【精品讲义】人教版 八年级下册寒假同步课程（培优版）11函数及图像3

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1 内容 基本要求 略高要求 较高要求 一次函数 理解正比例函数，能结合具体 情境了解一次函数的意义;会 画一次函数的图像，理解一次 函数的性质 会根据已知条件确定一次函数解析式 ;会根据一次函数解析式求其图像与 坐标轴的交点坐标；能根据一次函数 图像求二元一次方程组的近似解 能用一次函数解决 实际问题 平移规律：一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则 模块一 一次函数图象的几何变换 【例 1】 （2011•乌鲁木齐）将直线 2y x 向右平移 1 个单位后所得图象对应的函数解析式为（ ） A． 2 1y x  B． 2 2y x  C． 2 1y x  D． 2 2y x  【解析】根据函数图象平移的法则进行解答即可． 【解答】直线 2y x 向右平移 1 个单位后所得图象对应的函数解析式为  2 1y x  ， 即 2 2y x  ．故选 B ． 【巩固】直线 2( 2)y x  可以由直线 2y x 向 平移 个单位得到的． 【难度】2 星 【解析】略 【答案】下，4 【巩固】一次函数 2 3y x  的图象可以看成由正比例函数 2y x 的图象向 （填“上”和“下”）平移 个 单位得到的． 【难度】2 星 【解析】略 【答案】下，3 【巩固】把函数 2y x 的图像向右平行移动 3 个单位，求： （1）平移后得到的直线解析式； （2）平移后的直线到两坐标轴距离相等的点的坐标． 【解析】（1）因为直线 2y x 向右平移 3 个单位，所以 2k  ，且平移后经过点  3 0， ．设所求解析式为 2y x b  ， 将 3 0， 代入，得 6b   ．所以所求直线解析式为 2 6y x  ． （2）因为到两坐标轴距离相等的点在直线 y x 或 y x  上，所以解方程组 2 6y x y x     ， ， 和 2 6y x y x      ， ， 一次函数解析式及与不等式综合 2 得 6 6 x y    ， ，和 2 2 x y     ， ． 【答案】（1） 2 6y x  ；（2）  6,6 或  2, 2 模块二 用待定系数法求一次函数解析式 先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待字 系数法． 用待定系数法求函数解析式的一般步骤： ①根据已知条件写出含有待定系数的解析式； ②将 x y， 的几对值，或图象上的几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程 或方程组； ③解方程（组），得到待定系数的值； ④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求的函数解析式． ☞待定系数法 【例 2】 如果 ( 0)y kx k  的自变量增加 4，函数值相应地减少 16，则 k 的值为（ ） A.4 B.- 4 C. 1 4 D. 1 4  【解析】由题意得： 16 ( 4)y k x   ，将 y kx 带入等式，即 k 16 ( 4)x k x   ，所以解出 4x   【答案】B 【例 3】 已知 y n 与 x m 成正比例，其中 m 、n 是常数，当 1x  时， 1y   ，当 1x   时， 7y   .求 y 与 x 的函数关系． 【解析】根据题意，设 ( )y n k x m   ( 0k  ),即 ( )y kx km n   由题意，得 1 7 k km n k km n          ① ② ，解得 3k  ， 4km n   . 所求函数关系式为 3 4y x  . 【巩固】已知 y 与 1x  成正比例，且当 3x  时 5y  .求 y 与 x 之间的函数关系式． 【解析】 y 与 1x  成正比例，设 ( 1)y k x  ( 0k  ) 当 3x  时， 5y  ，求得 5 2k  ， y 与 x 之间的函数关系式为 5 5 2 2y x  【巩固】（2009•桂林）如图，是一个正比例函数的图象，把该图象向左平移一个单位长度，得到的函数图 象的解析式为 ． 【解析】寻找原直线解析式上的向左平移一个单位长度，得到的点． 【答案】可从正比例函数上找两点：（0，0）、（﹣1，2），这两个点左平移一个单位长度，得（﹣1，0）（﹣ 2，2）， 那么这两个点在向左平移一个单位长度得到的函数图象的解析式 y=kx+b 上，则﹣k+b=0，﹣ 2k+b=2 解得：k=﹣2，b=﹣2． 3 ∴得到的解析式为：y=﹣2x﹣2． 【点评】解决本题的关键是找到所求直线解析式中的两个点． 【巩固】已知 y 与 1x  成正比例，且当 3x  时 5y  .求 y 与 x 之间的函数关系式． 【解析】 y 与 1x  成正比例，设 ( 1)y k x  ( 0k  ) 当 3x  时， 5y  ，求得 5 2k  ， y 与 x 之间的函数关系式为 5 5 2 2y x  【答案】 5 5 2 2y x  【例 4】 已知一次函数的图象经过(3，2)和(1，-2)两点．求这个一次函数的解析式． 【解析】设这个一次函数的解析式为： y kx b  ，由题意可知 3 2 2 k b k b       ，解得 2 4 k b     故这个一次函数的解析式为： 2 4y x  ． 这种首先设出函数解析式，然后再根据已知条件求出函数解析式的系数的方法，称为“待定系数 法”． 【答案】 2 4y x  【例 5】 已知一次函数 y kx b  中自变量 x 的取值范围为 2 6x   ，相应的函数值的范围是 11 9y   ， 求此函数的解析式。 【解析】当 0k  时， y 随 x 的增大而增大，由 2 6x   ， 11 9y   可知 2x   时， 11y   ； 6x  时， 9y  所以 2 11 6 9 k b k b        ，解得 5 2 6 k b      故函数解析式为 5 62y x  。 当 0k  时， y 随 x 的增大而减小，由 2 6x   ， 11 9y   可知 2x   时， 9y  ； 6x  时， 11y   所以 2 9 6 11 k b k b        ，解得 5 2 4 k b      故函数解析式为 5 42y x   。 【巩固】已知一次函数 y kx b  ，当 3 1x   时，对应的 y 值为1 9y  ，求 kb 的值. 【解析】若 0k  ，所以当 3x   时， 1y  ；当 1x  时， 9y  ；解得 2k  ， 7b  ， 14kb  ； 若 0k  ，所以当 3x   时， 9y  ；当 1x  时， 1y  ；解得 2k   ， 3b  ， 6kb   . 【答案】 6kb   【例 6】 （ 1 ）（ ★ ★ ★ ） (09 山 东 泰 安 ) 已 知 y 是 x 一 次 函 数 ， 表 给 出 了 部 分 对 应 值 ， m 的 值 是 ． x 1 2 5 y 5 1 m 4 （2）（★★★）（08 永州）如图，一次函数的图象经过 M 点，与 x 轴交于 A 点，与 y 轴交于 B 点， 根据图中信息求：求这个函数的解析式 ． 【解析】（1） 1m  ； （2）设一次函数的解析式为 y kx b   0k  将点  0 6B ， ，  1 4M  ， 代入，得   6 0 4 1 k b k b        ， 解之，得 2 6k b ， ∴解析式为 2 6y x  ． 【例 7】 (08 年上海市中考题)如图，将直线 OA 向上平移 1 个单位，得到一个一次函数的图像，那么这个 一次函数的解析式是 ． 【解析】根据题意可得 OA 的解析式为 2y x ，向上平移一个单位以后，可得： 1 2y x  ，即 2 1y x  【例 8】 ⑴（★★）如果直线 y ax b  经过第一、二、三象限，那么 ab 0（填“  ”、“  ”、“  ”）． ⑵（★★）已知一次函数   22 3 12y a x a    ．求：① a 为何值时，一次函数的图象经过原点．② a 为何值时，一次函数的图象与 y 轴交于点  0,9 ． 【解析】⑴先画草图，根据已知得 y 随 x 的增大而增大，可知 0a  ；图象与 y 轴交点在 x 轴上方，知 0b  ， 故 0ab  ． ⑵① 2a   ；② 7a   5 ☞对称 【例 1】 若直线 y kx b  与直线 2 2y x  关于 x 轴对称，则 k b， 的值分别是（ ） A、﹣2，﹣2 B、﹣2，2 C、2，﹣2 D、2，2 【解析】先根据两直线关于 x 轴对称的特点求出函数 y kx b  的解析式，即可确定答案． 【答案】∵直线 y kx b  与直线 2 2y x  关于 x 轴对称， ∴ 2 2b k   ， ． 故选 A． 【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知关于 x 轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键． 【巩固】（2005•天津）若正比例函数 y=kx 与 y=2x 的图象关于 x 轴对称，则 k 的值= ．。 【解析】根据关于 x 轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数．则两个解析式的 k 值应互 为相反数． 【答案】两个解析式的 k 值应互为相反数，即 k=﹣2． 【点评】若两个正比例函数的图象关于 x 轴对称，则 k 值互为相反数． 模块三 一次函数与方程及不等式综合 1.一次函数与一元一次方程的关系： 直线 y b k 0kx  （ ）与 x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程 b 0( 0)kx k   的解。求直线 y bkx  与 x 轴交点时，可令 0y  ，得到方程 b 0kx   ，解方程得 x b k   ，直线 y bkx  交 x 轴于 ( ,0)b k  ， b k  就是直线 y bkx  与 x 轴交点的横坐标。 2.一次函数与一元一次不等式的关系： 任何一元一次不等式都可以转化为 a b 0x   或 a b 0x   ( ba、 为常数， 0a  )的形式，所以解一元一 次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于 0 时，求自变量相应的取值范围。 3.一次函数与二元一次方程（组）的关系： 一次函数的解析式 y b k 0kx  （ ）本身就是一个二元一次方程，直线 y b k 0kx  （ ）上有无数个 点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程 y b k 0kx  （ ），因此二元一次方程的解也就有无数个。 ☞一次函数与一元一次方程综合 【例 9】 已知直线 (3 2) 2y m x   和 3 6y x   交于 x 轴上同一点， m 的值为（ ） A． 2 B． 2 C． 1 D． 0 【解析】分别求出两个直线与 x 轴的交点坐标分别为 2( ,0)3 2m   和 (2 0)， ，因为交与 x 轴上的同一点，所 以可列方程 2 23 2m   ，解得 1m   【答案】C 【例 10】 已知一次函数 y x a   与 y x b  的图象相交于点  8m， ，则 a b  ______． 【解析】分别将点  8m， 代入两个一次函数解析式，得8 m a   和8 m b  ，联立方程得 8 8 m a m b      ，所以 16a b  【答案】16 【例 11】 已知一次函数 y kx b  的图象经过点  2 0， ，  1 3， ，则不求 k b， 的值，可直接得到方程 3kx b  的解是 x  ______． 【解析】分别根据题意可知当 3y  时， 1x  【答案】1 6 ☞一次函数与一元一次不等式综合 【例 12】 已知一次函数 2 5y x   ． （1）画出它的图象； （2）求出当 3 2x  时， y 的值； （3）求出当 3y   时， x 的值； （4）观察图象，求出当 x 为何值时， 0y  ， 0y  ， 0y  【解析】略 【答案】（1）列表： x 0 5 2 y 5 0 过点  0 5， 和 5 02      ， 作直线，此直线即为一次函数 2 5y x   的图象，如图所示： （2）当 3 2x  时， 32 5 22y      （3）当 3y   时， 2 5 3, 4x x     （4）观察图像可知，当 5 2x  时，函数的图象在 x 轴下方， y 0 ； 当 5 2x  时， 0y  ； 当 5 2x  时，函数的图象在 x 轴上方， 0y  ． 【例 13】 已知 1 5y x  ， 2 2 1y x  ．当 1 2y y 时，x 的取值范围是（ ） A． 5x  B． 1 2x  C． 6x   D． 6x   【解析】根据题意可知列不等式 5 2 1x x   ，解不等式即可 【答案】C 【例 14】 直线 1 1:l y k x b  与直线 2 2:l y k x 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于 x 的不 等式 2 1k x k x b  的解集为______． 7 【解析】根据题意结合图象看出，当 1x   时，直线 2l 在直线 1l 上方 【答案】 1x   【例 15】 若解方程 2 3 2x x   得 2x  ，则当 x_________时直线 2y x  上的点在直线 3 2y x  上 相应点的上方． 【解析】列一元一次不等式或是画图象均可得出答案， 2y x  上的点在直线 3 2y x  上相应点的上方， 即 2 3 2x x   【答案】 2x  【例 16】 如图，直线 y kx b  经过  2 1A ， ，  1 2B  ， 两点，则不等式 1 22 x kx b    的解集为 ______． 【解析】根据题意本题可以先求出直线解析式再求不等式组的解集，或由题意中的两个直线上的点的坐标 去判断所求的解集 【答案】 -1 2x  【例 17】 已知一次函数经过点（1，-2）和点（-1，3），求这个一次函数的解析式，并求： （1）当 2x  时， y 的值； （2）x 为何值时， 0y  ？ （3）当 2 1x   时， y 的值范围； （4）当 2 1y   时， x 的值范围． 【解析】（1）设一次函数的解析式为 y kx b  ， 由题意，列得 2 3 k b k b       ，解得 5 2 1 2 k b      ∴一次函数的解析式为 5 1 2 2y x   ∴当 2x  时， 5 1 922 2 2y       （2）∵ 0y  ∴ 5 1 02 2x   ，解不等式得： 1 5x  8 ∴当 1 5x  时， 0y  （3）∵ 5 1 2 2y x   ，∴ 2 1 5 5x y   又∵ 2 1x   ，即 2 12 15 5y     解得： 11 2y-2≤ ≤ ∴当 11 22 y   时， 2 1x   （4）∵ 2 1y   ，∴ 5 12 12 2x     解得： 1 15 x   ∴当 1 15 x   时， 2 1y   【答案】（1） 9 2  ；（2） 1 5x  ；（3） 11 2y-2≤ ≤ ；（4） 1 15 x   ☞一次函数与二元一次方程（组）综合 【例 18】 已知直线 3y x  与 2 2y x  的交点为（-5，-8），则方程组 3 0 2 2 0 x y x y        的解是________． 【解析】两条直线的交点坐标就是二元一次方程组的解 【答案】 5 8 x y      【例 19】 已知方程组 y ax c y kx b      （ a b c k， ， ， 为常数， 0ak  ）的解为 2 3 x y     ，则直线 y ax c  和 直线 y kx b  的交点坐标为________． 【解析】二元一次方程组的解就是两条直线的交点坐标 【答案】  2 3 ， 【例 20】 已知 2 4 x y    ，是方程组 7 3 2 2 8 x y x y      的解，那么一次函数 y  ________和 y  ________的交点 是________． 【解析】一次函数与二元一次方程组的关系，将方程组中的两个二元一次方程整理成用 x 表示 y 的形式， 则是两个一次函数的解析式 7 2 3 3y x  和 2 8y x   ，方程组的解即是两个一次函数图象交点的 横纵坐标坐标，即  2 4， 【答案】 7 2 3 3y x  ， 2 8y x   ， (2,4) 【例 21】 一次函数 1y kx b  与 2y x a  的图象如图，则下列结论① 0k  ；② 0a  ；③当 3x  时， 1 2y y 中，正确的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 9 【解析】（1）直线 1y 经过二、四象限，则 0k  ，所以①是正确的；（2）直线与 y 轴交于 y 轴的负半轴， ∴ 0a  ，所以②是错误的；（3）由两个一次函数图象可知 3x  时，直线 1y 在直线 2y 上方，∴ 1 2y y ，∴③是错误的。因此只有一个是正确的。 【答案】B． 【例 22】 若直线 ( 2) 6y m x   与 x 轴交于点  6 0， ，则 m 的值为（ ） A.3 B.2 C.1 D.0 【解析】列一元一次方程得： 6( 2) 6 0m    ，解得： 3m  【答案】A 【例 23】 已知一次函数 y kx b  的图象如图所示，当 1x  时， y 的取值范围是（ ） A． 2 0y   B． 4 0y   C． 2y   D． 4y   【解析】根据图象列关于 k,b 的二元一次方程组，求出函数解析式 2 4y x  ，整理出 1 22x y  ，∴ 1x  ， 则是 1 2 12 y   ，求不等式的解为 2y   【答案】C 【例 24】 如图所示的是函数 y kx b  与 y mx n  的图象，求方程组 kx b y mx n y      的解关于原点对称 的点的坐标是________． 10 【解析】考察一次函数与二元一次方程组的关系，在平面直角坐标系内可知两个直线的交点坐标为  3 4， ， 所以它关于远点的对称的点的坐标是  3 4 ， 【答案】  3 4 ， 【例 25】 一次函数 y kx b  （ k b， 是常数， 0k  ）的图象如图所示，则不等式 0kx b  的解集是 （ ） A． 2x   B． 0x  C． 2x   D． 0x  【解析】 0kx b  ，即 0y  ，∴由图象看出与 x 轴交于点（-2，0） 【答案】A 【例 26】 如图，一次函数 y ax b  的图象经过 A、B 两点，则关于 x 的不等式 0ax b  的解集是 ________． 【解析】由图象知， 0ax b  ，即 0y  则图象在 x 轴下方，所以 2x  【答案】 2x  【例 27】 把一个二元一次方程组中的两个方程化为一次函数画图象，所得的两条直线平行，则此方程 组（ ） A.无解 B.有唯一解 C.有无数个解 D.以上都有可能 【解析】二元一次方程组的解就是两条直线的交点坐标，若两条直线平行，则说明这两条直线无交点，则 此二元一次方程组无解 【答案】A 11 课后作业 1. 将直线 2y x 向右平移 2 个单位所得的直线的解析式是 ． 【难度】2 星 【解析】略 【答案】 2( 2) 2 4y x x    2. 已知函数图象如图所示，则此函数的解析式为（ ） A. 2y x  B. 2 ( 1 0)y x x     C. 1 2y x  D. 1 ( 1 0)2y x x     【解析】由题意，正比例函数经过点（-1，2），求出函数解析式为 2y x  ，同时根据图象看出自变量的取 值范围为 1 0x   【答案】B 3. 当自变量 x 满足什么条件时，函数 4 1y x   的图象在： （1） x 轴上方； （2） y 轴左侧； （3）第一象限． 【解析】（1） 4 1 0x   ，解这个不等式，得 1 4x  （2）函数图象在 y 轴左侧， x 应取负数，即 0x  （3）函数图象在第一象限，则应有 0 0 x y    ， 10 4x  【答案】（1） 1 4x  ；（2） 0x  ；（3） 10 4x  4. 如图，直线 y kx b  与 x 轴交于点  4 0 ， ，则 0y  时， x 的取值范围是（ ） A. 4x   B． 0x  C. 4x   D． 0x  12 【解析】由题意结合图象可知， 0y  则 4x   【答案】A 5. 当自变量 x 满足什么条件时，函数 2 3y x   的图象在： （1） x 轴下方； （2） y 轴左侧； （3）第一象限． 【解析】令 0y  解得 3 2x  .根据题意，三种情形应分别满足不等式： （1） 0y  ，即 2 3 0x   ， 3 2x  ；（2） 0x  ； （3） 0 2 3 0 x y x       ， 30 2x  ． 【答案】（1） 3 2x  ；（2） 0x  ；（3） 30 2x 