2019年湖南省郴州市中考数学试卷

2019年湖南省郴州市中考数学试卷

2019 年湖南省郴州市中考数学试卷 一、选择题（共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 1．（3 分）如图，数轴上表示﹣2 的相反数的点是（　　） A．M B．N C．P D．Q 2．（3 分）如图是我国几家银行的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（3 分）邓小平曾说：“中东有石油，中国有稀土”．稀土是加工制造国防、军工等工业 品不可或缺的原料．据有关统计数据表明：至 2017 年止，我国已探明稀土储量约 4400 万吨，居世界第一位，请用科学记数法表示 44 000 000 为（　　） A．44×106 B．4.4×107 C．4.4×108 D．0.44×109 4．（3 分）下列运算正确的是（　　） A．（ x2）3＝x5 B． + ＝ C．x•x2•x4＝x6 D． ＝ 5．（3 分）一元二次方程 2x2+3x﹣5＝0 的根的情况为（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 6．（3 分）下列采用的调查方式中，合适的是（　　） A．为了解东江湖的水质情况，采用抽样调查的方式 B．我市某企业为了解所生产的产品的合格率，采用普查的方式 C．某小型企业给在职员工做工作服前进行尺寸大小的调查，采用抽样调查的方式 D．某市教育部门为了解该市中小学生的视力情况，采用普查的方式 7．（3 分）如图，分别以线段 AB 的两端点 A，B 为圆心，大于 AB 长为半径画弧，在线段 AB 的两侧分别交于点 E，F，作直线 EF 交 AB 于点 O．在直线 EF 上任取一点 P（不与 O 重合），连接 PA，PB，则下列结论不一定成立的是（　　） A．PA＝PB B．OA＝OB C．OP＝OF D．PO⊥AB 8．（3 分）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形 和两对全等的三角形，如图所示，已知∠A＝90°，BD＝4，CF＝6，则正方形 ADOF 的 边长是（　　） A． B．2 C． D．4 二、填空题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分） 9．（3 分）二次根式 中，x 的取值范围是　 　． 10．（3 分）若 ＝ ，则 ＝　 　． 11．（3 分）如图，直线 a，b 被直线 c，d 所截．若 a∥b，∠1＝130°，∠2＝30°，则∠3 的度数为　 　度． 12．（3 分）某校举行演讲比赛，七个评委对小明的打分如下：9，8，7，6，9，9，7，这组 数据的中位数是　 　． 13．（3 分）某商店今年 6 月初销售纯净水的数量如下表所示： 日期 1 2 3 4 数量（瓶） 120 125 130 135 观 察 此 表 ， 利 用 所 学 函 数 知 识 预 测 今 年 6 月 7 日 该 商 店 销 售 纯 净 水 的 数 量 约 为 　 　 瓶． 14．（3 分）如图是甲、乙两人 6 次投篮测试（每次投篮 10 个）成绩的统计图，甲、乙两人 测试成绩的方差分别记作 s 甲 2、s 乙 2，则 s 甲 2　 　s 乙 2．（填“＞”，“＝”或“＜”） 15．（3 分）已知某几何体的三视图如图，其中主视图和左视图都是腰长为 5，底边长为 4 的 等腰三角形，则该几何体的侧面展开图的面积是　 　．（结果保留 π） 16．（3 分）如图，点 A，C 分别是正比例函数 y＝x 的图象与反比例函数 y＝ 的图象的交点， 过 A 点作 AD⊥x 轴于点 D，过 C 点作 CB⊥x 轴于点 B，则四边形 ABCD 的面积 为　 　． 三、解答题（17～19 题每题 6 分，20～23 题每题 8 分，24～25 题每题 10 分，26 题 12 分， 共 82 分） 17．（6 分）计算：（3﹣π）0﹣2cos30°+|1﹣ |+（ ）﹣1． 18．（6 分）先化简，再求值： ﹣ ，其中 a＝ ． 19．（6 分）如图，▱ABCD 中，点 E 是边 AD 的中点，连接 CE 并延长交 BA 的延长线于点 F，连接 AC，DF．求证：四边形 ACDF 是平行四边形． 20．（8 分）我市去年成功举办 2018 郴州国际休闲旅游文化节，获评“全国森林旅游示范 市”．我市有 A，B，C，D，E 五个景区很受游客喜爱．一旅行社对某小区居民在暑假期 间去以上五个景区旅游（只选一个景区）的意向做了一次随机调查统计，并根据这个统 计结果制作了如下两幅不完整的统计图： （1）该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是　 　人，m＝　 　，并补全 条形统计图； （2）若该小区有居民 1200 人，试估计去 B 地旅游的居民约有多少人？ （3）小军同学已去过 E 地旅游，暑假期间计划与父母从 A，B，C，D 四个景区中，任选 两个去旅游，求选到 A，C 两个景区的概率．（要求画树状图或列表求概率） 21．（8 分）如图所示，巡逻船在 A 处测得灯塔 C 在北偏东 45°方向上，距离 A 处 30km．在 灯塔 C 的正南方向 B 处有一渔船发出求救信号，巡逻船接到指示后立即前往施救．已知 B 处在 A 处的北偏东 60°方向上，这时巡逻船与渔船的距离是多少？ （精确到 0.01km．参考数据： ≈1.414， ≈1.732， ≈2.449） 22．（8 分）某小微企业为加快产业转型升级步伐，引进一批 A，B 两种型号的机器．已知一 台 A 型机器比一台 B 型机器每小时多加工 2 个零件，且一台 A 型机器加工 80 个零件与 一台 B 型机器加工 60 个零件所用时间相等． （1）每台 A，B 两种型号的机器每小时分别加工多少个零件？ （2）如果该企业计划安排 A，B 两种型号的机器共 10 台一起加工一批该零件，为了如期 完成任务，要求两种机器每小时加工的零件不少于 72 件，同时为了保障机器的正常运转， 两种机器每小时加工的零件不能超过 76 件，那么 A，B 两种型号的机器可以各安排多少 台？ 23．（8 分）如图，已知 AB 是⊙O 的直径，CD 与⊙O 相切于点 D，且 AD∥OC． （1）求证：BC 是⊙O 的切线； （2）延长 CO 交⊙O 于点 E．若∠CEB＝30°，⊙O 的半径为 2，求 的长．（结果保 留 π） 24．（10 分）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函 数 为 分 段 函 数 ． 下 面 我 们 参 照 学 习 函 数 的 过 程 与 方 法 ， 探 究 分 段 函 数 y ＝ 的图象与性质．列表： x … ﹣3 ﹣ ﹣2 ﹣ ﹣1 ﹣ 0 1 2 3 … y … 1 2 1 0 1 2 … 描点：在平面直角坐标系中，以自变量 x 的取值为横坐标，以相应的函数值 y 为纵坐标， 描出相应的点，如图所示． （1）如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象； （2）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题： ①点 A（﹣5，y 1），B（﹣ ，y 2），C（x 1， ），D（x 2，6）在函数图象上，则 y 1　 　 y2，x1　 　x2；（填“＞”，“＝”或“＜”） ②当函数值 y＝2 时，求自变量 x 的值； ③在直线 x＝﹣1 的右侧的函数图象上有两个不同的点 P（x3，y3），Q（x4，y4），且 y3＝ y4，求 x3+x4 的值； ④若直线 y＝a 与函数图象有三个不同的交点，求 a 的取值范围． 25．（10 分）如图 1，矩形 ABCD 中，点 E 为 AB 边上的动点（不与 A，B 重合），把△ADE 沿 DE 翻折，点 A 的对应点为 A1，延长 EA1 交直线 DC 于点 F，再把∠BEF 折叠，使点 B 的对应点 B1 落在 EF 上，折痕 EH 交直线 BC 于点 H． （1）求证：△A1DE∽△B1EH； （2）如图 2，直线 MN 是矩形 ABCD 的对称轴，若点 A1 恰好落在直线 MN 上，试判断△ DEF 的形状，并说明理由； （3）如图 3，在（2）的条件下，点 G 为△DEF 内一点，且∠DGF＝150°，试探究 DG，EG，FG 的数量关系． 26．（12 分）已知抛物线 y＝ax2+bx+3 与 x 轴分别交于 A（﹣3，0），B（1，0）两点，与 y 轴交于点 C． （1）求抛物线的表达式及顶点 D 的坐标； （2）点 F 是线段 AD 上一个动点． ①如图 1，设 k＝ ，当 k 为何值时，CF＝ AD？ ②如图 2，以 A，F，O 为顶点的三角形是否与△ABC 相似？若相似，求出点 F 的坐标； 若不相似，请说明理由． 2019 年湖南省郴州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 1．（3 分）如图，数轴上表示﹣2 的相反数的点是（　　） A．M B．N C．P D．Q 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案． 【解答】解：﹣2 的相反数是 2， 故选：D． 【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数． 2．（3 分）如图是我国几家银行的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误． 故选：C． 【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称 轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分 重合 3．（3 分）邓小平曾说：“中东有石油，中国有稀土”．稀土是加工制造国防、军工等工业 品不可或缺的原料．据有关统计数据表明：至 2017 年止，我国已探明稀土储量约 4400 万吨，居世界第一位，请用科学记数法表示 44 000 000 为（　　） A．44×106 B．4.4×107 C．4.4×108 D．0.44×109 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 a×10n，其中 1≤|a|＜10，n 为整数， 据此判断即可． 【解答】解：将 44 000 000 用科学记数法可表示为 4.4×107． 故选：B． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其 中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 4．（3 分）下列运算正确的是（　　） A．（ x2）3＝x5 B． + ＝ C．x•x2•x4＝x6 D． ＝ 【分析】根据幂的乘方法则判断 A；先把 化为最简二次根式，再合并同类二次根式， 即可判断 B；根据同底数幂的乘法法则判断 C；根据二次根式的除法法则判断 D． 【解答】解：A、（ x2）3＝x6，故本选项错误； B、 + ＝ +2 ＝3 ，故本选项错误； C、x•x2•x4＝x7，故本选项错误； D、 ＝ ，故本选项正确； 故选：D． 【点评】本题考查了二次根式的运算，整式的运算，掌握同底数幂的乘法法则、幂的乘 方法则、以及二次根式的除法法则是解题的关键． 5．（3 分）一元二次方程 2x2+3x﹣5＝0 的根的情况为（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【分析】求出△的值即可判断． 【解答】解：一元二次方程 2x2﹣3x+5＝0 中， △＝32﹣4×2×9（﹣5）＞0， ∴有两个不相等的实数根． 故选：B． 【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞ 0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔ 方程没有实数根． 6．（3 分）下列采用的调查方式中，合适的是（　　） A．为了解东江湖的水质情况，采用抽样调查的方式 B．我市某企业为了解所生产的产品的合格率，采用普查的方式 C．某小型企业给在职员工做工作服前进行尺寸大小的调查，采用抽样调查的方式 D．某市教育部门为了解该市中小学生的视力情况，采用普查的方式 【分析】根据两种不同的调查方式的优缺点分别判断即可． 【解答】解：A、为了解东江湖的水质情况，采用抽样调查的方式，合适； B、我市某企业为了解所生产的产品的合格率，因调查范围广，工作量大采用普查的方式 不合适； C、某小型企业给在职员工做工作服前进行尺寸大小的调查，因调查范围小采用抽样调查 的方式不合适； D、某市教育部门为了解该市中小学生的视力情况，因调查范围广，采用普查的方式不合 适， 故选：A． 【点评】本题考查了全面调查与抽样调查的知识，解题的关键是能够了解两种调查方式 的优缺点，难度不大． 7．（3 分）如图，分别以线段 AB 的两端点 A，B 为圆心，大于 AB 长为半径画弧，在线段 AB 的两侧分别交于点 E，F，作直线 EF 交 AB 于点 O．在直线 EF 上任取一点 P（不与 O 重合），连接 PA，PB，则下列结论不一定成立的是（　　） A．PA＝PB B．OA＝OB C．OP＝OF D．PO⊥AB 【分析】依据分别以线段 AB 的两端点 A，B 为圆心，大于 AB 长为半径画弧，在线段 AB 的两侧分别交于点 E，F，作直线 EF 交 AB 于点 O，即可得到 EF 垂直平分 AB，进而得 出结论． 【解答】解：∵由作图可知，EF 垂直平分 AB， ∴PA＝PB，故 A 选项正确； OA＝OB，故 B 选项正确； OE＝OF，故 C 选项错误； PO⊥AB，故 D 选项正确； 故选：C． 【点评】本题考查基本作图、线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分 线的作法，利用线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等解决问题． 8．（3 分）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形 和两对全等的三角形，如图所示，已知∠A＝90°，BD＝4，CF＝6，则正方形 ADOF 的 边长是（　　） A． B．2 C． D．4 【分析】设正方形 ADOF 的边长为 x，在直角三角形 ACB 中，利用勾股定理可建立关于 x 的方程，解方程即可． 【解答】解：设正方形 ADOF 的边长为 x， 由题意得：BE＝BD＝4，CE＝CF＝6， ∴BC＝BE+CE＝BD+CF＝10， 在 Rt△ABC 中，AC2+AB2＝BC2， 即（6+x）2+（x+4）2＝102， 整理得，x2+10x﹣24＝0， 解得：x＝2，或 x＝﹣12（舍去）， ∴x＝2， 即正方形 ADOF 的边长是 2； 故选：B． 【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质、一元二次方程的解法、勾股定 理等知识；熟练掌握正方形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键． 二、填空题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分） 9．（3 分）二次根式 中，x 的取值范围是　x≥2　． 【分析】二次根式的被开方数是非负数，即 x﹣2≥0． 【解答】解：根据题意，得 x﹣2≥0， 解得，x≥2； 故答案是：x≥2． 【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 （a≥0）叫二次根式．性质：二 次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 10．（3 分）若 ＝ ，则 ＝　 　． 【分析】直接利用已知将原式变形进而得出 x，y 之间的关系进而得出答案． 【解答】解：∵ ＝ ， ∴2x+2y＝3x， 故 2y＝x， 则 ＝ ． 故答案为： ． 【点评】此题主要考查了比例的性质，正确将原式变形是解题关键． 11．（3 分）如图，直线 a，b 被直线 c，d 所截．若 a∥b，∠1＝130°，∠2＝30°，则∠3 的度数为　100　度． 【分析】直接利用平行线的性质结合三角形外角的性质得出答案． 【解答】解：∵a∥b， ∴∠3＝∠4， ∵∠1＝∠2+∠4＝∠2+∠3，∠1＝130°，∠2＝30°， ∴130°＝30°+∠3， 解得：∠3＝100°． 故答案为：100． 【点评】此题主要考查了平行线的性质以及三角形的外角，正确应用平行线的性质是解 题关键． 12．（3 分）某校举行演讲比赛，七个评委对小明的打分如下：9，8，7，6，9，9，7，这组 数据的中位数是　8　． 【分析】根据中位数计算：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果 数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数 是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 【解答】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列为：6，7，7，8，9，9，9， 故这组数据的中位数是 8． 故答案为：8． 【点评】本题考查了中位数的定义，解题的关键是牢记定义，此题比较简单，易于掌 握． 13．（3 分）某商店今年 6 月初销售纯净水的数量如下表所示： 日期 1 2 3 4 数量（瓶） 120 125 130 135 观察此表，利用所学函数知识预测今年 6 月 7 日该商店销售纯净水的数量约为　150　瓶． 【分析】这是一个一次函数模型，设 y＝kx+b，利用待定系数法即可解决问题， 【解答】解：这是一个一次函数模型，设 y＝kx+b，则有 ， 解得 ， ∴y＝5x+115， 当 x＝7 时，y＝150， ∴预测今年 6 月 7 日该商店销售纯净水的数量约为 150 瓶， 故答案为 150． 【点评】本题考查一次函数的性质，解题的关键是学会构建一次函数解决问题，属于中 考常考题型． 14．（3 分）如图是甲、乙两人 6 次投篮测试（每次投篮 10 个）成绩的统计图，甲、乙两人 测试成绩的方差分别记作 s 甲 2、s 乙 2，则 s 甲 2　＜　s 乙 2．（填“＞”，“＝”或“＜”） 【分析】根据数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定，方差越大；数据偏离 平均数越小，即波动越小，数据越稳定，方差越小进行判断． 【解答】解：由图象可知：乙偏离平均数大，甲偏离平均数小，所以乙波动大，不稳定， 方差大，即 S 甲 2＜S 乙 2． 故答案为：＜． 【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表 明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组 数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 15．（3 分）已知某几何体的三视图如图，其中主视图和左视图都是腰长为 5，底边长为 4 的 等腰三角形，则该几何体的侧面展开图的面积是　10π　．（结果保留 π） 【分析】由三视图可知，该几何体是圆锥，根据圆锥是侧面积公式计算即可． 【解答】解：由三视图可知，该几何体是圆锥， ∴侧面展开图的面积＝π•2•5＝10π， 故答案为 10π． 【点评】本题考查三视图，圆锥等知识，解题的关键是记住圆锥的侧面积公式． 16．（3 分）如图，点 A，C 分别是正比例函数 y＝x 的图象与反比例函数 y＝ 的图象的交点， 过 A 点作 AD⊥x 轴于点 D，过 C 点作 CB⊥x 轴于点 B，则四边形 ABCD 的面积为　 8　． 【分析】由反比例函数的对称性可知 OA＝OC，OB＝OD，则 S△AOB＝S△BOC＝S△DOC＝ S△AOD，再根据反比例函数 k 的几何意义可求得这四个三角形的面积，可求得答案． 【解答】解：∵A、C 是两函数图象的交点， ∴A、C 关于原点对称， ∵CD⊥x 轴，AB⊥x 轴， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∴S△AOB＝S△BOC＝S△DOC＝S△AOD， 又∵反比例函数 y＝ 的图象上， ∴S△AOB＝S△BOC＝S△DOC＝S△AOD＝ ×4＝2， ∴S 四边形 ABCD＝4S△AOB＝4×2＝8， 故答案为：8． 【点评】本题主要考查反比例函数的对称性和 k 的几何意义，根据条件得出 OA＝OC，OB ＝OD 是解题的关键，注意 k 的几何意义的应用． 三、解答题（17～19 题每题 6 分，20～23 题每题 8 分，24～25 题每题 10 分，26 题 12 分， 共 82 分） 17．（6 分）计算：（3﹣π）0﹣2cos30°+|1﹣ |+（ ）﹣1． 【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三 角函数值计算即可求出值． 【解答】解：原式＝1﹣2× + ﹣1+2＝2． 【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18．（6 分）先化简，再求值： ﹣ ，其中 a＝ ． 【分析】根据分式的减法可以化简题目中的式子，然后将 a 的值代入化简后的式子即可 解答本题． 【解答】解： ﹣ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ， 当 a＝ 时，原式＝ ＝ ＝1． 【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 19．（6 分）如图，▱ABCD 中，点 E 是边 AD 的中点，连接 CE 并延长交 BA 的延长线于点 F，连接 AC，DF．求证：四边形 ACDF 是平行四边形． 【分析】利用平行四边形的性质，即可判定△FAE≌△CDE，即可得到 CD＝FA，再根据 CD∥AF，即可得出四边形 ACDF 是平行四边形； 【解答】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠FAE＝∠CDE， ∵E 是 AD 的中点， ∴AE＝DE， 又∵∠FEA＝∠CED， ∴△FAE≌△CDE（ASA）， ∴CD＝FA， 又∵CD∥AF， ∴四边形 ACDF 是平行四边形． 【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平 行四边形的判定和性质定理是解题的关键． 20．（8 分）我市去年成功举办 2018 郴州国际休闲旅游文化节，获评“全国森林旅游示范 市”．我市有 A，B，C，D，E 五个景区很受游客喜爱．一旅行社对某小区居民在暑假期 间去以上五个景区旅游（只选一个景区）的意向做了一次随机调查统计，并根据这个统 计结果制作了如下两幅不完整的统计图： （1）该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是　200　人，m＝　35　，并补全条 形统计图； （2）若该小区有居民 1200 人，试估计去 B 地旅游的居民约有多少人？ （3）小军同学已去过 E 地旅游，暑假期间计划与父母从 A，B，C，D 四个景区中，任选 两个去旅游，求选到 A，C 两个景区的概率．（要求画树状图或列表求概率） 【分析】（1）先由 D 景区人数及其所占百分比求出总人数，再根据百分比的概念和各景 区人数之和等于总人数求解可得； （2）利用样本估计总体思想求解可得； （3）画树状图得出所有等可能结果，从中找到选到 A，C 两个景区的结果数，再根据概 率公式计算可得． 【解答】解：（1）该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是 20÷10%＝200 （人）， 则 m%＝ ×100%＝35%，即 m＝35， C 景区人数为 200﹣（20+70+20+50）＝40（人）， 补全条形图如下： 故答案为：200，35； （2）估计去 B 地旅游的居民约有 1200×35%＝420（人）； （3）画树状图如下： 由树状图知，共有 12 种等可能结果，其中选到 A，C 两个景区的有 2 种结果， 所以选到 A，C 两个景区的概率为 ＝ ． 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及扇形与条形统计图的知识．注意掌握 扇形统计图与条形统计图的对应关系．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数 之比． 21．（8 分）如图所示，巡逻船在 A 处测得灯塔 C 在北偏东 45°方向上，距离 A 处 30km．在 灯塔 C 的正南方向 B 处有一渔船发出求救信号，巡逻船接到指示后立即前往施救．已知 B 处在 A 处的北偏东 60°方向上，这时巡逻船与渔船的距离是多少？ （精确到 0.01km．参考数据： ≈1.414， ≈1.732， ≈2.449） 【分析】延长 CB 交过 A 点的正东方向于 D，则∠CDA＝90°，由题意得：AC＝30km，∠ CAD＝45°，∠BAD＝30°，由直角三角形的性质得出 AD＝CD＝ AC＝15 ，AD＝ BD，BD＝ ＝5 ，即可得出答案． 【解答】解：延长 CB 交过 A 点的正东方向于 D，如图所示： 则∠CDA＝90°， 由题意得：AC＝30km，∠CAD＝90°﹣45°＝45°，∠BAD＝90°﹣60°＝30°， ∴AD＝CD＝ AC＝15 ，AD＝ BD， ∴BD＝ ＝5 ， ∴BC＝CD﹣BD＝15 ﹣5 ≈15×1.414﹣5×2.449≈8.97（km）； 答：巡逻船与渔船的距离约为 8.97km． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据题目中所给方向角构 造直角三角形，然后利用三角函数的知识求解，难度适中． 22．（8 分）某小微企业为加快产业转型升级步伐，引进一批 A，B 两种型号的机器．已知一 台 A 型机器比一台 B 型机器每小时多加工 2 个零件，且一台 A 型机器加工 80 个零件与 一台 B 型机器加工 60 个零件所用时间相等． （1）每台 A，B 两种型号的机器每小时分别加工多少个零件？ （2）如果该企业计划安排 A，B 两种型号的机器共 10 台一起加工一批该零件，为了如期 完成任务，要求两种机器每小时加工的零件不少于 72 件，同时为了保障机器的正常运转， 两种机器每小时加工的零件不能超过 76 件，那么 A，B 两种型号的机器可以各安排多少 台？ 【分析】（1）设每台 B 型机器每小时加工 x 个零件，则每台 A 型机器每小时加工（x+2） 个零件，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合一台 A 型机器加工 80 个零件与一台 B 型机器加工 60 个零件所用时间相等，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得 出结论； （2）设 A 型机器安排 m 台，则 B 型机器安排（10﹣m）台，根据每小时加工零件的总量 ＝8×A 型机器的数量+6×B 型机器的数量结合每小时加工的零件不少于 72 件且不能超 过 76 件，即可得出关于 m 的一元一次不等式组，解之即可得出 m 的取值范围，再结合 m 为正整数即可得出各安排方案． 【解答】解：（1）设每台 B 型机器每小时加工 x 个零件，则每台 A 型机器每小时加工 （x+2）个零件， 依题意，得： ＝ ， 解得：x＝6， 经检验，x＝6 是原方程的解，且符合题意， ∴x+2＝8． 答：每台 A 型机器每小时加工 8 个零件，每台 B 型机器每小时加工 6 个零件． （2）设 A 型机器安排 m 台，则 B 型机器安排（10﹣m）台， 依题意，得： ， 解得：6≤m≤8． ∵m 为正整数， ∴m＝6，7，8． 答：共有三种安排方案，方案一：A 型机器安排 6 台，B 型机器安排 4 台；方案二：A 型 机器安排 7 台，B 型机器安排 3 台；方案三：A 型机器安排 8 台，B 型机器安排 2 台． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是： （1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元 一次不等式组． 23．（8 分）如图，已知 AB 是⊙O 的直径，CD 与⊙O 相切于点 D，且 AD∥OC． （1）求证：BC 是⊙O 的切线； （2）延长 CO 交⊙O 于点 E．若∠CEB＝30°，⊙O 的半径为 2，求 的长．（结果保 留 π） 【分析】（1）根据切线的性质和平行线的性质从而证得△COD≌△COB，得到∠ODC＝ ∠OBC＝90°，即可证得结论； （2）根据圆周角定理得到∠BOD＝120°，然后根据弧长公式求得即可． 【解答】（1）证明：连接 OD， ∵CD 与⊙O 相切于点 D， ∴∠ODC＝90°， ∵OD＝OA， ∴∠OAD＝∠ODA， ∵AD∥OC， ∴∠COB＝∠OAD，∠COD＝∠ODA， ∴∠COB＝∠COD， 在△COD 和△COB 中 ， ∴△COD≌△COB（SAS）， ∴∠ODC＝∠OBC＝90°， ∴BC 是⊙O 的切线； （2）解：∵∠CEB＝30°， ∴∠COB＝60°， ∵∠COB＝∠COD， ∴∠BOD＝120°， ∴ 的长： ＝ π． 【点评】本题考查了切线的判定和性质，平行线的性质，圆周角定理以及三角形全等的 判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 24．（10 分）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函 数 为 分 段 函 数 ． 下 面 我 们 参 照 学 习 函 数 的 过 程 与 方 法 ， 探 究 分 段 函 数 y ＝ 的图象与性质．列表： x … ﹣3 ﹣ ﹣2 ﹣ ﹣1 ﹣ 0 1 2 3 … y … 1 2 1 0 1 2 … 描点：在平面直角坐标系中，以自变量 x 的取值为横坐标，以相应的函数值 y 为纵坐标， 描出相应的点，如图所示． （1）如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象； （2）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题： ①点 A（﹣5，y1），B（﹣ ，y2），C（x1， ），D（x2，6）在函数图象上，则 y1　＜　 y2，x1　＜　x2；（填“＞”，“＝”或“＜”） ②当函数值 y＝2 时，求自变量 x 的值； ③在直线 x＝﹣1 的右侧的函数图象上有两个不同的点 P（x3，y3），Q（x4，y4），且 y3＝ y4，求 x3+x4 的值； ④若直线 y＝a 与函数图象有三个不同的交点，求 a 的取值范围． 【分析】（1）描点连线即可； （2）①A 与 B 在 y＝﹣ 上，y 随 x 的增大而增大，所以 y1＜y2；C 与 D 在 y＝|x﹣1|上， 观察图象可得 x1＜x2； ②当 y＝2 时，2＝|x﹣1|，则有 x＝3 或 x＝﹣1； ③由图可知﹣1≤x≤3 时，点关于 x＝1 对称，当 y3＝y4 时 x3+x4＝2； ④由图象可知，0＜a＜2； 【解答】解：（1）如图所示： （2）①A（﹣5，y1），B（﹣ ，y2）， A 与 B 在 y＝﹣ 上，y 随 x 的增大而增大，∴y1＜y2； C（x1， ），D（x2，6）， C 与 D 在 y＝|x﹣1|上，观察图象可得 x1＜x2； 故答案为＜，＜； ②当 y＝2 时，2＝﹣ ，∴x＝﹣ （不符合）； 当 y＝2 时，2＝|x﹣1|，∴x＝3 或 x＝﹣1； ③∵P（x3，y3），Q（x4，y4）在 x＝﹣1 的右侧， ∴﹣1≤x≤3 时，点关于 x＝1 对称， ∵y3＝y4， ∴x3+x4＝2； ④由图象可知，0＜a＜2； 【点评】本题考查反比例函数的图象及性质，一次函数的图象及性质；能够通过描点准 确的画出函数图象是解题的关键． 25．（10 分）如图 1，矩形 ABCD 中，点 E 为 AB 边上的动点（不与 A，B 重合），把△ADE 沿 DE 翻折，点 A 的对应点为 A1，延长 EA1 交直线 DC 于点 F，再把∠BEF 折叠，使点 B 的对应点 B1 落在 EF 上，折痕 EH 交直线 BC 于点 H． （1）求证：△A1DE∽△B1EH； （2）如图 2，直线 MN 是矩形 ABCD 的对称轴，若点 A1 恰好落在直线 MN 上，试判断△ DEF 的形状，并说明理由； （3）如图 3，在（2）的条件下，点 G 为△DEF 内一点，且∠DGF＝150°，试探究 DG，EG，FG 的数量关系． 【分析】（1）由折叠图形的性质可得∠DA1E＝∠EB1H＝90°，∠DEA1+∠HEB1＝90° 从而可得∠DEA1＝∠EHB1，依据两个角对应相等的三角形相似可得△A1DE∽△B1EH； （2）由 A1 恰好落在直线 MN 上可知 A1 在 EF 的中点，由 SAS 易证△A1DE≌△A1DF， 即可得∠ADE＝∠EDA1＝∠FDA1＝30°， （3）将△DGE 逆时针旋转 60°到△DG'F 位置，由旋转的旋转将 DG，EG，FG 集中到△ G′GF 中结合∠DGF＝150°，可得△G′GF 为直角三角形，由勾股定理可得 G'G2+GF2 ＝G'F2，即可证明 DG2+GF2＝GE2， 【解答】解：（1）证明：由折叠的性质可知：∠DAE＝∠DA1E＝90°，∠EBH＝∠EB1H ＝90°，∠AED＝∠A1ED，∠BEH＝∠B1EH， ∴∠DEA1+∠HEB1＝90°． 又∵∠HEB1+∠EHB1＝90°， ∴∠DEA1＝∠EHB1， ∴△A1DE∽△B1EH； （2）结论：△DEF 是等边三角形； 理由如下： ∵直线 MN 是矩形 ABCD 的对称轴， ∴点 A1 是 EF 的中点，即 A1E＝A1F， 在△A1DE 和△A1DF 中 ， ∴△A1DE≌△A1DF（SAS）， ∴DE＝DF，∠FDA1＝∠EDA1， 又∵△ADE≌△A1DE，∠ADF＝90°． ∴∠ADE＝∠EDA1＝∠FDA1＝30°， ∴∠EDF＝60°， ∴△DEF 是等边三角形； （3）DG，EG，FG 的数量关系是 DG2+GF2＝GE2， 理由如下：由（2）可知△DEF 是等边三角形；将△DGE 逆时针旋转 60°到△DG'F 位置， 如解图（1）， ∴G'F＝GE，DG'＝DG，∠GDG'＝60°， ∴△DGG'是等边三角形， ∴GG'＝DG，∠DGG'＝60°， ∵∠DGF＝150°， ∴∠G'GF＝90°， ∴G'G2+GF2＝G'F2， ∴DG2+GF2＝GE2， 【点评】本题考查翻折变换、相似三角形证明、全等三角形的判定和性质、勾股定理矩 形的性质等知识，解（3）题的关键是灵活运用旋转得全等三角形，构造 Rt△G′GF． 26．（12 分）已知抛物线 y＝ax2+bx+3 与 x 轴分别交于 A（﹣3，0），B（1，0）两点，与 y 轴交于点 C． （1）求抛物线的表达式及顶点 D 的坐标； （2）点 F 是线段 AD 上一个动点． ①如图 1，设 k＝ ，当 k 为何值时，CF＝ AD？ ②如图 2，以 A，F，O 为顶点的三角形是否与△ABC 相似？若相似，求出点 F 的坐标； 若不相似，请说明理由． 【分析】（1）将 A、B 两点的坐标代入二次函数解析式，用待定系数法即求出抛物线对应 的函数表达式，可求得顶点 D（﹣1，4）； （2）①由 A、C、D 三点的坐标求出 AC＝3 ，DC＝ ，AD＝2 ，可得△ACD 为 直角三角形，若 CF＝ ，则点 F 为 AD 的中点，可求出 k 的值； ②由条件可判断∠DAC＝∠OBC，则∠OAF＝∠ACB，若以 A，F，O 为顶点的三角形与△ ABC 相似，可分两种情况考虑：当∠AOF＝∠ABC 或∠AOF＝∠CAB＝45°时，可分别 求出点 F 的坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线 y＝ax2+bx+3 过点 A（﹣3，0），B（1，0）， ∴ ，解得： ， ∴抛物线解析式为 y＝﹣x2﹣2x+3； ∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4 ∴顶点 D 的坐标为（﹣1，4）； （2）①∵在 Rt△AOC 中，OA＝3，OC＝3， ∴AC2＝OA2+OC2＝18， ∵D（﹣1，4），C（0，3），A（﹣3，0）， ∴CD2＝12+12＝2 ∴AD2＝22+42＝20 ∴AC2+CD2＝AD2 ∴△ACD 为直角三角形，且∠ACD＝90°． ∵ ， ∴F 为 AD 的中点， ∴ ， ∴ ． ②在 Rt△ACD 中，tan ， 在 Rt△OBC 中，tan ， ∴∠ACD＝∠OCB， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA＝45°， ∴∠FAO＝∠ACB， 若以 A，F，O 为顶点的三角形与△ABC 相似，则可分两种情况考虑： 当∠AOF＝∠ABC 时，△AOF∽△CBA， ∴OF∥BC， 设直线 BC 的解析式为 y＝kx+b， ∴ ，解得： ， ∴直线 BC 的解析式为 y＝﹣3x+3， ∴直线 OF 的解析式为 y＝﹣3x， 设直线 AD 的解析式为 y＝mx+n， ∴ ，解得： ， ∴直线 AD 的解析式为 y＝2x+6， ∴ ，解得： ， ∴F（﹣ ）． 当∠AOF＝∠CAB＝45°时，△AOF∽△CAB， ∵∠CAB＝45°， ∴OF⊥AC， ∴直线 OF 的解析式为 y＝﹣x， ∴ ，解得： ， ∴F（﹣2，2）． 综合以上可得 F 点的坐标为（﹣ ）或（﹣2，2）． 【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、相似 三角形的判定与性质和直角三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标 与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/7/4 17:25:17；用户：柯瑞；邮箱：ainixiaoke00@163.com；学号：500557