2019年湖南省郴州市中考数学试卷

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

2019年湖南省郴州市中考数学试卷

2019 年湖南省郴州市中考数学试卷 一、选择题(共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分) 1.(3 分)如图,数轴上表示﹣2 的相反数的点是(  ) A.M B.N C.P D.Q 2.(3 分)如图是我国几家银行的标志,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  ) A. B. C. D. 3.(3 分)邓小平曾说:“中东有石油,中国有稀土”.稀土是加工制造国防、军工等工业 品不可或缺的原料.据有关统计数据表明:至 2017 年止,我国已探明稀土储量约 4400 万吨,居世界第一位,请用科学记数法表示 44 000 000 为(  ) A.44×106 B.4.4×107 C.4.4×108 D.0.44×109 4.(3 分)下列运算正确的是(  ) A.( x2)3=x5 B. + = C.x•x2•x4=x6 D. = 5.(3 分)一元二次方程 2x2+3x﹣5=0 的根的情况为(  ) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 6.(3 分)下列采用的调查方式中,合适的是(  ) A.为了解东江湖的水质情况,采用抽样调查的方式 B.我市某企业为了解所生产的产品的合格率,采用普查的方式 C.某小型企业给在职员工做工作服前进行尺寸大小的调查,采用抽样调查的方式 D.某市教育部门为了解该市中小学生的视力情况,采用普查的方式 7.(3 分)如图,分别以线段 AB 的两端点 A,B 为圆心,大于 AB 长为半径画弧,在线段 AB 的两侧分别交于点 E,F,作直线 EF 交 AB 于点 O.在直线 EF 上任取一点 P(不与 O 重合),连接 PA,PB,则下列结论不一定成立的是(  ) A.PA=PB B.OA=OB C.OP=OF D.PO⊥AB 8.(3 分)我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形 和两对全等的三角形,如图所示,已知∠A=90°,BD=4,CF=6,则正方形 ADOF 的 边长是(  ) A. B.2 C. D.4 二、填空题(共 8 小题,每小题 3 分,满分 24 分) 9.(3 分)二次根式 中,x 的取值范围是   . 10.(3 分)若 = ,则 =   . 11.(3 分)如图,直线 a,b 被直线 c,d 所截.若 a∥b,∠1=130°,∠2=30°,则∠3 的度数为   度. 12.(3 分)某校举行演讲比赛,七个评委对小明的打分如下:9,8,7,6,9,9,7,这组 数据的中位数是   . 13.(3 分)某商店今年 6 月初销售纯净水的数量如下表所示: 日期 1 2 3 4 数量(瓶) 120 125 130 135 观 察 此 表 , 利 用 所 学 函 数 知 识 预 测 今 年 6 月 7 日 该 商 店 销 售 纯 净 水 的 数 量 约 为     瓶. 14.(3 分)如图是甲、乙两人 6 次投篮测试(每次投篮 10 个)成绩的统计图,甲、乙两人 测试成绩的方差分别记作 s 甲 2、s 乙 2,则 s 甲 2   s 乙 2.(填“>”,“=”或“<”) 15.(3 分)已知某几何体的三视图如图,其中主视图和左视图都是腰长为 5,底边长为 4 的 等腰三角形,则该几何体的侧面展开图的面积是   .(结果保留 π) 16.(3 分)如图,点 A,C 分别是正比例函数 y=x 的图象与反比例函数 y= 的图象的交点, 过 A 点作 AD⊥x 轴于点 D,过 C 点作 CB⊥x 轴于点 B,则四边形 ABCD 的面积 为   . 三、解答题(17~19 题每题 6 分,20~23 题每题 8 分,24~25 题每题 10 分,26 题 12 分, 共 82 分) 17.(6 分)计算:(3﹣π)0﹣2cos30°+|1﹣ |+( )﹣1. 18.(6 分)先化简,再求值: ﹣ ,其中 a= . 19.(6 分)如图,▱ABCD 中,点 E 是边 AD 的中点,连接 CE 并延长交 BA 的延长线于点 F,连接 AC,DF.求证:四边形 ACDF 是平行四边形. 20.(8 分)我市去年成功举办 2018 郴州国际休闲旅游文化节,获评“全国森林旅游示范 市”.我市有 A,B,C,D,E 五个景区很受游客喜爱.一旅行社对某小区居民在暑假期 间去以上五个景区旅游(只选一个景区)的意向做了一次随机调查统计,并根据这个统 计结果制作了如下两幅不完整的统计图: (1)该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是   人,m=   ,并补全 条形统计图; (2)若该小区有居民 1200 人,试估计去 B 地旅游的居民约有多少人? (3)小军同学已去过 E 地旅游,暑假期间计划与父母从 A,B,C,D 四个景区中,任选 两个去旅游,求选到 A,C 两个景区的概率.(要求画树状图或列表求概率) 21.(8 分)如图所示,巡逻船在 A 处测得灯塔 C 在北偏东 45°方向上,距离 A 处 30km.在 灯塔 C 的正南方向 B 处有一渔船发出求救信号,巡逻船接到指示后立即前往施救.已知 B 处在 A 处的北偏东 60°方向上,这时巡逻船与渔船的距离是多少? (精确到 0.01km.参考数据: ≈1.414, ≈1.732, ≈2.449) 22.(8 分)某小微企业为加快产业转型升级步伐,引进一批 A,B 两种型号的机器.已知一 台 A 型机器比一台 B 型机器每小时多加工 2 个零件,且一台 A 型机器加工 80 个零件与 一台 B 型机器加工 60 个零件所用时间相等. (1)每台 A,B 两种型号的机器每小时分别加工多少个零件? (2)如果该企业计划安排 A,B 两种型号的机器共 10 台一起加工一批该零件,为了如期 完成任务,要求两种机器每小时加工的零件不少于 72 件,同时为了保障机器的正常运转, 两种机器每小时加工的零件不能超过 76 件,那么 A,B 两种型号的机器可以各安排多少 台? 23.(8 分)如图,已知 AB 是⊙O 的直径,CD 与⊙O 相切于点 D,且 AD∥OC. (1)求证:BC 是⊙O 的切线; (2)延长 CO 交⊙O 于点 E.若∠CEB=30°,⊙O 的半径为 2,求 的长.(结果保 留 π) 24.(10 分)若一个函数当自变量在不同范围内取值时,函数表达式不同,我们称这样的函 数 为 分 段 函 数 . 下 面 我 们 参 照 学 习 函 数 的 过 程 与 方 法 , 探 究 分 段 函 数 y = 的图象与性质.列表: x … ﹣3 ﹣ ﹣2 ﹣ ﹣1 ﹣ 0 1 2 3 … y … 1 2 1 0 1 2 … 描点:在平面直角坐标系中,以自变量 x 的取值为横坐标,以相应的函数值 y 为纵坐标, 描出相应的点,如图所示. (1)如图,在平面直角坐标系中,观察描出的这些点的分布,作出函数图象; (2)研究函数并结合图象与表格,回答下列问题: ①点 A(﹣5,y 1),B(﹣ ,y 2),C(x 1, ),D(x 2,6)在函数图象上,则 y 1    y2,x1   x2;(填“>”,“=”或“<”) ②当函数值 y=2 时,求自变量 x 的值; ③在直线 x=﹣1 的右侧的函数图象上有两个不同的点 P(x3,y3),Q(x4,y4),且 y3= y4,求 x3+x4 的值; ④若直线 y=a 与函数图象有三个不同的交点,求 a 的取值范围. 25.(10 分)如图 1,矩形 ABCD 中,点 E 为 AB 边上的动点(不与 A,B 重合),把△ADE 沿 DE 翻折,点 A 的对应点为 A1,延长 EA1 交直线 DC 于点 F,再把∠BEF 折叠,使点 B 的对应点 B1 落在 EF 上,折痕 EH 交直线 BC 于点 H. (1)求证:△A1DE∽△B1EH; (2)如图 2,直线 MN 是矩形 ABCD 的对称轴,若点 A1 恰好落在直线 MN 上,试判断△ DEF 的形状,并说明理由; (3)如图 3,在(2)的条件下,点 G 为△DEF 内一点,且∠DGF=150°,试探究 DG,EG,FG 的数量关系. 26.(12 分)已知抛物线 y=ax2+bx+3 与 x 轴分别交于 A(﹣3,0),B(1,0)两点,与 y 轴交于点 C. (1)求抛物线的表达式及顶点 D 的坐标; (2)点 F 是线段 AD 上一个动点. ①如图 1,设 k= ,当 k 为何值时,CF= AD? ②如图 2,以 A,F,O 为顶点的三角形是否与△ABC 相似?若相似,求出点 F 的坐标; 若不相似,请说明理由. 2019 年湖南省郴州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分) 1.(3 分)如图,数轴上表示﹣2 的相反数的点是(  ) A.M B.N C.P D.Q 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数,可得答案. 【解答】解:﹣2 的相反数是 2, 故选:D. 【点评】本题考查了相反数,在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数. 2.(3 分)如图是我国几家银行的标志,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  ) A. B. C. D. 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解. 【解答】解:A、不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故本选项错误; B、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误; C、既是轴对称图形,又是中心对称图形,故此选项正确; D、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误. 故选:C. 【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称 轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转 180 度后两部分 重合 3.(3 分)邓小平曾说:“中东有石油,中国有稀土”.稀土是加工制造国防、军工等工业 品不可或缺的原料.据有关统计数据表明:至 2017 年止,我国已探明稀土储量约 4400 万吨,居世界第一位,请用科学记数法表示 44 000 000 为(  ) A.44×106 B.4.4×107 C.4.4×108 D.0.44×109 【分析】用科学记数法表示较大的数时,一般形式为 a×10n,其中 1≤|a|<10,n 为整数, 据此判断即可. 【解答】解:将 44 000 000 用科学记数法可表示为 4.4×107. 故选:B. 【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其 中 1≤|a|<10,n 为整数,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值. 4.(3 分)下列运算正确的是(  ) A.( x2)3=x5 B. + = C.x•x2•x4=x6 D. = 【分析】根据幂的乘方法则判断 A;先把 化为最简二次根式,再合并同类二次根式, 即可判断 B;根据同底数幂的乘法法则判断 C;根据二次根式的除法法则判断 D. 【解答】解:A、( x2)3=x6,故本选项错误; B、 + = +2 =3 ,故本选项错误; C、x•x2•x4=x7,故本选项错误; D、 = ,故本选项正确; 故选:D. 【点评】本题考查了二次根式的运算,整式的运算,掌握同底数幂的乘法法则、幂的乘 方法则、以及二次根式的除法法则是解题的关键. 5.(3 分)一元二次方程 2x2+3x﹣5=0 的根的情况为(  ) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 【分析】求出△的值即可判断. 【解答】解:一元二次方程 2x2﹣3x+5=0 中, △=32﹣4×2×9(﹣5)>0, ∴有两个不相等的实数根. 故选:B. 【点评】本题考查了根的判别式,一元二次方程根的情况与判别式△的关系:(1)△> 0⇔方程有两个不相等的实数根;(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;(3)△<0⇔ 方程没有实数根. 6.(3 分)下列采用的调查方式中,合适的是(  ) A.为了解东江湖的水质情况,采用抽样调查的方式 B.我市某企业为了解所生产的产品的合格率,采用普查的方式 C.某小型企业给在职员工做工作服前进行尺寸大小的调查,采用抽样调查的方式 D.某市教育部门为了解该市中小学生的视力情况,采用普查的方式 【分析】根据两种不同的调查方式的优缺点分别判断即可. 【解答】解:A、为了解东江湖的水质情况,采用抽样调查的方式,合适; B、我市某企业为了解所生产的产品的合格率,因调查范围广,工作量大采用普查的方式 不合适; C、某小型企业给在职员工做工作服前进行尺寸大小的调查,因调查范围小采用抽样调查 的方式不合适; D、某市教育部门为了解该市中小学生的视力情况,因调查范围广,采用普查的方式不合 适, 故选:A. 【点评】本题考查了全面调查与抽样调查的知识,解题的关键是能够了解两种调查方式 的优缺点,难度不大. 7.(3 分)如图,分别以线段 AB 的两端点 A,B 为圆心,大于 AB 长为半径画弧,在线段 AB 的两侧分别交于点 E,F,作直线 EF 交 AB 于点 O.在直线 EF 上任取一点 P(不与 O 重合),连接 PA,PB,则下列结论不一定成立的是(  ) A.PA=PB B.OA=OB C.OP=OF D.PO⊥AB 【分析】依据分别以线段 AB 的两端点 A,B 为圆心,大于 AB 长为半径画弧,在线段 AB 的两侧分别交于点 E,F,作直线 EF 交 AB 于点 O,即可得到 EF 垂直平分 AB,进而得 出结论. 【解答】解:∵由作图可知,EF 垂直平分 AB, ∴PA=PB,故 A 选项正确; OA=OB,故 B 选项正确; OE=OF,故 C 选项错误; PO⊥AB,故 D 选项正确; 故选:C. 【点评】本题考查基本作图、线段垂直平分线的性质,解题的关键是掌握线段垂直平分 线的作法,利用线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等解决问题. 8.(3 分)我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形 和两对全等的三角形,如图所示,已知∠A=90°,BD=4,CF=6,则正方形 ADOF 的 边长是(  ) A. B.2 C. D.4 【分析】设正方形 ADOF 的边长为 x,在直角三角形 ACB 中,利用勾股定理可建立关于 x 的方程,解方程即可. 【解答】解:设正方形 ADOF 的边长为 x, 由题意得:BE=BD=4,CE=CF=6, ∴BC=BE+CE=BD+CF=10, 在 Rt△ABC 中,AC2+AB2=BC2, 即(6+x)2+(x+4)2=102, 整理得,x2+10x﹣24=0, 解得:x=2,或 x=﹣12(舍去), ∴x=2, 即正方形 ADOF 的边长是 2; 故选:B. 【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质、一元二次方程的解法、勾股定 理等知识;熟练掌握正方形的性质,由勾股定理得出方程是解题的关键. 二、填空题(共 8 小题,每小题 3 分,满分 24 分) 9.(3 分)二次根式 中,x 的取值范围是 x≥2 . 【分析】二次根式的被开方数是非负数,即 x﹣2≥0. 【解答】解:根据题意,得 x﹣2≥0, 解得,x≥2; 故答案是:x≥2. 【点评】考查了二次根式的意义和性质.概念:式子 (a≥0)叫二次根式.性质:二 次根式中的被开方数必须是非负数,否则二次根式无意义. 10.(3 分)若 = ,则 =   . 【分析】直接利用已知将原式变形进而得出 x,y 之间的关系进而得出答案. 【解答】解:∵ = , ∴2x+2y=3x, 故 2y=x, 则 = . 故答案为: . 【点评】此题主要考查了比例的性质,正确将原式变形是解题关键. 11.(3 分)如图,直线 a,b 被直线 c,d 所截.若 a∥b,∠1=130°,∠2=30°,则∠3 的度数为 100 度. 【分析】直接利用平行线的性质结合三角形外角的性质得出答案. 【解答】解:∵a∥b, ∴∠3=∠4, ∵∠1=∠2+∠4=∠2+∠3,∠1=130°,∠2=30°, ∴130°=30°+∠3, 解得:∠3=100°. 故答案为:100. 【点评】此题主要考查了平行线的性质以及三角形的外角,正确应用平行线的性质是解 题关键. 12.(3 分)某校举行演讲比赛,七个评委对小明的打分如下:9,8,7,6,9,9,7,这组 数据的中位数是 8 . 【分析】根据中位数计算:将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果 数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数.如果这组数据的个数 是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数. 【解答】解:把这组数据按照从小到大的顺序排列为:6,7,7,8,9,9,9, 故这组数据的中位数是 8. 故答案为:8. 【点评】本题考查了中位数的定义,解题的关键是牢记定义,此题比较简单,易于掌 握. 13.(3 分)某商店今年 6 月初销售纯净水的数量如下表所示: 日期 1 2 3 4 数量(瓶) 120 125 130 135 观察此表,利用所学函数知识预测今年 6 月 7 日该商店销售纯净水的数量约为 150 瓶. 【分析】这是一个一次函数模型,设 y=kx+b,利用待定系数法即可解决问题, 【解答】解:这是一个一次函数模型,设 y=kx+b,则有 , 解得 , ∴y=5x+115, 当 x=7 时,y=150, ∴预测今年 6 月 7 日该商店销售纯净水的数量约为 150 瓶, 故答案为 150. 【点评】本题考查一次函数的性质,解题的关键是学会构建一次函数解决问题,属于中 考常考题型. 14.(3 分)如图是甲、乙两人 6 次投篮测试(每次投篮 10 个)成绩的统计图,甲、乙两人 测试成绩的方差分别记作 s 甲 2、s 乙 2,则 s 甲 2 < s 乙 2.(填“>”,“=”或“<”) 【分析】根据数据偏离平均数越大,即波动越大,数据越不稳定,方差越大;数据偏离 平均数越小,即波动越小,数据越稳定,方差越小进行判断. 【解答】解:由图象可知:乙偏离平均数大,甲偏离平均数小,所以乙波动大,不稳定, 方差大,即 S 甲 2<S 乙 2. 故答案为:<. 【点评】本题考查方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差越大,表 明这组数据偏离平均数越大,即波动越大,数据越不稳定;反之,方差越小,表明这组 数据分布比较集中,各数据偏离平均数越小,即波动越小,数据越稳定. 15.(3 分)已知某几何体的三视图如图,其中主视图和左视图都是腰长为 5,底边长为 4 的 等腰三角形,则该几何体的侧面展开图的面积是 10π .(结果保留 π) 【分析】由三视图可知,该几何体是圆锥,根据圆锥是侧面积公式计算即可. 【解答】解:由三视图可知,该几何体是圆锥, ∴侧面展开图的面积=π•2•5=10π, 故答案为 10π. 【点评】本题考查三视图,圆锥等知识,解题的关键是记住圆锥的侧面积公式. 16.(3 分)如图,点 A,C 分别是正比例函数 y=x 的图象与反比例函数 y= 的图象的交点, 过 A 点作 AD⊥x 轴于点 D,过 C 点作 CB⊥x 轴于点 B,则四边形 ABCD 的面积为  8 . 【分析】由反比例函数的对称性可知 OA=OC,OB=OD,则 S△AOB=S△BOC=S△DOC= S△AOD,再根据反比例函数 k 的几何意义可求得这四个三角形的面积,可求得答案. 【解答】解:∵A、C 是两函数图象的交点, ∴A、C 关于原点对称, ∵CD⊥x 轴,AB⊥x 轴, ∴OA=OC,OB=OD, ∴S△AOB=S△BOC=S△DOC=S△AOD, 又∵反比例函数 y= 的图象上, ∴S△AOB=S△BOC=S△DOC=S△AOD= ×4=2, ∴S 四边形 ABCD=4S△AOB=4×2=8, 故答案为:8. 【点评】本题主要考查反比例函数的对称性和 k 的几何意义,根据条件得出 OA=OC,OB =OD 是解题的关键,注意 k 的几何意义的应用. 三、解答题(17~19 题每题 6 分,20~23 题每题 8 分,24~25 题每题 10 分,26 题 12 分, 共 82 分) 17.(6 分)计算:(3﹣π)0﹣2cos30°+|1﹣ |+( )﹣1. 【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则,绝对值的代数意义,以及特殊角的三 角函数值计算即可求出值. 【解答】解:原式=1﹣2× + ﹣1+2=2. 【点评】此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 18.(6 分)先化简,再求值: ﹣ ,其中 a= . 【分析】根据分式的减法可以化简题目中的式子,然后将 a 的值代入化简后的式子即可 解答本题. 【解答】解: ﹣ = = = = = , 当 a= 时,原式= = =1. 【点评】本题考查分式的化简求值,解答本题的关键是明确分式化简求值的方法. 19.(6 分)如图,▱ABCD 中,点 E 是边 AD 的中点,连接 CE 并延长交 BA 的延长线于点 F,连接 AC,DF.求证:四边形 ACDF 是平行四边形. 【分析】利用平行四边形的性质,即可判定△FAE≌△CDE,即可得到 CD=FA,再根据 CD∥AF,即可得出四边形 ACDF 是平行四边形; 【解答】解:∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AB∥CD, ∴∠FAE=∠CDE, ∵E 是 AD 的中点, ∴AE=DE, 又∵∠FEA=∠CED, ∴△FAE≌△CDE(ASA), ∴CD=FA, 又∵CD∥AF, ∴四边形 ACDF 是平行四边形. 【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,熟练掌握平 行四边形的判定和性质定理是解题的关键. 20.(8 分)我市去年成功举办 2018 郴州国际休闲旅游文化节,获评“全国森林旅游示范 市”.我市有 A,B,C,D,E 五个景区很受游客喜爱.一旅行社对某小区居民在暑假期 间去以上五个景区旅游(只选一个景区)的意向做了一次随机调查统计,并根据这个统 计结果制作了如下两幅不完整的统计图: (1)该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是 200 人,m= 35 ,并补全条 形统计图; (2)若该小区有居民 1200 人,试估计去 B 地旅游的居民约有多少人? (3)小军同学已去过 E 地旅游,暑假期间计划与父母从 A,B,C,D 四个景区中,任选 两个去旅游,求选到 A,C 两个景区的概率.(要求画树状图或列表求概率) 【分析】(1)先由 D 景区人数及其所占百分比求出总人数,再根据百分比的概念和各景 区人数之和等于总人数求解可得; (2)利用样本估计总体思想求解可得; (3)画树状图得出所有等可能结果,从中找到选到 A,C 两个景区的结果数,再根据概 率公式计算可得. 【解答】解:(1)该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是 20÷10%=200 (人), 则 m%= ×100%=35%,即 m=35, C 景区人数为 200﹣(20+70+20+50)=40(人), 补全条形图如下: 故答案为:200,35; (2)估计去 B 地旅游的居民约有 1200×35%=420(人); (3)画树状图如下: 由树状图知,共有 12 种等可能结果,其中选到 A,C 两个景区的有 2 种结果, 所以选到 A,C 两个景区的概率为 = . 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及扇形与条形统计图的知识.注意掌握 扇形统计图与条形统计图的对应关系.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数 之比. 21.(8 分)如图所示,巡逻船在 A 处测得灯塔 C 在北偏东 45°方向上,距离 A 处 30km.在 灯塔 C 的正南方向 B 处有一渔船发出求救信号,巡逻船接到指示后立即前往施救.已知 B 处在 A 处的北偏东 60°方向上,这时巡逻船与渔船的距离是多少? (精确到 0.01km.参考数据: ≈1.414, ≈1.732, ≈2.449) 【分析】延长 CB 交过 A 点的正东方向于 D,则∠CDA=90°,由题意得:AC=30km,∠ CAD=45°,∠BAD=30°,由直角三角形的性质得出 AD=CD= AC=15 ,AD= BD,BD= =5 ,即可得出答案. 【解答】解:延长 CB 交过 A 点的正东方向于 D,如图所示: 则∠CDA=90°, 由题意得:AC=30km,∠CAD=90°﹣45°=45°,∠BAD=90°﹣60°=30°, ∴AD=CD= AC=15 ,AD= BD, ∴BD= =5 , ∴BC=CD﹣BD=15 ﹣5 ≈15×1.414﹣5×2.449≈8.97(km); 答:巡逻船与渔船的距离约为 8.97km. 【点评】本题考查了解直角三角形的应用,解答本题的关键是根据题目中所给方向角构 造直角三角形,然后利用三角函数的知识求解,难度适中. 22.(8 分)某小微企业为加快产业转型升级步伐,引进一批 A,B 两种型号的机器.已知一 台 A 型机器比一台 B 型机器每小时多加工 2 个零件,且一台 A 型机器加工 80 个零件与 一台 B 型机器加工 60 个零件所用时间相等. (1)每台 A,B 两种型号的机器每小时分别加工多少个零件? (2)如果该企业计划安排 A,B 两种型号的机器共 10 台一起加工一批该零件,为了如期 完成任务,要求两种机器每小时加工的零件不少于 72 件,同时为了保障机器的正常运转, 两种机器每小时加工的零件不能超过 76 件,那么 A,B 两种型号的机器可以各安排多少 台? 【分析】(1)设每台 B 型机器每小时加工 x 个零件,则每台 A 型机器每小时加工(x+2) 个零件,根据工作时间=工作总量÷工作效率结合一台 A 型机器加工 80 个零件与一台 B 型机器加工 60 个零件所用时间相等,即可得出关于 x 的分式方程,解之经检验后即可得 出结论; (2)设 A 型机器安排 m 台,则 B 型机器安排(10﹣m)台,根据每小时加工零件的总量 =8×A 型机器的数量+6×B 型机器的数量结合每小时加工的零件不少于 72 件且不能超 过 76 件,即可得出关于 m 的一元一次不等式组,解之即可得出 m 的取值范围,再结合 m 为正整数即可得出各安排方案. 【解答】解:(1)设每台 B 型机器每小时加工 x 个零件,则每台 A 型机器每小时加工 (x+2)个零件, 依题意,得: = , 解得:x=6, 经检验,x=6 是原方程的解,且符合题意, ∴x+2=8. 答:每台 A 型机器每小时加工 8 个零件,每台 B 型机器每小时加工 6 个零件. (2)设 A 型机器安排 m 台,则 B 型机器安排(10﹣m)台, 依题意,得: , 解得:6≤m≤8. ∵m 为正整数, ∴m=6,7,8. 答:共有三种安排方案,方案一:A 型机器安排 6 台,B 型机器安排 4 台;方案二:A 型 机器安排 7 台,B 型机器安排 3 台;方案三:A 型机器安排 8 台,B 型机器安排 2 台. 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用,解题的关键是: (1)找准等量关系,正确列出分式方程;(2)根据各数量之间的关系,正确列出一元 一次不等式组. 23.(8 分)如图,已知 AB 是⊙O 的直径,CD 与⊙O 相切于点 D,且 AD∥OC. (1)求证:BC 是⊙O 的切线; (2)延长 CO 交⊙O 于点 E.若∠CEB=30°,⊙O 的半径为 2,求 的长.(结果保 留 π) 【分析】(1)根据切线的性质和平行线的性质从而证得△COD≌△COB,得到∠ODC= ∠OBC=90°,即可证得结论; (2)根据圆周角定理得到∠BOD=120°,然后根据弧长公式求得即可. 【解答】(1)证明:连接 OD, ∵CD 与⊙O 相切于点 D, ∴∠ODC=90°, ∵OD=OA, ∴∠OAD=∠ODA, ∵AD∥OC, ∴∠COB=∠OAD,∠COD=∠ODA, ∴∠COB=∠COD, 在△COD 和△COB 中 , ∴△COD≌△COB(SAS), ∴∠ODC=∠OBC=90°, ∴BC 是⊙O 的切线; (2)解:∵∠CEB=30°, ∴∠COB=60°, ∵∠COB=∠COD, ∴∠BOD=120°, ∴ 的长: = π. 【点评】本题考查了切线的判定和性质,平行线的性质,圆周角定理以及三角形全等的 判定和性质,熟练掌握性质定理是解题的关键. 24.(10 分)若一个函数当自变量在不同范围内取值时,函数表达式不同,我们称这样的函 数 为 分 段 函 数 . 下 面 我 们 参 照 学 习 函 数 的 过 程 与 方 法 , 探 究 分 段 函 数 y = 的图象与性质.列表: x … ﹣3 ﹣ ﹣2 ﹣ ﹣1 ﹣ 0 1 2 3 … y … 1 2 1 0 1 2 … 描点:在平面直角坐标系中,以自变量 x 的取值为横坐标,以相应的函数值 y 为纵坐标, 描出相应的点,如图所示. (1)如图,在平面直角坐标系中,观察描出的这些点的分布,作出函数图象; (2)研究函数并结合图象与表格,回答下列问题: ①点 A(﹣5,y1),B(﹣ ,y2),C(x1, ),D(x2,6)在函数图象上,则 y1 <  y2,x1 < x2;(填“>”,“=”或“<”) ②当函数值 y=2 时,求自变量 x 的值; ③在直线 x=﹣1 的右侧的函数图象上有两个不同的点 P(x3,y3),Q(x4,y4),且 y3= y4,求 x3+x4 的值; ④若直线 y=a 与函数图象有三个不同的交点,求 a 的取值范围. 【分析】(1)描点连线即可; (2)①A 与 B 在 y=﹣ 上,y 随 x 的增大而增大,所以 y1<y2;C 与 D 在 y=|x﹣1|上, 观察图象可得 x1<x2; ②当 y=2 时,2=|x﹣1|,则有 x=3 或 x=﹣1; ③由图可知﹣1≤x≤3 时,点关于 x=1 对称,当 y3=y4 时 x3+x4=2; ④由图象可知,0<a<2; 【解答】解:(1)如图所示: (2)①A(﹣5,y1),B(﹣ ,y2), A 与 B 在 y=﹣ 上,y 随 x 的增大而增大,∴y1<y2; C(x1, ),D(x2,6), C 与 D 在 y=|x﹣1|上,观察图象可得 x1<x2; 故答案为<,<; ②当 y=2 时,2=﹣ ,∴x=﹣ (不符合); 当 y=2 时,2=|x﹣1|,∴x=3 或 x=﹣1; ③∵P(x3,y3),Q(x4,y4)在 x=﹣1 的右侧, ∴﹣1≤x≤3 时,点关于 x=1 对称, ∵y3=y4, ∴x3+x4=2; ④由图象可知,0<a<2; 【点评】本题考查反比例函数的图象及性质,一次函数的图象及性质;能够通过描点准 确的画出函数图象是解题的关键. 25.(10 分)如图 1,矩形 ABCD 中,点 E 为 AB 边上的动点(不与 A,B 重合),把△ADE 沿 DE 翻折,点 A 的对应点为 A1,延长 EA1 交直线 DC 于点 F,再把∠BEF 折叠,使点 B 的对应点 B1 落在 EF 上,折痕 EH 交直线 BC 于点 H. (1)求证:△A1DE∽△B1EH; (2)如图 2,直线 MN 是矩形 ABCD 的对称轴,若点 A1 恰好落在直线 MN 上,试判断△ DEF 的形状,并说明理由; (3)如图 3,在(2)的条件下,点 G 为△DEF 内一点,且∠DGF=150°,试探究 DG,EG,FG 的数量关系. 【分析】(1)由折叠图形的性质可得∠DA1E=∠EB1H=90°,∠DEA1+∠HEB1=90° 从而可得∠DEA1=∠EHB1,依据两个角对应相等的三角形相似可得△A1DE∽△B1EH; (2)由 A1 恰好落在直线 MN 上可知 A1 在 EF 的中点,由 SAS 易证△A1DE≌△A1DF, 即可得∠ADE=∠EDA1=∠FDA1=30°, (3)将△DGE 逆时针旋转 60°到△DG'F 位置,由旋转的旋转将 DG,EG,FG 集中到△ G′GF 中结合∠DGF=150°,可得△G′GF 为直角三角形,由勾股定理可得 G'G2+GF2 =G'F2,即可证明 DG2+GF2=GE2, 【解答】解:(1)证明:由折叠的性质可知:∠DAE=∠DA1E=90°,∠EBH=∠EB1H =90°,∠AED=∠A1ED,∠BEH=∠B1EH, ∴∠DEA1+∠HEB1=90°. 又∵∠HEB1+∠EHB1=90°, ∴∠DEA1=∠EHB1, ∴△A1DE∽△B1EH; (2)结论:△DEF 是等边三角形; 理由如下: ∵直线 MN 是矩形 ABCD 的对称轴, ∴点 A1 是 EF 的中点,即 A1E=A1F, 在△A1DE 和△A1DF 中 , ∴△A1DE≌△A1DF(SAS), ∴DE=DF,∠FDA1=∠EDA1, 又∵△ADE≌△A1DE,∠ADF=90°. ∴∠ADE=∠EDA1=∠FDA1=30°, ∴∠EDF=60°, ∴△DEF 是等边三角形; (3)DG,EG,FG 的数量关系是 DG2+GF2=GE2, 理由如下:由(2)可知△DEF 是等边三角形;将△DGE 逆时针旋转 60°到△DG'F 位置, 如解图(1), ∴G'F=GE,DG'=DG,∠GDG'=60°, ∴△DGG'是等边三角形, ∴GG'=DG,∠DGG'=60°, ∵∠DGF=150°, ∴∠G'GF=90°, ∴G'G2+GF2=G'F2, ∴DG2+GF2=GE2, 【点评】本题考查翻折变换、相似三角形证明、全等三角形的判定和性质、勾股定理矩 形的性质等知识,解(3)题的关键是灵活运用旋转得全等三角形,构造 Rt△G′GF. 26.(12 分)已知抛物线 y=ax2+bx+3 与 x 轴分别交于 A(﹣3,0),B(1,0)两点,与 y 轴交于点 C. (1)求抛物线的表达式及顶点 D 的坐标; (2)点 F 是线段 AD 上一个动点. ①如图 1,设 k= ,当 k 为何值时,CF= AD? ②如图 2,以 A,F,O 为顶点的三角形是否与△ABC 相似?若相似,求出点 F 的坐标; 若不相似,请说明理由. 【分析】(1)将 A、B 两点的坐标代入二次函数解析式,用待定系数法即求出抛物线对应 的函数表达式,可求得顶点 D(﹣1,4); (2)①由 A、C、D 三点的坐标求出 AC=3 ,DC= ,AD=2 ,可得△ACD 为 直角三角形,若 CF= ,则点 F 为 AD 的中点,可求出 k 的值; ②由条件可判断∠DAC=∠OBC,则∠OAF=∠ACB,若以 A,F,O 为顶点的三角形与△ ABC 相似,可分两种情况考虑:当∠AOF=∠ABC 或∠AOF=∠CAB=45°时,可分别 求出点 F 的坐标. 【解答】解:(1)∵抛物线 y=ax2+bx+3 过点 A(﹣3,0),B(1,0), ∴ ,解得: , ∴抛物线解析式为 y=﹣x2﹣2x+3; ∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4 ∴顶点 D 的坐标为(﹣1,4); (2)①∵在 Rt△AOC 中,OA=3,OC=3, ∴AC2=OA2+OC2=18, ∵D(﹣1,4),C(0,3),A(﹣3,0), ∴CD2=12+12=2 ∴AD2=22+42=20 ∴AC2+CD2=AD2 ∴△ACD 为直角三角形,且∠ACD=90°. ∵ , ∴F 为 AD 的中点, ∴ , ∴ . ②在 Rt△ACD 中,tan , 在 Rt△OBC 中,tan , ∴∠ACD=∠OCB, ∵OA=OC, ∴∠OAC=∠OCA=45°, ∴∠FAO=∠ACB, 若以 A,F,O 为顶点的三角形与△ABC 相似,则可分两种情况考虑: 当∠AOF=∠ABC 时,△AOF∽△CBA, ∴OF∥BC, 设直线 BC 的解析式为 y=kx+b, ∴ ,解得: , ∴直线 BC 的解析式为 y=﹣3x+3, ∴直线 OF 的解析式为 y=﹣3x, 设直线 AD 的解析式为 y=mx+n, ∴ ,解得: , ∴直线 AD 的解析式为 y=2x+6, ∴ ,解得: , ∴F(﹣ ). 当∠AOF=∠CAB=45°时,△AOF∽△CAB, ∵∠CAB=45°, ∴OF⊥AC, ∴直线 OF 的解析式为 y=﹣x, ∴ ,解得: , ∴F(﹣2,2). 综合以上可得 F 点的坐标为(﹣ )或(﹣2,2). 【点评】本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、相似 三角形的判定与性质和直角三角形的性质;会利用待定系数法求函数解析式;理解坐标 与图形性质;会运用分类讨论的思想解决数学问题. 声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布 日期:2019/7/4 17:25:17;用户:柯瑞;邮箱:ainixiaoke00@163.com;学号:500557
查看更多

相关文章

您可能关注的文档