【数学】2019届一轮复习北师大版二项式定理与其他知识的交汇学案

【数学】2019届一轮复习北师大版二项式定理与其他知识的交汇学案

‎ 专题九 计数原理 问题二：二项式定理与其他知识的交汇问题 一、考情分析 项式定理是高考高频考点,基本上每年必考,难度中等或中等以下,二项式定理作为一个工具,也常与其他知识交汇命题,如与数列交汇、与不等式交汇、与定积分交汇等．因此在一些题目中不仅仅考查二项式定理,还要考查其他知识,其解题的关键点是它们的交汇点,注意它们的联系． ‎ 二、经验分享 ‎1.二项展开式形式上的特点 ‎(1)项数为n＋1.‎ ‎(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.‎ ‎(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.‎ ‎(4)二项式的系数从C，C，一直到C，C.‎ ‎2.求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数 ＋1，代回通项公式即可． : xx ]‎ ‎3.整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项，而求近似值则应关注展开式的前几项．学 ‎ ‎4.二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式．‎ 三、知识拓展 ‎1.“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m (a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n (a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．‎ ‎2.若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.‎ 四、题型分析 ‎(一) 二项式定理与函数的交汇 ‎【例1】【2013高考陕西卷】设函数f(x)＝则当x>0时,f[f(x)]表达式的展开式中常数项为(　　)‎ A．－20　　　　B．20 C．－15 D．15[ :学 ]‎ ‎【答案】A ‎【点评】解决本题的关键是当x>0时,将f[f(x)]表达式转化为二项式．[ :学 ]‎ ‎【小试牛刀】设是展开式的中间项,若在区间上恒成立,则实数m的取值范围是（ ）‎ A．（－∞,5） B．（－∞,5] C．（5,＋∞） D．[5,＋∞）‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可知,由得在区间上恒成立,所以,故选D．‎ ‎ (二) 二项式定理与数列的交汇 ‎【例2】【2016届山东省实验中学高三上学期第一次诊断】将（）的展开式中的系数记为,则 ．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】（）的展开式的通项为 ,由题意可知,此时, ,所以,所以 ‎．‎ ‎【小试牛刀】设二项式n(∈N*)展开式的二项式系数和与各项系数和分别为an、bn,则＝(　　)‎ A．2n－1＋3 B．2(2n－1＋1) C．2n＋1 D．1‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意知an＝2n成等比数列,令x＝1则bn＝也成等比数列,所以＝2n＋1,故选C.‎ ‎ (三) 二项式定理与不等式的交汇 ‎【例3】若(x＋y)9按x的降幂排列的展开式中,第二项不大于第三项,且x＋y＝1,xy<0,则x的取值范围是(　　)‎ A．(－∞,) B．[,＋∞) C．(－∞,－] D．(1,＋∞)‎ ‎【答案】D ‎【解析】二项式(x＋y)9的展开式的通项是Tr＋1＝C·x9－r·yr.‎ 依题意,有,由此得,‎ 解之得x>1,即x的取值范围为(1,＋∞)．‎ ‎【小试牛刀】【2017届辽宁庄河市高级中学高三12月月考】若变量满足约束条件,,则取最大值时,二项展开式中的常数项为 .‎ ‎【答案】‎ ‎ (四) 二项式定理与定积分的交汇 ‎【例4】【2017届福建福州外国语学校高三理适应性考试三】已知展开式的常数项是540,则由曲线和围成的封闭图形的面积为 ．学 ‎ ‎【答案】‎ ‎【小试牛刀】已知a＝4cos(2x＋)dx,则二项式(x2＋)5的展开式中x的系数为________．‎ ‎【答案】－80‎ ‎【解析】依题意得a＝4cos(2x＋)dx＝2sin(2x＋)＝－2,即a＝－2,则Tr＋1＝C(－2)rx10－3r,当r＝3时,T4＝－80x.故二项式(x2＋)5的展开式中x的系数为－80.‎ ‎ (五) 二项式定理与导数的交汇 ‎【例5】【2017届河北南宫一中学高三仿真模拟】,则（ ）‎ A．1008 B．2016 C．4032 D．0‎ ‎【答案】C ‎【小试牛刀】求证 ‎【证明】由二项式定理可得 ‎ 两边取导数可得 令得.‎ ‎ (六) 二项式定理与信息迁移题的交汇 ‎【例6】已知m是一个给定的正整数,如果两个整数a,b除以m所得的余数相同,则称a与b对模m同余,记作a≡b(mod m),例如：5≡13(mod 4).若22015≡r(mod 7),则r可能等于(　　) ‎ A.2013 B‎.2014 C.2015 D.2016‎ ‎【答案】A ‎【解析】22015＝22×23×671＝4×8671＝4(7＋1)671＝4(7671＋C7670＋…＋C7＋1).因此22015除以7的余数为4.经验证,只有2013除以7所得的余数为4.故选A.‎ ‎【小试牛刀】用a代表红球,b代表蓝球,c代表黑球.由加法原理及乘法原理,从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a)(1＋b)的展开式1＋a＋b＋ab表示出来,如：“‎ ‎1”‎表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是(　　)‎ A.(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5‎ B.(1＋a5)(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c)5‎ C.(1＋a)5(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c5)‎ D.(1＋a5)(1＋b)5(1＋c＋c2＋c3＋c4＋c5)‎ ‎【答案】A ‎【解析】分三步：第一步,5个无区别的红球可能取出0个,1个,…,5个,则有(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)种不同的取法；第二步,5个无区别的蓝球都取出或都不取出,则有(1＋b5)种不同的取法；第三步,5个有区别的黑球中任取0个,1个,…,5个,有(1＋Cc＋Cc2＋Cc3＋Cc4＋Cc5)＝(1＋c)5种不同的取法,所以所求为(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5,故选A.‎ 四、迁移运用 ‎1．【山东 12联盟2018届高三模拟】已知，在的展开式中，记的系数为，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】，所以，由已知有指的系数，指的系数，所以，选A.‎ ‎2．【2017届广东汕头市高三理上学期期】将二项式展开式各项重新排列,则其中无理项互不相邻的概率是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】A ‎3．【2017届广西柳州市高三理10月模拟】在的展开式中,含项的系数等于320,则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得,所以,选A.‎ ‎4．【2017届湖北孝感市高三理上学期第一次统考】已知二项式的展开式中的系数为,则的值为（ ）‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【答案】C ‎5．【2017届广西高级中学高三11月段测】若,则展开式中常数项为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为,所以,,常数项为,故选B. ‎ ‎6.已知f(x)＝|x＋2|＋|x－4|的最小值为n,则二项式展开式中x2项的系数为(　　)‎ A．15 B．－15 C．30 D．－30‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为函数f(x)＝|x＋2|＋|x－4|的最小值为4－(－2)＝6,即n＝6.展开式的通项公式为T ＋1＝Cx6－ ＝Cx6－2 (－1) ,由6－2 ＝2,得 ＝2,所以T3＝Cx2(－1)2＝15x2,即x2项的系数为15,选A.‎ ‎7.设复数x＝(i是虚数单位),则Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2 015＝(　　)‎ A．i B．－i C．－1－i D．1＋i ‎【答案】C ‎【解析】x＝＝－1＋i,Cx＋Cx2＋…＋Cx2 015＝(1＋x)2 015－1＝i2 015－1＝－i－1.‎ ‎8．已知,则从集合（）到集合的映射个数是（ ）‎ A．6561 B．316 C．2187 D．210‎ ‎【答案】A ‎9．设是大于1的自然数,的展开式为.若点的位置如图所示,则.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由图易知,则,即,解得.‎ ‎10．【2017届湖南师大附中高三上月考三】若,则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令可得,令可得,以上两式两边相减可得,即,故应填答案.‎ ‎11．【2017届浙江温州中学高三10月高考模拟】复数（为虚数单位）为纯虚数,则复数的模为 .已知的展开式中没有常数项,且,则 .‎ ‎【答案】‎ ‎12.【辽宁省辽南协作校2017-2018学年高三下学期第一次模拟】二项式的展开式中只有第3项的二项式系数最大，把展开式中所有的项重新排成一列，则无理项都互不相邻的排列总数为__________．（用数字作答）[ : xx ]‎ ‎【答案】72‎ ‎【解析】因为二项式的展开式中只有第3项的二项式系数最大，所以展开式共5项，，其通项为，当时项为有理项，所以无理项有2个，先把有理项排好有种，从4个空中取两个排上无理项有种排法，所以共有种排法.‎ ‎13．【2017届贵州遵义南白中学高三联考二】若对于任意的实数,有,则的值为 .‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】,所以 ‎14．【2017届河南百校联盟高三9月质监】若的展开式中的系数为30,则____________．‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】由题意得,所以 ‎15．已知的展开式中的常数项为,是以为周期的偶函数,且当时,,若在区间内,函数有4个零点,则实数 的取值范围是______________．‎ ‎【答案】‎ ‎16．设,则的展开式中常数项是 .‎ ‎【答案】-332‎ ‎【解析】∵,‎ ‎∴,‎ ‎∵‎ ‎∴常数项为.‎ ‎17.求证：3n>(n＋2)·2n－1(n∈N*,n>2)．学 ‎ ‎【证明】因为n∈N*,且n>2,所以3n＝(2＋1)n展开后至少有4项．‎ ‎(2＋1)n＝2n＋C·2n－1＋…＋C·2＋1≥2n＋n·2n－1＋2n＋1>2n＋n·2n－1＝(n＋2)·2n－1,‎ 故3n>(n＋2)·2n－1(n∈N*,n>2)．‎