重庆市巴蜀中学初中部数学教研组整理：八年级数学上（RJ）13

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13.2 画轴对称图形 第十三章 轴对称 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第 2 课时 用坐标表示轴对称 八年级数学上（RJ） 学习目标 1. 探究在平面直角坐标系中关于 x 轴和 y 轴对称点的坐标特点 . （重点） 2. 能在平面直角坐标系中画出一些简单的关于x轴和y轴的对称图形 . （重点） 3. 能 根据 坐标 系 中轴对称 点的坐标特点 解决简单的问题. （难点） 导入新课 问题引入 一位外国游客在天安门广场询问小明西直门的位置，但他只知道东直门的位置，聪明的小明想了想，就准确的告诉了他，你能猜到小明是怎么做的吗？ 猜一猜 如图，是一幅老北京城的示意图，其中西直门和东直门是关于中轴线对称的 . 如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为 x 轴和 y 轴建立平面直角坐标系 . 根据如图所示的东直门的坐标，你能说出西直门的坐标吗？ 讲授新课 用坐标表示轴对称 一 问题 1 ： 已知点 A 和一条直线 MN ，你能画出这个点关于已知直线的对称点吗 ? 互动探究 A A′ M N ∴A′ 就是点 A 关于直线 MN 的对称点 . O （ 2 ）延长 AO 至 A′, 使 OA′=AO. （ 1 ）过点 A 作 AO ⊥ MN ， 垂足为点 O ， x y O 问题 2 ： 如图，在平面直角坐标系中你能画出点 A 关于 x 轴的对称点吗 ? A (2,3) A ′ (2,-3) 你能说出点 A 与点 A' 坐标的关系吗？ x y O 做一做： 在平面直角坐标系中画出下列各点关于 x 轴的对称点 . C (3,-4) C '(3,4) B(-4,2) B '(-4,-2) ( x , y ) 关于 x 轴 对称 ( , ) x -y 知识归纳 关于 x 轴对称的点的坐标的特点是 : 横坐标相等 , 纵坐标互为相反数 . （ 简称：横轴横相等 ） 练一练 : 1. 点 P(-5, 6) 与点 Q 关于 x 轴对称，则点 Q 的坐标为 __________. 2. 点 M( a , -5) 与点 N(-2, b ) 关于 x 轴对称，则 a =_____, b =_____. (- 5 , -6 ) -2 5 问题 3 ： 如图，在平面直角坐标系中你能画出点 A 关于 y 轴的对称点吗 ? x y O A (2,3) A ′ (-2,3) 你能说出点 A 与点 A' 坐标的关系吗？ x y O 做一做： 在平面直角坐标系中画出下列各点关于 y 轴的对称点 . C (3,-4) C '(3,4) B(-4,2) B '(-4,-2) ( x , y ) 关于 y 轴 对称 ( , ) -x y 知识归纳 关于 y 轴对称的点的坐标的特点是 : 横坐标互为相反数 , 纵坐标相等 . （ 简称：纵轴纵相等 ） 练一练 : 1. 点 P(-5, 6) 与点 Q 关于 y 轴对称，则点 Q 的坐标为 __________. 2. 点 M( a , -5) 与点 N(-2, b ) 关于 y 轴对称，则 a =_____, b =_____. (5 , 6 ) 2 -5 例 1 如图，四边形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A (-5,1), B (-2,1), C (-2,5), D (-5,4), 分别画出与四边形 ABCD 关于 y 轴和 x 轴对称的图形 . x y A B C D A ′ B ′ C ′ D ′ A ′ B ′ C ′ D ′ O 对于这类问题 , 只要先求出已知图形中的一些特殊点 ( 如多边形的顶点 ) 的对称点的坐标 , 描出并连接这些点 , 就可以得到这个图形的轴对称图形 . 知识要点 在坐标系中作已知图形的对称图形 ( 一找二描三连） 平面直角坐标系中， △ABC 的三个顶点坐标分别为 A （ 0,4 ）， B （ 2,4 ）， C （ 3 ，－ 1 ） . （ 1 ）试在平面直角坐标系中，标出 A 、 B 、 C 三点； （ 2 ）若 △ABC 与 △A'B ' C ' 关于 x 轴对称，画出 △A'B'C' ，并 写出 A' 、 B' 、 C' 的坐标 . 针对训练： x y O A (0,4) B (2,4) C (3,-1) A' (0,-4) B' (2,-4) C' (3,1) 解：如图所示： 例 2 已知点 A (2 a － b ， 5 ＋ a ) ， B (2 b － 1 ，－ a ＋ b ) ． (1) 若点 A 、 B 关于 x 轴对称，求 a 、 b 的值； (2) 若 A 、 B 关于 y 轴对称，求 (4 a ＋ b ) 2016 的值． 解： (1)∵ 点 A 、 B 关于 x 轴对称， ∴2 a － b ＝ 2 b － 1 ， 5 ＋ a － a ＋ b ＝ 0 ， 解得 a ＝－ 8 ， b ＝－ 5 ； (2)∵ A 、 B 关于 y 轴对称， ∴2 a － b ＋ 2 b － 1 ＝ 0 ， 5 ＋ a ＝－ a ＋ b ， 解得 a ＝－ 1 ， b ＝ 3 ， ∴(4 a ＋ b ) 2016 ＝ 1. 解决此类题可根据关于 x 轴、 y 轴对称的点的特征列方程 ( 组 ) 求解． 例 3 已知点 P ( a ＋ 1 ， 2 a － 1) 关于 x 轴的对称点在第一象限，求 a 的取值范围． 解：依题意得 P 点在第四象限， 解得 即 a 的取值范围是 方法总结： 解决此类题，一般先写出对称点的坐标或判断已知所在的象限，再由各象限内点的坐标的符号，列不等式 ( 组 ) 求解． 当堂练习 1. 平面直角坐标系内的点A（-1，2）与点B（-1，-2）关于（　　） A． y 轴对称 B． x 轴对称 C．原点对称 D．直线 y=x 对称 2. 在平面直角坐标系中，将点A（-1，2）向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于 x 轴的对称点C的坐标是（　　） A．（-4，-2） B．（2，2） C．（-2，2） D．（2，-2） D B 3. 设点M（ x ， y ）在第二象限，且| x |=2，| y |=3，则点M关于 y 轴的对称点的坐标是（　　） A．（2，3） B．（-2，3） C．（-3，2） D．（-3，-2） A 4. 如图，在平面直角坐标系中，点P（-1，2）关于直线x=1的对称点的坐标为（　　） A．（1，2） B．（2，2） C．（3，2） D．（4，2） C 5. 已知点 P (2 a + b ,-3 a ) 与点 P ′ （ 8, b +2). 若点 P 与点 P ′ 关于 x 轴对称，则 a =_____ ， b =_______. 若点 P 与点 P ′ 关于 y 轴对称，则 a =_____ ， b =_______. 2 4 6 -20 6. 若| a -2|+ ( b -5 ) 2 =0，则点P ( a ， b ) 关于 x 轴对称的点的坐标为 ________. ( 2 ,-5) 7. 已知 △ ABC 的三个顶点的坐标分别为 A (-3 ， 5), B (- 4 ， 1), C (-1 ， 3) ， 作出 △ ABC 关于 y 轴对称的图形 . 解：点 A (-3,5), B (-4,1), C (-1,3) ， 关于 y 轴的对称点分别为 A ′(3,5), B ′(4,1), C ′(1,3). 依次连接 A ′ B ′, B ′ C ′, C ′ A ′, 就得到 △ ABC 关于 y 轴对称的 △ A ′ B ′C′. 3 1 4 2 5 -2 -4 -1 -3 O 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 A C B B ′ A ′ C ′ x y 8. 已知点A（2 a + b ，-4），B（3， a -2 b ）关于 x 轴对称，求点C（ a ， b ）在第几象限？ 解：∵点A（2 a + b ，-4），B（3， a -2 b ）关于 x 轴对称， ∴2 a + b =3， a -2 b =4， 解得 a =2， b =-1． ∴点C（2，-1）在第四象限． 拓展提升 9. 在平面直角坐标系中，规定把一个正方形先沿着x轴翻折，再向右平移2个单位称为1次变换．如图，已知正方形ABCD的顶点A、B的坐标分别是（-1，-1）、（-3，-1），把正方形ABCD经过连续7次这样的变换得到正方形A′B′C′D′，求B的对应点B′的坐标 . 解：∵正方形ABCD，点A、B的坐标分别是 ( -1，-1 ) 、 ( -3，-1 ) ， ∴根据题意，得第1次变换后的点B的对应点的坐标为 ( -3+2，1 ) ，即 ( -1，1 ) ， 第2次变换后的点B的对应点的坐标为 ( -1+2，-1 ) ，即 ( 1，-1 ) ， 第3次变换后的点B的对应点的坐标为 ( 1+2，1 ) ，即 ( 3，1 ) ， 第n次变换后的点B的对应点的为：当n为奇数时为 ( 2n-3，1 ) ，当n为偶数时为 ( 2n-3，-1 ) ， ∴把正方形ABCD经过连续7次这样的变换得到正方形A′B′C′D′，则点B的对应点B′的坐标是 ( 11，1 ) ． 课堂小结 用坐标表示轴对称 关于坐标轴对称的点的坐标特征 在坐标系中作已知图形的对称图形 关于 x 轴对称，横同纵反；关于 y 轴对称，横反纵同 关键要明确点关于 x 轴、 y 轴对称点的坐标变化规律，然后正确描出对称点的位置