【数学】2019届一轮复习人教A版不等式选讲学案

【数学】2019届一轮复习人教A版不等式选讲学案

第94题 不等式选讲 I．题源探究·黄金母题 ‎【例1】（1）设，则下列不等式恒成立的是 （ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎（2）的解集为 （ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎（3）的最小值为 ．‎ ‎【答案】（1）C；（2）A；（3）1．‎ ‎【解析】‎ ‎（1），‎ 故选C．‎ ‎（2）很明显，则不等式，解不等式组可得实数的取值范围是：，故选A．‎ ‎（3）由绝对值三角不等式可得．‎ ‎【例2】（1）要证明，可选择的方法有多种，其中最合理的是 ‎ 精彩解读 ‎【试题 】例1：人教A版选修4-5P19-20习题1．2T4，5，6改编；例2：人教A版选修4-5P26习题2．2T3，4，5改编．‎ ‎【母题评析】这类题主要考查绝对值不等式的解法与证明、含参数的不等式恒成立问题等，考查考生的分析问题、解决问题的能力以及数形结合思想．‎ ‎【思路方法】‎ ‎1．绝对值不等式的解法主要有以下三种：分段讨论法；几何法；图象法．‎ ‎2．求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：‎ ‎(1)利用绝对值的几何意义；‎ ‎(2)利用绝对值三角不等式，即 ‎；(3)利用零点分区间法．‎ ‎ （ ）‎ A．综合法 B．类比法 C．分析法 D．归纳法 ‎（2）设都是正数，则三个数 （ ）‎ A．都大于2 B．至少有一个不小于2 ‎ C．至少有一个大于2 D．至少有一个不大于2‎ ‎（3）已知，则使不等式一定成立的条件是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】（1）C；（2）B；（3）D．‎ ‎【解析】（1）要证，只需证，只需证，只需证，只需证，故选用分析法最合理，故选C．‎ ‎（2）都是正数，，当且仅当时取等号，故至少有一个不小于2，故选B．‎ ‎（3），故选D．‎ II．考场精彩·真题回放 ‎【例1】【2017高考新课标I文23】已知函数 ‎．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式的解集包含，求的取值范围．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用零点分段法把含绝对值不等式问题转化为不含绝对值符号的不等式组问题来求解．将代入，不等式等价于，对按，，讨论得解；（2）当时，．若的解集包含，等价于当时．则在的最小值必为与之一，所以且，得．所以的取值范围为．‎ 试题解析：（1）当时，不等式．①‎ 当时，①式化为，无解；‎ 当时，①式化为，从而；‎ 当时，①式化为，从而．‎ 所以的解集为．‎ ‎（2）当时，．‎ 所以的解集包含，等价于当时．又在的最小值必为与 ‎【命题意图】这类题主要考查绝对值不等式的解法与证明、含参数的不等式恒成立问题等，考查考生的分析问题、解决问题的能力以及数形结合思想．‎ ‎【考试方向】这类试题在考查题型上，解答题的形式出现，难度中等偏易．‎ ‎【难点中心】‎ ‎1．零点分段法是解答绝对值不等式问题常用的方法，也可以将绝对值函数转化为分段函数，借助图像解题．‎ ‎2．解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决．数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法．‎ ‎3．不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决．‎ 之一，所以且，得．所以的取值范围为．‎ ‎【例2】【2017高考新课标II文23】已知．证明：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ ‎【解析】（1）‎ ‎．‎ ‎（2）‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎【例3】【2017高考新课标III文23】已知函数．‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式的解集非空，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）将函数零点分段然后求解不等式即可；（2）利用题意结合绝对值不等式的性质有，则m的取值范围是．‎ 试题解析：（1）．‎ 当时，无解；‎ 当时，由得，，解得；‎ 当时，由解得．‎ 所以的解集为．‎ ‎（2）由得，而 且当时，．故的取值范围为．‎ ‎【例4】【2017高考江苏】已知为实数，且证明．‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】由柯西不等式可得，即，故．‎ III．理论基础·解题原理 ‎1．绝对值三角不等式 定理1：如果是实数，则，当且仅当时，等号成立．‎ 定理2：如果是实数，那么，当且仅当时，等号成立．‎ ‎2．基本不等式 定理1：设，则，当且仅当时，等号成立．‎ 定理2：如果为正数，则，当且仅当时，等号成立．‎ 定理3：如果为正数，则，当且仅当时，等号成立．‎ 定理4：(一般形式的算术——几何平均不等式)如果为个正数，则，当且仅当时，等号成立．‎ IV．题型攻略·深度挖掘 ‎【考试方向】‎ 这类试题在考查题型上，通常以解答题的形式出现，难度中等偏易．‎ ‎【技能方法】‎ ‎1．绝对值不等式的解法 ‎（1）含绝对值的不等式与的解集 不等式 或 且 ‎（2）和型不等式的解法 ‎①；②或． : xx ]‎ ‎2．不等式的证明方法 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数 归纳法等．‎ ‎【易错指导】‎ 数 归纳法证明不等式的关键 使用数 归纳法证明与自然数有关的不等式，关键是由时不等式成立推证时不等式成立，此步的证明要具有目标意识，要注意与最终达到的解题目标进行分析、比较，以便确定解题方向．‎ V．举一反三·触类旁通 考向1 含绝对值不等式的解法 ‎1．用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．‎ ‎2．‎ 用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．‎ ‎【例1】解下列不等式：‎ ‎（1）；（2）．‎ 解法二：原不等式或或，‎ 解得，所以原不等式的解集为．‎ ‎（2）①当时，原不等式化为，解得，‎ ‎②当时，原不等式化为，解得．‎ ‎③当时，原不等式化为，解得．‎ 综上可知，原不等式的解集为．‎ ‎【名师点睛】‎ ‎1．去绝对值符号的常用方法 ‎（1）基本性质法：或；‎ ‎（2）平方法：两边平方去掉绝对值符号；‎ ‎（3）零点分段法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．‎ ‎2．形如（或）绝对值不等式的三种解法 解法一：分段讨论法，又称“零点分段法”，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为（此处设）‎ 三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；体现了分类讨论的思想；‎ 解法二：几何法，利用（或）的几何意义：数轴上到点和的距离之和大于的全体（）；体现了数形结合的思想；‎ 解法三：图象法，作出函数和的图象，结合图象求解，体现了函数与方程的思想．‎ ‎3．六类绝对值不等式的解法 ‎ ‎（1）(a∈R)型：或（等价命题法）；‎ ‎（2）型：；‎ ‎（3）型：或；‎ ‎（4）型：或；‎ ‎（5）型：无解；；‎ ‎（6）型：；‎ 或．‎ ‎【例2】【2018四川资阳高三4月模拟考试（三诊）】已知函数．‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若正实数a，b满足，试比较与的大小，并说明理由．‎ ‎【答案】(1)｛x| x＜－3或x＞1｝；(2)见解析．‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先根据绝对值三角不等式得最大值，再根据基本不等式可得 最小值，最后根据两者关系确定大小关系．‎ ‎（2）因为，当且仅当时，取“=”，‎ 所以，即．‎ 又 ．当且仅当时取等号．‎ 所以．‎ 点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．‎ ‎【例3】【2018贵州省普高等 校招生适应性考试】已知函数．‎ ‎（1）若，求不等式的解集；‎ ‎（2）若对任意的，任意的恒有，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1) ；(2) ．‎ ‎【解析】试题分析：(1)对x分类讨论，转化为三个不等式组，分别求解，最后取并集即可；‎ ‎（2），故 试题解析：‎ ‎（1），即，‎ 则，‎ 或，‎ 或，‎ 所以的解集为．‎ ‎（2），‎ 又，∴．‎ 当且仅当时等号成立，所以．‎ 点睛：1．研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题，这是常用的思想方法．‎ ‎2．f(x)＜a恒成立⇔f(x)max＜a． f(x)>a恒成立⇔f(x)min＞a．‎ ‎【跟踪练习】‎ ‎1．解不等式：．‎ 所以原不等式的解集是．‎ ‎2．已知函数．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求不等式的解集．‎ ‎【解】（1）证明：‎ 当时，．‎ ‎（2）由（1）可知，‎ 当时，即为，解集为空集；‎ 当时，即为，解集为；‎ 当时，即为，解集为．‎ 综上，不等式的解集为．‎ ‎3．【2018贵州凯里市第一中 高三下 期《黄金卷》第三套】设函数，，其中．‎ ‎（Ⅰ）求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若对任意，都存在，使得，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1) ；(2) ．‎ 试题解析：‎ ‎（I）不等式 ，则 ‎，‎ 解得：或，即 所以不等式的解集为．‎ ‎（II）设的值域为，的值域为．‎ 对任意，都存在，使得等价于：‎ 而．‎ ‎①当时，不满足题意；‎ ‎②当时，，由得，得，不满足题意；‎ ‎③当时，，由得，得，满足题意；‎ 综上所述，实数的取值范围是：．‎ 考向2 含绝对值不等式的证明 证明绝对值不等式的三种主要方法：‎ ‎（1）利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明．‎ ‎（2）利用三角不等式进行证明．‎ ‎（3）转化为函数问题，利用数形结合进行证明．‎ ‎【例4】已知，且，求证：．‎ ‎【证明】由绝对值不等式的性质，得 ‎，即．‎ ‎【名师点睛】（1）对绝对值三角不等式定理（定理1），（定理2）中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时．‎ ‎（2）该定理可强化为，它经常用于证明含绝对值的不等式．‎ ‎【例5】【2018重庆市高三第二次质量调研】已知函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，解不等式；‎ ‎（Ⅱ）设为正实数，且，其中为函数的最大值，求证：‎ ‎．‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 试题解析：‎ ‎（1）时，， ，‎ 所以或或，所以解集为．‎ ‎（Ⅱ）由绝对值不等式得，‎ 所以最大值，‎ 当且仅当时等号成立．‎ ‎【例6】【2018宁夏银川一中高三二模】已知函数．‎ ‎(1)若的解集非空，求实数的取值范围；‎ ‎(2)若正数满足，为（1）中m可取到的最大值，求证：．‎ ‎【答案】(1) ；(2)见解析．‎ 试题解析：（1）去绝对值符号，可得所以，‎ 所以，解得，所以实数的取值范围为．‎ ‎（2）由（1）知，，所以．‎ 因为，所以要证，只需证，‎ 即证，即证．‎ 因为，所以只需证，因为，∴成立，所以 解法二：x2+y2=2，x、y∈R+，x+y≥2xy ，设：‎ 证明：x+y-2xy= = ‎ 令，， ∴，，‎ 原式====‎ ‎ 当时，， ．‎ ‎【跟踪练习】‎ ‎1．已知函数．‎ ‎（1）求的值域；‎ ‎（2）若，试证明：．‎ 根据函数的单调性可知，当时，的值域 ‎．‎ ‎（2）．‎ ‎．又，‎ ‎．‎ ‎2．【2018甘肃张掖市高三备考质量检测第三次诊断考试】已知，，且．‎ ‎（1）若恒成立，求的取值范围；‎ ‎（2）证明：．‎ ‎【答案】(1) ；(2)证明见解析．‎ ‎（2）由题意结合均值不等式的结论可得，即题中的不等式成立．‎ 试题解析：‎ ‎（1）设 由，得，‎ 故 ，‎ 当且仅当时等号成立，‎ 所以．‎ 当时，，得；‎ 当时，，解得，故；‎ 当时，，解得，故．‎ 综上，．‎ ‎（2） ‎ ‎．‎ ‎3．【2018衡水金卷信息卷（一）】已知函数，不等式的解集为．‎ ‎（1）求集合；‎ ‎（2）证明：对于任意的，恒成立•‎ ‎【答案】(1) (2)见解析 综上，不等式的解集．‎ ‎（2）若证，即证，即证成立，‎ 即证，即证．‎ ‎∵，∴，或．‎ ‎∵，∴，∴，∴成立，即原命题得证．‎ 考向3 含绝对值不等式的综合应用 ‎1．研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题，这是常用的思想方法．‎ ‎2．不等式恒成立问题的解法：‎ 在区间上恒成立；在区间上恒成立．‎ ‎3．对于求或型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如的函数只有最小值，形如的函数既有最大值又有最小值．‎ ‎【例7】【2018陕西榆林市高三高考模拟第二次测试】已知．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）．‎ 解析：（1）证明：因为 ， ‎ 而 ，所以．‎ ‎（2）解：因为 ，‎ 所以或，解得，所以的取值范围是．‎ ‎【例8】【2018福建永春一中、培元、季延、石光中 四校高三上 期第二次联考】设函数．‎ ‎（Ⅰ）解不等式；‎ ‎（Ⅱ），，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1)见解析；(2) ．‎ ‎【解析】试题分析：（1）两边平方解二次不等式即可；（2），即求的最大值即可． ‎ 试题解析：（Ⅰ）不等式，即，即 ‎ 整理得，解得或，所以不等式的解集为或 ‎ ‎（Ⅱ） ，故的最大值为 ‎ 因为，，即，‎ 所以，即，‎ 解得，所以实数的取值范围为．‎ ‎【例9】【2018陕西咸阳二模】已知函数．‎ ‎（1）求的最大值；‎ ‎（2）设，且，求证：．‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析．‎ ‎（2）法1：由题意可知 ．当且仅当，，时取等号，题中的命题得证．‎ 法2：由题意结合柯西不等式有 ，即，命题得证．‎ 试题解析：‎ ‎（1）法1：由知，即．[ : . . .X.X. ]‎ 法2：由三角不等式得，即．‎ 法3：由绝对值不等式的几何意义知，即．‎ ‎（2）法1：∵，‎ ‎∴ ‎ ‎ ．‎ 当且仅当，即，，时取等号，‎ 即．‎ 法2：∵，‎ ‎∴由柯西不等式得 ，‎ 整理得，‎ 当且仅当，即，，时取等号．‎ 点睛：绝对值不等式的解法：‎ 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；‎ 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；‎ 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．‎ ‎【跟踪练习】‎ ‎1．【2018全国名校联盟高三适应性考试（五）】已知．‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）或；（2）．‎ 求出的分段函数的各段的范围，可得最小值，进而得到，解不等式即可得到的取值范围 解析：（1） ，‎ 由得或或，‎ 解之得：或．‎ 所以原不等式的解集为或．‎ ‎（2）当时，递减，取值范围是；‎ 当时，的范围是；‎ 当时，的范围是．‎ 从而，‎ 不等式对任意实数恒成立，‎ 解不等式，得．‎ 点睛：本题主要考查的知识点是绝对值不等式的解法，不等式恒成立的问题，有一定的灵活性，突出考查了转化思想和分类讨论思想，属于中档题， 生要熟练掌握一元二次方程不等式的解法．‎ ‎2．【2018新疆维吾尔自治区高三第二次适应性考试】设函数．‎ ‎（I）当时，解不等式；‎ ‎（II）若的解集为，（，），求证：．‎ ‎【答案】(1) (2)见解析 试题解析：‎ ‎（I）当时，不等式化为 ‎∵‎ ‎∴不等式的解集为 ‎（II）根据得 ‎ ‎∵的解集为故，所以，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 当且仅当，时取等号，∴．‎ ‎3．已知函数．‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式的解集非空，求的取值范围．‎ ‎【解】（1）‎ 当时，无解；‎ 当时，由得，，解得；‎ 当时，由解得．‎ 的解集为．‎ ‎（2）由得，而 且当时，‎ ‎．故的取值范围为．‎ 考向4 比较法证明等式 比较法是证明不等式的常用方法．‎ ‎1．作差比较法的依据：．‎ ‎2．作商比较法的依据：设，则．‎ 比较法证明等式关键是代数式的变形能力，变形一定要彻底，容易判断差式的符号（商式与的大小）．‎ 提醒：作商比较时容易忽视分母的符号而得出错误的结论．‎ ‎【例10】（1）设是非负实数，求证：；‎ ‎（2）求证：．‎ ‎【证明】（1）‎ 又不论，还是，都有与同号，‎ ‎．‎ ‎（2）．‎ 当时，；当时，；当时，．‎ 综上所述：．‎ ‎【名师点睛】1．作差比较法证明不等式的一般步骤是：作差——变形——定号——下结论．变形常用的技巧有：配方、通分、分解因式等．当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时，一般使用作差比较法．‎ ‎2．作商比较法证明不等式的一般步骤是：作商——变形——与比较大小——下结论．变形常用的技巧有放缩法．当被证的不等式两端是幂式或指数式或乘积式时，一般使用作商比较法． ‎ ‎【跟踪练习】‎ ‎1．若，求证：．‎ ‎【证明】，又，‎ ‎．‎ 考向5 综合法、分析法证明不等式 ‎1．综合法证明时常用的不等式：（1）；（2）；‎ ‎（3），它的变形形式有：；；；；等．‎ ‎（4），它的变形有：；；．‎ ‎2．分析法的应用：当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式（）、基本不等式（）没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．‎ ‎【例11】已知．证明：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ ‎【分析】（1）第一问展开所给的式子，然后结合题意进行配方即可证得结论；‎ ‎（2）第二问利用均值不等式的结论结合题意证得即可得出结论．‎ ‎【证明】（1），‎ 故原不等式成立．‎ ‎（2），‎ ‎．‎ ‎【名师点睛】‎ ‎1．利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．若不等式恒等变形之后若与二次函数有关，可用配方法．‎ ‎2．分析法与综合法常常结合起来使用，称为分析综合法，其实质是既充分利用已知条件，又时刻瞄准解题目标，即不仅要搞清已知什么，还要明确干什么，通常用分析法找到解题思路，用综合法书写证题过程．‎ ‎【例12】【2018衡水金卷信息卷（一）】已知函数，不等式的解集为．‎ ‎（1）求集合；‎ ‎（2）证明：对于任意的，恒成立•‎ ‎【答案】(1) (2)见解析 当时，得，所以；‎ 当时，得，所以．‎ 综上，不等式的解集．‎ ‎（2）若证，即证，即证成立，‎ 即证，即证．‎ ‎∵，∴，或．‎ ‎∵，∴，∴，∴成立，即原命题得证．‎ ‎【例13】【2018衡水金卷信息卷（四）】已知，且都是正数．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）是否存在实数，使得关于的不等式对所有满足题设条件的正实数恒成立？如果存在，求出的取值范围，如果不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ 试题解析：‎ ‎（1）因为，且都是正数，‎ 所以 ‎，‎ 当且仅当时，取等号，‎ 所以得证．‎ ‎（2）因为，‎ 所以，‎ 因此（当且仅当时，取等号），‎ 所以 由题得恒成立，即得恒成立，‎ 因此 ．‎ 故存在实数使不等式成立．‎ ‎【跟踪练习】‎ ‎1．【2018河南省八市高二下 期第一次测评】已知，用分析法证明：‎ ‎【解析】试题分析：利用分析法证明：；（2）利用反证法证明：函数无零点．‎ 试题解析：由有，要证：，[ : + + ]‎ 只需证，只需证，‎ 只需证，因为恒成立，所以．‎ ‎2．【2018衡水金卷信息卷（三）】已知实数满足，证明：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ ‎【答案】(1)见解析；(2)见解析．‎ ‎（2）因为，所以，利用基本不等式，得，进而证的结论．‎ 试题解析：（1）由，得，所以，‎ 即．‎ 因为，当且仅当时，取等号，所以，‎ 所以，即．‎ ‎（2）因为，所以．‎ 因为，，所以，即，‎ 即．所以，当且仅当时，取等号．所以原命题得证．‎ ‎3．已知均为正数，且．‎ ‎（1）证明：若，则；‎ ‎（2），求实数的取值范围．‎ ‎【解析】（1）证明：由，且均为正数，得，又，‎ ‎．‎ ‎（2）解：，‎ ‎．‎ 由于，又已知，则 ‎，当且仅当时取等号．‎ 考向6 反证法证明不等式 利用反证法证明问题的一般步骤 ‎（1）否定原结论；（2）从假设出发，导出矛盾；（3）证明原命题正确．‎ ‎【例14】证明：对这个值至少有一个不小于．‎ ‎【证明】假设，则 而，即，这与式矛盾，假设错误，即原命题成立．‎ ‎【名师点睛】应用反证法证题时必须先否定结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．所谓矛盾主要指：①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与公认的简单事实矛盾；⑤自相矛盾等． ‎ ‎【例15】【2018武汉蔡甸区汉阳一中高三第五次模拟】已知，，函数的最小值为．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）证明：与不可能同时成立．‎ ‎【答案】(1)2(2)见解析 试题解析：（1）∵，，∴，‎ ‎∴．由题设条件知，∴．‎ 证明：（2）∵，而，故．‎ 假设与同时成立．即与同时成立，‎ ‎∵，，则，，∴，这与矛盾，‎ 从而与不可能同时成立．‎ 点睛：形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此处设a＜b ‎)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用|x－a|＋|x－b|＞c(c＞0)的几何意义：数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的全体；(3)图象法：作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解．‎ ‎【跟踪练习】‎ ‎1．【2018河北邢台高三上 期第二次月考】①已知，求证，用反证法证明时，可假设；②设为实数，，求证与中至少有一个不小于，由反证法证明时可假设，且，以下说法正确的是（ ）‎ A．①与②的假设都错误 B．①与②的假设都正确 C．①的假设正确，②的假设错误 D．①的假设错误，②的假设正确 ‎【答案】C ‎2．【2018河南省八市高二下 期第一次测评】若，用反证法证明：函数无零点．‎ ‎【解析】假设函数有零点，‎ 则在上有解，即在上有解，‎ 设，‎ 当时，，当时，，‎ 所以，所以，‎ 但这与条件矛盾，故假设不成立，即原命题得证．‎ ‎3．设，，且．证明：与不可能同时成立．‎ ‎【证明】假设与同时成立，则有．‎ 而由得，，，．‎ ‎（当且仅当等号成立），（当且仅当等号成立），（当且仅当等号成立），这与式矛盾，故假设错误，与不可能同时成立．‎ 考向7 放缩法证明不等式 证明不等式时，通过把所证不等式的一边适当地放大或缩小，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法．‎ 注意：在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度．‎ ‎【例16】若，求证：．‎ ‎【证明】当时，不等式显然成立．‎ 当时，由得，‎ ‎．‎ ‎【名师点睛】在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧．常见的放缩变换有：‎ ‎（1）变换分式的分子和分母，如 ‎；‎ ‎（2）利用函数的单调性；‎ ‎（3）真分数性质“若，则”．‎ ‎【例17】【2018浙江省重点中 高三上 期期末热身联考】已知数列满足：， ．‎ ‎⑴求；‎ ‎⑵证明：；‎ ‎⑶是否存在正实数，使得对任意的，都有，并说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）存在．‎ 试题解析：（1）由已知，‎ ‎∴，‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴，则，‎ ‎∴‎ 令，则 ‎ ‎∴{ }是递增数列 ‎∴，即 ‎∴‎ 综上 ‎（3）由(2)得 ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴当时，．‎ 由的单调性知：当时，，‎ 综上：对任意的，都有，所以存在．‎ ‎（c的取值不唯一，若c取其它值相应给分）‎ 点睛：本题考虑数列的不等式的证明和数列与函数的关系，恒成立问题的求解等问题，具体涉及到数列与不等式的综合运用，其中放缩法的应用和构造法的应用是解题的关键．‎ ‎【跟踪练习】‎ 设n是正整数，求证：．‎ ‎【证明】由，得．‎ 当时，；当时，；…；当时，，‎ ‎，原不等式成立．‎ 考向8 数 归纳法证明不等式 ‎【例18】【2018山东临沂第一中 高二下 期第一次月考】若不等式对一切正整数都成立．‎ ‎（1）猜想正整数的最大值；‎ ‎（2）并用数 归纳法证明你的猜想．‎ ‎【答案】（1）25．（2）详见解析 试题解析：‎ ‎（1）当时，，即 所以，是正整数，所以猜想 ‎（2）下面利用数 归纳法证明：‎ ‎①当时，已证：‎ ‎②假设时，不等式成立，即 则当时，有 因为 所以 所以当时不等式也成立 由①②知，对一切正整数，都有 所以的最大值等于25．‎ ‎【例19】【2018浙江名校协作体高三上 期考试】已知无穷数列的首项，．‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ） 记，为数列的前项和，证明：对任意正整数，．‎ ‎【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)见解析．‎ 又 ，易知为递减数列，‎ 则也为递减数列，故当时， ‎ 所以当时， ‎ 当时，，成立；‎ 当时，利用裂项求和法即可得证 试题解析：（Ⅰ）证明：①当时显然成立；‎ ‎②假设当 时不等式成立，即，‎ 那么当时， ，所以，‎ 即时不等式也成立．‎ 综合①②可知，对任意成立．‎ ‎（Ⅱ），即，所以数列为递增数列．‎ 又 ，易知为递减数列，‎ 所以也为递减数列，所以当时， ，‎ 所以当时， ，‎ 当时，成立；‎ 当时， ‎ ‎ ．‎ 综上，对任意正整数，． . . ‎ ‎【例20】【2018浙江部分市 校（新昌中 、台州中 等）上 期高三9月联考】已知数列满足：，，．　‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）证明：；‎ ‎（3）证明：．‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析．‎ ‎，求出的单调性，推出，再令，，求出的单调性，推出，即可得证；（3）由（2）可得，由迭代可得，再根据，推出 ，然后由，推出，即可得证．‎ 试题解析：（1）先用数 归纳法证明．　‎ ‎①当时，∵，∴；‎ ‎②假设当时，，则当时，．‎ 由①②可知．再证．‎ ‎，令，，则， ‎ 所以在上单调递减，所以，所以，即．‎ ‎（2）要证，只需证，只需证其中，先证，令，，只需证．　‎ 因为，所以在上单调递减，所以．再证．‎ 令，，只需证，，‎ 令，，则，‎ 所以在上单调递增，所以，‎ 从而，所以在上单调递增，所以，‎ 综上可得．‎ ‎（3）由（2）知，一方面，，由迭代可得，‎ 因为，所以，所以 ‎；‎ 另一方面，即，由迭代可得．‎ 因为，所以 ，所以 ‎ ；‎ 综上，．‎ 点睛：本题主要考查利用数 归纳法、分析法证明不等式，考查利用导数求函数的单调区间及最值问题．第一问是利用分析法证明不等式，分析法证明不等式是从结论出发，通过变形转化之后，变为一个显然成立的结论，那么原不等式即是成立的．证明不等式，也可以考虑通过放缩后，利用导数求最值来证明．‎ ‎【跟踪练习】‎ ‎1．用数 归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式均成立．‎ ‎【证明】（1）当时，左边；右边．∵左边>右边，∴不等式成立．‎ ‎（2）假设时不等式成立，即．‎ 则当时，‎ ‎∴当时，不等式也成立．‎ 由（1）（2）知，对于一切大于1的自然数，不等式都成立．‎ ‎2．已知函数存在 ‎（I）证明在R上是单调增函数；‎ ‎（II）设 证明：．‎ ‎【证明】（I），故函数在R上是单调增函数．‎ ‎（II）①当n=1时，．‎ 当n=2时，由（I）及函数在R上单调递增及得 ②设时，不等式成立，即，‎ 则当时，又在R上单调递增，则，又，则 由①，②知，对一切成立．‎ ‎3．【2018陕西省西安市西北工业大 附属中 高三上第七次模拟】已知函数．‎ ‎（1）当时，求函数的最值；‎ ‎（2）当时，对任意都有恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）当时，设函数，数列满足，，求证：，．‎ ‎【答案】（1），无最大值．（2）（3）见解析 试题解析：（1）∵，∴，‎ ‎∴，令，得，则随变化如下：‎ 所以，无最大值．‎ ‎（2）设，则，‎ 当时，且，，函数在上是增加的，‎ ‎∴，成立；‎ 当时，令，得，当，，‎ 函数在上是减小的，而，所以，当时，，‎ 所以不恒成立，‎ 综上，对任意都有恒成立时，．‎ ‎（3）∵，∴，‎ 又，当时，，∴在上是增加的，‎ 所以，当时，∵，∴，‎ 而，∴成立．‎ ‎，假设时，成立，那么当时，，‎ 而，∴成立．‎ 综合，得：，成立．‎