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文档介绍
中考专题复习之分类讨论思想
一、选择题 1. （2011，台湾省，20,5分）若钝角三角形ABC中，∠A=27°，则下列何者不可能是∠B的度数？（ ） A、37 B、57 C、77 D、97 考点：三角形内角和定理。 专题：推理填空题。 分析：根据钝角三角形有一内角大于90°且三角形内角和为180°，①∠C＞90°，②∠B＞90°，分类讨论解答； 解答：解：∵钝角三角形△ABC中，∠A=27°， ∴∠B+∠C=180°﹣27°=153°， 又∵△ABC为钝角三角形，有两种可能情形如下： ①∠C＞90°， ∴∠B＜153°﹣90°=63°， ∴选项A、B合理； ②∠B＞90°， ∴选项D合理， ∴∠B不可能为77°． 故选C． 点评：本题考查了钝角三角形的定义及三角形的内角和定理，体现了分类讨论思想． 2. 如图所示，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AC=2，BD=1，AP=x，则△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象的大致形状是（ ） A、 B、 C、 D、 【答案】C 【考点】动点问题的函数图象． 【专题】几何动点问题；分类讨论． 【分析】△AMN的面积= AP×MN，通过题干已知条件，用x分别表示出AP、MN，根据所得的函数，利用其图象，可分两种情况解答：（1）0＜x≤1；（2）1＜x＜2； 【解答】解：（1）当0＜x≤1时，如图， 在菱形ABCD中，AC=2，BD=1，AO=1，且AC⊥BD； ∵MN⊥AC，∴MN∥BD；∴△AMN∽△ABD，∴ ，即，，MN=x；∴y= AP×MN= x2（0＜x≤1）， ∵，∴函数图象开口向上； （2）当1＜x＜2，如图， 同理证得，△CDB∽△CNM，，即，，MN=2-x； ∴y= AP×MN= x×（2-x），y=- x2+x； ∵- ，∴函数图象开口向下； 综上，答案C的图象大致符合；故选C． 【点评】本题考查了二次函数的图象，考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力，体现了分类讨论的思想． 3. （2011福建莆田，7，4分）等腰三角形的两条边长分别为3、6，那么它的周长为（ ） A.15 B.12 C.12或15 D.不能确定 考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系． 专题：计算题． 分析：根据等腰三角形的性质和三角形的三边关系，可求出第三条边长，即可求得周长； 解答：解：∵当腰长为3时，3+3=6，显然不成立； ∴腰长为6， ∴周长为6+6+3=15． 故选A． 点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系定理，三角形两边之和大于第三边， 三角形两边之差小于第三边． 4. （2011丽江市中考，15,3分）如图，已知⊙B与△ABD的边AD相切于点C，AC=4，⊙B的半径为3，当⊙A与⊙B相切时，⊙A的半径是（ ） A、2 B、7 C、2或5 D、2或8 考点：圆与圆的位置关系；勾股定理。 专题：分类讨论。 分析：根据切线的性质可以求得BC的长，然后根据相切两圆的两种情况分类讨论即可． 解答：解：∵⊙B与△ABD的边AD相切于点C，AC=4， ∴BC=3，AB=5， ∵⊙A与⊙B相切， ∴当两圆外切时，⊙A的半径=5﹣3=2， 当两圆内切时，⊙A的半径=5+3=8． 故选D． 点评：本题考查了两圆之间的位置关系及勾股定理的知识，解题的关键是分类讨论，小心将另外一种情况漏掉． 5. （2011年四川省绵阳市，3，3分）抛掷一个质地均匀且六个面上依次刻有1-6的点数的正方体型骰子，如图．观察向上的一面的点数，下列情况属必然事件的是（ ） A、出现的点数是7 B、出现的点数不会是0 C、出现的点数是2 D、出现的点数为奇数 考点：随机事件． 专题：分类讨论． 分析：必然事件就是一定发生的事件，根据定义即可作出判断． 解答：解：A、不可能发生，是不可能事件，故本选项错误， B、是必然事件，故正确， C、不一定发生，是随机事件，故本选项错误， D、不一定发生，是随机事件，故本选项错误． 故选B． 点评：本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，用到的知识点为：确定事件包括必然事件和不可能事件，必然事件指在一定条件下一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，难度适中． 二、填空题 1. （2011•泰州，18，3分）如图，平面内4条直线l1、l2、l3、l4是一组平行线，相邻2条平行线的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A、B、C、D都在这些平行线上，其中点A、C分别在直线l1、l4上，该正方形的面积是 9或5 平方单位． 考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质。 专题：分类讨论。 分析：因为A、C分别在直线l1、l4上，那么B，D也应该在直线l1、l4上，一种情况是正方形的边和平行先垂直的时候，一种是和对角线成45°时，分别求出边长，从而求出面积． 解答：解：（1）当正方形的边长和平行线垂直时， 正方的边长应该为3，所以面积为：3×3=9． （2）当正方形的边长和平行线成45°时，正方形的边长为：． 所以正方形的面积为：×=5． 故答案为9或5． 点评：本题考查正方形的性质，正方形的边长相等，四个角都是直角，以及勾股定理的运用，关键是知道分不同的情况进行求解． 2. （2011江苏镇江常州，17，3分）把棱长为4的正方体分割成29个棱长为整数的正方体（且没有剩余），其中棱长为1的正方体的个数为 24 ． 考点：一元一次方程的应用；截一个几何体． 专题：分类讨论；方程思想． 分析：从三种情况进行分析：（1）只有棱长为1的正方体；（2）分成棱长为3的正方体和棱长为1的正方体；（3）分成棱长为2的正方体和棱长为1的正方体． 解答：解：棱长为4的正方体的体积为64， 如果只有棱长为1的正方体就是64个不符合题意排除； 如果有一个3×3×3的立方体（体积27），就只能有1×1×1的立方体37个，37+1＞29，不符合题意排除； 所以应该是有2×2×2和1×1×1两种立方体． 则设棱长为1的有x个，则棱长为2的有（29﹣x）个， 解方程：x+8×（29﹣x）=64， 解得：x=24． 所以小明分割的立方体应为：棱长为1的24个，棱长为2的5个． 故答案为：24． 点评：本题考查了一元一次方程组的应用，立体图形的求解，解题的关键是分三种情况考虑，得到符合题意的可能，再列方程求解． 3. （2011四川凉山，17，4分）已知菱形ABCD的边长是8，点E在直线AD上，若DE＝3，连接BE与对角线AC相交于点M，则的值是 . 考点：相似三角形的判定与性质；菱形的性质． 专题：几何图形问题；分类讨论． 分析：首先根据题意作图，注意分为E在线段AD上与E在AD的延长线上，然后由菱形的性质可得AD∥BC，则可证得△MAE∽△MCB，根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案． 解答：解：∵菱形ABCD的边长是8，∴AD＝BC＝8，AD∥BC， 如图1：当E在线段AD上时，∴AE＝AD－DE＝8－3＝5， ∴△MAE∽△MCB，∴； 如图2，当E在AD的延长线上时，∴AE＝AD＋DE＝8＋3＝11， ∴△MAE∽△MCB，∴ ． ∴ 的值是或． 故答案为：或． 点评：此题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键是注意此题分为E在线段AD上与E在AD的延长线上两种情况，小心不要漏解． 4. （2011云南保山，15，3分）一如图，已知⊙B与△ABD的边AD相切于点C，AC=4，⊙B的半径为3，当⊙A与⊙B相切时，⊙A的半径是( ) A．2 B．7 C．2或5 D．2或8 考点：圆与圆的位置关系；勾股定理。 专题：分类讨论。 分析：根据切线的性质可以求得BC的长，然后根据相切两圆的两种情况分类讨论即可． 解答：解：∵⊙B与△ABD的边AD相切于点C，AC=4， ∴BC=3，AB=5， ∵⊙A与⊙B相切， ∴当两圆外切时，⊙A的半径=5﹣3=2， 当两圆内切时，⊙A的半径=5+3=8． 故选D． 点评：本题考查了两圆之间的位置关系及勾股定理的知识，解题的关键是分类讨论，小心将另外一种情况漏掉． 5. （2011•贵港）如图所示，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，点F的坐标为（﹣1，1），点C的坐标为（﹣4，2），则这两个正方形位似中心的坐标是 （2，0）或（﹣，） ． 考点：位似变换。 专题：分类讨论。 分析：两个位似图形的主要特征是：每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行．则位似中心就是两对对应点的延长线的交点，本题分两种情况讨论即可． 解答：解：①当两个位似图形在位似中心同旁时，位似中心就是CF与x轴的交点， 设直线CF解析式为y=kx+b，将C（﹣4，2），F（﹣1，1）代入，得， 解得即y=﹣x+， 令y=0得x=2， ∴O′坐标是（2，0）； ②当位似中心O′在两个正方形之间时， 可求直线OC解析式为y=﹣x，直线DE解析式为y=x+1， 联立，解得， 即O′（﹣，）． 故本题答案为：（2，0）或（﹣，）． 点评：本题主要考查位似图形的性质，难度一般，注意掌握每对位似对应点与位似中心共线，另外解答本题注意分情况讨论，避免漏解． 6.（2011•安顺）已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为 （2，4）或（3，4）或（8，4） ． 考点：矩形的性质；坐标与图形性质；等腰三角形的性质。 专题：数形结合。 分析：分PD=OD（P在右边），PD=OD（P在左边），OP=OD三种情况，根据题意画出图形，作PQ垂直于x轴，找出直角三角形，根据勾股定理求出OQ，然后根据图形写出P的坐标即可． 解答：解：当OD=PD（P在右边）时，根据题意画出图形，如图所示： 过P作PQ⊥x轴交x轴于Q，在直角三角形DPQ中，PQ=4，PD=OD=OA=5， 根据勾股定理得：DQ=3，故OQ=OD+DQ=5+3=8，则P1（8，4）； 当PD=OD（P在左边）时，根据题意画出图形，如图所示： 过P作PQ⊥x轴交x轴于Q，在直角三角形DPQ中，PQ=4，PD=OD=5， 根据勾股定理得：QD=3，故OQ=OD﹣QD=5﹣3=2，则P2（2，4）； 当PO=OD时，根据题意画出图形，如图所示： 过P作PQ⊥x轴交x轴于Q，在直角三角形OPQ中，OP=OD=5，PQ=4， 根据勾股定理得：OQ=3，则P3（3，4）， 综上，满足题意的P坐标为（2，4）或（3，4）或（8，4）． 故答案为：（2，4）或（3，4）或（8，4） 点评：这是一道代数与几何知识综合的开放型题，综合考查了等腰三角形和勾股定理的应用，属于策略和结果的开放，这类问题的解决方法是：数形结合，依理构图解决问题 7.（2011广西百色，20，3分）如图，点C是⊙O优弧ACB上的中点，弦AB=6cm，E为OC上任意一点，动点F从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB方向向点B匀速运动，若y=AE2﹣EF2，则y与动点F的运动时间x（0≤x≤6）秒的函数关系式为 _ ____ ． 考点：垂径定理；勾股定理． 分析：首先延长CO交AB于G，根据垂径定理的知识，可得CO⊥AB，并可求得AG的值，由勾股定理可得AE2=AG2+EG2，EF2=FG2+EG2，即可求得y=AG2﹣FG2，即可求得函数关系式． 解答：解：延长CO交AB于G， ∵点C是⊙O优弧ACB上的中点， ∴CO⊥AB，AG=AB=×6=3（cm）， ∴AE2=AG2+EG2，EF2=FG2+EG2， 当0≤x≤3时，AF=xcm，FG=（3﹣x）cm， ∴y=AE2﹣EF2=AG2+EG2﹣FG2﹣EG2=AG2﹣FG2=9﹣（3﹣x）2=6x﹣x2； 当3＜x≤6时，AF=xcm，FG=（x﹣3）cm， ∴y=AE2﹣EF2=AG2+EG2﹣FG2﹣EG2=AG2﹣FG2=9﹣（x﹣3）2=6x﹣x2． 故答案为：y=6x﹣x2． 点评：此题考查了垂径定理与勾股定理的应用．此题难度适中，解题的关键是注意辅助线的 8.（2011黑龙江牡丹江，6，3分）腰长为5，一条高为4的等腰三角形的底边长为 6或2或4． 考点：等腰三角形的性质；勾股定理。 专题：计算题。 分析：根据不同边上的高为4分类讨论即可得到本题的答案． 解答：解：①如图1 当AB=AC=5，AD=4， 则BD=CD=3， ∴底边长为6； ②如图2． 当AB=AC=5，CD=4时， 则AD=3， ∴BD=2， ∴BC==， ∴此时底边长为； ③如图3： 当AB=AC=5，CD=4时， 则AD=3， ∴BD=8， ∴BC=4， ∴此时底边长为4． 故答案为：6或或4． 点评：本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是分三种情况分类讨论． 9. 已知菱形ABCD的边长是8，点E在直线AD上，若DE＝3，连接BE与对角线AC相交于点M，则的值是 . 考点：相似三角形的判定与性质；菱形的性质． 专题：几何图形问题；分类讨论． 分析：首先根据题意作图，注意分为E在线段AD上与E在AD的延长线上，然后由菱形的性质可得AD∥BC，则可证得△MAE∽△MCB，根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案． 解答：解：∵菱形ABCD的边长是8，∴AD＝BC＝8，AD∥BC， 如图1：当E在线段AD上时，∴AE＝AD－DE＝8－3＝5， ∴△MAE∽△MCB，∴； 如图2，当E在AD的延长线上时，∴AE＝AD＋DE＝8＋3＝11， ∴△MAE∽△MCB，∴ ． ∴ 的值是或． 故答案为：或． 点评：此题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键是注意此题分为E在线段AD上与E在AD的延长线上两种情况，小心不要漏解． 10. （2011山东烟台，14，4分）等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么，它的底边为 . 考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系. 分析：已知的边可能是腰，也可能是底边，应分两种情况进行讨论． 解答：解：当腰是4时，则另两边是4，6，且4+4＞6，6﹣4＜4，满足三边关系定理， 当底边是4时，另两边长是5，5，5+4＞5，5﹣4＜5，满足三边关系定理，∴该等腰三角形的底边为4或6，故答案为：4或6． 点评：本题考查了等腰三角形的性质，应从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法，难度适中． 11. （2011浙江绍兴，16，5分）如图，相距2cm的两个点A、B在直线l上．它们分别以2cm/s和1cm/s的速度在l上同时向右平移，当点A，B分别平移到点A1，B1的位置时，半径为1cm的⊙A1，与半径为BB1的⊙B相切．则点A平移到点A1，所用的时间为或3 s． 考点：圆与圆的位置关系。 专题：数形结合；分类讨论。 分析：首先设点A平移到点A1，所用的时间为ts，根据题意求得AB=2cm，AA1=2tcm，A1B=1cm，BB1=tcm，再分别从内切与外切四种情况分析求解，即可求得答案． 解答：解：设点A平移到点A1，所用的时间为ts， 根据题意得：AB=2cm，AA1=2tcm，A1B=1cm，BB1=tcm， 如图，此时外切：2t+1+t=2， ∴t=； 如图，此时内切：2t+t﹣1=2， ∴t=1，此时两圆重合，舍去； 如图， 此时内切：2t﹣t+1=2， ∴t=1，此时两圆重合，舍去； 如图： 此时外切： 2t﹣t﹣1=2，∴t=3． ∴点A平移到点A1，所用的时间为或3s． 故答案为：或3． 点评： 此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是注意数形结合与方程思想，分类讨论思想的应用，注意别漏解． 12. （2011福建厦门，16，4分）如图，在正方形网格中，点A、B、C、D都是格点，点E是线段AC上任意一点．如果AD=1，那么当AE= 时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似． 考点：相似三角形的性质。 专题：网格型。 分析：首先根据图，可得AD=1，AB=3，AC==6，然后分别从若△ADE∽△ABC与若△ADE∽△ACB去分析，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得AE的值，小心别漏解． 解答：解：根据题意得：AD=1，AB=3，AC==6， ∵∠A=∠A， ∴若△ADE∽△ABC时，， 即：， 解得：AE=2， 若△ADE∽△ACB时，， 即：， 解得：AE=， ∴当AE=2或时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似． 故答案为：2或． 点评：此题考查了相似三角形的性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想与分类讨论思想的应用． 三、解答题 1. （2011江苏淮安，28，12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P在AB上，AP=2.点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立即以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止.在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧，设E、F运动的时间为t秒（t＞0），正方形EFGH与△ABC重叠部分面积为S. (1)当t=1时，正方形EFGH的边长是 ；当t=3时，正方形EFGH的边长是 ； (2)当0＜t≤2时，求S与t的函数关系式； (3)直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？ 考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；勾股定理；正方形的性质。 专题：计算题；几何动点问题；分类讨论。 分析：（1）当时t=1时，可得，EP=1，PF=1，EF=2即为正方形EFGH的边长；当t=3时，PE=1，PF=3，即EF=4； （2）正方形EFGH与△ABC重叠部分的形状，依次为正方形、五边形和梯形；可分三段分别解答：①当0＜t≤时；②当＜t≤时；③当＜t≤2时；依次求S与t的函数关系式； （3）当t=5时，面积最大； 解答：解：（1）当时t=1时，则PE=1，PF=1，∴正方形EFGH的边长是2；当t=3时，PE=1，PF=3，∴正方形EFGH的边长是4； （2）：①当0＜t≤时， S与t的函数关系式是y=2t×2t=4t2； ②当＜t≤时， S与t的函数关系式是： y=4t2﹣[2t﹣（2﹣t）]×[2t﹣（2﹣t）] =﹣t2+11t﹣3； ③当＜t≤2时； S与t的函数关系式是y=（t+2）×（t+2）﹣（2﹣t）（2﹣t）=3t； （3）当t=5时，最大面积是： S=16﹣××=； 点评：本题考查了动点函数问题，其中应用到了相似形、正方形及勾股定理的性质，锻炼了学生运用综合知识解答题目的能力． 2. （2011江苏连云港，26，12分） 已知∠AOB=60º,半径为3cm的⊙P沿边OA从右向左平行移动,与边OA相切的切点记为点C. (1)⊙P移动到与边OB相切时(如图),切点为D,求劣弧的长; (2)⊙P移动到与边OB相交于点E,F,若EF=cm,求OC的长. 考点：直线与圆的位置关系；含30度角的直角三角形；勾股定理；垂径定理；弧长的计算。 专题：计算题。 分析：（1）根据∠AOB=60°，半径为3cm的⊙P沿边OA从右向左平行移动，与边OA相切的切点记为点C，利用弧长公式得出弧CD长；（2）根据⊙P移动到与边OB相交于点E，F，利用垂径定理得出EF=4cm，得出EM=2，进而得出OC的长． 解答：解：（1）∵∠AOB=60°，半径为3cm的⊙P沿边OA从右向左平行移动，与边OA相切的切点记为点C． ∴∠DPC=120°， ∴劣弧CD 的长为：=2πcm； （2）可分两种情况， ①如图，连接PE，PC，过点P做PM⊥EF于点M，延长CP交OB于点N， ∵EF=4，∴EM=2， 在Rt△EPM中，PM==1， ∵∠AOB=60°，∴∠PNM=30°， ∴PN=2PM=2， ∴NC=PN+PC=5， 在Rt△OCN中，OC=NC×tan30°=5×=cm． ②如图，连接PF，PC，PC角EF于点N，过点P作PM⊥EF于点M， 由①可知，PN=2， ∴NC=PC﹣PN=1， 在Rt△OCN中，OC=NC×tan30°=1×=cm． 综上所述，OC的长为cm或cm． 点评：此题主要考查了直线与圆的位置关系以及垂径定理和弧长计算公的应用，根据已知得出CO=是解决问题的关键． 3. （2011江苏南京，24，7分）已知函数y=mx2﹣6x+1（m是常数）． （1）求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点； （2）若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值． 考点：抛物线与x轴的交点；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征。 专题：计算题。 分析：（1）根据解析式可知，当x=0时，与m值无关，故可知不论m为何值，函数y=mx2﹣6x+1的图象都经过y轴上一个定点（0，1）． （2）应分两种情况讨论：①当函数为一次函数时，与x轴有一个交点； ②当函数为二次函数时，利用根与系数的关系解答． 解答：解：（1）当x=0时，y=1． 所以不论m为何值，函数y=mx2﹣6x+1的图象都经过y轴上一个定点（0，1）； （2）①当m=0时，函数y=﹣6x+1的图象与x轴只有一个交点； ②当m≠0时，若函数y=mx2﹣6x+1的图象与x轴只有一个交点，则方程mx2﹣6x+1=0有两个相等的实数根， 所以△=（﹣6）2﹣4m=0，m=9． 综上，若函数y=mx﹣6x+1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为0或9． 点评：此题考查了抛物线与x轴的交点或一次函数与x轴的交点，是典型的分类讨论思想的应用． 4. （2011江苏苏州，29，10分）巳知二次函数y=a（x2-6x+8）（a＞0）的图象与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C．点D是抛物线的顶点． （1）如图①．连接AC，将△OAC沿直线AC翻折，若点O的对应点0'恰好落在该抛物线的 对称轴上，求实数a的值； （2）如图②，在正方形EFGH中，点E、F的坐标分别是（4，4）、（4，3），边HG位于边EF的 右侧．小林同学经过探索后发现了一个正确的命题：“若点P是边EH或边HG上的任意一点，则四条线段PA、PB、PC、PD不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等 （即这四条线段不能构成平行四边形）．“若点P是边EF或边FG 上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程； （3）如图②，当点P在抛物线对称轴上时，设点P的纵坐标l是大于3的常数，试问：是否存在一个正数阿a，使得四条线段PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等 （即这四条线段能构成平行四边形）？请说明理由． 考点：二次函数综合题． 分析：（1）本题需先求出抛物线与x轴交点坐标和对称轴，再根据∠OAC=60°得出AO，从而求出a． （2）本题需先分两种情况进行讨论，当P是EF上任意一点时，可得PC＞PB，从而得出PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，即可求出线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形． （3）本题需先得出PA=PB，再由PC=PD，列出关于t与a的方程，从而得出a的值，即可求出答案． 解答：解：（1）令y＝0，由解得； 令x＝0，解得y＝8a． ∴点A、B、C的坐标分别是(2，0)、(4，0)、(0，8a)， 该抛物线对称轴为直线x＝3． ∴OA＝2． 如图①，时抛物线与x轴交点为M，则AM＝1． 由题意得：． ∴，∴∠O’AM＝60°． B A y O (图②) x D C E F G H M ∴，即．∴． （2）若点P是边EF或边FG上的任意一点，结论同样成立． （Ⅰ）如图②，设点P是边EF上的任意一点 (不与点E重合)，连接PM． ∵点E(4，4)、F(4，3)与点B(4，0)在一直线上，点C在y轴上， ∴PB<4，PC≥4，∴PC>PB． 又PD>PM>PB，PA>PM>PB， ∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD． ∴此时线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形． （Ⅱ）设P是边FG上的任意一点(不与点G重合)， ∵点F的坐标是(4，3)，点G的坐标是(5，3)． ∴FB＝3，，∴3≤PB<． B A y O (图③) x D C E F G H P ∵PC≥4，∴PC>PB． （3）存在一个正数a，使得线段PA、PB、PC能构成一个平行四边形． 如图③，∵点A、B时抛物线与x轴交点，点P在抛物线对称轴上， ∴PA＝PB． ∴当PC＝PD时，线段PA、PB、PC能构成一个平行四边形． ∵点C的坐标是(0，8a)，点D的坐标是(3，－a)． 点P的坐标是(3，t)， ∴PC2＝32＋(t－8a) 2，PD2＝ (t＋a) 2． 整理得7a2－2ta＋1＝0，∴Δ＝4t2－28． ∵t是一个常数且t>3，∴Δ＝4t2－28>0 ∴方程7a2－2ta＋1＝0有两个不相等的实数根． 显然，满足题意． ∵当t是一个大于3的常数,存在一个正数，使得线段PA、PB、PC能构成一个平行四边形． 点评：本题主要考查了二次函数的综合问题，在解题时要注意运用数形结合和分类讨论，把二次函数的图象与性质和平行四边形的判定相结合是本题的关键． 5. 2011江苏镇江常州，27，9分）在平面直角坐标系XOY中，一次函数y＝x＋3的图象是直线l1，l1与x轴．y轴分别相交于A．B两点．直线l2过点C（a，0）且与直线l1垂直，其中a＞0．点P．Q同时从A点出发，其中点P沿射线AB运动，速度为每秒4个单位；点Q沿射线AO运动，速度为每秒5个单位． （1）写出A点的坐标和AB的长； （2）当点P．Q运动了多少秒时，以点Q为圆心，PQ为半径的⊙Q与直线l2．y轴都相切，求此时a的值． 考点：一次函数综合题；切线的性质；相似三角形的判定与性质． 专题：几何动点问题；分类讨论． 分析：（1）根据一次函数图象与坐标轴的交点求法，分别求出坐标即可； （2）根据相似三角形的判定得出△APQ∽△AOB，以及当⊙Q在y轴右侧与y轴相切时，当⊙Q在y轴的左侧与y轴相切时，分别分析得出答案． 解答：解：（1）∵一次函数y＝x＋3的图象是直线l1，l1与x轴．y轴分别相交于A．B两点， ∴y=0时，x=﹣4， ∴A（﹣4，0），AO=4， ∵图象与y轴交点坐标为：（0，3），BO=3， ∴AB=5； （2）由题意得：AP=4t，AQ=5t，= =t， 又∠PAQ=∠OAB， ∴△APQ∽△AOB， ∴∠APQ=∠AOB=90°， ∵点P在l1上， ∴⊙Q在运动过程中保持与l1相切， ①当⊙Q在y轴右侧与y轴相切时，设l2与⊙Q相切于F，由△APQ∽△AOB，得： ∴ ＝， ∴PQ=6； 连接QF，则QF=PQ，由△QFC∽△APQ∽△AOB， 得： ＝， ∴＝， ∴＝， ∴QC=， ∴a=OQ+QC=， ②当⊙Q在y轴的左侧与y轴相切时，设l2与⊙Q相切于E，由△APQ∽△AOB得：=， ∴PQ=， 连接QE，则QE=PQ，由△QEC∽△APQ∽△AOB得：=， ∴＝，＝， ∴QC=，a=QC﹣OQ=， ∴a的值为和， 点评：此题主要考查了切线的性质以及相似三角形的判定与性质，利用数形结合进行分析注意分类讨论才能得出正确答案． 6.（2011•南通）如图，直线l经过点A(1，0)，且与双曲线y＝（x＞0）交于点B(2，1) ，过点P(p，p－1)（p＞1）作x轴的平行线分别交曲线y＝（x＞0）和y＝－（x＜0）于M，N两点. （1）求m的值及直线l的解析式； （2）若点P在直线y＝2上，求证：△PMB∽△PNA； （3）是否存在实数p，使得S△AMN＝4S△APM？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由. 考点：反比例函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；相似三角形的判定与性质。专题：计算题。 分析：（1）将点B的坐标代入即可得出m的值，设直线l的解析式为y=kx+b，再把点A、B的坐标代入，解方程组求得k和b即可得出直线l的解析式； （2）根据点P在直线y=2上，求出点P的坐标，再证明△PMB∽△PNA即可； （3）先假设存在，利用S△AMN=4S△AMP．求得p的值，看是否符合要求． 【解】（1）∵点B(2，1)在双曲线y＝上，∴，得m＝2. 设直线l的解析式为y＝kx＋b ∵直线l过A(1，0)和B(2，1)∴，解得 ∴直线l的解析式为y＝x－1. (2) 证明：当x＝p时，y＝p－1，点P(p，p－1)（p＞1） 在直线l上，如右图. ∵P(p，p－1)（p＞1）在直线y＝2上，∴p－1＝2，解得p＝3∴P(3，2) ∵PN∥x轴，∴P、M、N的纵坐标都等于2 把y＝2分别代入双曲线y＝和y＝，解答：得M(1，2)，N(-1，2) ∴，即M是PN的中点， 同理：B是PA的中点，∴BM∥AN∴△PMB∽△PNA. （3）由于PN∥x轴，P(p，p－1)（p＞1）， ∴M、N、P的纵坐标都是p－1（p＞1） 把y＝p－1分别代入双曲线y＝（x＞0）和y＝－（x＜0）， 得M的横坐标x＝和N的横坐标x＝－（其中p＞1） ∵S△AMN＝4S△APM且P、M、N在同一直线上，∴，得MN=4PM 即＝4（见（3）两幅图）整理得：p2－p－3＝0或p2－p－1＝0 解得：p＝或p＝由于p＞1，∴负值舍去∴p＝或 经检验p＝和是原题的解，∴存在实数p，使得S△AMN＝4S△APM， p的值为或. 点评：本题考查的知识点是反比例函数的综合题，以及用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质 7. （2011•宁夏，26，10分）在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6．动点M、N分别在两腰AB、AC上（M不与A、B重合，N不与A、C重合），且MN∥BC．将△AMN沿MN 所在的直线折叠，使点A的对应点为P． （1）当MN为何值时，点P恰好落在BC上？ （2）当MN=x，△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为y，试写出y与x的函数关系式．当x为何值时，y的值最大，最大值是多少？ 考点：翻折变换（折叠问题）；二次函数的最值；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质。 分析：（1）首先连接AP，交MN于O，由MN∥BC．将△AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P，即可得△AMN∽△ABC，，则可求得当MN为何值时，点P恰好落在BC上； （2）此题需要分为当AO≤AD时与当AO＞AD时去分析，首先由△AMN∽△ABC，求得各线段的长，然后求△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积，即可得关于x的二次函数，根据二次函数求最值的方法，即可求得答案． 解答：解：（1）连接AP，交MN于O， ∵将△AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P， ∴OA=OP，AP⊥MN，AN=PN，AM=PM， ∵MN∥BC， ∴△AMN∽△ABC，AO⊥MN， ∴， ∵BC=6， ∴MN=3， ∴当MN=3时，点P恰好落在BC上； （3）过点A作AD⊥BC于D，交MN于O， ∵MN∥BC， ∴AO⊥MN， ∴△AMN∽△ABC， ∴， ∵AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC， ∴∠ADB=90°，BD=BC=3， ∴AD=4， ∴， ∴AO=x， ∴S△AMN=MN•AO=•x•x=x2， 当AO≤AD时， 根据题意得：S△PMN=S△AMN， ∴△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为S△AMN， ∴y=x2， ∴当AO=AD时，即MN=BC=3时，y最小，最小值为3； 当AO＞AD时， 连接AP交MN于O， 则AO⊥MN， ∵MN∥BC， ∴AP⊥BC，△AMN∽△ABC，△PEF∽△PMN∽△AMN， ∴，， 即：，， ∴AO=x， ∴， ∴EF=2x﹣6，OD=AD﹣AO=4﹣x， ∴y=S梯形MNFE=（EF+MN）•OD=×（2x﹣6+x）×（4﹣x）=﹣（x﹣4）2+4， ∴当x=4时，y有最大值，最大值为4， 综上所述：当x=4时，y的值最大，最大值是4． 点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的最值问题等知识．解题的关键是方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用． 8. （2011山西，26，14分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，直线l经过O、C两点，点A的坐标为（8，0），点B的坐标为（11，4），动点P在线段OA上从点O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A B C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O—C—B相交于点M，当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒（t > 0），△MPQ的面积为S． （1）点C的坐标为____________，直线l的解析式为_____________； （2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围． （3）试求题（2）中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值． （4）随着P、Q两点的运动，当点M在线段BC上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N．试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值． 考点：二次函数，一次函数，三角形面积，最值，分类讨论 专题：压轴题 分析：⑴由题意不难得出点C的坐标为(3，4)．因为直线l经过O、C两点，所以设其解析式为，将点C(3，4)代入，解得，所以直线l 的解析式为． ⑵求 S与t的函数关系式，关键是确定MP及点Q到MP的距离．根据题意，得OP＝t， AQ＝2t， 根据动点的运动过程，需分三种情况来讨论． ① 当0＜t≤时； 如图第26题（2）图1，由题意可证△AEQ∽△ODC，得，．∴Q点的坐标是（，）．∴． ∴． ②当＜t≤3时； 如图第26题（2）图2，∵BQ＝2t－5，∴OF＝11－(2t－5)＝16－2t． ∴Q点的坐标是（16－2t，4）．∴PF＝16－2t－t＝16－3t． ∴． ③当3＜t＜时，如图第26题（2）图3，当点Q与点M相遇时，16－2t＝t，解得． 当3＜t＜时，如图3，MQ＝16－2t－t＝16－3t，MP＝4． ∴ ⑶根据题（2）中S与t的函数关系，先分别求出①当0＜t≤时；②当＜t≤3时；③当3＜t＜时， t为何值时，S的值最大，并求出S 的最大值．最后综合上述各情况判断得出t为何值时， S的最大值． ①当0＜t≤时，． ∵a＝＞0，抛物线开口向上，对称轴为直线x＝－20， ∴当0＜t≤时，S随t的增大而增大． ∴当t＝时，S有最大值，最大值为． ②当＜t≤3时， ． ∵a＝－2＜0．抛物线开口向下， ∴当时，S有最大值，最大值为． ③当3＜t＜时，，∵k＝－6＜0，∴S随t的增大而减小． 又∵当t＝3时，S＝14．当t＝时，S＝0，∴0＜S＜14． 综上所述，当时，S有最大值，最大值为． ⑷如图第26图（4），当NM＝MQ时，即，△QMN为等腰三角形． 解答：（1）（3，4）；． （2）根据题意，得OP＝ t，AQ＝2 t，分三种情况讨论： ①当0查看更多