【数学】2019届一轮复习北师大版简单的逻辑联结词学案
第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点1 全称量词和存在量词
1．全称量词有：所有的，任意一个，任给一个，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示．
2．含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立” 用符号简记为：∀x∈M，p(x)．
3．含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．
考点2 含有一个量词的命题的否定
[必会结论]
1．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判定
p
q
p∧q
p∨q
綈p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
2．“p∨q”的否定是“(綈p)∧(綈q)”；“p∧q”的否定是“(綈p)∨(綈q)”．
3．“且”“或”“非”三个逻辑联结词，对应着集合中的“交”“并”“补”，所以含有逻辑联结词的问题常常转化为集合问题处理．
[考点自测]
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)命题p∧q为假命题，则命题p，q都是假命题．( )
(2)命题p和綈p不可能都是真命题．( )
(3)若命题p，q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．( )
(4)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题．( )
答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)ex>1，则綈p为( )
A．∃x0≤0，使得(x0＋1)e x0≤1
B．∃x0>0，使得(x0＋1)e x0≤1
C．∀x>0，总有(x＋1)ex≤1
D．∀x≤0，总有(x＋1)ex≤1
答案 B
解析 全称命题的否定是特称命题，选B项．
3．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )
A．任意一个有理数，它的平方是有理数
B．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C．存在一个有理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
答案 B
解析 特称命题的否定规律是“改变量词，否定结论”，特称命题的否定是全称命题，选B项．
4．[2018·重庆模拟]已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．(綈p)∧(綈q)
C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)
答案 D
解析 依题意，命题p是真命题．由x>2⇒x>1，x>1x>2，知“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故命题q是假命题，则綈q是真命题，p∧(綈q)是真命题，故选D.
5．[课本改编]命题“任意x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A．a≥4 B．a≤4
C．a≥5 D．a≤5
答案 C
解析 命题“任意x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的充要条件是a≥4.故其充分不必要条件是集合[4，＋∞)的真子集，正确选项为C.
板块二 典例探究·考向突破
考向 含有逻辑联结词的命题的真假
例 1 [2017·山东高考]已知命题p：∃x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：若a2
0恒成立，
∴p为真命题，綈p为假命题．
∵当a＝－1，b＝－2时，(－1)2<(－2)2，但－1>－2，
∴q为假命题，綈q为真命题．
根据真值表可知p∧(綈q)为真命题，p∧q，(綈p)∧q，(綈p)∧(綈q)为假命题．故选B.
触类旁通
“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题真假的判断步骤
(1)确定命题的构成形式；
(2)判断其中命题p，q的真假；
(3)确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假．
【变式训练1】 在一次驾照考试中，甲、乙两位学员各试驾一次．设命题p是“甲试驾成功”，q是“乙试驾成功”，则命题“至少有一位学员没有试驾成功”可表示为( )
A．(綈p)∨(綈q) B．p∨(綈q)
C．(綈p)∧(綈q) D．p∨q
答案 A
解析 命题“至少有一位学员没有试驾成功”包含以下三种情况：“甲、乙均没有试驾成功”“甲试驾成功，乙没有试驾成功”“乙试驾成功，甲没有试驾成功”．故选A.
考向 全称命题、特称命题
命题角度1 全称命题、特称命题的否定
例 2 [2016·浙江高考]命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( )
A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n0 B．∀x∈N，x2>0
C．∃x0∈R，ln x0<1 D．∃x0∈N*，sin＝1
答案 B
解析 ex>0对∀x∈R恒成立，A为真；当x＝0时，x2>0不成立，B为假；存在01(a>0，a≠1)的解集是{x|x<0}，命题q：函数y＝lg (ax2－x＋a)的定义域为R，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．
解 由关于x的不等式ax>1(a>0，a≠1)的解集是{x|x<0}，知00的解集为R，
则解得a>.
因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，
所以p和q一真一假，即“p假q真”或“p真q假”，
故或
解得a≥1或04.
核心规律
1.把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”“且”“非”字眼，要结合语句的含义理解．
2.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与綈p→真假相反．
3.要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，对照否定结构去写，否定的规律是“改量词，否结论”．
满分策略
1.判断命题的真假要注意：全称命题为真需证明，为假举反例即可；特称命题为真需举一个例子，为假则要证明全称命题为真．
2.命题的否定与否命题的区别
“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论.
板块三 启智培优·破译高考
题型技法系列2——利用逻辑推理解决实际问题
[2017·全国卷Ⅱ]甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( )
A．乙可以知道四人的成绩
B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩
D．乙、丁可以知道自己的成绩
解题视点 解决此题的关键是弄清实际问题的含义，结合数学的逻辑分析去判断真假．
解析 由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀、1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．故选D.
答案 D
答题启示 在一些逻辑问题中，当字面上并未出现“或”“且”“非”字样时，应从语句的陈述中搞清含义，并根据题目进行逻辑分析，找出各个命题之间的内在联系，从而解决问题．
跟踪训练
a，b，c为三个人，命题A：“如果b的年龄不是最大，那么a的年龄最小”和命题B：“如果c不是年龄最小，那么a的年龄最大”都是真命题，则a，b，c的年龄由小到大依次是________．
答案 c，a，b
解析 显然命题A和B的原命题的结论是矛盾的，因此我们应该从它们的逆否命题来看．
由命题A可知，当b不是最大时，则a是最小，所以c最大，即c>b>a；而它的逆否命题也为真，即“若a的年龄不是最小，则b的年龄是最大”为真，即b>a>c.
同理，由命题B为真可得a>c>b或b>a>c.
故由A与B均为真可知b>a>c，所以a，b，c三人的年龄大小顺序是：b最大，a次之，c最小．
板块四 模拟演练·提能增分
[A级 基础达标]
1．[2018·沈阳模拟]命题“∃x0∈∁RQ，x∈Q”的否定是( )
A．∃x0∉∁RQ，x∈Q B．∃x0∈∁RQ，x∈Q
C．∀x∉∁RQ，x3∈Q D．∀x∈∁RQ，x3∉Q
答案 D
解析 该特称命题的否定为“∀x∈∁RQ，x3∉Q”．
2．[2017·湖北武汉调研]命题“y＝f(x)(x∈M)是奇函数”的否定是( )
A．∃x∈M，f(－x)＝－f(x)
B．∀x∈M，f(－x)≠－f(x)
C．∀x∈M，f(－x)＝－f(x)
D．∃x∈M，f(－x)≠－f(x)
答案 D
解析 命题“y＝f(x)(x∈M)是奇函数”的否定是∃x∈M，f(－x)≠－f(x)，故选D.
3．[2018·安徽六校素质测试]设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则( )
A．∀x∈Q，有x∈P B．∀x∉Q，有x∉P
C．∃x0∉Q，使得x0∈P D．∃x0∈P，使得x0∉Q
答案 B
解析 因为P∩Q＝P，所以P⊆Q，所以∀x∉Q，有x∉P，故选B.
4．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )
A．锐角三角形有一个内角是钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，>2
答案 B
解析 当x＝0时，x2＝0，满足x2≤0，所以B既是特称命题又是真命题．
5．[2018·湖南模拟]已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是( )
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
答案 C
解析 当x>y时，－x<－y，故命题p为真命题，从而綈p为假命题．
当x>y时，x2>y2不一定成立，故命题q为假命题，从而綈q为真命题．
由真值表知，①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧(綈q)为真命题；④(綈p)∨q为假命题．故选C.
6．[2018·浙江模拟]命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是( )
A．∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)>n
B．∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)>n
C．∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)>n0
D．∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)>n0
答案 D
解析 全称命题的否定是特称命题．选D项．
7．下列说法正确的是( )
A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”
B．若a，b∈R，则“ab≠0”是“a≠0”的充分不必要条件
C．命题“∃x0∈R，x＋x0＋1<0”的否定是“∀x∈R，x2＋x＋1>0”
D．若“p且q”为假命题，则p，q全是假命题
答案 B
解析 命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，所以A错误；ab≠0等价于a≠0且b≠0，所以“ab≠0”是“a≠0”的充分不必要条件，B正确；命题“∃x0∈R，x＋x0＋1<0”的否定为“∀x∈R，x2＋x＋1≥0”，C错误；若“p且q”为假命题，则p，q至少有一个为假命题，D错误．综上所述，故选B.
8．已知p：>0，则綈p对应的x的集合为________．
答案 {x|－1≤x≤2}
解析 ∵p：>0⇔x>2或x<－1，∴綈p：－1≤x≤2.
9．[2018·河南模拟]若命题“∃x0∈R，使得x＋ax0＋a＋3<0”为假命题，则实数a的取值范围是________．
答案 －2≤a≤6
解析 由命题“∃x0∈R，使得x＋ax0＋a＋3<0”为假命题，得命题“∀x∈R，都有x2＋ax＋a＋3≥0”为真命题，则Δ＝a2－4(a＋3)≤0，解得－2≤a≤6.
10．对于中国足球参与的某次大型赛事，有三名观众对结果作如下猜测：
甲：中国非第一名，也非第二名；
乙：中国非第一名，而是第三名；
丙：中国非第三名，而是第一名．
竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则中国足球队得了第________名．
答案 一
解析 由题可知：甲、乙、丙均为“p且q”形式，所以猜对一半者也说了错误“命题”，即只有一个为真，所以可知丙是真命题，因此中国足球队得了第一名．
[B级 知能提升]
1．[2018·青岛模拟]下列命题中，是真命题的是( )
A．∃x0∈R，ex≤0
B．∀x∈R,2x>x2
C．已知a，b为实数，则a＋b＝0的充要条件是＝－1
D．已知a，b为实数，则a>1，b>1是ab>1的充分条件
答案 D
解析 对于A，对任意x∈R，ex>0，所以A为假命题；对于B，当x＝2时，有2x＝x2，所以B为假命题；对于C，＝－1的充要条件为a＋b＝0且b≠0，所以C为假命题；对于D，当a>1，b>1时，显然有ab>1，充分性成立，当a＝4，b＝时，满足ab>1，但此时a>1，b<1，必要性不成立，所以“a>1，b>1”是“ab>1”的充分不必要条件，所以D为真命题．故选D.
2．已知命题p：∀x>0，x＋≥4；命题q：∃x0∈(0，＋∞)，2x0＝，则下列判断正确的是( )
A．p是假命题 B．q是真命题
C．p∧(綈q)是真命题 D．(綈p)∧q是真命题
答案 C
解析 p：∵x>0，∴x＋≥2＝4，∴p为真命题．
q：当x>0时，2x>1，∴q为假命题．
∴p∧(綈q)是真命题．故选C.
3．已知命题p：方程x2－mx＋1＝0有实数解，命题q：x2－2x＋m>0对任意x恒成立．若命题q∨(p∧q)真、綈p真，则实数m的取值范围是________．
答案 (1,2)
解析 由于綈p真，所以p假，则p∧q假，又q∨(p∧q)真，故q真，即命题p假、q真．当命题p假时，即方程x2－mx＋1＝0无实数解，此时m2－4<0，解得－21.所以所求的m的取值范围是10恒成立，q：函数y＝3x－a在x∈[0,2]上有零点，如果(綈p)∧q为假命题，綈q为假命题，求a的取值范围．
解 若p为真命题，则有或a＝0，即0≤a<4，故当p为真命题时，0≤a<4.
若q为真命题时，方程3x－a＝0在x∈[0,2]上有根．
∵当x∈[0,2]时，有1≤3x≤9，∴1≤a≤9，
即当q为真命题时，1≤a≤9.
∵(綈p)∧q为假命题，∴綈p，q中至少有一个为假命题．
又∵綈q为假命题，∴q为真命题．
∴綈p为假命题，p为真命题．
∴当p，q都为真时，即1≤a<4.
故所求a的取值范围是[1,4)．
5．已知m∈R，命题p：对任意x∈[0,1]，不等式2x－2≥m2－3m 恒成立；命题q：存在x∈[－1,1]，使得m≤ax成立．
(1)若p为真命题，求m的取值范围；
(2)当a＝1，若p且q为假，p或q为真，求m的取值范围．
解 (1)∵对任意x∈[0,1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立，∴(2x－2)min≥m2－3m.即m2－3m≤－2.解得1≤m≤2.
因此，若p为真命题时，m的取值范围是[1,2]．
(2)∵a＝1，且存在x∈[－1,1]，使得m≤ax成立，
∴m≤x，命题q为真时，m≤1.
∵p且q为假，p或q为真，
∴p，q中一个是真命题，一个是假命题．
当p真q假时，则解得1
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