河南中考数学压轴题集锦

河南中考数学压轴题集锦

河南中考数学压轴题汇集 ‎(2010)23．（11分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A，B，C三点．（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．‎ ‎（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．‎ ‎（2011）23. （11分）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为－8.（1）求该抛物线的解析式； ‎ ‎（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E.‎ ‎①设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值；‎ ‎②连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG.随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变.当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 第23题 x y A B C D P O ‎（2012）23.(11分)如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3。点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点C，作PD⊥AB于点D。‎ ‎（1）求a、b及sin∠ACP的值；‎ ‎（2）设点P的横坐标为m.‎ ‎① 用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；‎ ‎②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在合适的m值，使这两个三角形的面积之比为9:10？若存在，直接写m的值；若不存在，说明理由。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2013）23.（11分）如图，抛物线y=-x2+bx+c与直线交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为. 点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F.‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由.‎ ‎（3）若存在点P，使∠PCF=45°，请直接写出相应的点P的坐标.‎ O C D B A 备用图 y x P E O F C D B A x y ‎ ‎ ‎（2014）23. (11分）如图，抛物线y=－x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(5,0）两点，直线与y轴交于点C，与x轴交于点D.点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E.设点P的横坐标为m。‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若PE =5EF,求m的值；‎ ‎（3）若点E/是点E关于直线PC的对称点、是否存在点P，使点E/落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由。‎ ‎（2015）23.（11分）如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A、C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F. 点D、E的坐标分别为（0，6），（-4，0），连接PD，PE，DE.‎ ‎ （1）请直接写出抛物线的解析式；‎ ‎（2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值. 进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值. 请你判断该猜想是否正确，并说明理由；‎ ‎（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”.‎ ‎ 请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE的周长最小时“好点”的坐标.‎ C B A y O E D x 备用图 P E O F C D B A 图 x y ‎（2016）23. （11分）如图1，直线交轴于点A，交轴于点C（0,4）.抛物线 经过点A，交轴于点B（0，-2）.点P为抛物线上一个动点，经过点P作轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，连接PB，设点P的横坐标为.‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长；‎ ‎（3）如图2，将△BDP绕点B逆时针旋转，得到△BD′P′，且旋转角∠PBP′=∠OAC，当点P的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标.‎ ‎ ‎ ‎（2017•河南）23．如图，直线y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B．‎ ‎（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；‎ ‎（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．‎ ‎①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；‎ ‎②‎ 点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．‎ ‎ ‎ ‎（2010）‎ ‎（2011）‎ ‎ 23.（1）对于，当y=0，x=2.当x=-8时，y=-‎ ‎∴A点坐标为（2，0），B点坐标为…………………………………………1分 由抛物线经过A、B两点，得 解得…………………………………………3分 ‎（2）①设直线与y轴交于点M 当x=0时，y=. ∴OM=.‎ ‎∵点A的坐标为（2，0），∴OA=2.∴AM=……………………4分 ‎∵OM：OA：AM=3∶4：5.‎ 由题意得，∠PDE=∠OMA，∠AOM=∠PED=90°，∴△AOM～△PED.‎ ‎∴DE：PE：PD=3∶4：5.…………………………………………………………………5分 ‎∵点P是直线AB上方的抛物线上一动点，‎ ‎∴PD=yP-yD ‎ ‎ ‎=.………………………………………………………………………6分 ‎∴‎ ‎…………………………………………………………………7分 ‎……………………………………8分 ‎②满足题意的点P有三个，分别是 ‎……………………………………………………………11分 ‎【解法提示】‎ 当点G落在y轴上时，由△ACP≌△GOA得PC=AO=2，即，解得，所以 当点F落在y轴上时，同法可得，‎ ‎ （舍去）.‎ ‎（2012）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2013）‎ ‎（2014）‎ ‎（2015）（1）【分析】由题意设抛物线解析式为，将A、C两点坐标代入即可.‎ 解：抛物线的解析式为：.………………………………………………（3分）‎ ‎【解法提示】由题意设抛物线解析式为，∵的正方形OABC的边长为8，∴点A(-8，0)、C（0,8）,∴，解得，抛物线解析式为.‎ ‎（2）【分析】设P点坐标为，表示出PF的长度，构造PD所在的直角三角形，表示PD的长度，通过求差法得到PD-PF的值.‎ 解：‎ M ‎（3）【分析】通过将△PDE的面积进行转化，得到其面积的表达式，根据点P横坐标m的取值范围，确定面积为整数时“好点”的个数，再把△PDE周长的最小值转化成PE+PF的和最小，进而知道当P、E、F三点共线时△PDE周长的最小，确定点P的坐标.‎ 解：好点共11个；]‎ 在点P运动时，DE的大小不变，∴PE与PD的和最小时，△PDE的周长最小，‎ ‎∵PD-PF=2，∴PD=PF+2，∴PE+PD=PE+PF+2，‎ 当P，E，F三点共线时，PE+PF最小，‎ 此时，点P，E的横坐标为-4，将x=-4代入，得y=6，‎ ‎∴P（-4,6），此时△PDE周长最小，且△PDE的面积为12，点P恰为“好点”.‎ ‎∴△PDE周长最小时点P的坐标为（-4,6）.‎ ‎【解法提示】△PDE的面积由于-8≤x≤0，可得4≤S≤13，所以S的整数值为10个.由图象可知，当S=12时，对应的“好点”有2个，所以“好点”共有11个.‎ ‎（2016）23.（1）由直线过点C（0,4），得=4. ∴‎ 当=0时，，解得=3. ∴A（3,0）. …………………………1分 ‎∵抛物线经过点A（3,0）、B（0，-2），‎ ‎∴，∴.‎ ‎∴抛物线的解析式为. …………………………………………3分 ‎（2）∵点P的横坐标为，∴P（），D（，）. ……………4分 若△BDP为等腰直角三角形，则PD=BD.‎ ‎①当点P在直线BD上方时，PD=.‎ ‎（I）若点P在轴左侧，则<0，BD=.‎ ‎∴=，∴1=0（舍去），2=（舍去）. ………………………5分 ‎（II）若点P在轴右侧，则>0，BD=.‎ ‎∴=，∴1=0（舍去），2=. ……………………………………6分 ‎②当点P在直线BD下方时，>0，BD=，PD=.‎ ‎∴=，∴1=0（舍去），2=. …………………………………7分 综上，=或. 即当△BDP为等腰直角三角形，PD的长为或.……………8分 ‎（3）,,. ……………………………11分 ‎【提示】∵∠PBP′=∠OAC,OA=3,OC=4,‎ ‎∴AC=5, ∴sin∠PBP′=,cos∠PBP′=.‎ ‎①当点P′落在轴上时，过点D′作D′N⊥轴，垂足为N，‎ 交BD于点M，∠DBD′=∠ND′P′=∠PBP′.‎ 如图1，ND′- MD′=2，即.‎ 如图2，ND′+ MD′=2，即.‎ ‎∴,.‎ ‎②当点P′落在轴上时，如图3，过点D′作D′M⊥轴，‎ 交BD于点M，过点P′作P′N⊥轴，交MD′的延长线于点N，‎ ‎∠DBD′=∠ND′P′=∠PBP′.‎ ‎∵P′N=BM,即 ‎∴.‎ ‎（2017）【解答】解：‎ ‎（1）∵y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，‎ ‎∴0=﹣2+c，解得c=2， ‎ ‎∴B（0，2），‎ ‎∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2；‎ ‎（2）①由（1）可知直线解析式为y=﹣x+2，‎ ‎∵M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，‎ ‎∴P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+m+2），‎ ‎∴PM=﹣m+2，PA=3﹣m，PN=﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）=﹣m2+4m，‎ ‎∵△BPN和△APM相似，且∠BPN=∠APM，‎ ‎∴∠BNP=∠AMP=90°或∠NBP=∠AMP=90°，‎ 当∠BNP=90°时，则有BN⊥MN，‎ ‎∴BN=OM=m，‎ ‎∴=，即=，解得m=0（舍去）或m=2.5，‎ ‎∴M（2.5，0）；‎ 当∠NBP=90°时，则有=，‎ ‎∵A（3，0），B（0，2），P（m，﹣m+2），‎ ‎∴BP==m，AP==（3﹣m），‎ ‎∴=，解得m=0（舍去）或m=，‎ ‎∴M（，0）；‎ 综上可知当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为（2.5，0）或（，0）；‎ ‎②由①可知M（m，0），P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+m+2），‎ ‎∵M，P，N三点为“共谐点”，‎ ‎∴有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，‎ 当P为线段MN的中点时，则有2（﹣m+2）=﹣m2+m+2，解得m=3（三点重合，舍去）或m=；‎ 当M为线段PN的中点时，则有﹣m+2+（﹣m2+m+2）=0，解得m=3（舍去）或m=﹣1；‎ 当N为线段PM的中点时，则有﹣m+2=2（﹣m2+m+2），解得m=3（舍去）或m=﹣；‎ 综上可知当M，P，N三点成为“共谐点”时m的值为或﹣1或﹣．‎ ‎　‎