎ 当a= - 1时,点(3, - 1)在第四象限,点( - 2,4)在第二象限,产生矛盾,舍去; ‎ 当a=6时,点(3,6)在第一象限,点(12,4)也在第一象限,符合题意.故选B.‎ 解法二　当a<0时,两个角的终边分别在第四象限和第二象限,它们的夹角不可能为45°,排除A,C.当a=6时,如图D 4 - 1 - 2所示,显然满足题意.当a=1时,如图D 4 - 1 - 3所示,显然不满足题意,舍去,排除D.选B.‎ 图D 4 - 1 - 2　　 　　　　图D 4 - 1 - 3‎ ‎【解后反思】　解决本题的关键是准确把握两个角之间的关系——两角之差为45°.点的坐标中含有参数a,点的位置随着a的取值变化而变化,那么角的终边所在的位置也随着变化.本题解法一利用两角差的正切公式求出a的值后,一定要把a的值代入检验.‎ ‎14.C　由f ' (x)=2x2,得tan α=f ' (1)=2,所以sin‎2‎α-cos‎2‎α‎2sinαcosα+cos‎2‎α‎=tan‎2‎α-1‎‎2tanα+1‎=‎‎3‎‎5‎.故选C.‎ ‎15. - ‎4‎‎5‎　sin(α+‎7π‎6‎)= - sin(α+π‎6‎)= - sin(α - π‎3‎‎+‎π‎2‎)= - cos(α - π‎3‎)= - ‎4‎‎5‎.‎ ‎16.‎7‎‎25‎　因为cos(α+π‎8‎)=‎2‎‎10‎,α为锐角,所以sin(α+π‎8‎)=‎7‎‎2‎‎10‎,则cos(2α - π‎4‎)=cos[2(α+π‎8‎) - π‎2‎]=sin 2(α+π‎8‎)=2sin(α+π‎8‎)cos(α+π‎8‎)=2‎×‎7‎‎2‎‎10‎×‎2‎‎10‎=‎‎7‎‎25‎.‎