【数学】2019届一轮复习北师大版理科第四章第6节正弦定理和余弦定理学案

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【数学】2019届一轮复习北师大版理科第四章第6节正弦定理和余弦定理学案

第6节 正弦定理和余弦定理 最新考纲 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.‎ 知 识 梳 理 ‎1.正、余弦定理 在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆半径,则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ===2R a2=b2+c2-2bccos__A;‎ b2=c2+a2-2cacos__B;‎ c2=a2+b2-2abcos__C 常见变形 ‎(1)a=2Rsin A,b=2Rsin__B,c=2Rsin__C;‎ ‎(2)sin A=,sin B=,sin C=;‎ ‎(3)a∶b∶c=sin__A∶sin__B∶sin__C;‎ ‎(4)asin B=bsin A,bsin C=csin B,asin C=csin A cos A=;‎ cos B=;‎ cos C= ‎2.S△ABC=absin C=bcsin A=acsin B==(a+b+c)·r(r是三角形内切圆的半径),并可由此计算R,r. ‎ ‎3.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下:‎ A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a=bsin A bsin Ab a≤b 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 ‎[常用结论与微点提醒]‎ ‎1.三角形中的三角函数关系 ‎(1)sin(A+B)=sin C;(2)cos(A+B)=-cos C;‎ ‎(3)sin=cos;(4)cos=sin.‎ ‎2.三角形中的射影定理 在△ABC中,a=bcos C+ccos B;‎ b=acos C+ccos A;c=bcos A+acos B.‎ ‎3.利用正、余弦定理解三角形时,要注意三角形内角和定理对角的范围的限制.‎ 诊 断 自 测 ‎1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.(  )‎ ‎(2)在△ABC中,若sin A>sin B,则A>B.(  )‎ ‎(3)在△ABC的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素.(  )‎ ‎(4)当b2+c2-a2>0时,△ABC为锐角三角形;当b2+c2-a2=0时,△ABC为直角三角形;当b2+c2-a2<0时,△ABC为钝角三角形.(  )‎ 解析 (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比.‎ ‎(3)已知三角时,不可求三边.‎ ‎(4)当b2+c2-a2>0时,三角形ABC不一定为锐角三角形.‎ 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×‎ ‎2.(2016·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,c=2,cos A=,则b=(  )‎ A. B. C.2 D.3‎ 解析 由余弦定理,得5=b2+22-2×b×2×,解得b=3.‎ 答案 D ‎3.(一题多解)(2018·郑州调研)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b=2,c=2,且C=,则△ABC的面积为(  )‎ A.+1 B.-1‎ C.4 D.2‎ 解析 法一 由余弦定理可得(2)2=22+a2-2×2×acos,即a2-2a-4=0,‎ 解得a=+或a=-(舍去),△ABC的面积S=absin C=×2×(+)sin=×2××(+)=+1,选A.‎ 法二 由正弦定理=,得sin B==,又c>b,且B∈(0,π),所以B=,所以A=,所以△ABC的面积S=bcsin A=×2×2sin=×2×2×=+1.‎ 答案 A ‎4.(2017·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=,c=3,则A=________.‎ 解析 由正弦定理,得sin B===,‎ 结合b0,所以cos B<0,‎ 即B为钝角,所以△ABC为钝角三角形.‎ ‎(2)由正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,‎ ‎∴sin(B+C)=sin2A,即sin A=sin2A.‎ ‎∵A∈(0,π),∴sin A>0,∴sin A=1,即A=,‎ ‎∴△ABC为直角三角形.‎ 答案 (1)A (2)B 规律方法 1.判定三角形形状的途径:(1)化边为角,通过三角变换找出角之间的关系;(2)化角为边,通过代数变形找出边之间的关系,正(余)弦定理是转化的桥梁.‎ ‎2.无论使用哪种方法,都不要随意约掉公因式,要移项提取公因式,否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件,重视角的范围对三角函数值的限制.‎ ‎【训练2】 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c-acos B=(2a-b)cos A,则△ABC的形状为(  )‎ A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 解析 ∵c-acos B=(2a-b)cos A,C=π-(A+B),‎ ‎∴由正弦定理得sin C-sin Acos B ‎=2sin Acos A-sin Bcos A,‎ ‎∴sin Acos B+cos Asin B-sin Acos B ‎=2sin Acos A-sin Bcos A,‎ ‎∴cos A(sin B-sin A)=0,‎ ‎∴cos A=0或sin B=sin A,‎ ‎∴A=或B=A或B=π-A(舍去),‎ ‎∴△ABC为等腰或直角三角形.‎ 答案 D 考点三 和三角形面积有关的问题 ‎【例3】 (2017·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A+cos A=0,a=2,b=2.‎ ‎(1)求c;‎ ‎(2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.‎ 解 (1)由sin A+cos A=0及cos A≠0,‎ 得tan A=-,又0
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