重庆市巴蜀中学初中部数学教研组整理:八年级数学上(RJ)13

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13.2 画轴对称图形 第十三章 轴对称 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第 2 课时 用坐标表示轴对称 八年级数学上(RJ) 学习目标 1. 探究在平面直角坐标系中关于 x 轴和 y 轴对称点的坐标特点 . (重点) 2. 能在平面直角坐标系中画出一些简单的关于x轴和y轴的对称图形 . (重点) 3. 能 根据 坐标 系 中轴对称 点的坐标特点 解决简单的问题. (难点) 导入新课 问题引入 一位外国游客在天安门广场询问小明西直门的位置,但他只知道东直门的位置,聪明的小明想了想,就准确的告诉了他,你能猜到小明是怎么做的吗? 猜一猜 如图,是一幅老北京城的示意图,其中西直门和东直门是关于中轴线对称的 . 如果以天安门为原点,分别以长安街和中轴线为 x 轴和 y 轴建立平面直角坐标系 . 根据如图所示的东直门的坐标,你能说出西直门的坐标吗? 讲授新课 用坐标表示轴对称 一 问题 1 : 已知点 A 和一条直线 MN ,你能画出这个点关于已知直线的对称点吗 ? 互动探究 A A′ M N ∴A′ 就是点 A 关于直线 MN 的对称点 . O ( 2 )延长 AO 至 A′, 使 OA′=AO. ( 1 )过点 A 作 AO ⊥ MN , 垂足为点 O , x y O 问题 2 : 如图,在平面直角坐标系中你能画出点 A 关于 x 轴的对称点吗 ? A (2,3) A ′ (2,-3) 你能说出点 A 与点 A' 坐标的关系吗? x y O 做一做: 在平面直角坐标系中画出下列各点关于 x 轴的对称点 . C (3,-4) C '(3,4) B(-4,2) B '(-4,-2) ( x , y ) 关于 x 轴 对称 ( , ) x -y 知识归纳 关于 x 轴对称的点的坐标的特点是 : 横坐标相等 , 纵坐标互为相反数 . ( 简称:横轴横相等 ) 练一练 : 1. 点 P(-5, 6) 与点 Q 关于 x 轴对称,则点 Q 的坐标为 __________. 2. 点 M( a , -5) 与点 N(-2, b ) 关于 x 轴对称,则 a =_____, b =_____. (- 5 , -6 ) -2 5 问题 3 : 如图,在平面直角坐标系中你能画出点 A 关于 y 轴的对称点吗 ? x y O A (2,3) A ′ (-2,3) 你能说出点 A 与点 A' 坐标的关系吗? x y O 做一做: 在平面直角坐标系中画出下列各点关于 y 轴的对称点 . C (3,-4) C '(3,4) B(-4,2) B '(-4,-2) ( x , y ) 关于 y 轴 对称 ( , ) -x y 知识归纳 关于 y 轴对称的点的坐标的特点是 : 横坐标互为相反数 , 纵坐标相等 . ( 简称:纵轴纵相等 ) 练一练 : 1. 点 P(-5, 6) 与点 Q 关于 y 轴对称,则点 Q 的坐标为 __________. 2. 点 M( a , -5) 与点 N(-2, b ) 关于 y 轴对称,则 a =_____, b =_____. (5 , 6 ) 2 -5 例 1 如图,四边形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A (-5,1), B (-2,1), C (-2,5), D (-5,4), 分别画出与四边形 ABCD 关于 y 轴和 x 轴对称的图形 . x y A B C D A ′ B ′ C ′ D ′ A ′ B ′ C ′ D ′ O 对于这类问题 , 只要先求出已知图形中的一些特殊点 ( 如多边形的顶点 ) 的对称点的坐标 , 描出并连接这些点 , 就可以得到这个图形的轴对称图形 . 知识要点 在坐标系中作已知图形的对称图形 ( 一找二描三连) 平面直角坐标系中, △ABC 的三个顶点坐标分别为 A ( 0,4 ), B ( 2,4 ), C ( 3 ,- 1 ) . ( 1 )试在平面直角坐标系中,标出 A 、 B 、 C 三点; ( 2 )若 △ABC 与 △A'B ' C ' 关于 x 轴对称,画出 △A'B'C' ,并 写出 A' 、 B' 、 C' 的坐标 . 针对训练: x y O A (0,4) B (2,4) C (3,-1) A' (0,-4) B' (2,-4) C' (3,1) 解:如图所示: 例 2 已知点 A (2 a - b , 5 + a ) , B (2 b - 1 ,- a + b ) . (1) 若点 A 、 B 关于 x 轴对称,求 a 、 b 的值; (2) 若 A 、 B 关于 y 轴对称,求 (4 a + b ) 2016 的值. 解: (1)∵ 点 A 、 B 关于 x 轴对称, ∴2 a - b = 2 b - 1 , 5 + a - a + b = 0 , 解得 a =- 8 , b =- 5 ; (2)∵ A 、 B 关于 y 轴对称, ∴2 a - b + 2 b - 1 = 0 , 5 + a =- a + b , 解得 a =- 1 , b = 3 , ∴(4 a + b ) 2016 = 1. 解决此类题可根据关于 x 轴、 y 轴对称的点的特征列方程 ( 组 ) 求解. 例 3 已知点 P ( a + 1 , 2 a - 1) 关于 x 轴的对称点在第一象限,求 a 的取值范围. 解:依题意得 P 点在第四象限, 解得 即 a 的取值范围是 方法总结: 解决此类题,一般先写出对称点的坐标或判断已知所在的象限,再由各象限内点的坐标的符号,列不等式 ( 组 ) 求解. 当堂练习 1. 平面直角坐标系内的点A(-1,2)与点B(-1,-2)关于(  ) A. y 轴对称 B. x 轴对称 C.原点对称 D.直线 y=x 对称 2. 在平面直角坐标系中,将点A(-1,2)向右平移3个单位长度得到点B,则点B关于 x 轴的对称点C的坐标是(  ) A.(-4,-2) B.(2,2) C.(-2,2) D.(2,-2) D B 3. 设点M( x , y )在第二象限,且| x |=2,| y |=3,则点M关于 y 轴的对称点的坐标是(  ) A.(2,3) B.(-2,3) C.(-3,2) D.(-3,-2) A 4. 如图,在平面直角坐标系中,点P(-1,2)关于直线x=1的对称点的坐标为(  ) A.(1,2) B.(2,2) C.(3,2) D.(4,2) C 5. 已知点 P (2 a + b ,-3 a ) 与点 P ′ ( 8, b +2). 若点 P 与点 P ′ 关于 x 轴对称,则 a =_____ , b =_______. 若点 P 与点 P ′ 关于 y 轴对称,则 a =_____ , b =_______. 2 4 6 -20 6. 若| a -2|+ ( b -5 ) 2 =0,则点P ( a , b ) 关于 x 轴对称的点的坐标为 ________. ( 2 ,-5) 7. 已知 △ ABC 的三个顶点的坐标分别为 A (-3 , 5), B (- 4 , 1), C (-1 , 3) , 作出 △ ABC 关于 y 轴对称的图形 . 解:点 A (-3,5), B (-4,1), C (-1,3) , 关于 y 轴的对称点分别为 A ′(3,5), B ′(4,1), C ′(1,3). 依次连接 A ′ B ′, B ′ C ′, C ′ A ′, 就得到 △ ABC 关于 y 轴对称的 △ A ′ B ′C′. 3 1 4 2 5 -2 -4 -1 -3 O 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 A C B B ′ A ′ C ′ x y 8. 已知点A(2 a + b ,-4),B(3, a -2 b )关于 x 轴对称,求点C( a , b )在第几象限? 解:∵点A(2 a + b ,-4),B(3, a -2 b )关于 x 轴对称, ∴2 a + b =3, a -2 b =4, 解得 a =2, b =-1. ∴点C(2,-1)在第四象限. 拓展提升 9. 在平面直角坐标系中,规定把一个正方形先沿着x轴翻折,再向右平移2个单位称为1次变换.如图,已知正方形ABCD的顶点A、B的坐标分别是(-1,-1)、(-3,-1),把正方形ABCD经过连续7次这样的变换得到正方形A′B′C′D′,求B的对应点B′的坐标 . 解:∵正方形ABCD,点A、B的坐标分别是 ( -1,-1 ) 、 ( -3,-1 ) , ∴根据题意,得第1次变换后的点B的对应点的坐标为 ( -3+2,1 ) ,即 ( -1,1 ) , 第2次变换后的点B的对应点的坐标为 ( -1+2,-1 ) ,即 ( 1,-1 ) , 第3次变换后的点B的对应点的坐标为 ( 1+2,1 ) ,即 ( 3,1 ) , 第n次变换后的点B的对应点的为:当n为奇数时为 ( 2n-3,1 ) ,当n为偶数时为 ( 2n-3,-1 ) , ∴把正方形ABCD经过连续7次这样的变换得到正方形A′B′C′D′,则点B的对应点B′的坐标是 ( 11,1 ) . 课堂小结 用坐标表示轴对称 关于坐标轴对称的点的坐标特征 在坐标系中作已知图形的对称图形 关于 x 轴对称,横同纵反;关于 y 轴对称,横反纵同 关键要明确点关于 x 轴、 y 轴对称点的坐标变化规律,然后正确描出对称点的位置
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