河北省中考数学真题试卷含解析

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河北省中考数学真题试卷含解析

‎2019年河北省中考数学试卷 一、选择题(本大题有16个小题,共42分,1-10小题各3分,11-16小题各2分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.下列图形为正多边形的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.规定:(→2)表示向右移动2记作+2,则(←3)表示向左移动3记作(  )‎ A.+3 B.﹣3 C.﹣ D.+‎ ‎3.如图,从点C观测点D的仰角是(  )‎ A.∠DAB B.∠DCE C.∠DCA D.∠ADC ‎4.语句“x的与x的和不超过5”可以表示为(  )‎ A.+x≤5 B.+x≥5 C.≤5 D.+x=5‎ ‎5.如图,菱形ABCD中,∠D=150°,则∠1=(  )‎ A.30° B.25° C.20° D.15°‎ ‎6.小明总结了以下结论:‎ ‎①a(b+c)=ab+ac;‎ ‎②a(b﹣c)=ab﹣ac;‎ ‎③(b﹣c)÷a=b÷a﹣c÷a(a≠0);‎ ‎④a÷(b+c)=a÷b+a÷c(a≠0)‎ 其中一定成立的个数是(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎7.下面是投影屏上出示的抢答题,需要回答横线上符号代表的内容 则回答正确的是(  )‎ A.◎代表∠FEC B.@代表同位角 ‎ C.▲代表∠EFC D.※代表AB ‎8.一次抽奖活动特等奖的中奖率为,把用科学记数法表示为(  )‎ A.5×10﹣4 B.5×10﹣5 C.2×10﹣4 D.2×10﹣5‎ ‎9.如图,在小正三角形组成的网格中,已有6个小正三角形涂黑,还需涂黑n个小正三角形,使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴,则n的最小值为(  )‎ A.10 B.6 C.3 D.2‎ ‎10.根据圆规作图的痕迹,可用直尺成功找到三角形外心的是(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎11.某同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类,以下是排乱的统计步骤:‎ ‎①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类 ‎②去图书馆收集学生借阅图书的记录 ‎③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比 ‎④整理借阅图书记录并绘制频数分布表 正确统计步骤的顺序是(  )‎ A.②→③→①→④ B.③→④→①→②‎ C.①→②一④→③ D.②→④→③→①‎ ‎12.如图,函数y=的图象所在坐标系的原点是(  )‎ A.点M B.点N C.点P D.点Q ‎13.如图,若x为正整数,则表示﹣的值的点落在(  )‎ A.段① B.段② C.段③ D.段④‎ ‎14.图2是图1中长方体的三视图,若用S表示面积,S主=x2+2x,S左=x2+x,则S俯=(  )‎ A.x2+3x+2 B.x2+2 C.x2+2x+1 D.2x2+3x ‎15.小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)时,只抄对了a=1,b=4,解出其中一个根是x=﹣1.他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2.则原方程的根的情况是(  )‎ A.不存在实数根 B.有两个不相等的实数根 ‎ C.有一个根是x=﹣1 D.有两个相等的实数根 ‎16.对于题目:“如图1,平面上,正方形内有一长为12、宽为6的矩形,它可以在正方形的内部及边界通过移转(即平移或旋转)的方式,自由地从横放移转到竖放,求正方形边长的最小整数n.”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形,先求出该边长x,再取最小整数n.‎ 甲:如图2,思路是当x为矩形对角线长时就可移转过去;结果取n=13.‎ 乙:如图3,思路是当x为矩形外接圆直径长时就可移转过去;结果取n=14.‎ 丙:如图4,思路是当x为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去;结果取n=13.‎ 下列正确的是(  )‎ A.甲的思路错,他的n值对 ‎ B.乙的思路和他的n值都对 ‎ C.甲和丙的n值都对 ‎ D.甲、乙的思路都错,而丙的思路对 二、填空题(本大题有3个小题,共11分,17小题3分:18~19小题各有2个空,每空2分,把答案写在题中横线上)‎ ‎17.若7﹣2×7﹣1×70=7p,则p的值为   .‎ ‎18.如图,约定:上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数.‎ 示例:即4+3=7‎ 则(1)用含x的式子表示m=   ;‎ ‎(2)当y=﹣2时,n的值为   .‎ ‎19.勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系,并标示了A,B,C三地的坐标,数据如图(单位:km).笔直铁路经过A,B两地.‎ ‎(1)A,B间的距离为   km;‎ ‎(2)计划修一条从C到铁路AB的最短公路l,并在l上建一个维修站D,使D到A,C的距离相等,则C,D间的距离为   km.‎ 三、解答题(本大题有7个小题,共67分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎20.(8分)有个填写运算符号的游戏:在“1□2□6□9”中的每个□内,填入+,﹣,×,÷中的某一个(可重复使用),然后计算结果.‎ ‎(1)计算:1+2﹣6﹣9;‎ ‎(2)若1÷2×6□9=﹣6,请推算□内的符号;‎ ‎(3)在“1□2□6﹣9”的□内填入符号后,使计算所得数最小,直接写出这个最小数.‎ ‎21.(9分)已知:整式A=(n2﹣1)2+(2n)2,整式B>0.‎ 尝试 化简整式A.‎ 发现 A=B2,求整式B.‎ 联想 由上可知,B2=(n2﹣1)2+(2n)2,当n>1时,n2﹣1,2n,B为直角三角形的三边长,如图.填写下表中B的值:‎ 直角三角形三边 n2﹣1‎ ‎2n B 勾股数组Ⅰ ‎/‎ ‎8‎ ‎   ‎ 勾股数组Ⅱ ‎35‎ ‎/‎ ‎   ‎ ‎22.(9分)某球室有三种品牌的4个乒乓球,价格是7,8,9(单位:元)三种.从中随机拿出一个球,已知P(一次拿到8元球)=.‎ ‎(1)求这4个球价格的众数;‎ ‎(2)若甲组已拿走一个7元球训练,乙组准备从剩余3个球中随机拿一个训练.‎ ‎①所剩的3个球价格的中位数与原来4个球价格的中位数是否相同?并简要说明理由;‎ ‎②乙组先随机拿出一个球后放回,之后又随机拿一个,用列表法(如图)求乙组两次都拿到8元球的概率.‎ 又拿 先拿 ‎23.(9分)如图,△ABC和△ADE中,AB=AD=6,BC=DE,∠B=∠D=30°,边AD与边BC交于点P(不与点B,C重合),点B,E在AD异侧,I为△APC的内心.‎ ‎(1)求证:∠BAD=∠CAE;‎ ‎(2)设AP=x,请用含x的式子表示PD,并求PD的最大值;‎ ‎(3)当AB⊥AC时,∠AIC的取值范围为m°<∠AIC<n°,分别直接写出m,n的值.‎ ‎24.(10分)长为300m的春游队伍,以v(m/s)的速度向东行进,如图1和图2,当队伍排尾行进到位置O时,在排尾处的甲有一物品要送到排头,送到后立即返回排尾,甲的往返速度均为2v(m/s),当甲返回排尾后,他及队伍均停止行进.设排尾从位置O开始行进的时间为t(s),排头与O的距离为S头(m).‎ ‎(1)当v=2时,解答:‎ ‎①求S头与t的函数关系式(不写t的取值范围);‎ ‎②当甲赶到排头位置时,求S的值;在甲从排头返回到排尾过程中,设甲与位置O的距离为S甲(m),求S甲与t的函数关系式(不写t的取值范围)‎ ‎(2)设甲这次往返队伍的总时间为T(s),求T与v的函数关系式(不写v的取值范围),并写出队伍在此过程中行进的路程.‎ ‎25.(10分)如图1和2,▱ABCD中,AB=3,BC=15,tan∠DAB=.点P为AB延长线上一点,过点A作⊙O切CP于点P,设BP=x.‎ ‎(1)如图1,x为何值时,圆心O落在AP上?若此时⊙O交AD于点E,直接指出PE与BC的位置关系;‎ ‎(2)当x=4时,如图2,⊙O与AC交于点Q,求∠CAP的度数,并通过计算比较弦AP与劣弧长度的大小;‎ ‎(3)当⊙O与线段AD只有一个公共点时,直接写出x的取值范围.‎ ‎26.(12分)如图,若b是正数,直线l:y=b与y轴交于点A;直线a:y=x﹣b与y轴交于点B;抛物线L:y=﹣x2+bx的顶点为C,且L与x轴右交点为D.‎ ‎(1)若AB=8,求b的值,并求此时L的对称轴与a的交点坐标;‎ ‎(2)当点C在l下方时,求点C与l距离的最大值;‎ ‎(3)设x0≠0,点(x0,y1),(x0,y2),(x0,y3)分别在l,a和L上,且y3是y1,y2的平均数,求点(x0,0)与点D间的距离;‎ ‎(4)在L和a所围成的封闭图形的边界上,把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”,分别直接写出b=2019和b=2019.5时“美点”的个数.‎ ‎2019年河北省中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题有16个小题,共42分,1-10小题各3分,11-16小题各2分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.【解答】解:正五边形五个角相等,五条边都相等,‎ 故选:D.‎ ‎2.【解答】解:“正”和“负”相对,所以,如果(→2)表示向右移动2记作+2,则(←3)表示向左移动3记作﹣3.‎ 故选:B.‎ ‎3.【解答】解:∵从点C观测点D的视线是CD,水平线是CE,‎ ‎∴从点C观测点D的仰角是∠DCE,‎ 故选:B.‎ ‎4.【解答】解:“x的与x的和不超过5”用不等式表示为x+x≤5.‎ 故选:A.‎ ‎5.【解答】解:∵四边形ABCD是菱形,∠D=150°,‎ ‎∴AB∥CD,∠BAD=2∠1,‎ ‎∴∠BAD+∠D=180°,‎ ‎∴∠BAD=180°﹣150°=30°,‎ ‎∴∠1=15°;‎ 故选:D.‎ ‎6.【解答】解:①a(b+c)=ab+ac,正确;‎ ‎②a(b﹣c)=ab﹣ac,正确;‎ ‎③(b﹣c)÷a=b÷a﹣c÷a(a≠0),正确;‎ ‎④a÷(b+c)=a÷b+a÷c(a≠0),错误,无法分解计算.‎ 故选:C.‎ ‎7.【解答】证明:延长BE交CD于点F,‎ 则∠BEC=∠EFC+∠C(三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和).‎ 又∠BEC=∠B+∠C,得∠B=∠EFC.‎ 故AB∥CD(内错角相等,两直线平行).‎ 故选:C.‎ ‎8.【解答】解:=0.00002=2×10﹣5.‎ 故选:D.‎ ‎9.【解答】解:如图所示,n的最小值为3,‎ 故选:C.‎ ‎10.【解答】解:三角形外心为三边的垂直平分线的交点,由基本作图得到C选项作了两边的垂直平分线,从而可用直尺成功找到三角形外心.‎ 故选:C.‎ ‎11.【解答】解:由题意可得,‎ 正确统计步骤的顺序是:②去图书馆收集学生借阅图书的记录→④整理借阅图书记录并绘制频数分布表→③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比→①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类,‎ 故选:D.‎ ‎12.【解答】解:由已知可知函数y=关于y轴对称,‎ 所以点M是原点;‎ 故选:A.‎ ‎13.【解答】解∵﹣=﹣=1﹣=‎ 又∵x为正整数,‎ ‎∴≤x<1‎ 故表示﹣的值的点落在②‎ 故选:B.‎ ‎14.【解答】解:∵S主=x2+2x=x(x+2),S左=x2+x=x(x+1),‎ ‎∴俯视图的长为x+2,宽为x+1,‎ 则俯视图的面积S俯=(x+2)(x+1)=x2+3x+2,‎ 故选:A.‎ ‎15.【解答】解:∵小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)时,只抄对了a=1,b=4,解出其中一个根是x=﹣1,‎ ‎∴(﹣1)2﹣4+c=0,‎ 解得:c=3,‎ 故原方程中c=5,‎ 则b2﹣4ac=16﹣4×1×5=﹣4<0,‎ 则原方程的根的情况是不存在实数根.‎ 故选:A.‎ ‎16.【解答】解:甲的思路正确,长方形对角线最长,只要对角线能通过就可以,但是计算错误,应为n=14;‎ 乙的思路与计算都正确;‎ 丙的思路错误,图示情况不是最长;‎ 故选:B.‎ 二、填空题(本大题有3个小题,共11分,17小题3分:18~19小题各有2个空,每空2分,把答案写在题中横线上)‎ ‎17.【解答】解:∵7﹣2×7﹣1×70=7p,‎ ‎∴﹣2﹣1+0=p,‎ 解得:p=﹣3.‎ 故答案为:﹣3.‎ ‎18.【解答】解:(1)根据约定的方法可得:‎ m=x+2x=3x;‎ 故答案为:3x;‎ ‎(2)根据约定的方法即可求出n x+2x+2x+3=m+n=y.‎ 当y=﹣2时,5x+3=﹣2.‎ 解得x=﹣1.‎ ‎∴n=2x+3=﹣2+3=1.‎ 故答案为:1.‎ ‎19.【解答】解:(1)由A、B两点的纵坐标相同可知:AB∥x轴,‎ ‎∴AB=12﹣(﹣8)=20;‎ ‎(2)过点C作l⊥AB于点E,连接AC,作AC的垂直平分线交直线l于点D,‎ 由(1)可知:CE=1﹣(﹣17)=18,‎ AE=12,‎ 设CD=x,‎ ‎∴AD=CD=x,‎ 由勾股定理可知:x2=(18﹣x)2+122,‎ ‎∴解得:x=13,‎ ‎∴CD=13,‎ 故答案为:(1)20;(2)13;‎ 三、解答题(本大题有7个小题,共67分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎20.【解答】解:(1)1+2﹣6﹣9‎ ‎=3﹣6﹣9‎ ‎=﹣3﹣9‎ ‎=﹣12;‎ ‎(2)∵1÷2×6□9=﹣6,‎ ‎∴1××6□9=﹣6,‎ ‎∴3□9=﹣6,‎ ‎∴□内的符号是“﹣”;‎ ‎(3)这个最小数是﹣20,‎ 理由:∵在“1□2□6﹣9”的□内填入符号后,使计算所得数最小,‎ ‎∴1□2□6的结果是负数即可,‎ ‎∴1□2□6的最小值是1﹣2×6=﹣11,‎ ‎∴1□2□6﹣9的最小值是﹣11﹣9=﹣20,‎ ‎∴这个最小数是﹣20.‎ ‎21.【解答】解:A=(n2﹣1)2+(2n)2=n4﹣2n2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2,‎ ‎∵A=B2,B>0,‎ ‎∴B=n2+1,‎ 当2n=8时,n=4,∴n2+1=42+1=15;‎ 当n2﹣1=35时,n2+1=37.‎ 故答案为:15;37‎ ‎22.【解答】解:(1)∵P(一次拿到8元球)=,‎ ‎∴8元球的个数为4×=2(个),按照从小到大的顺序排列为7,8,8,9,‎ ‎∴这4个球价格的众数为8元;‎ ‎(2)①所剩的3个球价格的中位数与原来4个球价格的中位数相同;理由如下:‎ 原来4个球的价格按照从小到大的顺序排列为7,8,8,9,‎ ‎∴原来4个球价格的中位数为=8(元),‎ 所剩的3个球价格为8,8,9,‎ ‎∴所剩的3个球价格的中位数为8元,‎ ‎∴所剩的3个球价格的中位数与原来4个球价格的中位数相同;‎ ‎②列表如图所示:共有9个等可能的结果,乙组两次都拿到8元球的结果有4个,‎ ‎∴乙组两次都拿到8元球的概率为.‎ ‎23.【解答】解:(1)在△ABC和△ADE中,(如图1)‎ ‎∴△ABC≌△ADE(SAS)‎ ‎∴∠BAC=∠DAE 即∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE ‎∴∠BAD=∠CAE.‎ ‎(2)∵AD=6,AP=x,‎ ‎∴PD=6﹣x 当AD⊥BC时,AP=AB=3最小,即PD=6﹣3=3为PD的最大值.‎ ‎(3)如图2,设∠BAP=α,则∠APC=α+30°,‎ ‎∵AB⊥AC ‎∴∠BAC=90°,∠PCA=60°,∠PAC=90°﹣α,‎ ‎∵I为△APC的内心 ‎∴AI、CI分别平分∠PAC,∠PCA,‎ ‎∴∠IAC=∠PAC,∠ICA=∠PCA ‎∴∠AIC=180°﹣(∠IAC+∠ICA)‎ ‎=180°﹣(∠PAC+∠PCA)‎ ‎=180°﹣(90°﹣α+60°)‎ ‎=α+105°‎ ‎∵0<α<90°,‎ ‎∴105°<α+105°<150°,即105°<∠AIC<150°,‎ ‎∴m=105,n=150.‎ ‎24.【解答】解:(1)①排尾从位置O开始行进的时间为t(s),则排头也离开原排头t(s),‎ ‎∴S头=2t+300‎ ‎②甲从排尾赶到排头的时间为300÷(2v﹣v)=300÷v=300÷2=150 s,此时S头=2t+300=600 m 甲返回时间为:(t﹣150)s ‎∴S甲=S头﹣S甲回=2×150+300﹣4(t﹣150)=﹣4t+1200;‎ 因此,S头与t的函数关系式为S头=2t+300,当甲赶到排头位置时,求S的值为600m,在甲从排头返回到排尾过程中,S甲与t的函数关系式为S甲=﹣4t+1200.‎ ‎(2)T=t追及+t返回=+=,‎ 在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为:v×(T﹣150)=v×(﹣﹣150)=400﹣150v;‎ 因此T与v的函数关系式为:T=,此时队伍在此过程中行进的路程为(400﹣150v)m.‎ ‎25.【解答】解:(1)如图1,AP经过圆心O,∵CP与⊙O相切于P,‎ ‎∴∠APC=90°,‎ ‎∵▱ABCD,‎ ‎∴AD∥BC,‎ ‎∴∠PBC=∠DAB ‎∴=tan∠PBC=tan∠DAB=,设CP=4k,BP=3k,由CP2+BP2=BC2,‎ 得(4k)2+(3k)2=152,解得k1=﹣3(舍去),k2=3,‎ ‎∴x=BP=3×3=9,‎ 故当x=9时,圆心O落在AP上;‎ ‎∵AP是⊙O的直径,‎ ‎∴∠AEP=90°,‎ ‎∴PE⊥AD,‎ ‎∵▱ABCD,‎ ‎∴BC∥AD ‎∴PE⊥BC ‎(2)如图2,过点C作CG⊥AP于G,‎ ‎∵▱ABCD,‎ ‎∴BC∥AD,‎ ‎∴∠CBG=∠DAB ‎∴=tan∠CBG=tan∠DAB=,‎ 设CG=4m,BG=3m,由勾股定理得:(4m)2+(3m)2=152,解得m=3,‎ ‎∴CG=4×3=12,BG=3×3=9,PG=BG﹣BP=9﹣4=5,AP=AB+BP=3+4=7,‎ ‎∴AG=AB+BG=3+9=12‎ ‎∴tan∠CAP===1,‎ ‎∴∠CAP=45°;‎ 连接OP,OQ,过点O作OH⊥AP于H,则∠POQ=2∠CAP=2×45°=90°,PH=AP=,‎ 在Rt△CPG中,==13,‎ ‎∵CP是⊙O的切线,‎ ‎∴∠OPC=∠OHP=90°,∠OPH+∠CPG=90°,∠PCG+∠CPG=90°‎ ‎∴∠OPH=∠PCG ‎∴△OPH∽△PCG ‎∴,即PH×CP=CG×OP,×13=12OP,‎ ‎∴OP=‎ ‎∴劣弧长度==,‎ ‎∵<2π<7‎ ‎∴弦AP的长度>劣弧长度.‎ ‎(3)如图3,⊙O与线段AD只有一个公共点,即圆心O位于直线AB下方,且∠OAD≥90°,‎ 当∠OAD=90°,∠CPM=∠DAB时,此时BP取得最小值,过点C作CM⊥AB于M,‎ ‎∵∠DAB=∠CBP,‎ ‎∴∠CPM=∠CBP ‎∴CB=CP,‎ ‎∵CM⊥AB ‎∴BP=2BM=2×9=18,‎ ‎∴x≥18‎ ‎26.【解答】解:(1)当x=0吋,y=x﹣b=﹣b,‎ ‎∴B (0,﹣b),‎ ‎∵AB=8,而A(0,b),‎ ‎∴b﹣(﹣b)=8,‎ ‎∴b=4.‎ ‎∴L:y=﹣x2+4x,‎ ‎∴L的对称轴x=2,‎ 当x=2吋,y=x﹣4=﹣2,‎ ‎∴L的对称轴与a的交点为(2,﹣2 );‎ ‎ (2)y=﹣(x﹣)2+,‎ ‎∴L的顶点C()‎ ‎∵点C在l下方,‎ ‎∴C与l的距离b﹣=﹣(b﹣2)2+1≤1,‎ ‎∴点C与1距离的最大值为1;‎ ‎(3)由題意得,即y1+y2=2y3,‎ ‎ 得b+x0﹣b=2(﹣x02+bx0)‎ 解得x0=0或x0=b﹣.但x0#0,取x0=b﹣,‎ 对于L,当y=0吋,0=﹣x2+bx,即0=﹣x(x﹣b),‎ 解得x1=0,x2=b,‎ ‎∵b>0,‎ ‎∴右交点D(b,0).‎ ‎∴点(x0,0)与点D间的距离b﹣(b﹣)=‎ ‎(4)①当b=2019时,抛物线解析式L:y=﹣x2+2019x ‎ 直线解析式a:y=x﹣2019‎ 联立上述两个解析式可得:x1=﹣1,x2=2019,‎ ‎∴可知每一个整数x的值 都对应的一个整数y值,且﹣1和2019之间(包括﹣1和﹣2019)共有2021个整数;‎ ‎∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分:线段和抛物线,‎ ‎∴线段和抛物线上各有2021个整数点 ‎∴总计4042个点,‎ ‎∵这两段图象交点有2个点重复重复,‎ ‎∴美点”的个数:4042﹣2=4040(个);‎ ‎②当b=2019.5时,‎ 抛物线解析式L:y=﹣x2+2019.5x,‎ 直线解析式a:y=x﹣2019.5,‎ 联立上述两个解析式可得:x1=﹣1,x2=2019.5,‎ ‎∴当x取整数时,在一次函数y=x﹣2019.5上,y取不到整数值,因此在该图象上“美点”为0;‎ 在二次函数y=﹣x2+2019.5x图象上,当x为偶数时,函数值y可取整数,可知﹣1到2019.5之 间有1010个偶数,因此“美点”共有1010个.‎ 故b=2019时“美点”的个数为4040个,b=2019.5时“美点”的个数为1010个.‎
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