上海高考数学基础知识点精简版
高考数学基础知识点
——(备考精简版)(第二版)
目录
第一章 集合与命题、充要条件… 01
一、集合… 01
二、命题… 03
三、充要条件… 04
第二章 不等式… 05
一、不等式的基本性质… 05
二、不等式的解法… 05
三、基本不等式… 07
四、不等式的证明（理） 08
第三章 函数的基本性质 09
一、函数的有关概念… 09
二、函数的三要素… 10
三、反函数… 11
四、函数的基本性质… 12
第四章 基本初等函数 19
一、正比例函数、反比例函数及其变型… 19
二、二次函数的概念与性质… 20
三、幂函数、指数函数与对数函数… 24
四、抽象函数… 28
第五章 三角比与解斜三角形… 30
一、任意角的有关概念… 30
二、同角三角比… 31
三、三角比恒等式及其应用… 33
四、解斜三角形… 34
第六章 三角函数与反三角函数… 37
一、三角函数的图像与性质… 37
二、形如 y = Asin(w x + j) + B 的函数… 38
三、反三角函数的图像与性质… 40
四、三角方程的解法… 41
第七章 数列与数学归纳法… 43
一、数列的有关概念… 43
二、等差数列的概念与性质… 43
三、等比数列的概念与性质… 45
四、数列通项的求法… 46
五、数列求和的方法… 47
六、数列的极限… 48
七、数学归纳法… 50
第八章 算法初步… 51
一、算法的有关概念… 51
二、算法流程图… 51
第九章 行列式与矩阵初步… 54
一、行列式初步… 54
二、矩阵初步… 55
第十章 平面向量… 59
一、平面向量的概念与运算… 59
二、平面向量的数量积及其应用… 61
三、平面向量基本定理… 62
第十一章 坐标平面上的直线… 64
一、直线的倾斜角与斜率… 64
二、直线的方程… 64
三、点与直线的位置关系… 65
四、直线与直线的位置关系… 66
五、简单线性规划（文） 67
第十二章 圆锥曲线… 69
一、曲线与方程… 69
二、圆… 69
三、椭圆的性质与应用… 71
四、双曲线的性质与应用… 72
五、抛物线的性质与应用… 74
六、直线与圆锥曲线… 75
七、参数方程与极坐标初步（理） 77
第十三章 复数初步… 80
一、复数的有关概念… 80
二、复数的运算… 80
三、复数的几何意义… 81
四、实系数一元二次方程的解法… 82
第十四章 空间直线与平面… 84
一、平面及其基本性质… 84
二、空间两条直线… 84
三、空间直线与平面… 85
四、空间两个平面… 87
五、空间向量在立体几何中的应用（理） 88
第十五章 多面体与旋转体… 91
一、多面体的概念与性质… 91
二、旋转体的概念与性质… 92
三、多面体与旋转体的体积… 94
第十六章 排列组合与二项式定理 97
一、计数原理… 97
二、排列与组合… 97
三、二项式定理… 98
第十七章 概率与统计初步… 100
一、概率初步… 100
二、统计初步… 102
第一章 集合与命题、充要条件
一、集合
1.集合的有关概念
⑴集合的定义：具有某种共同的确定的属性的元素的全体。用大写的英文字母表示：A, B, C,L,
其中的元素用小写的英文字母表示： a, b, cL
⑵集合与元素的关系： x 属于 A ： x Î A ； x 不属于 A ： x Ï A ;
⑶集合中元素的基本性质：确定性、互异性、无序性；
⑷集合的分类：
①按元素个数分：有限集、无限集；空集、一元集、多元集。 空集的特点：没有元素的集合称为空集，记作Æ ；
ƹ 0, ƹ {0}, ƹ {Æ}, Æ ¹ {0, Æ}; 空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集。
②按元素性质分：数集、点集等。
A = {x | y = } 表示函数的定义域；
A = {y | y = }表示函数的值域；
A = { f (x) | f (x) = } 表示一个函数组成的集合；
A = {( x, y ) | y =
} 表示曲线上的点组成的集合；
⑸集合的表示方法：
*
①列举法：{a1, a2 , a3 L}；②描述法：{x | x 的属性} ；③字母法：N
Ì N Ì Z Ì Q Ì R Ì C；其
¹ ¹ ¹ ¹ ¹
中： N * :正整数集， N : 自然数集，
I : 虚数集， C :复数集；
2.子集的概念与性质
Z :整数集，Q : 有理数集，CRQ : 无理数集， R : 实数集，
⑴子集的定义： A Í B : x Î A Þ x Î B；
⑵集合与集合的关系：
① A 是 B 的子集： A Í B；② A 是 B 的真子集： A Ì B ； B 中至少含有一个元素不属于 A ；③
¹
A 不是 B 的子集： A Ë B；④ A 与 B 相等： A = B Û A Í B 且 B Í A ；
⑶子集的性质：
① ÆÍ A，Æ Ì A( A ¹ Æ), A Í A；
¹
② A = B ： A Í B, 且 B Í A ；
③ A Í B, B Í C Þ A Í C ；
④ A Í B Û CU B Í CU A Û A I B = A Û A U B = B Û A I CU B = Æ Û CU A U B = U ;
⑷子集个数公式：
集合 A 含有 n 个元素，则:集合 A 的子集个数为 2n ，真子集个数为 2n -1 ，非空子集个数为
2n -1，非空真子集个数为 2n - 2 。
3.集合的运算
⑴交集： A I B = {x | x Î A 且 x Î B}；
交集的性质： A I B = B I A; A I A = A; A I Æ = Æ; A I B Í A; A I B Í B;
⑵并集： A U B = {x | x Î A 或 x Î B}；
并集的性质： A U B = B U A; A U A = A; A U Æ = A; A U B Ê A; A U B Ê B;
⑶补集： CI A = {x | x Î I 且 x Ï A}；其中 I 称为全集。
补集的性质： A Í I ;CI A Í I ; A I CI A = Æ; A U CI A = I ;CI (CI A) = A;
注：补集思想在解题中有着很重要的作用；
4.Ven 图
⑴两个集合的Ven 图：
①： A I B
②： A I CI B
③： B I CI A ④： CI A I CI B
⑵三个集合的Ven 图：
①： A I B I C
②： A I B I CIC
③： A I C I CI B
④： B I C I CI A
⑤： A I CI B I CIC
⑥： B I CIC I CI A
⑦： C I CI A I CI B
⑧： CI A I CI B I CIC
5.集合运算律
⑴交换律： A I B = B I A，A U B = B U A；
⑵结合律： ( A I B) I C = A I (B I C)，( A U B) U C = A U (B U C)；
⑶分配律： ( A I B) U C = ( A U C) I (B U C)，( A U B) I C = ( A I C) U (B I C)；
⑷摩根定律： CI ( A I B) = CI A U CI B，CI ( A U B) = CI A I CI B；
二、命题 1.命题的定义：一个可以确定真假的判断语句叫作一个命题。 其形式均可改写为：“如果K ，那么K 。”或“若K ，则K 。” 2.命题的分类
⑴按正确与否分：真命题，假命题； 真假命题的判断方法：判断真命题，需要证明；判断假命题，只需举一个反例即可。
⑵按命题形式分：简单命题，复合命题； 3.复合命题的形式
⑴逻辑与： P 且 Q ，记作 P Ù Q ,一假必假；
⑵逻辑或： P 或 Q ，记作 P Ú Q ,一真必真；
⑶逻辑非：非 P ，记作 ØP ,真假互换；
4.命题的四种形式
⑴四种形式：
①原命题： p Þ q; ②逆命题： q Þ p; ③否命题： Øp Þ Øq; ④逆否命题： Øq Þ Øp;
⑵四种形式的有关结论：
①否命题是条件与结论均否，不同于命题的否定形式，即非命题；
②原命题等价于逆否命题，逆命题与否命题等价；
③原命题为真，则逆否命题为真，逆命题与否命题不一定为真；
④对于以否定形式出现的问题，通常转化为其等价命题来判定； 5.语句的否定形式
原语句
反设词
是（等于）
不是（不等于）
都是
不都是
一定是
不一定是
整数
非整数
至少有一个
一个也没有
至多有一个
至少有两个
至多有 n 个
至少有 (n +1) 个
p 或 q
Øp 且 Øq
p 且 q
Øp 或 Øq
" x 都成立
$ 某个 x 不成立
" x 都不成立
$ 某个 x 成立
其中：“ " ”为全称变量，读作“对任意的”；“ $ ”为特称变量，读作“存在”。
6.反证法原理与运用
⑴反证法的步骤：假设结论的否定形式正确，推导出矛盾，则原结论正确。
⑵矛盾的四种形式：①与生活常识矛盾；②与已知条件矛盾；③与公理矛盾；
④与定理矛盾；⑤自相矛盾；等等LL 注意：在证明有关命题时，多会用到②④⑤条。 三、充要条件
1.定义: P Þ Q ：命题 P 是命题 Q 的充分条件，命题 Q 是命题 P 的必要条件。
2.条件的四种形式
⑴ P Þ Q 且 Q P ：命题 P 是命题 Q 的充分非必要条件；
⑵ Q Þ P 且 P Q ：命题 P 是命题 Q 的必要非充分条件；
⑶ P Þ Q 且 Q Þ P ：命题 P 是命题 Q 的充分必要条件；
⑷ P Q 且 Q P ：命题 P 是命题 Q 的非充分非必要条件；
3.条件的求法
⑴求命题 P 的充分条件：求能推出命题 P 的命题；
⑵求命题 P 的必要条件：求命题 P 能推出的命题；
⑶求命题 P 的充要条件：求与命题 P 能相互推出的命题；
4.条件的集合表示
记满足命题 P 的所有元素组成集合 A ；满足命题 Q 的所有元素组成集合 B ；则：
⑴当 A Í B 时， P 是 Q 的充分条件;若 A Ì B, 则 P 是 Q 的充分非必要条件；
¹
⑵当 B Í A 时， P 是 Q 的必要条件;若 B Ì A, 则 P 是 Q 的必要非充分条件；
¹
⑶当 A = B 时， P 是 Q 的充要条件；这就意味着 P 和 Q 是可以相互推出的；
⑷当 A Ë B 且 B Ë A 时， P 是 Q 的非充分非必要条件；
注：小范围能推出大范围，大范围不能推出小范围；
第二章 不等式
一、不等式的基本性质
1.对称性： a > b Û b < a； 2.传递性： a > b, b > c Þ a > c； 3.可加性： a > b Û a + c > b + c；
4.可乘性： a > b, c > 0 Þ ac > bc; a > b, c < 0 Þ ac < bc；
5.叠加性： a > b, c > d Þ a + c > b + d , a - d > b - c；
6.叠乘性： a > b > 0, c > d > 0 Þ ac > bd , a > b ；a < b < 0, c < d < 0 Þ ac > bd , a > b ；
d c d c
1 1 1 1 1 1
7.可倒性： a > b, ab > 0 Þ < ；a > b > 0 Û 0 < < , 0 > a > b Û < < 0;
a b a b a b
8.乘方开方性： a > b > 0 Þ an > bn , n a > n b，(n Î N *);
9.分式放缩性： a > b > m > 0 Þ b - m < b < b + m ;
a - m a a + m
10.指数放缩性： 0 < a < 1 Þ a > a2 >L > an >L; a > 1 Þ a < a2
b :
当 a > 0 时， x > b ；当 a < 0 时， x < b ；
a a
当 a = 0, b ³ 0 时， x ÎÆ ，当 a = 0, b < 0 时， x Î R 。
⑵一元二次不等式的解法： f (x) = ax2 + bx + c(a > 0), x < x ；
1 2
ax2 + bx + c > 0
ax2 + bx + c ³ 0
ax2 + bx + c < 0
ax2 + bx + c £ 0
D > 0
x < x1 或 x > x2
x £ x1 或 x ³ x2
x1 < x < x2
x1 £ x £ x2
D = 0
x ¹- b
2a
x Î R
x ÎÆ
x =- b
2a
D< 0
x Î R
x Î R
x ÎÆ
x ÎÆ
⑶一元高次不等式的解法： f (x) = a0 (x - x1)(x - x2 )L(x - xn )(a0 > 0) ；
序轴标根法:
f (x) > 0：位于序轴上方的区间； f (x) < 0：位于序轴下方的区间；
注意：①各因式 x 前的系数必须为正数；
②从最大根右侧的上方画起；
③可取的根画实圈，不可取的根画空圈；
④奇重根直接穿过，偶重根反弹；俗称“奇穿偶不穿”。 2.分式不等式的解法：
f (x) > 0 Û
f (x)g(x) > 0,
f (x) ³ 0 Û ì f (x)g(x) ³ 0 ；
g(x)
g(x)
í g(x) ¹ 0
î
f (x)
f (x) - g(x)h(x)
ì( f (x) - g(x)h(x)) g(x) ³ 0
³ h(x) Û ³ 0 Û í ；
g(x)
g(x)
î g(x) ¹ 0
分式不等式也可用序轴标根法解之，在前面的基础上我们还需注意：
①不能对角相乘，只能移项通分；
②分母不能为零，分母为零处画空圈； 注意：对于可以作出图像的分式不等式，也可用数形结合法解之，方便快捷； 3.绝对值不等式的解法：定义法，平方法，公式法，零点分段讨论等。
⑴ f (x) > a(a > 0) Û
f (x) > a 或 f (x) < -a；f (x) < a(a > 0) Û -a <
f (x) < a
⑵ f (x) > g(x) Û
f (x) > g(x) 或 f (x) < -g(x)；f (x) < g(x) Û -g(x) <
f (x) < g(x)；
⑶ f (x) <
g(x) Û
f 2 (x) < g 2 (x);
f (x) >
g(x) Û
f 2 (x) > g 2 (x);
⑷ f (x) ± g(x) < h(x)：令 f (x) = 0，g(x) = 0，得到 x = x1, x2;
将 x1, x2 标于序轴得到三个区间，分别于这三个区间进行讨论去绝对值符号。
4.无理不等式的解法：
ì
f (x) ³ 0
ì f (x) ³ 0
⑴ > g(x) Þ ï
g(x) ³ 0
ì f (x) ³ 0
或 ;
< g(x) Þ ï g(x) > 0 ；
í í < í
î
î
ï f (x) > g 2 (x)
î g(x) 0
ï f (x) < g 2 (x)
ì
⑵ ³ g(x) Þ ï
f (x) ³ 0
g(x) > 0
ì f (x) ³ 0
或 ;
ì
£ g(x) Þ ï
f (x) ³ 0
g(x) ³ 0 ；
í í £ í
î
î
ï f (x) ³ g 2 (x)
î g(x) 0
ï f (x) £ g 2 (x)
注意：对于根号下是一次或二次的无理不等式，我们也可以用解析法解之，方便快捷； 5.不等式的恒成立、能成立、恰成立问题：分离变量
⑴不等式的恒成立问题：
①不等式 M (t) <
f (x) 在区间 D 上恒成立 Û 在区间 D 上， M (t) <
f (x)min ；
②当 x Î D 时， f (x) 的值域为 (m, n) ，则：不等式 M (t) < f (x) 在区间 D 上恒成立
Û 在区间 D 上， M (t) £ m. ；
⑵不等式的能成立问题（有解问题）：
①不等式 M (t) <
f (x) 在区间 D 上能成立（有解） Û 在区间 D 上， M (t) <
f (x)max ；
②关于 x 的方程的有解无解问题：
关于 x 的方程 M (t) = f (x) 在区间 D 上有解 Û 在区间 D 上， M (t) Î f (x) 的值域；
关于 x 的方程 M (t) = f (x) 在区间 D 上无解 Û 在区间 D 上， M (t) Ï f (x) 的值域；
记住：“恒成立问题，有解问题，分离变量”。
⑶不等式的恰成立问题：
不等式 f (x) > M (t) 在区间 D 上恰成立 Û 不等式 f (x) > M (t) 的解集为区间 D ；
三、基本不等式
1.基本不等式
⑴ a, b Î R, a2 + b2 ³ 2 ab ³ 2ab （当且仅当 a = b 时取等号）；
⑵ a, b Î R+, a + b ³ 2
（当且仅当 a = b 时取等号）；
⑶ a, b Î R+, a
2 + b2
³ ( a + b )2 ³ ab （当且仅当 a = b 时取等号）；
2 2
⑷ a, b, c Î R+, a + b + c ³ 33 abc （当且仅当 a = b = c 时取等号）；
2.极值定理：已知 a, b 都是正实数，则：
①若 ab 是定值 p ，则当 a = b 时， a + b 有最小值 2 ；
2
②若 a + b 是定值 q ，则当 a = b 时， ab 有最大值 q ；
4
简言之：一正二定三相等，和定积最大，积定和最小。 3.均值不等式：调和平均数 £ 几何平均数 £ 算术平均数 £ 平方平均数：
⑴若 a, b Î R+, 则： 2 £ £ a + b £
；（当且仅当 a = b 时取等号）；
1 + 1 2
a b
⑵若 a , a ,L, a
Î R+, n Î N *, 则：
1 2 n
n a + a +L+ a
1 + 1 +L+ 1
£ £ 1 2 n £ ；
n
a1 a2 an
（当且仅当 a1 = a2 =L = an 时取等号）；
4.绝对值不等式：
若 a, b, c Î R, 则：|| a | - | b ||£| a ± b |£| a | + | b |；其中等号成立的条件为：
①当且仅当 ab ³ 0 时， || a | - | b ||=| a - b |, a + b = a + b ;
②当且仅当 ab £ 0 时， || a | - | b ||=| a + b |, a - b = a + b ;
推广： a , a ,L, a Î R, n Î N *, 则： a + a +L+ a £ a + a +L+ a .
1 2 n 1 2 n 1 2 n
（当且仅当 a1, a2 ,L, an 两两非异号时等号成立）。
注意：在很多时候，我们可以利用不等式的取等条件做题； 四、不等式的证明：
1.比较法：
⑴作差法：作差与 0 比较大小，常用于求证的不等式两端是多项式或分式的形式；
⑵作商法：作商与1比较大小，常用于求证的不等式两端是乘积形式或幂指数式； 2.分析法：“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。
分析法论证“若 A 则 B ”这个命题的模式是：为了证明命题 B 为真，
需证命题 B1 为真，从而有……,需证命题 B2 为真，从而又有……,需证命题 A 为真 而已知 A 为真，故 B 必真。 3.综合法：“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。
4.换元法：常用于条件不等式的证明；
⑴“1”的妙用：多用于整式与分式的相互证明等，任意常数都可以比例地换成 1；
⑵三角换元法：如已知 x 2 + y 2 = a 2 ，可设 x = a cosq , y = a sinq ；
5.放缩法：把不等式的一边适当放大或缩小，利用不等式的传递性来证明不等式的方法，放缩 的标准是应该有利于计算的顺利进行； 6.反证法：凡是"至少"、"唯一"或含有否定词的命题，适宜用反证法。
一、函数的有关概念
第三章 函数的基本性质
1.函数的定义： f (x) : x ® y, x Î D, y Î E, D：定义域，必须为非空数集； E：值域，必须为非 空数集； f (x)：对应法则；一对一，多对一，不能一对多。
2.函数的三要素：定义域，值域，对应法则；对应法则是核心。
⑴定义域的表示方法：集合表示法、区间表示法；
⑵函数的表示方法：解析法、图像法、列表法。
⑶函数相同：定义域、值域、解析式均相同； 3.函数的图像
⑴作图方法：描点法
步骤：列表 ® 描点 ® 连线（平滑曲线）
⑵函数图像的变换：只对单个的 x 或 y 有效；
①平移变换：左加右减，上加下减；
横向平移： a > 0;
向左平移a个单位
¬¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾®
y = f (x) y =
向右平移a个单位
f (x + a)；
¬¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾® ；
向上平移b个单位
纵向平移： b > 0; y = f (x) y = f (x) + b
向下平移b个单位
沿向量平移： a > 0，b > 0;
y = f (x) ¾沿¾向¾量（¾a,b）¾平¾移® y =
f (x - a) + b ；
②伸缩变换： 横向伸缩： a > 1 ； y =
横坐标缩小为原来的1
f (x) ¾¾¾¾¾¾a¾® y =
f (ax)；
纵向伸缩： b > 1； y = f (x) ¾纵¾坐¾标扩¾大为¾原来¾的b¾倍® y = bf (x)；
同时伸缩： b > 1； y = f (x) ® y = bf (ax), a > 1, b > 1：先将 y = f (x) 图像的横坐标缩小为原
来的 1 ，得到 y = f (ax) 的图像，再将 y = f (ax) 图像的纵坐标扩大为原来的 b 倍，得到
a
y = bf (ax) 的图像。
③翻折变换：
y = f (x) ® y =
f ( x )：俗称“去左右翻”
将 y = f (x) 的 y 轴左侧的图像去掉，再将 y 轴右侧的图像翻转到 y 轴左侧，与 y 轴右侧原来
的图像所组成的图像，即为函数 y =
f ( x ) 的图像；
y = f (x) ® y = f (x) ：俗称“下翻上”
将 y = f (x) 的 x 轴下方的图像翻转到 x 轴的上方，与 x 轴上方原来的图像所组成的图像，即为
y = f (x) 的图像；
二、函数的三要素
1.函数定义域的求法
⑴分母 ¹ 0 ; x0 中 x ¹ 0 ；偶次根号下 ³ 0 ; log 后面 > 0 ； log 底数要大于零且不等于1;
⑵四则运算得到的函数的定义域：每个函数定义域的交集;
⑶复合函数的定义域： y =
f (x) 的定义域 « y =
f [ g(x)] 的定义域；
①已知 y =
f (x) 的定义域为 D ，则 y = f [ g(x)] 的定义域为：{x | g(x) Î D}.
②已知 y = f [ g(x)] 的定义域为 D ，则 y =
f (x) 的定义域为；{t | t = g(x), x Î D}.
2.函数值域的求法：基本方法：换元法、数形结合法
⑴直接法：
f (x) ³ 0,[ f (x)]2 ³ 0,
³ 0, ax > 0, sin x Î éë-1,1], cos x Î éë-1,1]，
arcsin x Î é- p , p ù，arccos x Î[0,p ]，arctan x Îæ - p , p ö，arc cot x Î(0,p )；
ëê 2 2 úû
ç 2 2 ÷
è ø
⑵配方法：二次函数 f (x) = ax2 + bx + c 及可化为其形式的函数，配方后运用数形结合法；
⑶分离常数法：一次分式函数 f (x)＝
结合法；
k
x - a
+ b 及可化为其形式的函数，分离常数后运用数形
⑷配凑法：用于定义域不为 R 的二次分式形式的函数，化为耐克函数或伪耐克函数；
⑸基本不等式法：耐克函数 f (x)＝x + a (a > 0) 及可化为其形式的函数；
x
⑹ D 法：用于定义域为 R 的二次分式形式的函数：
⑺反函数法：一次分式函数 f (x)＝
等；尽量少使用；
k + b x - a
及可化为其形式的函数，不含定义域的指数函数
⑻单调性法：单调性可以确定的函数，如 f (x)＝x - a (a > 0) ；
x
,
⑼三角代换法： x 与a 形成单调关系；如 x Î[-1,1], 则可令 x = sin a ,a Î é- p p ù；
ëê 2 2 úû
3.函数解析式的求法
⑴换元法：已知 f [ g(x)]的表达式，求 f (x) 的表达式。
令 t = g(x) Þ x = g -1(t) 代入化简得到 f (t)，即为 f (x).
⑵配凑法：已知 f [ g(x)]的表达式，求 f (x) 的表达式。
将 f [ g(x)]右边的表达式配凑出 g(x) 的形式，然后直接将 g(x) 换为 x 即得 f (x) 的表达式。
⑶待定系数法：已知 f (x) 的函数类型，可设 f (x) 的表达式，解之；多用于一次、二次函数。
⑷区间转移法：求什么范围，就设什么范围，或用图像法；
①已知函数的奇偶性：变号；
y = f (x), x Î éëa, b], f (-x) = - f (x) 或 f (-x) =
②已知函数的周期性：加减 n 倍周期
f (x) ® y = g(x), x Î ëé-b, -a] ;
y = f (x), x Î éëa, b], f (x + T ) = f (x) ® y = g(x), x Î éëa + kT , b + kT ], k Î Z ;
③已知函数的对称轴： 2 倍对称轴- x
y = f (x), x Î éëm, n], f (x) 的对称轴为 x = a ® y = g(x), x Î éë2a - n, 2a - m]；
④已知函数的对称中心： 2 倍对称中心横坐标- x
y = f (x), x Î éëm, n], f (x) 的对称中心为 (a, b) ® y = g(x), x Î éë2a - n, 2a - m]；
⑤已知函数的其他关系式：
ë
y = f (x), x Î éa, b], 如 f (x) 满足： f (x +1) = f (x) - 3
2 f (x) +1
® y = g(x), x Î éëa +1, b +1]；
⑸高斯消元法：已知函数自身关系式求函数解析式，建立方程组
① f (x) + kf (-x) = g(x)(g(x) 已知， k ¹ 1) ® f (x) 的表达式;
1
② f (x) + kf ( ) = g(x)(g(x) 已知， k ¹ 1) ® f (x) 的表达式;
x
③已知 f (x) 为奇函数， g(x) 为偶函数：
f (x) + kg(x) = h(x)(h(x) 已知 ) ® f (x), g(x) 的表达式;
三、反函数
1.反函数存在的前提条件：
⑴ y =
f (x) 在区间 M 上存在反函数的充要条件是 y =
f (x) 在区间 M 上一对一;
⑵ y =
f (x) 在区间 M 上存在反函数的充分非必要条件是 y =
f (x) 在区间 M 上单调;
即：区间 M 上的单调函数必存在反函数，函数在区间 M 上存在反函数不一定单调；
2.求反函数的步骤：
⑴ y = f (x) 在区间 M 上存在反函数；
⑵ x Î M ® y Î E；
⑶ y = f (x) ® x =
f -1( y)；
⑷交换 x, y 的位置得到 y = f -1(x), x Î E；
3.互为反函数的函数图像之间的关系：充要条件。
⑴ y = f (x), x Î M 的图像与 y = f -1(x), x Î E 的图像关于 y = x 对称；
⑵ y =
f (x) 的图像与 y = g(x) 的图像关于 y = x 对称，则 g(x) = f -1(x)；
4.原函数与反函数的性质：
⑴两个恒等式： x =
f -1 [ f (x)], y =
f éë f -1( y)ùû ;
⑵原函数与反函数定义域、值域刚好相反;
⑶原函数过 (a, b) ，则反函数过 (b, a) ；
⑷原函数与反函数在对应区间上单调性相同；
⑸奇函数不一定存在反函数，若存在反函数，其反函数仍为奇函数； 偶函数不一定存在反函数，定义域为非单元素集的偶函数一定不存在反函数；
存在反函数的偶函数有且只有一类： f (x) = c, x = 0, c 为常数；
⑹周期函数一定不存在反函数；
⑺自反函数：反函数是其自身 Û 函数的图像关于 y = x 对称；
如 y = x, y = -x + b, y =
k
x - a
+ a 等；
⑻原函数与反函数图像的交点不一定都在直线 y = x 上。
当函数单调递增时，原函数与反函数的交点一定在 y = x 上；其他情况，不一定在 y = x 上。
x
æ 1 ö æ 1 1 ö æ 1 1 ö
如：互为反函数的 y = log 1 x 与 y = ç ÷ 均过 ç , ÷ , ç , ÷ , 但都不在 y = x 上。
16
5.复合函数反函数的求法： y =
f (x)、g ( x) 的反函数存在；
è 16 ø
f éë g ( x)ùû
è 4 2 ø è 2 4 ø
x Î D Þ g(x) ÎU Þ y Î E；
y = f éë g ( x)ùû Þ g ( x) = f -1( y) Þ x = g -1 éë f -1( y)ùû；
交换 x、y 的位置得到反函数 y = g -1 éë f -1(x)ùû，x Î E ； 注意： y = f éë g ( x)ùû 的反函数不是 y = f -1 éë g ( x)ùû； 四、函数的基本性质
1.函数的单调性
⑴函数单调性的定义： y =
f (x), "x1、x2 Î[a , b], x1 < x2 ；
f (x1) <
f (x1) >
f (x2 ) Û
f (x2 ) Û
f (x) 在区间[a , b]上单调递增；
f (x) 在区间[a , b]上单调递减；
⑵函数单调性的判断与证明方法：
①定义法： "x1、x2 Î[a , b]，且x1 < x2；作差 f (x1) - f (x2 ) 与 0 比较；
在 f (x) 恒正或恒负时，亦可作商
f (x1) 与1比较。
f (x2 )
一般步骤：①取值；②作差；③变形；④定号；⑤结论。
②图像法：画出已知函数的图像，由观察得出函数的单调区间；
③利用已知函数的单调性：基本初等函数的单调性必须牢记；
⑷函数单调性的一些性质：
①函数的单调性是函数的局部性质，而单调函数具有全局性；
②函数单调性的基本应用：
③ f (x) 在区间 D 上单调，则其在 D 的任一子区间上单调性与其相同；
④对称中心两侧对应区间上单调性相同，对称轴左右两侧对应区间上单调性相反。 特别地：奇函数在 y 轴左右两侧单调性相同，偶函数在 y 轴左右两侧单调性相反。
⑤函数四则运算等的单调性：
f (x) , g(x) ® f (x) + g(x) ；f (x) ¯, g(x) ¯® f (x) + g(x) ¯；
f (x), g(x) Î R+；f (x) , g(x) ® f (x)g(x) ；f (x) ¯, g(x) ¯® f (x)g(x) ¯；
⑥函数与反函数的单调性：互为反函数的两个函数在相对应的区间上单调性相同；
⑸分段函数的单调性：分段判断，注意是否连续；
ìï f (x), x Î[a, b]
ïî
F (x) = í g(x), x Î(b, c] , a < b < c; 若 F (x) 在区间[a, b] 上单调递增，在 (b, c] 上也单调递增
F (x) 在区间 [a, c] 上单调递增；反之： F (x) 在区间 [a, c] 上单调递增 Þ ① F (x) 在区间
[a, b] 上单调递增，②在(b, c] 上也单调递增，③ f (b) £ g(b) ；
⑹复合函数的单调性：同增异减；
注意： x, u 范围的相互制约；
2.函数的奇偶性
⑴函数奇偶性的定义：
前提： y = f (x) 的定义域 D 关于原点对称；
"x Î D, f (-x) = - f (x) Û y = f (x) 为奇函数；
"x Î D,
f (-x) =
f (x) Û y = f (x) 为偶函数；
⑵函数奇偶性的等价定义：
前提： y = f (x) 的定义域 D 关于原点对称；
"x Î D, f (x) + f (-x) = 0 Û y = f (x) 为奇函数；
"x Î D, f (x) - f (-x) = 0 Û y = f (x) 为偶函数；
⑶函数奇偶性的判断与证明方法:
①定义法：首先求出 y = f (x) 的定义域 D ，判断其是否关于原点对称；
②图像法：看 y = f (x) 的图像是否关于原点或 y 轴对称；
⑷奇函数、偶函数的一些性质：
①奇偶函数图像的特点：
奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于 y 轴对称（这是充要条件）；
②奇偶函数的常用性质：
如果奇函数 y = f (x) 的定义域中包含 0 ，则必有 f (0) = 0 ，反之不成立；
如果函数 y =
f (x) 为偶函数，则必有 f (x) =
f (-x) =
f ( x ) ；
既是奇函数又是偶函数的函数有且只有一类： f (x) º 0 ， x Î D （ D 必须关于原点对称）；
③奇偶函数反函数的奇偶性：见反函数。
④定义域关于原点对称的任意一个函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和；
已知 y =
f (x) 的定义域关于原点对称，则： f (x) =
f (x) - f (-x) +
f (x) + f (-x) .
其中，
f (x) - f (-x) 2
为奇函数，
f (x) + f (-x) 2
2 2
为偶函数。
⑤奇偶函数的四则运算所得函数的奇偶性：
奇函数 ± 奇函数=奇函数，偶函数 ± 偶函数=偶函数；奇函数 ± 偶函数：皆有可能； 奇函数 ´(¸) 奇函数=偶函数，奇函数´(¸) 偶函数=奇函数，偶函数´(¸) 偶函数=偶函数；
⑥ y = f (x) 与 y = f (x + a) 奇偶性的特点比较：
y = f (x) 为奇函数 Û
f (-x - a) = - f (x + a) Û
f (x) 的图像关于 (0, 0) 对称；
y = f (x) 为偶函数 Û
f (-x - a) =
f (x + a) Û
f (x) 的图像关于 y 轴对称；
y = f (x + a) 为奇函数 Û
f (-x + a) = - f (x + a) Û
f (x) 的图像关于 (a, 0) 对称；
y = f (x + a) 为偶函数 Û
f (-x + a) = f (x + a) Û
f (x) 的图像关于直线 x = a 对称；
⑦多项式函数的奇偶性：如果奇次项系数为零，则为偶函数；偶次项系数为零，则为奇函数；
⑸分段函数的奇偶性：分段计算，整体比较； 3.函数的周期性
⑴函数周期性的定义：
y = f (x) 满足 f (x + T ) = f (x)(T > 0) Þ y = f (x) 为周期函数，且周期为 T ； kT (k Î Z ) 也
是它的一个周期，kT (k Î Z ) 中最小的正数称为 y = f (x) 的最小正周期，最小正周期简称周期；
⑵函数周期性的等价定义：
① y =
f (x) 满足 f (x - T ) =
f (x)(T > 0) Þ y =
f (x) 为周期函数，且周期为 T ；
② y =
f (x) 满足 f (-x ± T ) =
f (-x)(T > 0) Þ y =
f (x) 为周期函数，且周期为 T ；
③ y = f (x) 满足 f (tx ± T ) = f (tx)(T > 0, t ¹ 0) Þ y = f (x) 为周期函数，且周期为 T ；
y = f (tx) 也为周期函数，且周期为 T ；
t
⑶函数周期性的证明方法：定义法；证明最小正周期时，还需用到反证法；
⑷函数周期性的一些性质：
①若 y =
f (x) 满足 f (x + a) =
f (x - a)(a ¹ 0), 则 y =
f (x) 的周期为 T = 2 a ；
②若 y =
f (x) 满足 f (x + a) = - f (x)(a ¹ 0), 则 y =
f (x) 的周期为 T = 2 a ；
③若 y =
f (x) 满足 f (x + a) = ±
1
f (x)
(a ¹ 0), 则 y =
f (x) 的周期为 T = 2 a ；
④若 y =
f (x) 满足 f (x + a) =
1
1- f (x)
(a ¹ 0), 则 y =
f (x) 的周期为 T = 3 a ；
⑤若 y =
f (x) 满足 f (x + a) =
f (x) -1 (a ¹ 0), 则 y =
f (x)
f (x) 的周期为 T = 3 a ；
⑥若 y =
f (x) 满足 f (x + a) = 1+ f (x) (a ¹ 0), 则 y =
1- f (x)
f (x) 的周期为 T = 4 a ；
但是，若 y =
f (x) 满足 f (x + a) = 1- f (x) (a ¹ 0), 则 y =
1+ f (x)
f (x) 的周期为 T = 2 a ；
4.函数的对称性
⑴函数对称性的定义：
①轴对称：如果函数 y =
f (x) 的图像绕直线 l 翻转180° 以后还是原来的图像，则称 y =
f (x)
的图像关于直线 l 轴对称，直线 l 称为函数 y = f (x) 的对称轴。
②中心对称：如果函数 y =
f (x) 的图像绕点 A 旋转180° 以后还是原来的图像，则称 y =
f (x)
的图像关于点 A 中心对称，点 A 称为函数 y = f (x) 的对称中心。
⑵对称点的求法：
① ( x, y ) 关于 x 轴对称的点为( x, - y ) ；
② ( x, y ) 关于 y 轴对称的点为(-x, y ) ；
③ ( x, y ) 关于原点对称的点为(-x, - y ) ；
④ ( x, y ) 关于直线 x = a 对称的点为 (2a - x, y )；
⑤ ( x, y ) 关于直线 y = b 对称的点为 ( x, 2b - y ) ；
⑥ ( x, y ) 关于点 (a, b) 对称的点为(2a - x, 2b - y ) ；
⑦ ( x, y ) 关于直线 y = x 对称的点为( y, x) ；
⑧ ( x, y ) 关于直线 y = -x 对称的点为(- y, -x) ；
⑨ ( x, y ) 关于直线 y = x + b 对称的点为( y - b, x + b) ；
⑩ ( x, y ) 关于直线 y = -x + b 对称的点为 (- y + b, -x + b) ；
注意：⑦⑧⑨⑩的记忆方法只适用于对称轴的斜率为 ±1时。
⑶函数对称性的证明方法：
转化为点对称问题，即证明函数图像上任意一点的对称点依然在该函数的图像上；
⑷函数对称性的一些性质：
㈠一个函数的对称性：
① y =
f (x) 满足 f (2a - x) =
f (x) Û
y = f (x) 的图像关于直线 x = a 对称；
推广： y =
f (x) 满足 f (a - x) =
f (b + x) Û
y = f (x) 的图像关于直线 x = a + b 对称；
2
② y =
f (x) 满足 f (2a - x) + f (x) = 2b Û
y = f (x) 的图像关于点 (a, b) 对称；
推广： y =
f (x) 满足 f (a + x) + f (b - x) = c Û
y = f (x) 的图像关于点æ a + b , c ö 对称；
ç 2 2 ÷
è ø
㈡两个函数的对称性：
①函数 y = f (x) 与函数 y = f (2a - x) 的图像关于直线 x = a 对称；
推广：函数 y = f (a + x) 与函数 y = f (b - x) 的图像关于直线 x = b - a 对称；
2
②函数 y = f (x) 与函数 y = 2b - f (2a - x) 的图像关于点 (a, b) 对称；
推广：函数 y = f (a + x) 与函数 y = c - f (b - x) 的图像关于点æ b - a , c ö 对称；
ç 2 2 ÷
è ø
⑸函数对称性与周期性的关系：
①若 f (x) 关于直线 x = m, x = n(m ¹ n) 对称，则 f (x) 必为周期函数，且周期为 T = 2 m - n ;
特别地：偶函数 f (x) 关于直线 x = a(a ¹ 0) 对称，则 f (x) 必为周期函数，且周期为T = 2 a ;
②若 f (x) 关于点 (m, t), (n, t)(m ¹ n) 对称，则 f (x) 必为周期函数，且周期为 T = 2 m - n ;
特别地：奇函数 f (x) 关于点 (a, 0)(a ¹ 0) 对称，则 f (x) 必为周期函数，且周期为 T = 2 a ;
③若 f (x) 关于直线 x = m 和点 (n, t)(m ¹ n) 对称，则 f (x) 必为周期函数，且周期为
T = 4 m - n ;
特别地：奇函数 f (x) 关于直线 x = a(a ¹ 0) 对称，则 f (x) 必为周期函数，且周期为T = 4 a ;
5.函数的零点：计算器（TABLE）
⑴函数零点的定义：
函数 y =
f (x) 在 x = x0 处，使得 f (x0 ) = 0 ，则称 x = x0 为函数 y =
f (x) 的一个零点。
⑵零点存在定理：
若连续函数 y =
f (x) 满足 f (a) f (b) < 0 ，且 a < b ，则
y = f (x) 在区间 (a, b) 上至少存在一个
零点，即方程 f (x) = 0 在区间 (a, b) 上至少有一个实数根。
⑶二分法求函数零点近似值的定义：
函数 y = f (x) 在区间[a, b] 上连续，且 f (a) f (b) < 0 ，由零点存在定理，可通过不断的将函数
的零点所在区间一分为二，使区间的两个零点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法，称 为“二分法”。
⑷二分法求函数零点近似值的步骤：
①确定区间，验证 f (a) f (b) < 0 ，给定一个精度 e ；
②求区间 (a, b) 的中点，记为 x1 ；
③计算 f (x1) 的值，
若 f (x1) = 0 ，则 x1 即为函数 y = f (x) 的零点 x0 ；
若 f (a) f (x1) < 0 ，则函数 y = f (x) 的零点 x0 Î(a, x1) ；
若 f (x1) f (b) < 0 ，则函数 y = f (x) 的零点 x0 Î(x1, b) ；
④当 f (x1) ¹ 0 时，将 x0 所在的新区间记为 (a1, b1) ，判断 b1 - a1
< e 是否成立
若成立，则得到零点 x0 = a1 或 x0 = b1 ； 若不成立，则求区间 (a1, b1) 的中点，记为 x2 ；
重复以上步骤，直到 b - a < e , k Î N * 成立，则得到零点 x = a 或 x = b ；
k k 0 k 0 k
第四章 基本初等函数
一、正比例函数、反比例函数及其变型
1.一次分式函数： y =
k
x - a
+ b(k ¹ 0)
⑴定义域： x Î(-¥, a ) U (a, +¥)，值域： y Î(-¥, b) U (b, +¥) ；
⑵图像：由 y = k (k ¹ 0) 的图像先向右平移 a 个单位，再向上平移 b 个单位得到；
x
⑶单调性：当 k > 0 时，在 (-¥, a) ¯ ， (a, +¥) ¯ ；当 k < 0 时，在 (-¥, a) ， (a, +¥) ；
⑷奇偶性：当 a = 0, b = 0 时为奇函数，其他情况下为非奇非偶函数；
⑸对称性：对称轴： y - b = ±( x - a) ；对称中心： (a, b)；渐近线：直线 x = a 、直线 y = b ；
⑹区间最值： f (x) =
k
x - a
+ b(k > 0), x Î[m, n] 的值域：
①当 a < m < n 时： f (x)max = f (m), f (x)min =
f (n);
②当 m < a < n 时： f (x) Î(-¥, f (m)]U[ f (n), +¥);
③当 m < n < a 时： f (x)max = f (m), f (x)min =
f (n);
注意：函数 y = cx + d (a ¹ 0) 的对称中心为 æ - b , c ö; 此性质可以用来快速画图。
ax + b
ç a a ÷
è ø
2.耐克函数： y = x + a (a > 0) ，也称双勾函数；
x
û ë
⑴定义域： x Î(-¥,0) U (0, +¥) ，值域： y Î(-¥, -2
⑵图像：一三象限的双耐克图样；关于原点对称；
ù U é2 , +¥) ；
⑶单调性： (-¥,-
ù ，é- a，0) ¯ ，(0，a ù ¯ ，é
a，+ ¥) ；
û ë û ë
⑷奇偶性：奇函数，图像关于原点对称；
⑸对称性：对称中心： (0, 0) ；对称轴： y = (1±
)x; 渐近线： y 轴、直线 y = x ；
⑹区间最值： f (x) = x + a (a > 0), x Î[m, n], m, n > 0 的最值：
x
①当 < m 时： f (x)max = f (n), f (x)min =
f (m);
②当 m £ £ n 时： f (x)max = max{ f (n), f (m)}, f (x)min =
f ( ) = 2 ;
③当 > n 时： f (x)max = f (m), f (x)min =
f (n);
3.伪耐克函数： y = x - a (a > 0), 也称两撇函数：
x
⑴定义域： x Î(-¥,0) U (0, +¥) ，值域： y Î R ；
⑵图像：如图所示，关于原点对称；
⑶单调性： (-¥,0) ， (0, +¥) ；
⑷奇偶性：奇函数，图像关于原点对称；
⑸对称性：对称中心： (0, 0) ；渐近线： y 轴、直线 y = x ；
⑹区间最值： f (x) = x - a (a > 0), x Î[m, n] 的最值：
x
①当 0 < m < n 时： f (x)max = f (n), f (x)min =
f (m);
②当 m < 0 < n 时： f (x) Î(-¥, f (m)]U[ f (n), +¥);
③当 m < n < 0 时： f (x)max = f (n), f (x)min =
f (m);
注意：“一次分式函数”、“耐克函数”与“伪耐克函数”都不是标准名称，在数学上它们统称为 “双曲线型函数”，它们都具有双曲线的性质，比如顶点、焦点、实轴、虚轴等； 二、二次函数的概念与性质
1.表示形式
⑴一般式： f (x) = ax2 + bx + c(a ¹ 0)；
⑵顶点式： f (x) = a(x - k )2 + h(a ¹ 0)；
⑶两根式： f (x) = a(x - x1)(x - x2 )(a ¹ 0)；
2.图像的性质
⑴二次函数 y = ax2 + bx + c(a ¹ 0), x Î R 的图像是一条抛物线；
2 b 4ac - b2
配方得： y = a(x +
b )2 + 4ac - b
；对称轴为： x =- b ，顶点坐标为： (- ， )；
2a 4a 2a 2a 4a
⑵单调性与最值：
ë
æ b ù é b ö
4ac - b2
①当 a > 0 时，开口向上，下凸， ç -¥,-
è
2a ûú ¯ ，ê-
，+ ¥÷ ，f (x)min = ；
2a ø 4a
ç
②当 a < 0 时，开口向下，上凸， æ -¥,-
è
b ù é
ë
2a ûú ，ê-
b ，+ ¥ö ¯，f (x) =
÷ max
2a ø
4ac - b2
；
4a
③ a 越大，开口越小，图像越陡峭；
3.一元二次方程根的情况讨论：
ax2 + bx + c = 0(a ¹ 0) ， D= b2 - 4ac
⑴求根公式：
x1,2 =
-b ±
2a
ìx + x = - b
ï
a
1 2
í
⑵韦达定理： Þ x - x = ,
c 1 2
ï
îï x1x2 = a
⑶一元二次方程根的情况讨论：
① D > 0 Û 方程有两个不同的实数根 Û 抛物线与 x 轴有两个交点；
② D = 0 Û 方程有两个相同的实数根 Û 抛物线与 x 轴有一个交点；
③ D< 0 Û 方程没有实数根 Û 抛物线与 x 轴没有交点；
4.一元二次不等式解集确定时的充要条件
ì a > 0
ï
① ax2 + bx + c > 0 解集为 (-¥, m) U (n, +¥) Û íb = -a(m + n);
ï
î
ì a < 0
ï
c = amn
② ax2 + bx + c > 0 解集为 (m, n) Û íb = -a(m + n);
î
ï c = amn
③ ax2 + bx + c > 0 解集为 R Û ìa > 0 ; ax2 + bx + c > 0 解集为Æ Û ìa < 0 ;
î
î
íD< 0 íD £ 0
④ ax2 + bx + c ³ 0 解集为 R Û ìa > 0 ; ax2 + bx + c ³ 0 解集为Æ Û ìa < 0 ;
î
î
íD£ 0 íD < 0
íD< 0
⑤ ax2 + bx + c ¹ 0 解集为 R Û ìa ¹ 0 ;
î
注意：考试中，不要忘了讨论 a = 0 的情形，因为它也有可能符合题意。
5.闭区间[m, n](m < n)上的最值问题：
开口向上：令 y = f (x) = ax2 + bx + c(a > 0)，x Î[m, n]；
b
①当 - < m 时： ymin = f (m), ymax =
2a
f (n)；
②当 - b Î ém, m + n ö 时： y
= f (-
b ) = 4ac - b , y
= f (n)；
ø
2a êë 2 ÷
min
2
2a 4a
max
③当 - b Î é m + n , n ö 时： y
= f (-
b ) = 4ac - b , y
= f (m)；
ø
2a êë 2 ÷
b
min
2
2a 4a
max
④当 - ³ n 时： ymin = f (n), ymax = f (m)； 2a
注意：当求最大值时，只需分两种情况讨论；当求最小值时，只需分三种情况讨论。
6.二次函数零点分布情况讨论： f (x) = ax2 + bx + c(a > 0), x < x
1 2
⑴韦达定理法：考虑以下三方面的要求：判别式，两根之和，广义的两根之积；一般用于只有 一个端点的情况；
① D< 0 Þ y = f (x) 没有零点，此时看是否符合题意；
② D= 0 Þ y =
③ D> 0 Þ y =
f (x) 有一个零点 x =- b ，此时看所求出的根是否符合题意；
2a
f (x) 有两个零点 x = x1，x = x2 ，
ì D> 0
ï
ì D> 0
m < x1 < x2 Û í
x1 + x2 > 2m
; x1 < m < x2 Û í(x
- m)(x
;
- m) < 0
î 1 2
ï(x - m)(x - m) > 0
î 1 2
ì
1 2 í
x < x < m Û ï
D> 0
x1 + x2 < 2m ;
î 1 2
ï(x - m)(x - m) > 0
⑵数形结合法：考虑以下四方面的要求：开口方向，判别式，对称轴，端点符号；
在开口向上的情况下，讨论：
① D< 0 Þ y = f (x) 没有零点，此时看是否符合题意；
② D= 0 Þ y =
③ D> 0 Þ y =
f (x) 有一个零点 x =- b ，此时看所求出的根是否符合题意；
2a
f (x) 有两个零点 x = x1，x = x2 ，
ì D> 0 ì D> 0
ï ï
m < x < x Û ï- b > m x < m < x Û f m < x < x < m Û ï- b
< m；
1 2 í 2a
; 1 2
( ) 0; 1 2
í 2a
ï ï
ïî f (m) > 0 ïî f (m) > 0
-
>
ì b m + n
ï
ì D> 0
ï
ï 2a 2
ïm < - b < n
m < x1 < n < x2 Û í
f (m) > 0 ; m < x1 < x2 < n Û í
2a ；
ï f (n) < 0
ï f (m) > 0
ï ï
î
ì f (m) < 0
ïî
-
ì b
ï 2a
ï
f (n) > 0
< m + n
2
î ï
x1 < m < n < x2 Û í f (n) < 0 ; x1 < m < x2 < n Û í
ï
î
f (m) < 0 ；
f (n) > 0
7.二次函数有关的恒成立问题讨论：
⑴实数域上二次函数恒成立问题： (a ¹ 0)
① ax2 + bx + c > 0 恒成立 Û ìa > 0 ; ax2 + bx + c ³ 0 恒成立 Û ìa > 0 ；
î
î
íD< 0 íD £ 0
② ax2 + bx + c < 0 恒成立 Û ìa < 0 ; ax2 + bx + c £ 0 恒成立 Û ìa < 0 ；
î
î
íD< 0 íD £ 0
③ ax2 + bx + c ¹ 0 恒成立 Û D < 0 ；
⑵定义域为 R 的问题 (a ¹ 0)
f (x) =
的定义域为 R Û ìa > 0 ；
íD £ 0
î
íD < 0
f (x) = lg(ax2 + bx + c) 的定义域为 R Û ìa > 0 ；
î
f (x) =
1
ax2 + bx + c
的定义域为 R Û D < 0
⑶值域为 R 或[0, +¥) 的问题 (a ¹ 0)
íD ³ 0
f (x) = lg(ax2 + bx + c) 的值域为 R Û ìa > 0 ；
î
f (x) =
的值域为[0, +¥) Û ìa > 0 ;
íD ³ 0
î
⑷闭区间上二次函数恒成立问题 (a > 0)
f (x) = ax2 + bx + c > 0 在 x Î[m, n]上恒成立
ì b ì b
ìm £- b £ n
í í í
Û ï- 2a < m 或ï- 2a > n 或ï
2a ;
îï f (m) > 0
îï f (n) > 0
ï f (-
ïî
b ) > 0 2a
三、幂函数、指数函数与对数函数
1.幂函数： y = xa (a 为有理数 ) ：“奇奇奇，偶奇偶，奇偶非”
⑴整数指数幂： y = xa (a 为整数 )
y = xa
a 为正奇数
a 为正偶数
a 为负奇数
a 为负偶数
定义域
R
R
R
R
值域
R
[0, +¥)
(-¥, 0) U (0, +¥)
(0, +¥)
图像
一三象限
一二象限
一三象限
一二象限
单调性
(-¥, +¥)
(-¥, 0] ¯,
[0, +¥)
(-¥, 0) ¯,
(0, +¥) ¯
(-¥, 0) ,
(0, +¥) ¯
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
性质 总结
a > 0 时，在第一象限内单调递增
a < 0 时，在第一象限内单调递减
a 为奇数时， y = xa 为奇函数
a 为偶数时， y = xa 为偶函数
a 为奇数时，图像在一三象限，过
定点 (1,1), (-1, -1)
a 为偶数时，图像在一二象限，过定点
(1,1), (-1,1)
n n
⑵分数指数幂： y = xm ( 为既约分数 )
m
n
y = xm
m 为正
奇数， n
为正奇数
m 为正奇
数， n 为正 偶数
m 为正
偶数， n
为正奇数
m 为正奇
数， n 为负 奇数
m 为正奇
数， n 为负 偶数
m 为正
偶数， n
为负奇数
定义域
x Î R
x Î R
x ³ 0
x ¹ 0
x ¹ 0
x > 0
值域
y Î R
y ³ 0
y ³ 0
y ¹ 0
y > 0
y > 0
图像
一三象限
一二象限
第一象限
一三象限
一二象限
第一象限
单调性
(-¥,+¥)
(-¥, 0] ¯,
[0, +¥)
[0, +¥)
(-¥, 0) ¯,
(0, +¥) ¯
(-¥, 0) ,
(0, +¥) ¯
(0, +¥) ¯
奇偶性
奇函数
偶函数
非奇非偶
奇函数
偶函数
非奇非偶
性质 总结：
n > 0 时，在第一象限内单调递增
m
n < 0 时，在第一象限内单调递减
m
分子分母均为奇，则为奇函数
分母为奇，分子为偶则为偶函数
分子分母均为奇，图像在一三象限，
过定点 (1,1), (-1, -1)
分母为奇，分子为偶，图像在一二象
限，过定点 (1,1), (-1,1)
⑶重点性质总结
① y = xa (a 为有理数 ) 的图像都过定点(1,1)；
②当 a > 0 时在第一象限内 ，当 a < 0 时在第一象限内 ¯ ；
③当 a 为奇数时为奇函数，当 a 为偶数时为偶函数；
④在第一象限内，外圈，从 x 轴正半轴逆时针到 y 轴正半轴， a 的值逐渐增大；
⑤两个幂函数的图像可能有1个， 2 个，或 3 个交点；
⑥当 a < 0 时，在 (0, +¥) 单调递减且下凸；当 a = 0 时，在 (0, +¥) 为常值1；当 0 < a < 1时， 在 (0, +¥) 单调递增且上凸；当 a = 1 时，在 (0, +¥) 为直线 y = x ；当 a > 1 时，在 (0, +¥) 单调
递增且下凸。
2.指数与对数公式
⑴常用指数公式：
① a0 = 1(a ¹ 0)，a
= 1 (a ¹ 0)，a = , a- = 1 ；
m
m
- n n n
an
m
② am gan = am+n a = am-n，(am )n = (an )m = amn；
，
an
n
③ an gbn = (ab)n , a = ( a )n ;
bn b
⑵常用对数公式：
a
①对数定义式： ab = N Û b = log N ；
其中 a 为底数， b 为指数， N 为真数， ab 为幂， log N 为对数。
a
a
②对数恒等式： aloga N = N，log ab = b ；
1
③ log 1 = 0，log a = 1, log = -1, log am = m ；
-n
a a a a a
n
④ log m b
a
= n log b, log bn
m a a
= n loga b, loga b
= -n loga b, ；
M
⑤ loga (MN ) = loga M + loga N , loga
N
= loga M - loga N ；
log b lg b ln b
⑥换底公式： log b = c = = ；
c
a log a lg a ln a
⑶两个常见的对数
①常用对数：以10 为底的对数，记作 lg N ；
②自然对数：以 e 为底的对数，记作 ln N ；其中 e = lim(1+ 1 )n = 2.71828L ；
3.指数函数： y = ax (0 < a ¹ 1), x Î R
n®¥ n
⑴定义域： x Î R ，值域： y Î(0, +¥) ；
⑵图像：在 x 轴的上方，过定点 (0,1) ；
⑶指数函数的性质：
① y = ax 为非奇非偶函数；
② y = ax 的图像与 x 轴趋近，但不相交；
③当 a > 1 时， y = ax ；当 0 < a < 1， y = ax ¯ ；
a
ç ÷
x
④ y = ax 与 y = a- x = æ 1 ö
è ø
的图像关于 y 轴对称；
⑤在第一象限内， a 值越大， y = ax 的图像越靠近 y 轴；
⑥ a > 1 时， x ® -¥ Þ ax ® 0 ； 0 < a < 1时， x ® +¥ Þ ax ® 0 ； 注：这就是极限 lim qn ( q < 1) = 0 的由来；
n®¥
+
4.对数函数： y = loga x(0 < a ¹ 1), x Î R
⑴定义域： x Î(0, +¥) ，值域： y Î R ；
⑵图像：在 y 轴的右侧，过定点(1, 0) ；
⑶对数函数的性质：
a
① y = ax 与 y = log x 互为反函数；
② y = loga x 为非奇非偶函数；
③ y = loga x 的图像与 y 轴趋近，但不相交；
④当 a > 1 时， y = loga x ；当 0 < a < 1时， y = loga x ¯ ；
⑤ y = loga x 与 y = log 1 x = - loga x 的图像关于 x 轴对称；
a
⑥在第一象限内， a 值越大， y = loga x 的图像越靠近 x 轴；
5.指数与对数方程、不等式的解法
⑴指数方程的解法：
① a f ( x) = b(b > 0) Û
f (x) = loga b；
② a f ( x) = ag ( x) Û
f (x) = g(x)；
③ Aa2 x + Bax + C = 0 Þ 令 t = ax , t > 0, 化为 At 2 + Bt + C = 0；
⑵指数不等式的解法：
当0 < a < 1时, x < log b
① ax > b(b > 0) Þ a ;
当a > 1时, x > loga b
当0 < a < 1时, f (x) < g(x)
② a f ( x) > ag ( x) Þ ;
当a > 1时, f (x) > g(x)
ì At 2 + Bt + C > 0
③ Aa2 x + Bax + C > 0( A ¹ 0), 令 t = ax , 转化为 í ；
⑶对数方程的解法：
① loga f (x) = b Û
f (x) = ab ;
î t > 0
② loga
f (x) = loga g(x) Û
f (x) = g(x) > 0;
2 2
③ A loga x + B loga x + C = 0 Þ 令t = loga x, 化为At + Bt + C = 0；
⑷对数不等式的解法：
当0 < a < 1时, 0 < x < ab
① loga x > b Þ
当a > 1时,
;
x > ab
② log
f (x) > log
g(x) Þ
当0 < a < 1时, 0 < f (x) < g(x)
;
a a 当a > 1时,
f (x) > g(x) > 0
2 2
③ A[loga x] + B loga x + C > 0( A ¹ 0), 令 t = loga x, 转化为 At + Bt + C > 0 ；
注意：对于形如 ax2 + bxy + cy2 = 0 的“齐二次方程”，我们的解法是两边同除以 y2 化成形如
2
æ x ö x
a + b + c = 0 的一元二次方程解之。注意讨论 y 是否为零。
y
y
ç ÷
è ø
四、抽象函数：赋值法（赋常值、赋变量、整体赋值）
一般考察一下几类问题：
①函数求值；②奇偶性；③单调性；④周期性；⑤解不等式；⑥证明不等式；等等。
1.以正比例函数作为参考模型的抽象函数： f (x ± y) = f (x) ± f ( y) 等
2.以一次函数作为参考模型的抽象函数： f (x ± y) = f (x) ± f ( y) m b 等
3.以二次函数作为参考模型的抽象函数：
f (x + y) =
f (x) + f ( y) + 2axy - c ， f (x) - f ( y) = (x - y)[a(x + y) + b] 等
4.以幂函数作为参考模型的抽象函数： f (xy) =
f (x) f ( y) ， f (x / y) =
f (x) / f ( y) 等
5.以指数函数作为参考模型的抽象函数： f (x + y) =
f (x) f ( y) ， f (x - y) =
f (x) / f ( y) 等
6.以对数函数作为参考模型的抽象函数： f (xy) =
f (x) + f ( y) ， f (x / y) =
f (x) - f ( y) 等
第五章 三角比与解斜三角形
一、任意角的有关概念
1.任意角
⑴任意角的定义：平面上一条射线绕端点由一个位置旋转到另一个位置所组成的图形；逆时针 旋转形成正角，顺时针旋转形成负角，不旋转则为零角。
⑵终边相同的角：以 x 轴正半轴为始边，旋转所形成的角中，与角 a 终边相同的角的集合为
{b | b = kg360° + a , k Î Z} 。
注：终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同。
⑶终边共线的角：以 x 轴正半轴为始边，旋转所形成的角中，与角 a 终边共线的角的集合为
{b | b = kg180° + a , k Î Z} 。
2.弧度制的有关概念
⑴弧长等于半径的圆弧所对的圆心角称为 1 弧度角，记作 1 或 1 rad 。
p æ 180 ö
⑵180°= p ,1°= = 0.01754L,1 = ç ÷°» 57.30°= 57°18' ；
180
l
è p ø
1 1
⑶弧长公式：a = Þ l = a r；扇形面积公式： S
r 扇形
= lr =
2 2
a r 2；
3.轴线角的表示
⑴终边在 x 轴正半轴上的角的集合为：{x | x = 2kp , k Î Z}；
终边在 y 轴正半轴上的角的集合为：{x | x = 2kp + p , k Î Z}；
2
终边在 x 轴负半轴上的角的集合为：{x | x = 2kp + p , k Î Z}；
终边在 y 轴负半轴上的角的集合为：{x | x = 2kp + 3p , k Î Z}；
2
⑵终边在 x 轴上的角的集合为：{x | x = kp , k Î Z} ；
终边在 y 轴上的角的集合为：{x | x = kp + p , k Î Z}；
2
⑶终边在坐标轴上的角的集合为：{x | x = kp , k Î Z}；
2
⑷终边在坐标轴上以及 y = ± x 上的角的集合为：{x | x = kp , k Î Z}；
4
4.象限角的表示
⑴终边落在第一象限的角的区间为： (2kp , 2kp + p ),k Î Z ;
2
终边落在第二象限的角的区间为：(2kp + p , 2kp + p ),k Î Z ;
2
终边落在第三象限的角的区间为：(2kp + p , 2kp + 3p
2
),k Î Z ;
终边落在第四象限的角的区间为：(2kp + 3p
2
, 2kp + 2p ),k Î Z ;
⑵终边落在一、三象限的角的区间为：(kp , kp + p ),k Î Z ;
2
终边落在二、四象限的角的区间为：(kp - p , kp ),k Î Z ;
2
5.半角与倍角的象限表示：
⑴a 在第一象限Þ a 在一三象限； a 在第二象限Þ a 在一三象限；
2 2
a 在第三象限Þ a 在二四象限； a 在第四象限Þ a 在二四象限。
2 2
⑵a 在第一象限Þ 2a 在一二象限或 y 轴正半轴；
a 在第二象限Þ 2a 在三四象限或 y 轴负半轴；
a 在第三象限Þ 2a 在一二象限或 y 轴正半轴；
a 在第四象限Þ 2a 在三四象限或 y 轴负半轴；
二.同角三角比
1.同角三角比的定义 ：如图， a 是以 x 轴正半轴为始边旋转所得到的角， P(x, y) 为角a 终边上的任意一点，其中 OP = r ， x2 + y2 = r2 ，则角a 的 三角比的定义为：
sin a = y ，cosa = x , tan a = y , cot a = x , seca = r , csca = r ；
r r x y x y
2.同角三角比的符号
⑴第一象限： sin a > 0，cosa > 0, tana > 0, cot a > 0, seca > 0, csca > 0；
⑵第二象限： sin a > 0，cosa < 0, tan a < 0, cot a < 0, seca < 0, csca > 0；
⑶第三象限： sin a < 0，cosa < 0, tan a > 0, cot a > 0, seca < 0, csca < 0；
⑷第四象限： sin a < 0，cosa > 0, tan a < 0, cot a < 0, seca > 0, csca < 0；
3.单位圆中的三角函数线
⑴单位圆：在直角坐标系中，以 O 为圆心，以 1 为半径的圆；
⑵三角函数线的定义：如下图所示：
设以 x 轴正半轴为始边的角a 的终边与单位圆交于点 P ,过点 P 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 M ； 设单位圆与 x 轴正半轴、 y 轴正半轴分别交于点 A, B ,过点 A 作 x 轴的垂线交角a 的终边（或
终边的延长线）于点 T ，过点 B 作 y 轴的垂线交角a 的终边（或终边的延长线）于点 S ；过点
P 作单位圆的切线，分别交 x 轴、 y 轴于点 Q, R ;
则角a 的三角比可表示为：
uuur uuuur uuur uuur uuur uuur
sin a = MP，cosa = OM , tan a = AT , cot a = BS, seca = OQ, csca = OR;
⑶用三角函数线解三角方程与三角不等式：
sin x = a( a < 1) Û x = 2kp + arcsin a或2kp + p - arcsin a, k Î Z; sin x > a( a < 1) Û x Î(2kp + arcsin a, 2kp + p - arcsin a), k Î Z; sin x < a( a < 1) Û x Î(2kp - p - arcsin a, 2kp + arcsin a), k Î Z;
cos x = a( a < 1) Û x = 2kp ± arccos a, k Î Z;
cos x > a( a < 1) Û x Î(2kp - arccos a, 2kp + arccos a), k Î Z;
cos x < a( a < 1) Û x Î(2kp + arccos a, 2kp + 2p - arccos a), k Î Z ;
4.同角三角比八大关系（六边形记忆法）
⑴平方关系： sin2 a + cos2 a = 1, sec2 a - tan2 a = 1, csc2 a - cot2 a = 1；
⑵倒数关系： sin a gcsca = 1, cosa gseca = 1, tan a gcot a = 1 ；
sin a
seca
cosa
csca
⑶商数关系： tan a = = , cot a = = ；
cosa
csca
sin a
seca
5.诱导公式：a 的三角比 Þ kp ± a(k Î Z )的三角比
2
方法：奇变偶不变，符号看象限：
奇偶：当 k 为奇数时，变为余三角比；当 k 为偶数时，仍为原三角比；
符号：把a 当作锐角，看 kp ± a(k Î Z )对应三角比的符号即为右边符号；
2
注意：同角三角比的证明方法主要有：“凑”，“化”，“代”，“消”，“1”等； 三．三角比恒等式及其应用 1.三角比恒等式（注意区分恒等式与条件恒等式）
⑴两角和与差公式
sin(a ± b ) = sin a cos b ± cosa sin b；
cos(a ± b ) = cosa cos b m sin a sin b；
tan(a ± b ) =
tan a ± tan b ；
1m tan a tan b
⑵二倍角公式
sin 2a = 2 sin a cosa；
cos 2a = cos2 a - sin2 a = 1- 2 sin2 a = 2 cos2 a -1；
tan 2a =
2 tan a ；
1- tan2 a
⑶半角公式
sin a =±
1- cosa ；cos a =±
1+ cosa ；tan a = ;
2 2 2 2 2
tan a = sin a = 1- cosa ；
2 1+ cosa sin a
记忆方法：“上山一家哭，下山一减哭”；
⑷万能公式
2 tan a
1- tan2 a
2 tan a
sin a = 2 , cosa = 2 , tan a = 2 ;
1+ tan2 a
1+ tan2 a
1- tan2 a
2 2 2
⑸和差化积公式（理科）
sin a + sin b = 2 sin a + b cos a - b ； sin a - sin b = 2 cos a + b sin a - b ；
2 2 2 2
cosa + cos b = 2 cos a + b cos a - b ； cosa - cos b = -2 sin a + b sin a - b ；
2 2 2 2
⑹积化和差公式（理科）
sin a cos b = 1 [sin(a + b ) + sin(a - b )]；
2
cosa sin b = 1 [sin(a + b ) - sin(a - b )]；
2
cosa cos b = 1 [cos(a + b ) + cos(a - b )]；
2
2.三角比恒等式的推广
⑴降幂公式：
sin a sin b
1 [cos(a + b ) - cos(a - b )]；
=-
2
sin2 a = 1- cos 2a , cos2 a = 1+ cos 2a , tan2 a = 1- cos 2a , sin a cosa = sin 2a ；
2 2 1+ cos 2a 2
⑵升幂公式：
1+ sin 2a = (sin a + cosa )2 ;1- sin 2a = (sin a - cosa )2 ;
1+ cos 2a = 2 cos2 a ;1- cos 2a = 2 sin2 a;
⑶辅助角公式：
a sin a + b cosa =
sin a ± cosa =
sin(a + j), 其中： cosj =
sin(a ± p )；
4
a
a2 + b2
, sin j =
b ；
a2 + b2
sin a ± cosa = 2 sin(a ± p )；
6
sin a ±
cosa = 2 sin(a ± p )；
3
3.三角比恒等式的应用
⑴三角比化简证明的一般要求：基本原则：由繁到简，减名化角；
①项数尽量少；②三角比的种类尽量少；③三角比的次数尽量低；
④尽量不要含有根式；⑤分母尽量不要含有三角比；⑥能求值的尽量求出来；
⑶三角式变形（化简、求值、证明）的常用方法
①八大关系与诱导公式：切割化弦，“1”的妙用，平方消元等；
②化为同角三角比：角度之间存在一定的等量关系；
③角的拆变：包含角的分解和角的组合；常用角的拆变有：
a = (a + b ) - b = a + b + a - b ; b = (a + b ) - a = a + b - a - b ;
2 2 2 2
④辅助角公式与降幂公式：最常用的方法，高考中重点考察；
⑤换元法：用 t 来代替某个三角式（注意 t 的范围），化为初等函数；
⑥和积互化与万能置换：改变角的结构，改变三角式的运算关系等；
四．解斜三角形
1.三角形中的三角比关系
⑴ A + B + C = p Þ 在三角形中， sin A, sin B, sin C 均为正，其他可正可负；
⑵ sin( A + B) = sin C, cos( A + B) = -cos C, tan( A + B) = - tan C；
sin A + B = cos C , cos A + B = sin C , tan A + B = cot C ；
2 2 2 2 2 2
2.三角形中的边角关系
⑴在三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
⑵在三角形中，大边对大角，大角对大正弦，对小余弦；
a > b Û A > B Û sin A > sin B Û cos A < cos B；
⑶正弦定理
在三角形中，各边与其所对角的正弦值之比相等，且都等于它的外接圆直径；
a =
sin A
b
sin B
= c
sin C
= 2R；其中 R 为 DABC 外接圆半径。
①变形形式： a = 2R sin A, b = 2R sin B, c = 2R sin C；
sin A =
a , sin B =
2R
b , sin C = c ; 2R 2R
1 1 1
②三角形面积公式： S
= bc sin A = ac sin B =
ab sin C；
DABC
2 2 2
③应用类型： 类型一：已知两边一对角，求另一对角： 已知 DABC 的一边 b ，一角 A ，求角 B 的值； 若 ÐA 为锐角：如图所示：
当 a < b sin A 时，无解；当 a = b sin A 时，一解； 当 b sin A < a < b 时，两解；当 a ³ b 时，一解； 若 ÐA 为钝角或直角：如图所示：
当 a > b 时，一解；当 a £ b 时，无解； 类型二：已知两角一对边，求另一对边：无解或唯一解；
⑷余弦定理： a2 = b2 + c2 - 2bc cos A, b2 = a2 + c2 - 2ac cos B, c2 = a2 + b2 - 2ab cos C；
①变形形式： cos A =
b2 + c2 - a2
2bc
, cos B =
a2 + c2 - b2
2ac
a2 + b2 - c2
, cos C = ；
2ab
②射影定理： a = b cos C + c cos B, b = a cos C + c cos A, c = a cos B + b cos A;
③应用类型： 类型一：已知三边求三角：无解或唯一解； 类型二：已知两边一对角求对边：无解或唯一解； 3.三角形的面积公式
1 1 1 abc
⑴ S =
bc sin A = ac sin B = ab sin C = ，其中 R 为三角形外接圆半径；
DABC
2 2 2 4R
⑵ SDABC
= 1 (a + b + c)r, 其中 r 为三角形内切圆半径；
2
1
⑶海伦—秦九韶面积公式： SDABC =
uuur uuur
, 其中 p =
(a + b + c).
2
⑷三角形向量面积公式： S
1
DABC =
2
AB ´ AC = ;
x1 y1 1
1
⑸三角形行列式面积公式：SDABC = x2
2
x3
y2 1 ，(x1, y1), (x2 , y2 ), (x3, y3 ) 按逆时针方向排列；
y3 1
1
特别地， SDAOB = x1 y2 - x2 y1 , 其中 O 为坐标原点， A, B 的坐标分别为 A(x1, y1), B(x2 , y2 ).
2
⑹四边形面积公式： S四边形ABCD
= 1 ef sinq , 其中 e, f 为四边形对角线的长，q 为对角线夹角；
2
4.三角形的五心及其性质：
⑴内条角心平：分三线的交点，也是三角形内切圆的圆心。性质：到三边距离相等。
⑵外条边心中：垂三线的交点，也是三角形外接圆的圆心。性质：到三个顶点距离相等。
⑶重条中心线：的三交点。性质： 到顶点距离为到对边中点距离的 2 倍。
⑷垂条高心所：在三直线的交点。性质：此点分每条高线的两部分乘积相等；
⑸旁心：一条内角平分线与相对的两条外角平分线的交点；共有三个旁心。性质：此点到三条 边所在直线的距离相等；
5.三角形形状的判断：
⑴三角形形状的类型：正三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等；
⑵三角形形状判断的方法：
①角化边：将已知条件转化为边边关系；
②边化角：将已知条件转化为三角比关系；
③其他方法：不等式法、构造法、函数法等；
第六章 三角函数与反三角函数
一、三角函数的图像与性质
1.正弦函数： y = sin x
⑴定义域： x Î(-¥, +¥) ；
⑵值域： y Î[-1,1]；
⑶单调性：[2kp - p , 2kp + p ](k Î Z ) ,[2kp + p , 2kp + 3p ](k Î Z ) ¯；
2 2 2 2
⑷奇偶性： y = sin x 在 (-¥, +¥) 上为奇函数；
⑸周期性： y = sin x 的周期为 T = 2kp (k Î Z ), 最小正周期为 Tmin = 2p ;
⑹对称性：对称轴： x = kp + p (k Î Z )，对称中心： (kp , 0)(k Î Z )；
2
⑺最值：当 x = 2kp - p (k Î Z ) 时， y = -1；当 x = 2kp + p (k Î Z ) 时， y = 1。
2
p 2p
min
2 max
⑻区间最值：当 x Î[- , ]时， y = sin x Î[-
,1] ；
4 3 2
2.余弦函数： y = cos x
⑴定义域： x Î(-¥, +¥) ；
⑵值域： y Î[-1,1]；
⑶单调性： [2kp - p , 2kp ](k Î Z ) ,[2kp , 2kp + p ](k Î Z ) ¯；
⑷奇偶性： y = cos x 在 (-¥, +¥) 上为偶函数；
⑸周期性： y = cos x 的周期为 T = 2kp (k Î Z ), 最小正周期为 Tmin = 2p ;
⑹对称性：对称轴： x = kp(k Î Z )，对称中心： (kp + p , 0)(k Î Z )；
2
⑺最值：当 x = 2kp + p (k Î Z ) 时， ymin = -1；当 x = 2kp (k Î Z ) 时， ymax = 1。
p 2p 1
⑻区间最值：当 x Î[- , ]时， y = cos x Î[- ,1]；
4 3 2
3.正切函数： y = tan x
⑴定义域：{x | x ¹ kp + p (k Î Z )}；
2
⑵值域： y Î(-¥, +¥) ；
⑶单调性： (kp - p , kp + p ) (k Î Z ) ；
2 2
⑷奇偶性： y = tan x 为奇函数；
⑸周期性： y = tan x 的周期为 T = kp (k Î Z ) , 最小正周期为 Tmin = p ;
⑹对称性：对称中心： ( kp , 0)(k Î Z )；渐近线： x = kp + p (k Î Z ) ；
2 2
⑺最值：无；当 x ® [kp + p (k Î Z )]- 时，y ® +¥ ；当 x ® [kp + p (k Î Z )]+ 时，y ® -¥ 。
2 2
p 5p
⑻区间最值：当 x Î[- , ] 时， y = tan x Î R ；
4 6
二、形如 y = Asin(w x + j) 的函数
y = Asin(w x + j )( A > 0,w > 0,j Î[0, 2p )) ；其中 A— 振幅，w — 角速度，T = 2p — 周期，
w
f = 1 — 频率，j — 初相， w x + j — 相。
T
1.定义域： x Î(-¥, +¥) ；值域： y Î[- A, A]；
2.五点法作图：列表 ® 描点 ® 连线。
列表如下：
x
- j
w
p - 2j
2w
p - j
w
3p - 2j
2w
2p - j
w
w x + j
0
p
2
p
3p
2
2p
y
0
A
0
- A
0
按表格在坐标系中描出五点，用平滑的曲线连接，可画出 y = Asin(w x + j) 的图像；
2p
3.解析式的求法： A = ymax，w =
T
,j = -w x0 , x0 为图像起点的横坐标；
4.单调性：
w x + j Î é2kp - p , 2kp + p ù (k Î Z ) ,w x + j Î é2kp + p , 2kp + 3p ù (k Î Z ) ¯；
ëê 2 2 úû ëê 2 2 úû
若 w < 0 ，一定要先将 x 前的系数化为正数；
5.奇偶性：当j = kp (k Î Z ) 时，为奇函数； 当j = kp + p (k Î Z ) 时，为偶函数；
2
其他情况，非奇非偶。
2kp
6.周期性：周期为： T = (k Î Z ) ，最小正周期为： T
= 2p ；
7.对称性：对称轴： x =
w
kp + p -j
2
w
min
(k Î Z )，对称中心： ( kp - j , 0)(k Î Z )；
w
8.最值：当w x + j = 2kp - p (k Î Z )时， y
2
当 w x + j = 2kp + p (k Î Z )时， y
min
= - A;
= A。
2 max
9.区间最值：x Î[a , b ] Þ w x + j Î[wa + j,wb + j ] ¾由¾y=s¾inx¾的图¾像® y = sin(w x + j) 的范围
Þ y = Asin(w x + j) 的范围；俗称“步步求值域”。
10.图像的变换：形状与正弦函数的图像相同；
1 j
y = sin x ¾横¾坐¾标扩¾大为¾原来¾的w¾倍® y = sin w x ¾向¾左平¾移¾w 个¾单位¾® y = sin(w x + j)
¾纵¾坐¾标扩¾大为¾原来¾的A¾倍® y = Asin(w x + j)
11. y = Asin(w x + j) 的推广：
y = A cos(w x + j )( A > 0,w > 0,j Î[0, 2p )) ： T = 2p
w
y = A tan(w x + j )( A > 0,w > 0,j Î[0,p )) ： T = p
w
y = A cot(w x + j)( A > 0,w > 0,j Î[0,p )) ： T = p
w
三、反三角函数的图像与性质
1.反正弦函数： y = arcsin x
⑴定义域： x Î[-1,1] ；
⑵值域： y Î é- p , p ù ；
ëê 2 2 úû
⑶单调性： x Î[-1,1] ；
⑷奇偶性： y = arcsin x 为奇函数；
p p
⑸最值：当 x = -1 时， ymin =-
2
1
; 当 x = 1 时， ymax = 。
2
p p
⑹区间最值：当 x Î[- , ] 时， y Î[- , ]。
2 2 6 4
2.反余弦函数： y = arccos x
⑴定义域： x Î[-1,1] ；
⑵值域： y Î[0,p ] ；
⑶单调性： x Î[-1,1] ¯ ；
⑷奇偶性： y = arccos x 为非奇非偶函数；
⑸最值：当 x = 1 时， ymin = 0; 当 x = -1 时， ymax = p。
1 p 2p
⑹区间最值：当 x Î[- , ] 时， y Î[ , ] 。
2 2 4 3
3.反正切函数： y = arctan x
⑴定义域： x Î(-¥, +¥) ；
⑵值域： y Îæ - p , p ö ；
ç 2 2 ÷
è ø
⑶单调性： x Î(-¥, +¥) ；
⑷奇偶性： y = arctan x 为奇函数；
®-
⑸最值：无，当 x ® +¥ 时， y ® p ; 当 x ® -¥ 时， y p 。
2 2
p p
⑹区间最值：当 x Î[-1, ] 时， y Î[- , ]。
3 4 6
4.反余切函数： y = arc cot x ；
⑴定义域： x Î(-¥, +¥) ；
⑵值域： y Î(0,p ) ；
⑶单调性： x Î(-¥, +¥) ¯；
⑷奇偶性： y = arc cot x 为非奇非偶函数；
⑸最值：无，当 x ® +¥ 时， y ® 0; 当 x ® -¥ 时， y ® p。
p 3p
⑹区间最值：当 x Î[-1, ] 时， y Î[ , ]。
3 3 4
5.反三角函数的运算：
⑴ x Î[-1,1]，arcsin (-x) = - arcsin x; x Î[-1,1]，arccos (-x) = p - arccos x ；
⑵ x Î é- p , p ù，arcsin (sin x) = x；x Î[0,p ]，arccos (cos x) = x ；
ëê 2 2 úû
⑶ x Îæ - p , p ö，arctan ( tan x) = x；x Î(0,p )，arc cot (cot x) = x ；
ç 2 2 ÷
è ø
⑷ x Î[-1,1]，cos (arcsin x) =
1- x2；x Î[-1,1]，tan (arcsin x) = x ;
⑸ x Î[-1,1]，arcsin x + arccos x = p ; x Î(-¥, +¥)，arctan x + arc cot x = p ；
2 2
四、三角方程的解法
1.三角方程的定义：含有未知数的三角函数的方程；
形如sin x = a, cos x = a, tan x = a, cot x = a 的三角方程称为最简三角方程；
2.第一类最简三角方程的解法：
⑴ sin x = a 的解法：
①当 a < 1 时： x = kp + (-1)k arcsin a(k Î Z ) ；
②当 a = 1 时： x = 2kp + p (k Î Z );
2
③当 a = -1 时： x = 2kp - p (k Î Z );
2
④当 a > 1 时： x Î Æ;
注意：当 a < 1 时的解等价于 x = 2kp + arcsin a 或 2kp + p - arcsin a(k Î Z );
⑵ cos x = a 的解法：
①当 a < 1 时： x = 2kp ± arccos a(k Î Z );
②当 a = 1 时： x = 2kp (k Î Z );
③当 a = -1 时： x = 2kp + p (k Î Z );
④当 a > 1 时： x ÎÆ
⑶ tan x = a 的解法：
x = kp + arc tan a(k Î Z ) ；
⑷ cot x = a 的解法：
x = kp + arc cot a(k Î Z ) ；
3.第二类最简三角方程的解法：
⑴ sin x = sin y Û x = kp + (-1)k g y(k Î Z );
⑵ cos x = cos y Û x = 2kp ± y(k Î Z );
⑶ tan x = tan y Û x = kp + y(k Î Z );
⑷ cot x = cot y Û x = kp + y(k Î Z );
注意：形如 sin x = cos y 之类的方程，解法是利用诱导公式化为同名三角比，再利用上述公式
解之。
4.简单三角方程的常用解法： 换元法，数形结合法等。
一、数列的有关概念
第七章 数列的基本概念与等差、等比数列
1.数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列。{an} = a1, a2 ,Lan ,L； 其中： a1, a2 ,Lan ,L 依次叫做数列的第一项，第二项L 第 n 项，L
2.数列的分类
⑴按元素个数分：①有穷数列：项数有限的数列；②无穷数列：项数无限的数列；
n+1
⑵按元素性质分：①常数列：对任意的 n Î N * , a
= an
；②摆动数列：an
= b + a + (-1)n b - a .
2 2
末项－首项
3.数列项数的求法： 项数＝ ＋1；
公差
4.数列的通项：如果数列{an} 的第 n 项可以表示成：an =
f (n), n Î N *
，则 an =
f (n), n Î N *
称为数列{an}的通项公式；注意：仅已知数列的有限项，不能确定数列，其通项也并不唯一.
5.数列的求和： Sn = a1 + a2 +L+ an ；
ì S1,(n = 1)
S
已知 Sn 时，通项的求法： an = í
î
n - Sn-1
；
,(n ³ 2)
6.数列的函数性
⑴图像：若用坐标 (n, an ) 来表示，数列在坐标系 n ® an 中的图像是一列离散的点；
n n+1 n
n n+1 n
⑵单调性：若对任意的 n Î N * 都有： a < a ，则称数列{a }为单调递增数列； 若对任意的 n Î N * 都有： a > a ，则称数列{a }为单调递减数列；
n+T n n
⑶周期性：若对任意的 n Î N * ，存在 T Î N * ,使得 a = a 成立，则称数列{a }为周期数列，
T 为数列{an}的一个周期；
n M M n
n N N n
⑷最值：若存在 M Î N * ，使得对任意的 n Î N * ，都有 a £ a ，则称 a 为数列{a }的最大 项；若存在 N Î N * ，使得对任意的 n Î N * ，都有 a ³ a ，则称 a 为数列{a }的最小项；
二、等差数列的概念与性质
*
1.等差数列（记作 AP. ）的定义： AP : an+1 - an = d (n Î N ), a1 — 首项， d — 公差。
a + b
2.等差中项： A =
2
® A 称为 a, b 的等差中项；
3.通项公式： an
= a1
+ (n -1)d = ak
+ (n - k)d (k, n Î N *);
⑴通项的求法：累加法
⑵等差数列项数的求法： n = an - a1 +1；
d
⑶由通项求首项、公差： a
= an + b Þ ìa1 = a + b ；
î
n í d = a
⑷等差数列的单调性： d > 0, an ; d < 0, an ¯; d = 0, {an}为常数列；
4.求和公式： Sn =
n (a1 + an )
2
= na1 +
n(n -1) 2
d = d n2
2
+ (a - d )n;
1 2
⑴由前 n 项和求首项、公差： S
= an2 + bn Þ ìa1 = a + b ；
î
n
⑵前 n 项和的其他求法：
í d = 2a
ì nan+1 , n为奇数
ï 2
已知数列{an}为等差数列，则： Sn = í n ( ) ，
+1
ï
î 2
即 S2n-1 = (2n -1) an , S2n = n(an + an+1);
an + an
2 2
, n为偶数
2
⑶一个重要结论：已知数列{an} 为的前 n 项和为 Sn = an + bn + c, 则数列{an} 为等差数列的
充要条件是 c = 0.
⑷前 n 项和最值的求法：
①通用方法： S
ìSM ³ SM -1
= S Û ; S
ìSN £ SN -1
= S Û ;
S
n max M
í
î M ³ SM +1
n min
N í
S
î N £ SN +1
S = S
ì aM ³ 0
Û S
ì aN £ 0
= S Û
②项比较法：
n max M
í ; n
a
î M +1 £ 0
min
N í ;
a
î N +1 ³ 0
③二次函数法： S
= na
+ n(n -1) d = d n2 + (a
- d )n 为关于 n 的二次函数；
n 1 2 2 1 2
5.等差数列的性质：
*
*
⑴数列{an}为 AP. ，则： am - an = (m - n)d;(m, n Î N ).
⑵数列{an}为 AP. ，则： m + n = p + q = 2t Þ am + an = ap + aq = 2at ; (m, n, p, q, t Î N ).
2 2
⑶数列{an}为 AP. ，公差为 d ，则：数列{-an},{kan},{an+1 + an}, {an+1 - an },
{atn+ s
}(tn + s Î N *), {S
/ n} 等也为 AP. ，且公差分别为 -d , kd , 2d , 2d 2 , td , d / 2;
n
⑷数列{an}为 AP. ，若 an = m, am = n(m ¹ n) ，则 am+n = 0 ；
⑸数列{an}为 AP. ，若 Sn = m, Sm = n(m ¹ n) ，则 Sm+n = -(m + n) ；
m 2m m 3m 2m
⑹等长片段性质：数列{an}为 AP. ，公差为 d ，且其前 n 项和为 Sn ， 则：数列 S , S - S , S - S ,L也成 AP. 且公差为 m2d ；
⑺数列{an}为 AP. ，公差为 d ，且其前 n 项和为 Sn ， 若项数为 2n -1，则： S奇 / S偶＝n /(n -1); S奇 - S偶 = a中；
若项数为 2n ，则： S奇 / S偶＝an / an+1; S偶 - S奇 = nd；
三、等比数列的概念与性质
*
1.等比数列（记作 GP. ）的定义： GP : an+1 / an = q(n Î N ), a1 — 首项， q(¹ 0)— 公比。
2.等比中项： G = ® G 称为 a, b 的等比中项；等比中项不是唯一的；
3.通项公式： a = a qn-1 = a qn-k (k, n Î N *);
n 1 k
⑴通项的求法：累乘法
⑵由通项求首项、公比： a
= ptn Þ ìa1 = pt ( p ¹ 0, t ¹ 0) ；
î
n í q = t
⑶等比数列的单调性： a1 > 0, q > 1, an ; a1 > 0, 0 < q < 1, an ¯; a1 > 0, q = 1,{an}为常数列；
ì na1, q = 1
ï n
ì na1, q = 1
ï
4.求和公式： Sn = í a (1- q
) , 1 = í a
- a q , ¹ 1;
ï 1 q ¹
1 n
ï
q
î 1- q î 1- q
由前 n 项和求首项、公比： S
= a - atn Þ ìa1 = a(1- t) (a ¹ 0, t ¹ 0,1) ；
î
n í q = t
n
一个重要结论：已知数列{an}为的前 n 项和为 Sn = tq + s(t, q, s ¹ 0, q ¹ 1), 则数列{an}为等比
数列的充要条件是 t + s = 0.
5.等比数列的性质
⑴数列{an}为 GP. ，则： am / an = q
m-n (m, n Î N
*);
2 *
⑵数列{an}为 GP. ，则： m + n = p + q = 2t Þ am gan = ap gaq = at (m, n, p, q, t Î N );
k
⑶数列{an}为 GP. 且公比为 q ，则数列{-an},{ an },{kan}(k ¹ 0),{1/ an},{an },{anan+1},
{an ± an+1}(q ¹ ±1),{atn+ s}(tn + s Î N *) 也成 GP. 且公比分别为： q, q , q,1/ q, qk , q2 , q, qt ;
m
⑷等长片段性质：数列{an}为 GP. ，公比为 q ，且其前 n 项和为 Sn ， 则：数列 Sm , S2m - Sm , S3m - S2m ,L也成 GP. 且公比为 q ；
⑸数列{an}为 GP. ，公比为 q ，且其前 n 项和为 Sn ，则： Sn+1 = qSn + a1 ；
四、数列通项的求法
数列通项的求法有：累加法、累乘法、逐差法、待定系数法、迭代法等 1. Sn 与 an 同时存在的递推数列：
⑴ Sn ® an 型：运用公式 Sn+1 - Sn = an+1 将 Sn 全部转化为 an 的形式；
⑵ an ® Sn 型：运用公式 an+1 = Sn+1 - Sn 将 an 全部转化为 Sn 的形式；
注意：利用阶差公式做题时需要分类讨论，不然容易犯错； 2.等差、等比递推数列的拓展：
⑴形如 an+1 - an = f (n) 型：累加法；
累加公式： an = (an - an-1 ) + (an-1 - an-2 ) +L+ (a2 - a1 ) + a1;
⑵形如 an+1 / an =
f (n) 型：累乘法；
an an-1 a2
1 1
累乘公式： an = · L · a (a
¹ 0);
an-1 an-2 a1
3.线性递推数列及其拓展：
⑴形如 an+1 = pan + q( p ¹ 0,1) 型：线性递推数列； 其求法有：待定系数法，逐差法，迭代法。 待定系数法构造等比数列：设 an+1 - l = p(an - l)( p ¹ 1);
⑵形如 an+1 = pan + qn + b( p ¹ 0,1) 型：待定系数法，逐差法。 待定系数法构造等比数列：设 an+1 + x(n +1) + y = p(an + xn + y)( p ¹ 1);
n n+1 n+1
⑶形如 an+1 = pan + tq ( p ¹ q, p ¹ 1) 型：待定系数法，两边同除以 q 或 p .
n+1 n
待定系数法构造等比数列：设 an+1 + xgq = p(an + xgq )( p ¹ 1);
4.分式递推数列：
pan
⑴形如 an+1 =
tan
(t, p ¹ 0) 型：取倒数构造等差数列；
+ p
两边同时取倒数得：
1 = 1 + t
(t, p ¹ 0);
an+1 an p
pan
⑵形如 an+1 =
tan
( p ¹ s, t, p, s ¹ 0) 型：取倒数构造线性递推数列；
+ s
1
两边同时取倒数得：
= s g 1
+ t (t, p ¹ 0);
an+1
p an p
pan + q
⑶形如 an+1 =
tan + s
( p ¹ s, p, q, t, s ¹ 0) 型：不动点法构造等比数列；
ì a - a ü
如：求出不动点分别为a , b (a ¹ b ), 则 í n ý 成等比数列；
î an - b þ
5.指数递推数列：
t
⑴形如 an+1 = an (a1 ¹ 0, t ¹ 0, an > 0) 型：取对数构造等比数列； 两边同时取对数得： lg an+1 = tglg an ;
t
t
⑵形如 an+1 = pan (a1 ¹ 0, t ¹ 0) 型：取对数构造线性递推数列、迭代法； 当 p > 0 时： an+1 = pan 两边同取对数得： lg an+1 = t lg an + lg p;
Þ 数列{lg an} 为线性递推数列；可用线性递推数列的方法解决；
当 p < 0 时：则可化为每项都是正的数列再取对数，或直接用迭代法。
6.二阶循环数列：形如 an+2 = pan+1 + qan 型
当 p2 + 4q ³ 0 时，运用待定系数法构造等比数列；
an+2 = pan+1 + qan ，设 an+2 - xan+1 = y(an+1 - xan ) ；
当 p2 + 4q < 0 时，数列{an}为复数数列，高考不要求。
五、数列求和的方法
1.公式法：应用于求和公式可以确定的数列；
⑴自然数列：1+ 2 +L+ n = 1 n(n +1) ；
2
⑵自然数平方数列：12 + 22 +L + n2 = 1 n(n +1)(2n +1) ；
6
⑶自然数立方数列：13 + 23 +L+ n3 = 1 n2 (n +1)2 = (1+ 2 +L+ n)2;
4
2.分组求和法：数列的通项可以分解为有限个已知数列的对应项和的情况；
3.倒序相加法：应用于将数列颠倒顺序后相加得到一个已知数列的情况；
4.错位相减法：一般应用于等差数列和等比数列对应项积所成的数列；
5.裂项相消法：应用于每一项可分裂为相减的两项并能相互抵消的数列；
⑴类型一：
1 1 1 1
① a = = - ; S = 1- ;
n n(n +1)
n n +1 n
n +1
1 1 é 1 1 ù 1 é 1 1 ù
② a = = ê - ú ; S = ê - ú ;
n n(n +1)(n + 2) 2 ë n(n +1) (n +1)(n + 2) û n 2 ë 2 (n +1)(n + 2) û
⑵类型二：隔项相消
1 1 æ 1 1 ö
1 æ 1 1 1 ö
① a = = ç - ÷; S = ç1+ - - ÷;
n n(n + 2) 2 è n n + 2 ø n 2 è
2 n +1
n + 2 ø
1 1 æ 1 1 ö 1 æ 1 1 1 1 1 ö
② a = = ç - ÷; S = ç1+ + - - - ÷;
n n(n + 3) 3 è n n + 3 ø n 3 è 2 3 n +1 n + 2 n + 3 ø
⑶类型三
1
① an = =
- ; Sn =
-1;
1 1 1 1
② a = = - ; S = 1- ;
n n
六、数列的极限
1.数列极限的定义
* *
对于无穷数列 {an} ，对任意的 e > 0 ，存在 N Î N ，使得对任意的 n > N , n Î N ，总有
an - A < e ,( A 为常数）成立，则称数列{an} 的极限存在，其极限为 A ；记作 lim an = A 或
n®+¥
an ® A(n ® +¥);
2.数列极限的基本性质
⑴向后有效性：数列的极限具有向后有效性，向前无效；
1
如：数列 a = 的极限为 lim a = ；
n 2n
n®+¥ n 2
*
⑵延展性： lim an = lim an+1 = lim an+k (k 为常数， k Î N );
n®+¥
n®+¥
n®+¥
⑶递推性：数列{an}的极限存在，且 an+1 =
3.数列极限的四则运算
若 lim xn、lim yn 存在， c 为常数，则：
f (an ) ， lim an = A ，则： A =
n®+¥
f ( A);
n®+¥ n®+¥
lim (cxn ) = c lim xn；
n®+¥ n®+¥
lim (xn ± yn ) = lim xn ± lim yn；
n®+¥
n®+¥
n®+¥
lim (xn · yn ) = lim xn · lim yn；
n®+¥
n®+¥
n®+¥
lim (xn / yn ) = lim xn / lim yn ( lim yn ¹ 0)；
n®+¥
n®+¥
n®+¥
n®+¥
注意：①极限的四则运算的前提是每一个数列的极限必须存在；
②无限个数列和不能直接运用四则运算法则，而应该先求和，再求极限； 4.几类常见的极限的求法
⑴最高次项系数比
① lim c = c(c 为常数 )；lim 1 = 0；lim 1 = 0(k > 0)；
n®+¥
n®+¥ n
a np + a np-1 +L+ a
n®+¥ nk
ì 0, p < q
ï a
② lim 0 1 p = ï 0 , p = q ；
n®+¥
b nq + b nq-1 +L+ b í b
0 1 q ï 0
⑵底数绝对值最大项系数比
① lim qn = 0( q < 1)
n®+¥
ïî ¥, p > q
ì 0,
ï
tM < sM ；
a t n + a t n +L+ a t n
ï aM ,
t = s ；
② lim 0 0 1 1 k k = ï b M M
n®+¥ b s n + b s n +L+ b s n í M
0 0 1 1
k k ï 不存在,
ï
tM = -sM；
ïî¥, tM > sM ；
其中： tM
= max( t0 , t1 ,L, tk ), sM
= max( s0 , s1 ,L, sk )；
5.无穷递缩等比数列各项和及其应用
⑴无穷递缩等比数列的定义：
无穷等比数列{an}的公比 q 满足： 0 < q < 1，则称数列{an}为无穷递缩等比数列；
⑵无穷递缩等比数列各项和公式：
S = lim S
= lim a1(1- q ) =
a1 (0 < q < 1);
n
n®¥ n
n®¥ 1- q
1- q
⑶必须牢记的五个充要条件：
①极限 lim qn 存在的充要条件为： -1 < q £ 1;
n®+¥
②极限 lim qn = 0 的充要条件为： -1 < q < 1;
n®+¥
③公比为 q 的等比数列{an}满足 lim an 存在的充要条件为： -1 < q £ 1，且 q ¹ 0;
n®+¥
④公比为 q 的等比数列{an}满足 lim an = 0 的充要条件为： -1 < q < 1，且 q ¹ 0;
n®+¥
⑤公比为 q 的等比数列{an}满足 lim Sn 存在的充要条件为： -1 < q < 1，且 q ¹ 0;
n®+¥
⑷应用：
①无限循环小数的化简
·
0.a = 0.a + 0.0a + 0.00a +L =
0.a
= a , a = 1, 2,L, 9;
1- 0.1 9
②无限测度问题：包括长度，面积，体积等；
七、数学归纳法
1.逻辑推理方法
⑴演绎法：由一般到特殊的推理方法；
⑵归纳法：由一系列特殊事例得出一般结论的推理方法； 2.归纳法的分类：
⑴完全归纳法：所有符合条件的事例都能得初一般结论；
⑵不完全归纳法：只有部分符合条件的事例而推测出一般结论的方法； 3.数学归纳法：完全归纳法；
基本思路：归纳 ® 猜想 ® 证明；
以特殊情况下的结论为基础，提出猜想，然后根据猜想，通过演绎推理，证明结论正确；
4.数学归纳法的证明步骤：
*
⑴当 n = n0 （ n0 为第一个数， n0 Î N ）时，证明结论成立；
⑵假设当 n = k (k Î N *, k ³ n0 ) 时，结论成立，证明 n = k +1 时结论也成立；
⑶综合前面的两个结论，得出要证的结论成立。 5.数学归纳法的应用：
⑴证明恒等式：与自然数有关的代数恒等式、三角不等式等； 证明过程中，两个步骤都应从左右两边同时进行；
⑵证明不等式：注意放缩法的灵活运用；
⑶证明整除性问题：注意配凑的技巧，多退少补；
⑷证明数列通项与求和：注意 k ® k +1 的证明过程中必需要用到递推公式和假设成立的条件；
⑸证明几何问题：包括交点个数问题，线段条数问题、区域块数问题等，需要描述递推过程；
⑹证明条件不等式：注意条件也应随着 n 的变化而变化。这是高中最难的数归证明问题。
一、算法的有关概念
第八章 算法初步
1.算法的含义：指可以在有限步之内用计算机来解决的某一类问题的步骤或程序；
2.算法的要求：实用，简单，可执行；
3.算法的特点：
⑴概括性：可重复的解决一类问题；
⑵顺序性：具有明确的先后步骤；
⑶有限性：步骤有限，执行有限；
⑷多样性：一题多解；
⑸普遍性：每项事务均可设计一定的算法； 二、算法流程图 程序流程图（简称：框图）
⑴程序流程图的符号及其含义：
①－起止框（终端框）：流程图的开始或结束；
②－输入、输出框：数据的输入或结果的输出；
③－处理框（执行框）：流程图的开始或结束；赋值、计算语句的执行、结果的传送；
④－判断框：根据给定条件判断；
⑤－流程线（指向线）：流程进行的方向；
⑥－注释框：帮助理解程序的含义；
⑵画程序流程图的规则：
①必须用规定的图形，指向线及文字说明；
②一般按从上到下，从左向右的方向画；
③判断框是唯一具有超过一个退出点的框图符号，其他流程框符号一般只有一个进入点和一个 退出点；
④框图符号中的语言要简练明确；
⑶算法的基本逻辑结构
①顺序结构：按顺序执行的一种结构，由若干个依次执行的步骤组成；
②选择结构：根据条件作出判断再决定执行哪一种操作的结构；
（ⅰ）两个条件均执行 （ⅱ）只有一个条件均执行
③循环结构：根据一定的条件反复执行某些步骤的结构；
（ⅰ）当型结构 （ⅱ）直到型结构
⑷程序流程图的简单应用：
①函数表达式的输出：
ì1, x > 0
í
输出函数 y = ï0, x = 0 的程序流程图为：下图中的“图①”
î
ï-1, x < 0
②函数值的计算：
求点 P(x0 , y0 ) 和直线 l : Ax + By + C = 0 的距离 d 的程序流程图为：下图中的“图②”
③一元二次方程解的求法：
求一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a ¹ 0) 的根的程序流程图为：下图中的“图③”
④二分法求方程的近似解：
求方程 x3 + 4x -10 = 0 在区间[0, 2] 内的解（精确至10-5 ）的程序流程图为：下图中的“图④”
⑤按大小顺序输出问题：
使得任意输入 3 个整数按大到小的顺序输出的程序流程图为：下图中的“图⑤”
⑥累加累乘法：
求和1+ 2 + 3 +L+100 的程序流程图为：下图中的“图⑥”
一.行列式初步
1.二阶行列式
第九章 行列式与矩阵初步
a11
⑴定义：符号
a12
叫做二阶行列式，记作： A =
a11
a12
= a a - a a
; 其中横排叫
a21
a22
a21
a22
11 22 21 12
做行列式的行，纵排叫做行列式的列，a11a22 - a21a12 称为二阶行列式的展开式；其结果称为二
阶行列式的值，
a11, a22 , a21, a12 称为二阶行列式的元素；
⑵对角线法则：主对角线元素的积减去次对角线元素的积 a11a22 - a21a12 这种展开方式称为二阶 行列式的对角线法则；
ì a x + b y = c
⑶二阶行列式解二元一次方程组：已知二元一次方程组为 1 1 1 (a 、b 、a 、b 不全
ía x + b y = c
1 1 2 2
î 2 2 2
a
为 0)，记： D = 1
a2
式；则：
b1 , D =
b
x
2
c1 b1 , D = a1 c2 b2 a2
ï
y
ì x = Dx
c1 ; 其中行列式 D 叫做方程组的系数行列
c2
í
①当 D ¹ 0 时：方程组有唯一解： ï D ;
ï y = Dy
îï D
②当 D = 0, Dx、Dy 至少有一个不为零时：方程组无解；
③当 D = Dx = Dy = 0 时：方程组有无穷多解；
2.三阶行列式
a11
a12
a13
a11
a12
a13
⑴定义：符号 a21
a31
a22 a32
a23 叫做三阶行列式；记作： A =
a33
a21 a31
a22 a32
a23 a33
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32.
其中 a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32 称为 三阶行列式的展开 式；
ij ij
⑵余子式与代数余子式：行列式中，去掉第 i 行、第 j 列的元素所得到的行列式，叫做 aij 的余 子式 ，记 作 M ；在余 子式的前 面加上符 号(-1)i + j ，叫做 a 的 代数余 子式 ，记作
A = (-1)i+ j M ；
ij ij
a11
a12
a13
a22 a23
a11 a13
在三阶行列式 a21
a22
a23 中：余子式有： M11 =
a a
32 33
， M 22 = 等；
a a
31 33
a31
a32
a33
代数余子式有： A
a
= (-1)1+1 22
a23
22
， A
a
= (-1)2+2 11
a13
等
11
⑶三阶行列式的展开方法
a32 a33
a31 a33
①对角线法则： A = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32;
②按行（列）展开法则：按第一行展开：
1+1 1+2 1+3
A = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 = a11(-1) M11 + a12 (-1) M12 + a13 (-1)
M13;
注意：行列式的某一行（列）的元素与另一行（列）的元素的代数余子式乘积之和为零；
⑷三阶行列式解三元一次方程组：
ì a1x + b1 y + c1z = d1
í 2 2 2 2
已知二元一次方程组为 ïa x + b y + c z = d (x、y、z 的系数不全为 0)，
î 3 3 3 3
ïa x + b y + c z = d
a1 b1 c1
d1 b1 c1
a1 d1 c1
a1 b1 d1
记： D = a2 b2
c2 , Dx = d2 b2
c2 , Dy = a2
d2 c2 ，Dz = a2 b2
d2 ;
a3 b3 c3
d3 b3 c3
a3 d3 c3
a3 b3 d3
其中行列式 D 叫做方程组的系数行列式；则：
ì x = Dx
ï D
ï
í
① D ¹ 0，方程组有唯一解： ï y = Dy ;
ï D
ï D
z = z
D
ï
î
② D = 0, 方程组无解或有无穷多解。
二.矩阵初步
1.矩阵的有关概念
⑴矩阵的定义：由 mn 个数 aij (i = 1, 2,Lm; j = 1, 2,Ln) 排成 m 行， n 列的矩形阵列：
æ a11
a12
L a1n ö
ç ÷
A = ç a21 a22 L a2n ÷;
m´n
ç L L L L ÷
ç ÷
称为 m 行 n 列矩阵，简称 m ´ n 矩阵.
è am1 am 2 L amn ø
⑵方阵：矩阵的行与列相等时，矩阵称为方阵； n 阶方阵记作：
æ a11
a12
L a1n ö
ç ÷
A = ç a21 a22 L a2n ÷;
n´n
ç L L L L ÷
ç ÷
è an1 an 2 L ann ø
⑶单位矩阵：若 n 阶方阵 An´n 满足： aii = 1(i = 1, 2,L, n), aij = 0(i ¹
j;i, j = 1, 2,L, n) ，则称
矩阵 An´n 为单位矩阵，记作：
æ 1 0 L 0 ö
ç 0 1 L 0 ÷
In = ç ÷;
çL L L L÷
ç 0 0 L 1 ÷
è ø
⑷矩阵的行向量与列向量：
矩阵的每一行称为矩阵的行向量；矩阵 An´n 的第 i 行行向量为：ai = (ai1, ai 2 ,L, ain );
æ a1 j ö
ç ÷
ç a2 j ÷
矩阵的每一列称为矩阵的列向量；矩阵 An´n 的第 j 列列向量为： b j = ç M ÷;
çç ÷÷
2.矩阵的运算
è anj ø
⑴矩阵的加减法：设有两个 m ´ n 矩阵， A = (aij ), B = (bij ) ，则： A ± B = (aij ± bij );
æ a11
若 A =
a12
a13 ö , B = æ b11
b12
b13 ö , 则 A ± B = æ a11 ± b11
a12 ± b12
a13 ± b13 ö.
ç ÷ ç ÷ ç ÷
è a21
a22
a23 ø è b21
b22
b23 ø
è a21 ± b21
a22 ± b22
a23 ± b23 ø
⑵矩阵的数乘：设有 m ´ n 矩阵， A = (aij ) ，则： kA = (kaij );
æ a11
若 A =
a12
a13 ö , 则 kA = æ ka11
ka12
ka13 ö.
ç ÷ ç ÷
è a21
a22
a23 ø
è ka21
ka22
ka23 ø
n
⑶矩阵的乘法：设有 m ´ n 矩阵 A = (aij ) ， n ´ t 矩阵 B = (bij ) ，则： AB = ( å aikbkj );
k =1
æ a a a ö
æ b11 b12 ö
若 A =
11 12 13
, B = ç b b ÷ , 则：
ç a a a
÷ ç 21 22 ÷
è 21 22 23 ø ç b b ÷
è
æ a11b11 + a12b21 + a13b31
AB =
31 32 ø
a11b12 + a12b22 + a13b32 ö.
ç ÷
è a21b11 + a22b21 + a23b31 a21b12 + a22b22 + a23b32 ø
⑷方阵的乘方：
n
设有 n 阶方阵 An´n ，则矩阵 A 的 n 次幂为： A = 1Ag4A2gL43g A；
n个
3.矩阵的运算律
⑴矩阵加减法运算规律：
① 0 + A = 0 + A = A; ② A + (-B ) = A - B;
③加法交换律： A + B = B + A; ④加法结合律： ( A + B) + C = A + ( B + C );
⑵矩阵数乘的运算规律：
① 0g A = 0,1g A = A; ②数乘分配律： k( A + B) = kA + kB;
③ (k + t ) A = kA + tA; ④数乘结合律： (kt ) A = k (tA) = t (kA);
⑶矩阵乘法的运算规律：
①乘法结合律： ( AB)C = A(BC);
②乘法分配律： A(B + C) = AB + AC; ( A + B)C = AC + BC;
③ k( AB) = (kA)B = A(kB); ④ Am´n = Im Am´n = Am´n In ;
注：矩阵的乘法不满足交换律； 4.矩阵的三类初等行变换
⑴第一类初等变换：两行对换；
⑵第二类初等变换：以某一非零常数乘以某一行；
⑶第三类初等变换：以某一数乘以某一行后加到另一行上去； 5.矩阵的初等行变换解线性方程组(计算器 EQN)
ì a11x + a12 y + a13z = b1
æ a11
a12
a13 ö
ï ç ÷
三元一次线性方程组： ía21x + a22 y + a23z = b2 ; 系数矩阵为： A = ç a21
a22
a23 ÷; 增广矩阵
31 32 33 3
ïa x + a y + a z = b ç a a a ÷
æ a11
~
a12
î
a13
b1 ö
è 31 32 33 ø
ç ÷
为： A = ç a21
a
ç
31
a22
a32
a23
a33
b2 ÷; （增广矩阵的初等行变换是同解变换）；
b3 ÷
è ø
æ x ö æ b1 ö
ç ÷ ç 2 ÷
若记 X = ç y ÷ , b = ç b ÷ , 则 n 元线性方程组可表示为线性方程组的矩阵形式： AX = b ;
z b
ç ÷ ç ÷
è ø è 3 ø
æ a11
a12
a13 öæ x ö æ b1 ö
ç ÷ç ÷ ç ÷
即： ç a21
a
ç
31
a22
a32
a23 ÷ç y ÷ = ç b2 ÷.
a33 ÷ç z ÷ ç b3 ÷
è øè ø è ø
⑴初等行变换为单位矩阵解线性方程组：
~
若方程组有解，则对增广矩阵 A 进行初等行变换，使得系数矩阵分块变为一个单位矩阵，则所
得矩阵的最后一列即为原方程组的解；
æ a11
~
a12
a13
b1 ö æ 1 0 0
m1 ö
ì x = m1
ç ÷ ç ÷ ï
A = ç a21
a22
a23
b2 ÷ ® ç 0 1 0
m2 ÷; 则原方程组的解为： í y = m2 .
a
ç 31 a32
a33
b3 ÷ ç 0 0 1
m3 ÷
ï z = m
3
è ø è ø î
⑵初等行变换讨论线性方程组解的情况：
~
对增广矩阵 A 进行初等行变换后得到一个阶梯形矩阵：
æ a11
~
a12
a13
b1 ö æ c11
c12
c13
d1 ö
ç ÷ ç ÷
A = ç a21
a22
a23
b2 ÷ ® ç 0
c22
c23
d2 ÷;
a
ç 31 a32
a33
b3 ÷ ç 0 0
c33
d3 ÷
è ø è ø
①当 c33 ¹ 0 时：方程组有唯一解；
②当 c33 = 0, d3 = 0 时：方程组有无穷多解。
③当 c33 = 0, d3 ¹ 0 时：方程组无解。
一、平面向量的概念与运算
1.平面向量的有关概念
第十章 平面向量
uuur
⑴向量的定义：既有大小又有方向的量，称为向量，记作 a,AB 等；其中向量的大小称为向量
r uuur
的模，记作 a , AB .
⑵零向量：始点与终点重合的向量，称为零向量，记作 0 ；其方向任意，与任意一个向量的方 向均相同；
⑶单位向量：模为 1 的向量，称为单位向量，常记作 e.
r
⑷相等向量：与 a 大小相等，方向相同的向量称为 a 的相等向量；
r r
⑸相反向量：与 a 大小相等，方向相反的向量，称为 a 的相反向量，或负向量；记作 -a ；
r
⑹共线向量：与 a 方向相同或相反的向量，与 a 互为共线向量，也叫做平行向量；
r
其中与 a 方向相同的向量称为同向向量，与 a 方向相反的向量称为反向向量；
r
0 与任意一个向量共线；
2.平面向量的坐标表示
r
⑴位置向量：在直角坐标系中，与 a 大小相等，方向相同，且以原点为始点，以 P 为终点的向
uuur r uuur
量 OP 称为 a 的位置向量； OP 的模也可称为向径；
任何一个向量都有唯一确定并与其相等的位置向量。因此所有的向量与以原点为起点的向量之 终点坐标之间形成一一对应关系。
r uur
⑵向量的坐标表示：若 a 的位置向量 OP 的终点 P 的坐标为 (x, y), 那么 a 可用 P 的坐标 (x, y)
r
来表示，即： a = (x, y).
r r
⑶向量模的坐标表示：若 a = (x, y), 则 a = .
⑷单位向量的坐标表示：
r
r r uur a æ
x y ö
若 a = (x, y), 则 a 的单位向量为 a0 = r = ç
a ç
, ÷；
x2 + y2 ÷
è ø
r
在直角坐标系中，我们记 i 为 x 轴正方向上的单位向量， j 为 y 轴正方向上的单位向量，
r r r r r
即： i = (1, 0), j = (0,1), 若 a = (x, y), 则 a = xi + y j;
3.平面向量的线性运算
⑴线性运算公式
r r r
①加法运算：若 a = (x1, y1), b = (x2 , y2 ), 则 a + b = (x1 + x2 , y1 + y2 );
r r r
②减法运算：若 a = (x1, y1), b = (x2 , y2 ), 则 a - b = (x1 - x2 , y1 - y2 );
r r
③数乘运算：若 a = (x, y), 则 ka = (kx, ky);
r r r
④线性运算：若 a = (x1, y1), b = (x2 , y2 ), 则 ka + lb = (kx1 + lx2 , ky1 + ly2 );
⑵线性运算律
r r r r
r r r r r
①加法运算律：⑴交换律： a + b = b + a; ⑵结合律： (a + b) + c = a + (b + c);
r r r r r r
②数乘运算律：⑴ l(a + b) = l a + lb; ⑵ (l + m)a = l a + m a; ⑶ l(m a) = (lm)a;
r r r
③向量共线的充要条件：两个向量 a, b 共线（平行）的充要条件是： a = lb.
r r r r
若 a = (x1, y1), b = (x2 , y2 ), 则 a, b 共线（平行）的充要条件是： x1 y2 = x2 y1.
uur uuur
④三点共线定理：平面上不同的三点 A, B, C 共线的充要条件是： AB = l BC.
⑶平行四边形法则（三角形法则）
①平行四边形法则：如图所示：在平行四边形 OACB 中：
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
OA + OB = OC;OB - OA = AB.
uuur uuur uuur
三角形法则：在 DOAB 中， OA + AB = OB.
uur
由三角形法则：若 A(x1, y1), B(x2 , y2 ), 则 AB = (x2 - x1, y2 - y1).
uur uuur uur r
②沙尔定理（向量的闭合回路）：在 DABC 中， AB + BC + CA = 0.
uuuur uuuur uuuuuur uuuur r
在平面 n 边形 A1A2 L An 中， A1A2 + A2 A3 +L+ An-1An + An A1 = 0.
r r r r r r
③向量模不等式： a - b £ a ± b £ a + b ；其中等号成立的条件为：
r r r r r r r r r r
①当且仅当 a = lb(l ³ 0) 时， a - b = a - b , a + b = a + b ;
r r r r r r r r r r
②当且仅当 a = lb(l £ 0) 时， a - b = a + b , a - b = a + b ;
ur ur uur ur ur uur
推广： a1 + a2 +L+ an £ a1 + a2 +L+ an .
ur uur uur
（当且仅当 a1, a2 ,L, an 两两共线且同向时等号成立）。
4.定比分点公式
uur uuur
⑴定比分点的定义：设 A, P, B 为一条直线上的三点，且满足： AP = l PB; 则称 l 为 P 分 AB
所成的定比，点 P 称为 AB 的定比分点；
⑵定比分点的分类
内分点： P 在线段 AB 上（含端点 A ）， l ³ 0;
外分点： P 在线段 AB 的延长线上， l < -1; P 在线段 AB 的反向延长线上， -1 < l < 0;
⑶定比分点公式：设 A, P, B 为一条直线上的三点，且 P 分 AB 所成的定比为 l, 若 A, B 的坐标 分别为 (x1, y1), (x2 , y2 ), 则点 P 的坐标 (x, y) 满足：
ì x = x1 + l x2
ï 1+ l
í
; 这就是定比分点公式。
ï y = y1 + l y2
îï 1+ l
⑷中点公式：设点 P 为 AB 的中点，则 P 分 AB 所成的定比 l = 1, 若 A, B 的坐标分别为
(x1, y1), (x2 , y2 ), 则点 P 的坐标 (x, y) 满足：
ì x = x1 + x2
í
ï 2 ; 这就是中点公式。
ï y = y1 + y2
îï 2
⑸重心公式：已知VABC 的顶点坐标分别为 A(x , y ), B(x , y ), B(x , y ), 则VABC 的重心
1 1 2 2 3 3
ì x = x1 + x2 + x3
í
G(x, y) 满足： ï 3 ;
ï y = y1 + y2 + y3
îï 3
二、平面向量的数量积及其应用
r r r r r r
1.数量积的定义： agb = a g b gcos a, b
称为 a 与 b 的数量积，也称为内积、点积或点乘，其
r r r r r r
中 a, b 为 a 与 b 的夹角，记作q = a, b , q Î[0,p ]; 规定：零向量与任意一个向量的数量积
为零。
r r
2.点乘坐标公式：若 a = (x1, y1), b = (x2 , y2 ) ，则： agb = x1x2 + y1 y2；
3.点乘运算律
r r r r
⑴交换律： agb = bga;
r r r r r r
⑵结合律： k (agb) = (ka)gb = ag(kb)；
r r r
r r r r r
注意： a, b, c 之间的点乘运算不满足结合律，即：当 a 与 c 不共线时， (agb)gc ¹ ag(bgc).
r r r r r r r r
当且仅当 a 与 c 共线时， (agb)gc = ag(bgc).
( ) ( )
r r r r r r r r r r r r r r
⑶分配律： ag b + c = agb + agc；a + b gc = agc + bgc；
r r r r r r r r r r r r r r
( )
2 2 2 2 2 2
⑷平方运算： a = aga = a ; a + b = a + b = a + b + 2 a b cos
r r
a, b ;
4.向量夹角公式：设两个非零向量 a = (x1, y1), b = (x2 , y2 ), a 与 b 的夹角为q ,
r r
则： cosq =
agb
=
r r
a g b
x1x2 + y1 y2 ;
r r
向量垂直的充要条件：两个非零向量 a ^ b 的充要条件是： agb = 0 Û x1x2 + y1 y2 = 0;
r r
5.向量投影公式：设两个非零向量 a = (x1, y1), b = (x2 , y2 ), 则 a 在 b 上的投影为：
r
r r
g
a gcosq = a b
x1x2 + y1 y2 .
r =
b
r
6.点到直线距离向量公式：设 n 为直线 l 的一个法向量， M 为直线 l 上的任意一点，则平面上
uuuur r
PM gn
点 P 到直线 l 的距离为：即 d = r 其中垂直于直线 l 的任意一个非零向量都可以称为直线
n
的一个法向量。
三、平面向量基本定理
r uur
1.平面的基向量：平面 p 上任意一组不共线的向量 e1, e2 都可以称为平面 p 的一组基向量。
ur uur r
2.平面向量基本定理：若 e1, e2 为平面 p 的一组基向量，则平面 p 上的任意一个向量 a 都可以
r ur ur
唯一地表示为： a = le1 + me2.其中 l, m 为实数。
uur uuuur uuur
3.三点共线定理：平面上有由同一起点 M 出发的三个向量 MA, MC, MB, 则 A, B, C 三点共线
uuuur uuur uuur
的充要条件是： MC = l MA + m MB, 且 l + m = 1.
4.定比分点向量公式：若点 P 分 AB 所成的定比为 l, 点 M 为平面上异于 A, B, P 的任意一点，
uuur
uuur uuur
则： MP = MA + l MB .
1+ l
5.三角形五心的简单向量性质：
已知 DABC 的重心、内心、外心、垂心、旁心分别为 G, I , O, H , P;
uuur uuur uuur r
⑴重心 G : GA + GB + GC = 0;
uur uur uur r
⑵内心 I : aIA + bIB + cIC = 0;
uuur uuur uuur
⑶外心 O : OA = OB = OC ;
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
⑷垂心 H : HAgHB = HBgHC = HCgHA;
uuur uuur uuur r
uur uuur uuur r
uur uuur uuur r
⑸旁心 P : aPA + bPB - cPC = 0 或 bPB + cPC - aPA = 0 或 cPC + aPA - bPB = 0
一.直线的倾斜角与斜率
第十一章 坐标平面上的直线
1.直线的倾斜角： x 轴正方向与直线向上方向的夹角；记作a，a Î[0,p )。
2.直线斜率的有关概念：
①斜率的定义： k = tan a (a ¹ p ), 若a = p ：斜率不存在；
2 2
ì arctan k, k ³ 0;
ï
í
②倾斜角的求法：a = ïp + arctan k, k < 0
ï
ïî
③斜率图： k - a 图；
p , k不存在时; 2
p 3p
3.直线斜率的求法
应用：a Î[0, ] U[ ,p ) Û k Î[-1,1];
4 4
①定义法：直线的倾斜角为a Þ k = tan a (a ¹ p );
2
r v
②直线的方向向量为 d = (u, v) Þ k = (u ¹ 0);
u
r a
③直线的法向量为 n = (a, b) Þ k = - (b ¹ 0);
b
④直线经过两定点( x , y ) , ( x , y ) Þ k = y2 - y1 (x ¹ x );
2 1
1 1 2 2 x - x 1 2
二、直线的方程
r
1.一般式： ax + by + c = 0(a, b, c Î R); 直线 ax + by + c = 0 的一个法向量为 n = (a, b) ，一个
ur
方向向量为 d = (-b, a);
0 0 (
x - x y - y
2.点方向式： = 或 v(x - x ) = u( y - y ); 其中： x ，y
) 为直线上的一定点，
u v 0 0 0 0
(u, v) 为直线的一个方向向量；
3.点法向式： a ( x - x0 ) + b ( y - y0 ) = 0; 其中： ( x0，y0 ) 为直线上的一定点， (a, b) 为直线的
一个法向量；
4.斜截式： y = kx + b(k, b Î R); 其中： k 为直线的斜率， b 为直线在 y 轴上的截距，简称纵截 距；
类斜截式： x = my + n(m, n Î R); 其中： n 为直线在 x 轴上的截距，简称横截距；
5.点斜式： y - y0 = k(x - x0 ); 其中： k 为直线的斜率， ( x0，y0 )为直线上的一定点；
6.两点式：(x2 - x1)( y - y1) = ( y2 - y1)(x - x1);其中：( x1，y1 )，( x2，y2 ) 为直线上不同的两点；
x y
7.截距式： + = 1; 其中： a 为直线在 x 轴上的截距，简称横截距； b 为直线在 y 轴上的截
a b
距，简称纵截距；
三、点与直线的位置关系
1.点与直线的位置关系：已知点 P ( x0 , y0 ) , 直线 l : y = kx + b;
⑴当 y0 > kx0 + b 时：点 P 在直线 l 的上方；
⑵当 y0 = kx0 + b 时：点 P 在直线 l 上；
⑶当 y0 < kx0 + b 时：点 P 在直线 l 的下方；
2.点到直线距离公式
点到直线距离公式：点(x0 , y0 )到直线 ax + by + c = 0 的距离为： d = ;
特别地：两平行线 ax + by + c1 = 0 与 ax + by + c2 = 0 之间的距离为： d =
3.直线过定点的求法：反客为主法，也可用“直线系法”理解；
c1 - c2 ;
a2 + b2
l：(k1a + b1)x + (k2a + b2 ) y + (k3a + b3 ) = 0；Þ (k1x + k2 y + k3 )a + (b1x + b2 y + b3 ) = 0；
( )
ìk1x + k2 y + k3 = 0 ìx = m
Þ í Þ í ；即直线 l 过定点： m，n ；
îb1x + b2 y + b3 = 0 î y = n
4. 对称点的求法:垂直、 平分； 如上图所示：设点 (m, n) 关于直线 y = kx + b 对称的点为
ì
(m ', n ') , 则： ï
k n - n '
m - m '
= -1
Þ ìm ' = f (m, n)
í í
ï n + n ' = k m + m ' + b î n ' = g(m, n)
îï 2 2
四、直线与直线的位置关系
已知直线： l1 : a1x + b1 y + c1 = 0, l2 : a2 x + b2 y + c2 = 0(a1, b1 不全为零， a2 , b2 不全为零 );
ur uur
它们一个法向量分别为 n1 = (a1, b1), n2 = (a2 , b2 ),
1.位置关系的判定方法：
ì a1x + b1 y + c1 = 0
联立 l1, l2 得到二元一次方程组： ía x + b y + c
; 则：
= 0
î 2 2 2
⑴当 D ¹ 0 时：方程组有一个解 Û l1 与 l2 相交；
⑵当 D = 0 且 Dx ¹ 0 或 Dy ¹ 0 时：方程组无解 Û l1 // l2；
⑶当 D = Dx = Dy = 0 时：方程组有无穷多个解 Û l1 与 l2 重合；
2.平行的判定方法：
⑴直线 l1 : a1x + b1 y + c1 = 0, l2 : a2 x + b2 y + c2 = 0(a1, b1 不全为零，a2 , b2 不全为零 ) 平行的充要
条件是： a1b2 = a2b1 且 a1c2 ¹ a2c1( 或 b1c2 ¹ b2c1);
r ur
ur uur
⑵已知直线 l1 与 l2 不重合，其法向量分别为 n1, n2 , 则 l1 // l2 的充要条件是： n1 // n2;
⑶已知直线 l1 与 l2 的斜率均存在，其斜率分别为 k1, k2 , 则 l1 // l2 的必要非充分条件是： k1 = k2;
3.垂直的判定方法：
⑴直线 l1 : a1x + b1 y + c1 = 0, l2 : a2 x + b2 y + c2 = 0(a1, b1 不全为零，a2 , b2 不全为零 ) 垂直的充要
ur uur
条件是： n1 ^ n2 Û a1a2 + b1b2 = 0;
⑵已知直线 l1 与 l2 的斜率均存在，其斜率分别为 k1, k2 , 则 l1 ^ l2 的充要条件是： k1k2 = -1;
4.两条直线相交：
⑴交点的求法：联立解方程组所得的解作为坐标的点；
ur ur
n1gn2
é p ù
⑵夹角公式： cosa =
ur uur =
a Î ê0, ú ;
n g n ë 2 û
1 2
tan a = =
,a Î é0, p ö;
2
ê
÷
ë ø
k2 - k1 a1b2 - a2b1
é p ö æ p ö
⑶到角公式： l1 到 l2 的角为q，tanq = =
1+ k k a a
+ b b
,q Î êë0, 2 ÷ U ç 2 ,p ÷；
1 2 1 2 1 2
ø è ø
五.简单线性规划（文科）
1.平面区域的确定：
⑴二元一次不等式表示平面区域
①二元一次不等式 Ax + By + C > 0 （或 < 0 ）在平面直角坐标系中表示直线
Ax + By + C = 0 某一侧所有点组成的点的集合。
②把直线 Ax + By + C = 0 同一侧的任意一点 (x, y) 代入方程 Ax + By + C 所得的符号都是相 同的。
③包含边界时，直线用实线表示；不包含边界时，直线用虚线表示。
⑵ y > kx + b 或 y < kx + b 所表示的平面区域
设直线 l : y = kx + b；
① y > kx + b 表示直线 l : y = kx + b 上方的区域；
② y = kx + b 表示直线 l : y = kx + b 上的点的集合；
③ y < kx + b 表示直线 l : y = kx + b 下方的区域；
⑶由不等式组所表示的区域是：各个不等式所表示的平面区域的公共部分；
ì A1x + B1 y + C1 > 0
ï
如：不等式组 ï A2 x + B2 y + C2 > 0 表示满足 Ax + B y + C > 0, A x + B y + C > 0
í
ï A3x + B3 y + C3 < 0
ïî LLLLLL
1 1 1 2 2 2
A3x + B3 y + C3 < 0,L 的平面区域的公共部分。
2.简单线性规划的有关概念
⑴线性约束条件：由 x, y 的二元一次不等式所组成的不等式组是对 x, y 的约束条件；
⑵线性目标函数：关于 x, y 的解析式 z = f (x, y), 一般为线性形式 z = ax + by + c ；
⑶可行解：满足约束条件的 x, y 的解；
⑷可行域：所有可行解所组成的集合；
⑸最优解：使目标函数达到最值的可行解；
⑹线性规划问题：求目标函数在线性约束条件下的最值问题； 3.用图解法解线性规划问题的一般步骤：
⑴设出所求的未知数；
⑵列约束条件（不等式组）；
⑶建立目标函数；
⑷作出可行域；
⑸运用图解法求出最优解； 4.截距型线性规划问题：
求目标函数 z = ax + by + c, b ¹ 0 的最值的一般步骤：
⑴根据一元二次不等式组作出可行域；
⑵将 z = ax + by + c, b ¹ 0 变形为 y
a x + z - c ;
=-
b b
则，求 z = ax + by + c, b ¹ 0 的最值转化为求直线 y
a
=- ¹
a x + z - c 在 y 轴上截距的最值问题；
=-
b b
⑶作出直线 l0 : y
x, b 0;
b
⑷确定 l0 的平移方向，依可行域判断取得最优解的点；
⑸解相关方程组，求出最优解，从而得到目标函数的最值；
注：若截距型线性规划问题有有限最优解，则一定有某个最优解是可行区域的一个极点。
5.目标函数的类型及解法（文理）：
⑴截距型目标函数：求线性目标函数 z = ax + by + c 的最值，就是先求出经过可行域内点的所
有平行直线 y
a x + z - c , b ¹ 0 在 y 轴上截距的最值，从而求出目标函数的最值；
=-
b b
⑵斜率型目标函数：求目标函数 z =
的最值；
y - b x - a
的最值，就是求可行域内的点与点 (a, b) 连线的斜率
⑶距离型目标函数：包括两点间距离与点到直线的距离；
①两点之间的距离：求目标函数 z =
的最值，就是求可行域内的点到点
(a, b) 的距离的最值；
②点到直线的距离： 求目标函数 z = ax + by + c 的最小值，就是求可行域内的点与直线
ax + by + c = 0 的距离的最小值，然后再乘上 ;
⑷面积或体积：如求可行域的面积，或将可行域绕一条直线旋转一周所形成的几何体的体积问 题等等；
⑸概率问题：适用于几何概型，可行域内符合题意的区域占整个区域的比例即为所求的概率。 注意：当遇到两个或两个以上的不等式时，我们应该想到线性规划法的应用。
第十二章 圆锥曲线
一、曲线与方程
1.曲线与方程的定义
在直角坐标系中，如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 f (x, y) = 0 的实数解有如下关系：
①曲线 C 上的点的坐标都是这个方程的解；
②以这个方程的解为坐标的点都在曲线 C 上；
则：方程 f (x, y) = 0 称为曲线 C 的方程，曲线 C 称为方程 f (x, y) = 0 的曲线；
2.求曲线轨迹方程的一般步骤
⑴建立适当的直角坐标系，设动点坐标；
⑵写出适合条件的动点的集合；
⑶用坐标表示动点的集合，列出等式；
⑷化简等式，整理得到曲线方程；
⑸证明所求的方程为曲线的方程（高中不要求），需要排除不合题意的点； 3.曲线方程的求法
⑴直接法：根据题意直接列式化简；
⑵定义法：可求出符合已知曲线定义的曲线的方程；
⑶参数法：根据题意列出参数方程，然后消去参数即可得到曲线的方程；
⑷交轨法：可求出两条直线、直线与曲线的交点的轨迹方程；
⑸转移法：将要求的曲线上的点转移到已知曲线上的点，可代入化简；
二、圆
1.圆的有关概念
⑴圆的定义：平面内到定点的距离等于定长（大于零）的点的轨迹称为圆，其中：定点称为圆 心，定长称为半径；
⑵圆的方程
①标准方程：
以 (0, 0) 为圆心，以 r 为半径的圆的方程为： x2 + y2 = r2;
以 (a, b) 为圆心，以 r 为半径的圆的方程为： ( x - a)2 + ( y - b)2 = r2;
②直径式方程：以 A(x1 , y 1) , B(x 2 , y 2 ) 为直径两个端点的圆的方程为：
(x - x1)(x - x2) +(y - y1)(y - y2) = 0;
③一般方程： x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0;
当 D2 + E2 - 4F < 0 时：不存在；
当 D2 + E2 - 4F = 0 时：表示点æ - D , - E ö;
ç 2 2 ÷
è ø
当 D2 + E2 - 4F > 0 时：表示圆，圆心为æ - D , - E ö;，半径为 r = ;
ç 2 2 ÷
è ø
注：二元二次方程 Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 表示圆的充要条件是：
① A = C ¹ 0; ② B = 0; ③ D2 + E2 - 4 AF > 0;
2.点与圆的位置关系
已知点 A 到圆心的距离为 d , 圆 C 的半径为 r, 则：
⑴点在圆内： d < r ； ⑵点在圆上： d = r ； ⑶点在圆外： d > r ；
注：弦的中点必在圆内； 3.直线与圆的位置关系
已知圆心到直线 l 的距离为 d ，圆的半径为 r ，联立直线与圆的方程得到一个一元二次方程， 其判别式为 D ；则直线与圆的位置关系有：
⑴相离： d > r Û D < 0;
⑵相切： d = r Û D = 0;
⑶相交： d < r Û D > 0;
特别地，直线过圆心： d = 0;
4.圆与圆的位置关系
若圆 O1 ,圆 O2 的半径分别为 R, r, 且满足 R > r, 两圆的圆心距为 O1O2 ; 则两圆的位置关系有：
⑴外离： O1O2
> R + r;
⑵外切： O1O2
= R + r;
⑶相交： R - r < O1O2
< R + r;
⑷内切： O1O2
= R - r;
⑸内含： O1O2
< R - r;
特别地，同心圆满足： O1O2
= 0;
5.圆系方程
2 2 2
⑴同心圆系：圆心为 (x0 , y0 ) 的圆系方程为： ( x - x0 )
+ ( y - y0 ) = r ，r 为参数且 r ¹ 0;
⑵过直线与圆交点的圆系：经过直线 l：Ax + By + C = 0 与圆 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 的交 点的圆系方程为： x2 + y2 + Dx + Ey + F + l( Ax + By + C) = 0, l 为参数；
1 1 1
⑶过两圆交点的圆系：过圆 x2 + y2 + D x + E y + F
= 0 与 x2 + y2 + D x + E y + F
= 0 交点
2 2 2
1 1 1 2 2 2
的圆系方程为： x2 + y2 + D x + E y + F + l ( x2 + y2 + D x + E y + F ) = 0; 其中 l 为参数且
2 2 2
l ¹ -1 。注：上述方程不包括圆： x2 + y2 + D x + E y + F
若 l = -1 ，则表示两圆的公共弦所在直线方程；
= 0 。
1 1 1
即：相交两圆 x2 + y2 + D x + E y + F
= 0 与 x2 + y2 + D x + E y + F
= 0 的公共弦所在直线
2 2 2
方程为： (D1 - D2 )x + (E1 - E2 ) y + F1 - F2 = 0;
6.圆中的直角三角形及其应用
⑴如图㈠： AB 为圆 O 中的弦，过点 O 作 OH ^ AB 于 H ，设圆的
半径为 r ， OH = d ( 称为弦心距 ), 则可得到圆中的弦长公式：
AB = 2 ;
应用：
①过圆内定点的最长弦为过该点的直径.
②过圆内定点的最短弦为垂直于过该点的直径的弦.
③圆内长度为定值的动弦的中点的轨迹是与圆同心的另一个圆。
⑵如图㈡： PA, PB 为圆 O 中的两条切线，连接 OP, OA, OB ，设圆
的半径为 r;
则可得到圆的切线长公式： PA =
PB = ;
应用：
①经过圆 x2 + y2 = r 2 上一点 P(x , y ) 的圆的切线方程为： x x + y y = r2;
0 0 0 0
0 0
②过圆 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 外一点 P(x , y ) 的圆的切线段的长度为：
l = ;
三、椭圆的性质与应用
1.椭圆的定义
平面内到两定点 F1, F2 的距离之和等于定值 2a (2a > F1F2 )的点的轨迹；
其中：定点 F1, F2 叫做焦点，它们之间的距离 F1F2
叫做焦距；
即：若点 P 为椭圆上的任意一点，则有： PF1 + PF2
= 2a;
①当 2a >
F1F2 时：表示以 F1, F2 为焦点的椭圆；
②当 2a =
F1F2 时：表示以 F1, F2 为端点的线段；
③当 2a <
F1F2
时：轨迹不存在；
2.椭圆的标准方程及其几何性质
标准方程
x2 y2
+ = 1(a > b > 0)
a2 b2
y2 x2
+ = 1(a > b > 0)
a2 b2
图形
范围
x Î[-a, a], y Î[-b, b]
x Î[-b, b], y Î[-a, a]
顶点
(±a, 0) , (0, ±b)
(0, ±a) , (±b, 0)
焦点
(±c, 0)
(0, ±c)
长轴
A1A2 = 2a
短轴
B1B2 = 2b
焦距
F1F2 = 2c
a, b, c
关系
a2 = b2 + c2
对称轴
x 轴， y 轴
通径
q = 2b2 / a
焦半径
PF , PF = a ± c x （左加右减）
1 2 a 0
PF , PF = a ± c y （下加上减）
1 2 a 0
焦点三角 形
S = b2 tan a （其中：a ＝ ÐF PF ）
VPF1F2 2 1 2
3.标准椭圆系方程
2 2 2 2
与 x + y
a2 b2
= 1共焦点的标准椭圆系方程为：
x
a2 + l
+ y
b2 + l
= 1(l 为参数且 l > -b2 )；
4.直线与椭圆的位置关系
2 2
已知直线 l : y = kx + m 与椭圆 C : x + y
= 1 ，联立直线与椭圆的方程得：
a2 b2
(a2k 2 + b2 ) x2 + 2kma2 x + a2m2 - a2b2 = 0; 其判别式为 D ，则：
⑴当 D> 0 时：直线 l 与椭圆 C 有两个交点，此时直线 l 与椭圆 C 相交；
⑵当 D= 0 时：直线 l 与椭圆 C 有一个交点，此时直线 l 与椭圆 C 相切；
⑶当 D< 0 时：直线 l 与椭圆 C 没有交点，此时直线 l 与椭圆 C 相离；
四、双曲线的性质与应用
1.双曲线的定义
平面内到两定点 F1, F2 的距离之差的绝对值等于定值 2a (2a <
F1F2 )
的点的轨迹；其中：定点
F1, F2 叫做焦点，它们之间的距离 F1F2
叫做焦距；
即：若点 P 为双曲线上的任意一点，则有：
PF1 - PF2
= 2a;
①当 2a <
F1F2
时：表示以 F1, F2 为焦点的双曲线；
②当 2a =
F1F2 时：表示以 F1, F2 为端点的两条射线；
③当 2a >
F1F2 时：轨迹不存在；
2.双曲线的标准方程及其几何性质
标准方程
x2 y2
- = 1(a, b > 0)
a2 b2
y2 x2
- = 1(a, b > 0)
a2 b2
图形
范围
x Î(-¥, -a] U[a, +¥), y Î R
x Î R, y Î(-¥, -a] U[a, +¥)
顶点
(±a, 0)
(0, ±a)
焦点
(±c, 0)
(0, ±c)
实轴、虚轴
A1A2 = 2a ， B1B2 = 2b
焦距
F1F2 = 2c
a, b, c
关系
c2 = a2 + b2
对称轴
x 轴， y 轴
渐近线
y
b x
=±
a
y a x
=±
b
通径
q = 2b2 / a
焦半径
PF , PF = a ± c x （左加右减）
1 2 a 0
PF , PF = a ± c y （下加上减）
1 2 a 0
焦点三角
S
= b2 cot a （其中：a ＝ ÐF PF ）
形
VPF1F2
2 1 2
3.等轴双曲线与共轭双曲线
x
⑴等轴双曲线：实轴与虚轴相等的双曲线，记作：
2 y2
-
= 1(a > 0) 或 y
2 x2
-
= 1(a > 0) ；
a2 a2 a2 a2
其实轴与虚轴的长均为 2a ，渐近线方程为： y = ± x;
x
⑵共轭双曲线：双曲线
2 y2
-
= 1(a, b > 0) 的共轭双曲线为 y
2 x2
-
= 1(a, b > 0) ；
a2 b2 b2 a2
它们的渐近线方程均为： y
4.标准双曲线系方程
b x; 它们的四个焦点共圆，圆的方程为： x2 + y2 = a2 + b2;
=±
a
2 2 2 2
⑴与 x - y
a2 b2
= 1共焦点的双曲线系方程为：
x
a2 + l
- y
b2 - l
= 1(l 为参数且 -a2 < l < b2 )；
x2 y2
⑵与 -
= 1共渐近线的双曲线系方程为： x
2 y2
-
= l(l 为参数且 l ¹ 0)；
a2 b2 a2 b2
5.直线与双曲线的位置关系
2 2
已知直线 l : y = kx + m(m ¹ 0) 与双曲线 C : x - y
= 1 ，联立直线与双曲线的方程得：
a2 b2
(b2 - a2k 2 ) x2 - 2kma2 x - (a2m2 + a2b2 ) = 0 ，其判别式为 D ，则：
当 b2 - a2k 2 = 0 即 k = ± b 时，方程为一次方程，有且只有一个根，即当直线 l 与双曲线的渐
a
近线平行时，直线 l 与双曲线 C 有且只有一个交点，但不相切；
当 b2 - a2k 2 ¹ 0 即 k ¹ ± b 时，方程为二次方程，直线 l 与双曲线的渐近线不平行，则：
a
⑴当 D > 0 时：直线 l 与双曲线 C 有两个交点，此时直线 l 与双曲线 C 相交；
⑵当 D = 0 时：直线 l 与双曲线 C 有一个交点，此时直线 l 与双曲线 C 相切；
⑶当 D< 0 时：直线 l 与双曲线 C 没有交点，此时直线 l 与双曲线 C 相离；
注意：直线与双曲线有且只有一个交点包含两种情况：
①二次项系数为零，即直线与渐近线平行；②二次项系数不为零时， D = 0;
五、抛物线的性质与应用
1.抛物线的定义
平面内到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离相等的点的轨迹； 其中：定点 F 叫做焦点，定直线 l 叫做准线；
①当 F Ï l 时：表示以 F 为焦点，以 l 为准线的抛物线；
②当 F Î l 时：表示以过点 F 且与 l 垂直的直线；
即：若点 P 为抛物线上的任意一点，且点 P 到准线 l 的距离记为 PH ，则有： PF
= PH ;
2.抛物线的标准方程及其几何性质
标准方程
y2 =2px(p >0)
y2 =-2px(p >0)
x2 = 2py(p > 0)
x2 =-2py(p>0)
图形
范围
x Î[0, +¥)
x Î(-¥, 0]
y Î[0, +¥)
y Î(-¥, 0]
顶点
原点 (0, 0)
焦点
F ( p , 0) 2
F (- p , 0) 2
F (0, p )
2
F (0, - p )
2
对称轴
x 轴
y 轴
准线方程
x =- p
2
x = p
2
y = - p
2
y = p
2
焦准距
p
通径
2 p
焦半径
x + p
0 2
-x + p
0 2
y + p
0 2
y + p
0 2
焦点弦
x1 + x2 + p
-x1 - x2 + p
y1 + y2 + p
- y1 - y2 + p
3.直线与抛物线的位置关系
已知直线 l : y = kx + m 与抛物线 C : y2 = 2 px ，联立直线与抛物线的方程得：
k 2 x2 + 2(km - p)x + m2 = 0 ，其判别式为 D ，则：
当 k 2 = 0 即 k = 0 时，方程为一次方程，有且只有一个根，即当直线 l 与抛物线的对称轴平行时， 直线 l 与抛物线 C 有且只有一个交点，但不相切；
当 k 2 ¹ 0 即 k ¹ 0 时，方程为二次方程，直线 l 与抛物线的对称轴不平行，则：
⑴当 D> 0 时：直线 l 与抛物线 C 有两个交点，此时直线 l 与抛物线 C 相交；
⑵当 D= 0 时：直线 l 与抛物线 C 有一个交点，此时直线 l 与抛物线 C 相切；
⑶当 D< 0 时：直线 l 与抛物线 C 没有交点，此时直线 l 与抛物线 C 相离；
注意：直线与抛物线有且只有一个交点包含两种情况：
①二次项系数为零，即直线与对称轴平行；②二次项系数不为零时， D = 0;
六、直线与圆锥曲线
1.联立法：求交点坐标与系数的关系；
已知直线 y = kx + m 与圆锥曲线有两个交点 P(x1, y1)、Q(x2 , y2 ) ，联立得关于 x 的一元二次方 程，其判别式 D> 0. 由韦达定理可得到 x1 + x2，x1x2 的表达式，则：
x1 - x2 = ;
y1 + y2 = (kx1 + m) + (kx2 + m) = k (x1 + x2 ) + 2m;
y y = (kx + m)(kx + m) = k 2 x x + km(x + x ) + m2;
1 2 1 2 1 2 1 2
x1x2 + y1 y2 =
(k 2
+1)
x x + km(x + x ) + m2;
1 2 1 2
应用：⑴弦长公式：
PQ =
x - x =
y - y
; 这个公式实际是两点间距离公
1 2 1 2
式的变形。
uuur uuur
⑵向量积： OPgOQ = x1x2 + y1 y2; 点 O 也可以换作其它的点，方法类似；
⑶斜率和： k
OP + kOQ
= y1 + y2 ; 例如两条直线的倾斜角互补，则可适用此法；
x1 x2
⑷坐标比：若 l = x1 , 则： l + 1 = x1 + x2 ; 这实际上是一种构造的方法，称为配偶法；
x2 l x2 x1
2.点差法：求中点坐标与直线斜率的关系（点差法需检验 D > 0 ）
已知直线 l 的斜率为 k, 直线与圆锥曲线相交于 P, Q 两点，且 PQ 的中点为 M(x0 , y0 )，则：
1 1 2 2
以抛物线 x2 = 2 py 为例：设点 P, Q 的坐标分别为( x , y ) , ( x , y ) , 代入抛物线的方程得：
ì x 2 = 2 py y - y x + x x
í 1 1 ; 两式相减得： x 2 - x 2 = 2 p( y - y ), 整理得： 1 2 = 1 2 , 即 k = 0 .
x 2 = 2 py
1 2 1 2
x - x 2 p p
î 2 2 1 2
x
⑴椭圆
2 y2
+
b2 x y
0
= 1： k =- 0 ; 椭圆
2 x2
+
= 1：则 k
a2 x
0
=- 0 ;
a2 b2
a2 y
a2 b2
b2 y
x
⑵双曲线
2 y2
-
b2 x y
0
= 1，则 k = 0 ; 双曲线
2 x2
-
a2 x
0
= 1，则 k = 0 ;
a2 b2
a2 y
a2 b2
b2 y
⑶抛物线 y2 = 2 px ，则 k =
p ; 抛物线 x2 = 2 py ，则 k = x0 ;
y0 p
注意：上述公式与圆锥曲线上一点处的切线斜率公式相同。 3.圆锥曲线的切线方程：
x
⑴椭圆
2 y2
+
= 1上一点 P(x , y ) 处的切线方程为： x0 x y0 y = 1;
+
a2 b2 0 0 a2 b2
y2 x2
椭圆 +
= 1上一点 P(x , y ) 处的切线方程为： y0 y + x0 x = 1;
a2 b2 0 0 a2 b2
x
⑵双曲线
2 y2
-
= 1上一点 P(x , y ) 处的切线方程为： x0 x y0 y = 1;
-
a2 b2 0 0 a2 b2
y
双曲线
2 x2
-
= 1上一点 P(x , y ) 处的切线方程为： y0 y - x0 x = 1;
a2 b2 0 0 a2 b2
⑶抛物线 y2 = 2 px 上一点 P(x , y ) 处的切线方程为： y y = p(x + x);
0 0 0 0
抛物线 x2 = 2 py 上一点 P(x , y ) 处的切线方程为： x x = p( y + y);
0 0 0 0
七、参数方程与极坐标初步（理科）
㈠、参数方程
1．参数方程的定义
ìx =
f (t)
在直角坐标系中，若曲线 C 上的任一点 M 的坐标都是某个参数 t 的函数：í
，且对于 t
î y = g(t)
ìx =
f (t)
ìx =
f (t)
的每一个允许值，由方程组 í 所确定的点 M (x, y) 都在曲线 C 上，则方程组 í
î y = g(t)
称为曲线 C 的参数方程， t 称为参数； 2.参数方程与直角坐标方程的互化
参数方程 ® 直角坐标方程：消参法； t 的范围 ® x 的范围； 直角坐标方程 ® 参数方程：设参法； x 的范围， y 的范围 ® t 的范围； 3.常见曲线的参数方程
⑴直线的参数方程：
î y = g(t)
① y - y = k (x - x )(k = tan a ) Û ìx = x0 + t cosa , (t 为参数，t Î R) ；
0 0 í y = y
+ t sin a ,
î 0
t 的几何意义： t = MP, M (x0 , y0 ), P(x, y)— 直线上的任意一点；
t > 0 Þ P 在 M 的上方， t < 0 Þ P 在 M 的下方； MP = t ;
î
0
② y - y = b (x - x ) Û ì x = x0 + at, (t 为参数，t Î R) ；
0 a 0
í y = y
+ bt,
设 P1, P2 为直线上的任意两点，其对应的参数分别为 t1, t2 ，则： P1P2 =
⑵圆的参数方程：
t1 - t2 ；
í y = r sinq ,
① x2 + y2 = r2 Û ìx = r cosq , (q 为参数，0 £ q £ 2p );
î
② ( x - a)2 + ( y - b)2 = r2 Û ìx = a + r cosq , (q 为参数，0 £ q £ 2p );
í y = b + r sinq ,
î
q 的几何意义：以 x 轴正方向为始边，以圆上的点与圆心的连线为终边旋转形成的角；
⑶椭圆的参数方程：
x2 y2
ìx = a cosq ,
+ = 1 Û í (q 为参数，0 £ q £ 2p );
a2 b2
î y = b sinq ,
y2 x2
ìx = b cosq ,
+ = 1 Û í (q 为参数，0 £ q £ 2p );
a2 b2
î y = a sinq ,
q 的几何意义：不是以 x 轴正方向为始边，以椭圆上的点与椭圆中心的连线为终边旋转形成的 角；
⑷双曲线的参数方程：
x2 y2
ì x = a secq ,
- = 1 Û í (q 为参数，0 £ q £ 2p );
a2 b2
y2 x2
î y = b tanq ,
ì x = b tanq ,
- = 1 Û í (q 为参数，0 £ q £ 2p );
a2 b2
î y = a secq ,
q 的几何意义：不是以 x 轴正方向为始边，以双曲线上的点与双曲线中心的连线为终边旋转形 成的角；
⑸抛物线的参数方程：
í
2
y2 = 2 px Û ìx = 2 pt , (t 为参数，t Î R);
î y = 2 pt,
í y = 2 pt 2 ,
x2 = 2 py Û ì x = 2 pt, (t 为参数，t Î R);
î
t 的几何意义：是抛物线上一点 P 与原点 O 连线的斜率的倒数，即 t =
㈡极坐标
1.极坐标系：如图，在平面内取一定点 O ，由 O 点出发，引一条射线 Ox ，在 Ox 上选定一个长度单位，再选择一个计算角度的正方向（一 般选择逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系，定点 O 称 为极点，射线 Ox 称为极轴；
2.点的极坐标
1 .
kOP
若 (r,q ) 为点 M 的极坐标，则 (r,q + 2kp )、(-r,q + (2kp -1)p ), k Î Z 也为点 M 的极坐标；
3.极坐标与直角坐标的互化
ìx = r cosq ,
⑴极坐标 ® 直角坐标： í ;
î y = r sinq ,
ì
⑵直角坐标 ® 极坐标： ï
r 2 = x2 + y2 ,
y ;
í
ïtanq =
î
4．常见曲线的极坐标方程
⑴直线的极坐标方程：
(x ¹ 0),
x
①过极点，倾斜角为a 的直线：q = a (r Î R)；
②垂直于极轴，且与极点的距离为 a 的直线： r cosq = a ；
③平行于极轴，且与极点的距离为 a 的直线： r sinq = a ；
④倾斜角为a ，且与极点的距离为 a 的直线： r sin(q - a ) = a ；
⑵圆的极坐标方程：
①圆心在极点，半径为 r 的圆： r
= r(r Î R)；
②过极点，圆心在极轴上的圆： r = 2r cosq ；
③过极点，圆心在过极点且垂直于极轴的直线上的圆： r = 2r sinq ；
④以( r0 ,q0 ) 为圆心，以 r 为半径的圆： r + r - 2r r cos(q -q ) = r ；
2 2 2
0 0 0
⑶圆锥曲线统一的极坐标方程： 圆锥曲线的统一的定义：
平面内，到定点的距离与到定直线的距离之比等于定值 e 的点的 轨迹。当 0 < e < 1时：表示椭圆；当 e = 1 时，表示抛物线；当 e > 1 时，表示双曲线；
圆锥曲线统一的极坐标方程：
以定点为极点，以过极点且垂直于定直线的垂线段的反向延长线为极轴，建立如图所示极坐标
ep
系：则圆锥曲线统一的极坐标方程为： r =
⑷阿基米德螺线：
1- e cosq
,其中 e 为离心率， p 为焦准距；
阿基米德螺线的定义：亦称"等速螺线"。如图所示，当一点 P 沿 动射线 OP 以等速率 v 运动的同时，该射线又以等 角速度 w 绕 点 O 旋转，点 P 的轨迹称为"阿基米德螺线"。
阿基米德螺线的极坐标方程： r = aq . 其中 a = v .
w
第十三章 复数初步
一、复数的有关概念
1.复数的定义
规定 i2 = -1 ，则 z = a + bi,(a Î R, b Î R) 称为复数；其中 a = Re(z)— 实部，b = Im(z)— 虚 部， i— 虚数单位；
⑴当 b = 0 时： z 为实数；⑵当 b ¹ 0 时： z 为虚数；⑶当 a = 0, b ¹ 0 时： z 为纯虚数；
2.共轭复数： z = a - bi ；
共轭复数的性质：
⑴ z = z; zz =
2
2
z = z ; ⑵ z = -z Û z 为纯虚数或 0 ； z = z Û z 为实数；
n
n
⑶ z + z = 2 Re z, z - z = 2i Im z; ⑷ z1 ± z2 = z1 ± z2; z1g z2 = z1g z2; z1 / z2 = z1 / z2; z = z ;
3.复数的模： z = ；
复数模的有关性质：
2
z z n n
⑴ z = z , z = zz, ⑵ z z = z z , 1 = 1 , z = z ;
z
z
1 2 1 2
2 2
2 2 2 2
⑶ z1 + z2 + z1 - z2 = 2 z1 + 2 z2 ；
⑷复数模不等式：
z1 - z2
£ z1 ± z2
£ z1 + z2
其中等号成立的条件为：
①当且仅当 z1 = l z2 (l ³ 0) 时，
z1 - z2
= z1 - z2 , z1 + z2
= z1 + z2 ;
②当且仅当 z1 = l z2 (l £ 0) 时，
z1 - z2
= z1 + z2 , z1 - z2
= z1 + z2 ;
推广： z1 + z2 +L+ zn
£ z1 + z2
+L+ zn .
（当且仅当 z1, z2 ,L, zn 两两共线且同向时等号成立）。
二、复数的运算
1.复数相等：实部与实部相等，虚部与虚部相等；
ìa = c
⑴ a + bi = c + di Û í
îb = d
ìa = 0
； ⑵ a + bi = 0 Û í ；
îb = 0
2.复数比较大小： 复数一般不能比较大小，复数的模可以比较大小；如果两个复数可以比较大小，则这两个复数 必然是实数。
3.复数的四则运算：与多项式运算方式类似；
⑴复数的加法： (a + bi ) + (c + di ) = (a + c) + (b + d ) i;
⑵复数的减法： (a + bi ) - (c + di ) = (a - c) + (b - d ) i;
⑶复数的乘法： (a + bi ) (c + di ) = (ac - bd ) + (ad + bc) i;
a + bi ac + bd bc - ad
⑷复数的除法： = + i, 分母实数化；
c + di c2 + d 2 c2 + d 2
⑸复数的乘方： (a + bi )n = (a + bi ) (a + bi)L(a + bi );
14444244443
n个(a+bi)相乘
棣莫弗定理：若复数 z = cosq + i sinq , 则 zn = cos nq + i sin nq .
⑹复数的开方：复数乘方的逆运算，若 zn = a + bi ，可设 z = x + yi; 则：( x + yi )n = a + bi; 然
后利用复数相等求出 x = x0 , y = y0 等，则 z = x0 + y0i 等；
定理：一个复数 z 的 n 次方程必有 n 个，它们均匀地分布在一个原点为圆心，以 n z 为半径的 圆上，若记它们为 z1, z2 ,L, zn , 则必有 z1 + z2 +L+ zn = 0;
4.虚数单位 i 的有关运算：
⑴ i0 = 1, i1 = i, i2 = -1, i3 = -i;
⑵ i4n = 1, i4n+1 = i, i4n+2 = -1, i4n+3 = -i(n Î N *) ；
⑶ in + in+1 + in+2 + in+3 = 0(n Î N * )；（俗称：连续四个之和为零）
+
=-
5.三次单位原根w 的有关运算： w 1 i.
2 2
⑴ w0 = 1,w1 = w,w 2 = w = 1 ;
w
⑵ w3n = 1,w3n+1 = w,w3n+2 = w = 1 (n Î N *) ；
w
⑶ wn + w n+1 + w n+2 = 0(n Î N * )；（俗称：连续三个之和为零）
三、复数的几何意义
uuur
1.复平面： z = a + bi 与点(a, b)、OZ 一一对应； 实轴： x 轴；虚轴： y 轴除去原点；
2.平行四边形法则（三角形法则）
uuuur uuuur
z1 = a + bi : OZ1, z2 = c + di : OZ2 , 以 OZ1、OZ2 为两边作YOZ1ZZ2 ，如图所示：
uuur uuuuur
则： z1 + z2 : OZ , z1 - z2 : Z2Z1, z1 - z2
3.复平面上两点间的距离：
= Z1Z2 , z1 + z2
= OZ ;
设复数 z1 = x1 + y1i, z2 = x2 + y2i ，则：
uuuur
Z1Z2 = z1 - z2 =
表示复数 z1, z2 在复平面上对应点的距离；
4.平面轨迹的复数表示： z = x + yi(x, y Î R);
⑴直线的复数表示：
ì x = x0 + at;
z = (x0 + at) + ( y0 + bt)i Û í y = y
(t 为参数 ) ；
+ bt;
î 0
z - (a + bi) = z - (c + di) Û (a, b)(c, d ) 组成线段的垂直平分线；
⑵圆的复数表示：
z = r(r > 0) Û x2 + y2 = r 2
；
z - (a + bi) = r(r > 0) Û (x - a)2 + ( y - b)2 = r 2
⑶椭圆的复数表示：
x2 y2
z + c + z - c = 2a(a > c) Û + = 1
a2 b2
；
y2 x2
z + ci + z - ci = 2a(a > c) Û + = 1
⑷双曲线的复数表示：
a2 b2
x2 y2
z + c - z - c = 2a(a < c) Û - = 1
a2 b2
；
y2 x2
z + ci - z - ci = 2a(a < c) Û - = 1
a2 b2
四、一元二次方程的解法
1.复系数一元二次方程的解法：
解一元二次方程 (a + a i)x2 + (b + b i)x + c + c i = 0(a , a , a , b , b , b
Î R) 时，
1 2 1 2 1 2 1 2 3 1 2 3
可设 x = m + ni(m, n Î R) ，代入方程，用复数相等的规则解决；
复系数一元二次方程同样满足：
⑴求根公式： x1,2 =
-b ±
2a
, 其中
表示 D 的一个平方根。
ìx + x
= - b1 + b2i ;
ï
í
⑵韦达定理： ï
ï
ïî
1 2
x1g x2
a1 + a2i
= c1 + c2i ;
a1 + a2i
2.实系数一元二次方程的解法
⑴求根公式：实系数一元二次方程 ax2 + bx + c = 0, D = b2 - 4ac 的求根公式：
-b ±
①当 D> 0 时：方程有两个不同的实根 x1,2 = ；
2a
b
②当 D= 0 时：方程有两个相同的实根 x1 = x2 = - ;
2a
-b ± i
③当 D< 0 时：方程有两个共轭虚根 x1,2 = ；
2a
ìx + x = - b
ï
a
1 2
í
⑵韦达定理： ; x - x = .
c 1 2
ï
îï x1x2 = a
b
若方程有虚根，则： x1 = x2 , x1 + x2 = 2 Re x1 = - , x1x2 =
a
x = c ;
2
1 a
⑶共轭虚根定理：实系数一元 n 次方程，若有虚根，必成对共轭出现；
推论：实系数一元奇次方程必有实根。
一、平面及其基本性质
第十四章 空间直线与平面
1.空间点、直线、平面的表示方法
⑴空间点的表示：空间中的点一般用大写的英文字母表示，如点 A, B, C 等；
⑵空间直线的表示：直线一般用小写英文字母表示，也可以用直线上的亮点来表示直线，如直 线 a, b, c 或直线 AB, AC 等；
⑶空间平面的表示：平面通常用希腊字母a , b ,g 等来表示，立体几何中常用画平行四边形来表
示平面，因此也可以用平行四边形的顶点或相对的顶点来表示，如平面 ABCD 或平面 AC;
2.平面的基本性质（三大公理）
⑴公理一：一条直线上有两个点在一个平面内，则这条直线上所有点都在这个平面上； 数学语言： A Î l, B Î l, A Îa , B Îa Þ l Ü a ;
⑵公理二：一个点在两个不同的平面内，则这个点一定在两平面的交线上； 数学语言： AÎa , A Î b ,a I b = l Þ AÎ l;
⑶公理三：经过不在一条直线上的三个点唯一确定一个平面； 推论一：经过直线和直线外的一点，有且只有一个平面； 推论二：经过两条相交的直线，有且只有一个平面； 推论三：经过两条平行的直线，有且只有一个平面； 3.三大公理的应用
⑴证明多点共面：利用公理三及其推论，证明三点确定一个平面，然后再证明其余各点均在这 个平面上。
⑵三点共线的证明方法：利用公理二，证明三点均在两个平面的交线上即可。
⑶三线共点的证明方法：两个平面内的两条直线均过一点，而这一点又在这两个平面的交线上， 则可证明这三条直线共点。
⑷几何体截面的作图依据：三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平 行。
⑸平面图形的翻折：平面图形的翻折要注意翻折前后的长度、角度、位置的变化，翻折前后在 同一个三角形中的角度、长度不变。
二．空间两条直线
1.空间两条直线的位置关系
⑴相交：两条直线在同一个平面内，有且只有一个公共点，记作 a I b = A;
⑵平行：两条直线在同一个平面内，没有公共点，记作 a // b;
⑶异面：两条直线不在任何一个平面内，没有公共点，记作 a 与 b 异面；
2.两条直线平行
⑴公理四：对于空间的三条直线，平行于同一条直线的两条直线平行； 平行的传递性：记作： l1 // l, l2 // l Þ l1 // l2;
⑵等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等； 推论：如果两组相交直线分别对应平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等； 3.异面直线
⑴异面直线的定义：不在任何一个平面内，没有公共点的两条直线；
⑵异面直线的判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面 直线；
⑶异面直线所成角：过空间任意一点分别作异面直线的平行线，这两条平行线所成的锐角（或
直角）即为异面直线所成的角；记作a ，则：a Îæ 0, p ù ; 特别地：如果两条异面直线所成的
ç 2 ú
è û
p
角为 时，称这两条直线异面垂直；
2
其求法有：平移法，向量法等。
⑷异面直线之间的距离：
⑴异面直线的公垂线的定义：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线；
⑵异面直线之间的距离：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线之间的线段的长度；
⑶异面直线两点间距离公式： 异面直线 l1, l2 的夹角为a , CD 为 l1, l2 的公垂线，C Î l1, D Î l2 ,
uuur uuur
且 CD = d , 点 E 为 l1 上异于 C 的点，点 F 为 l2 上异于 D 的点，且 CE, DF = a , 则点 E, F 之
间的距离为： EF = .
三．空间直线与平面
1.直线与平面的位置关系
⑴直线在平面内：直线与平面有无数多个公共点，记作 a Ü a ;
⑵直线与平面相交：直线与平面有且只有一个公共点，记作 a Ia = A;
⑶直线与平面平行：直线与平面没有公共点，记作 a // a;
2.直线与平面平行
⑴直线与平面平行的定义：若一条直线与一个平面没有公共点，则称这条直线与这个平面互相 平行，记作：若直线 l 与平面a 没有公共点，则 l // a;
⑵直线与平面平行的判定定理：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直 线和这个平面平行；
数学语言： l1 Ë a，l2 Ü a，l1 // l2 Þ l1 // a ；
⑶直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和已知平 面相交，那么这条直线和交线平行；
数学语言： l1 // a，l1 Ü b，a I b = l2 Þ l1 // l2；
⑷平行的直线与平面之间的距离：
①点与平面的距离：从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离称为这个点和这个平
面的距离；
②定理：如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线上的任意一点到平面的距离都相等；
③平行的直线与平面之间的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上的任意一点到平面的 距离称为这条直线和这个平面的距离；
3.直线与平面垂直
⑴直线与平面垂直的定义：若一条直线与一个平面内的任意一条直线垂直，则称这条直线与这 个平面互相垂直；记作： l ^ a; 此时直线 l 称为平面a 的垂线，平面a 称为直线 l 的垂面；平
面的垂线一定和平面相交，其交点称为垂足。
定理：过一点有且只有一条直线和一个平面垂直；
⑵直线与平面垂直的判定定理： 直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直 线垂直于这个平面；
数学语言： l ^ l1，l ^ l2，l1 Ü a，l2 Ü a Þ l ^ a；
直线与平面垂直的判定定理二：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂 直于同一个平面；
数学语言： l1 // l2，l1 ^ a Þ l2 ^ a；
⑶直线与平面垂直的性质定理： 直线与平面垂直的性质定理一：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行；
数学语言： l1 ^ a，l2 ^ a Þ l1 // l2；
直线与平面垂直的性质定理二：经过一点且与一条直线垂直的所有直线，都在经过该点且垂直 于已知直线的平面内；
数学语言： l I l1 = A, A Îa , l1 ^ a Þ l Ü a；
4.直线与平面所成的角
⑴点在平面的射影：自平面外的一点引平面的垂线，垂足叫做这个点在平面上的射影，这个点 与垂足之间的线段叫做这个点到平面的垂线段；
⑵斜线与射影的有关概念：一条直线和一个平面相交，但是不垂直，则这条直线叫做这个平面 的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，斜线上一点与斜足之间的线段叫做这个点到平面的斜线 段；过斜线上的一点引平面的垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在平面上的射影；垂足和斜 足之间的线段叫做这个点到平面的斜线段在这个平面上的射影，斜线上任意一点在平面上的射 影一定在该斜线的射影上；当直线和平面垂直时：直线在平面上的射影是一个点；当直线和平 面平行时：直线在平面上射影是和该直线平行的一条直线。
⑶直线与平面所成的角：直线与直线在平面上射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成 的角；当直线在平面内或直线平行于平面时，称直线与平面所成的角为 0o 角；当直线和平面垂
直时，称直线与平面所成的角为直角；若记直线与平面所成的角为a , 则a Î[0, p ].
2
最小角定理：斜线和平面所成的角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的所有角中最小的 角；
三射影定理：长度为 l 的线段在三个两两垂直的平面上的射影长分别为 a, b, c ，
l 与 a, b, c 的夹角分别为a , b ,g , 则：
① a2 + b2 + c2 = l 2; ② cos2 a + cos2 b + cos2 g = 1; ③ sin2 a + sin2 b + sin2 g = 2.
5.三垂线定理及其应用
⑴三垂线定理及逆定理 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条 斜线垂直。 三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这 条斜线在平面内的射影垂直。
⑵三垂线定理的应用：“一定平面，二定垂线，三找斜线，射影可连，直线随便”。
①如果平面外一点到平面上两点的距离相等，则这个点在平面上射影在以这两个点为端点的线 段的中垂线上；
②如果过平面外一点的斜线与平面内的一条直线垂直，那么这一点在平面上的射影在过斜足且 垂直于平面内直线的直线上；
③如果一个角所在平面外一点到角两边的距离相等，那么这个点在平面上的射影在这个角的平 分线上；
④经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线和这个角两边的夹角相等，那么斜线 上的点在平面上的射影在这个角的平分线所在直线上；
⑤点 P 是 DABC 所在平面a 外一点，点 O 是点 P 在平面a 内的射影；
若 PA, PB, PC 两两垂直，则点 O 为 DABC 的垂心；
若点 P 到 DABC 的三边的距离相等，且点 O 在 DABC 的内部，则点 O 为 DABC 的内心； 若 PA = PB = PC ，则点 O 为 DABC 的外心；
四、空间两个平面
1.平面与平面的位置关系
⑴平行：两个平面没有公共点，记作a // b 或a I b = Æ;
⑵相交：两个平面至少有一个公共点，或者说两个平面有一条公共直线 l ，记作a I b = l;
2.两个平面平行
⑴两个平面平行的定义：如果两个平面没有公共点，则称这两个平面平行，记作 a // b 或
a I b = Æ;
⑵两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两 个平面平行。 推论一：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两 个平面平行。
推论二：垂直于同一条直线的两个平面平行。
⑶两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 推论：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面。
⑷两个平行平面之间的距离
①两个平行平面的公垂线与公垂线段：和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平行平面的 公垂线；它夹在这两个平行平面之间的部分（包括端点），叫做这两个平行平面的公垂线段。
②定理：两个平行平面之间的公垂线段都相等；
③两个平行平面之间的距离：两个平行平面之间的任意一条公垂线段的长度叫做这两个平行平 面之间的距离。
3.二面角
⑴二面角的有关概念：一个平面内的一条直线，把平面分成两个部分，其中每一个部分都叫做 半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；这条直线叫做二面角的棱，
这两个半平面都叫做二面角的面。棱为 l, 面为a , b 的二面角，记作：二面角a - l - b .
⑵二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条 射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。二面角的大小等于其平面角的大小。特别地： 平面角是直角的二面角叫做直二面角。
⑶面积射影定理：多边形在平面a 内的射影面积与多边形面积之比，等于多边形所在平面与平 面a 所成的二面角的余弦。
⑷二面角的求法
①定义法:在二面角的棱上任取一点，过这点在二面角的两个半平面内分别引垂直于棱的射线， 这两条射线所成的角，就是二面角的平面角；
②三垂线法：利用线面垂直关系来确定平面角：自二面角的一个面内一点 A 向另一个面引垂线， 再由垂足 H 向棱作垂线，得到棱上一点 O, 则 ÐAOH 即为二面角的平面角或其补角。
③垂面法：利用棱的垂面来确定二面角的平面：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得到 两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。
S '
④面积射影定理法：利用面积射影定理 cosq = ：其中q 为二面角的大小， S 是二面角的一
S
个面内图形 F 的面积， S ' 是图形 F 在二面角的另一个面内的射影。
⑤向量法：利用向量法
⑥“无棱”二面角的求法：一是利用平移法或延展平面法等作出它的棱；二是利用面积射影定 理法或向量法解决。
4.两个平面垂直
⑴两个平面垂直的定义：两个平面相交，如果所成的二面角为直二面角，则称这两个平面垂直。
⑵两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相 垂直。
⑶两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在其中一个平面内垂直于它们交线的直 线垂直于另一个平面。
五、空间向量在立体几何中的应用(理科)
1.空间坐标系的建立:取有公共原点 O 的三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴 Ox, Oy, Oz ， 这样就构成了一个空间直角坐标系，记作空间坐标系 O - xyz ；规定： x 轴， y 轴， z 轴符合
右手定则（拇指指向 x 轴，食指指向 y 轴，中指指向 z 轴）； xOy 平面、 xOz 平面、 yOz 平面 统称为坐标平面。空间坐标系在平面上的画法采用斜二测画法。
2.空间点坐标的确定
设 P(x, y, z) 为空间任意一点，过点 P 向 x 轴作垂线 PH x 于点 Hx ，点 Hx 在 x 轴上的坐标即为
P 点坐标的 x 分量；过点 P 向 y 轴作垂线 PH y 于点 Hy ，点 Hy 在 y 轴上的坐标即为 P 点坐标 的 y 分量；过点 P 向 z 轴作垂线 PH z 于点 Hz ，点 Hz 在 z 轴上的坐标即为 P 点坐标的 z 分量；
空间点坐标的性质：
①空间点 P 与有序数组 (x, y, z) 一一对应；
② x 轴上的点：(x, 0, 0)；y 轴上的点：(0, y, 0)；z 轴上的点：(0, 0, z)；
③ xOy 平面上的点：(x, y, 0)； xOz 平面上的点：(x, 0, z)； yOz 平面上的点：(0, y, z)；
④ x- 点 P 到 yOz 平面的距离； y- 点 P 到 xOz 平面的距离； z- 点 P 到 xOy 平面的距离；
3.空间中平面法向量的求法： 平面法向量的定义:空间中,与已知平面垂直的任意一个非零向量,称为这个平面的一个法向量;
r r
已知平面a 上有不平行的两个向量 a = (x1, y1, z1), b = (x2 , y2 , z2 ) ，设平面a 的法向量为：
r r
r ìïn · a = 0 ì x x + y y + z z = 0 ìx = f (z)
n = (x, y, z) ，则： ír r
Û í 1 1 1 Þ í ;
ïîn · b = 0
îx2 x + y2 y + z2 z = 0 î y = g(z)
ìx = f (1) r r
令 z = 1，则： í
î y = g(1)
Þ n = ( f (1), g(1),1); 即：平面a 的一个法向量为 n = ( f (1), g(1),1);
注意：平面法向量也可以用空间向量的叉乘求解。 4.空间位置关系的判定
⑴平行的判定：
uuur uuur
线线平行： AB // CD Û AB = lCD(l ¹ 0), 且 AB 与 CD 不重合。
uuur r
线面平行： AB // a Û ABgn = 0, 且 AB Ë a.其中 n 为平面a 的一个法向量。
r ur r ur
面面平行：a // b Û n1 // n2 且a ¹ b ; 其中 n1, n2 分别为平面a , b 的一个法向量。
⑵垂直的判定
uuur uuur
线线垂直： AB ^ CD Û AB ^ CD.
uuur r
线面垂直： AB ^ a Û AB = l n(l ¹ 0). 其中 n 为平面a 的一个法向量。
ur uur r ur
面面垂直：a ^ b Û n1gn2 = 0. 其中 n1, n2 分别为平面a , b 的一个法向量。
5.空间角度的求法
⑴异面直线所成角:设异面直线 AB, CD 所成的角为q , 则： cosq =
uuur uuur
ABgCD
uuur uuur .
AB CD
⑵直线与平面所成角:直线 AB 与平面a 所成角为q , 则: sinq =
uuur r
ABgn
uuur r .
AB n
r
其中 n 为平面a 的一个法向量。
⑶二面角：设二面角a - l - b 的大小为q (q Î[0,p ]) 或其补角，则： cosq =
ur uur
n1gn2
ur uur .
n1 n2
设 cosq = m, 由观察得：当二面角a - l - b 为锐角时： q = arccos m; 当二面角a - l - b 为钝
r uur
角时：q = p - arccos m; 其中半平面a 的一个法向量为 n1 ，半平面 b 的一个法向量为 n2 。
6.空间距离的求法
⑴点到直线距离:设点 P 是空间任意一点, A, B 为直线 l 上的任意两点,则点 P 到直线 l 的距离
uuur uuur
PA´ PB
为： d = uuur .
AB
注：这个公式也适用于空间两平行直线之间的距离。
⑵点到平面距离:设点 P 是空间任意一点,平面 a 的一个法向量为 n, 点 M 为平面 a 内的任意
uuuur r
PM gn
一点,则点 P 到平面a 的距离为： d = r .
n
注：这个公式也适用于平行的直线与平面，两平行平面，异面直线之间的距离。
第十五章 多面体与旋转体
一、多面体的概念与性质 1.多面体的有关概念
⑴多面体的定义
由若干个多边形所围成的几何体，称为多面体；多面体的各个多边形叫做多面体的面，两 个面的公共边叫做多面体的棱，若干个面的公共顶点叫做多面体的顶点。
一个多面体至少有四个面，按照它的面数可以分为四面体、五面体、L 、 n 面体；
⑵多面体的分类 凸多面体：把多面体的任意一个面延伸成一个平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧， 这样的多面体称为凸多面体。 凹多面体：把多面体的任意一个面延伸成一个平面，如果其他各面中至少有一个面在这个平面 的两侧，这样的多面体称为凹多面体。
⑶欧拉定理：简单多面体的顶点数V 、棱数 E 、面数 F 满足：V + F - E = 2 ；
2.棱柱
⑴棱柱的定义
两个平面平行，其余各个平面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，由 这些面所围成的几何体叫做棱柱。
这两个互相平行的平面叫做棱柱的上下底面，其余各面叫做棱柱的侧面，两个相邻侧面的 公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点，不在同一个面上的两个顶点 的连线叫做棱柱的对角线，两个底面之间的距离叫做棱柱的高。
⑵棱柱的分类：三棱柱、四棱柱、L 、 n 棱柱；
ì ì 正棱柱
í î
棱柱 ï直棱柱 í其他直棱柱；
ï
î 斜棱柱
直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱； 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱； 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱；
⑶棱柱的性质
①侧棱都相等，侧面都是平行四边形；
②两个底面与平行底面的任意一个截面都是对应边平行的全等多边形；
③过不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形；
⑷平行六面体
①平行六面体的有关概念
四棱柱 ¾¾底¾面是¾® 平行六面体 ¾侧¾棱¾垂直¾于底¾面® 长方体 ¾各¾边¾长度¾® 正方体；
平行四边形
②长方体的性质
底面是矩形
都相等
长方体对角线长定理：长方体的长、宽、高分别为 a,b,c，则长方体的体对角线长为：
l = a2 + b2 + c2；它是三射影定理的一种特殊情况。
推论一：长方体的体对角线与同一顶点处的三条棱的夹角分别为a、b、g，则：
cos2 a + cos2 b + cos2 g = 1, sin2 a + sin2 b + sin2 g = 2；
推论二：长方体的体对角线与同一顶点处的三个面的夹角分别为a、b、g，则：
cos2 a + cos2 b + cos2 g = 2, sin2 a + sin2 b + sin2 g = 1；
③正方体的性质：
推论三：正方体的体对角线与各棱的夹角都等于 arccos , 与各面的夹角都等于 arccos . ；
3 3
3.棱锥
⑴棱锥的定义
一个面是多边形，其余各面为具有公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥； 这个多边形所在的面称为棱锥的底面，其余各面叫做棱锥的侧面，相邻各面的公共边称为
棱锥的侧棱，各侧面的公共顶点称为棱锥的顶点，顶点到底面的距离叫做棱锥的高。
⑵棱锥的分类：三棱锥、四棱锥、L 、 n 棱锥；
ì正棱锥
棱锥 í ；
î斜棱锥
正棱锥：底面为正多边形，顶点在底面的射影为底面中心的棱锥叫做正棱锥； 正棱锥的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高都相等， 它叫做正棱锥的侧高；顶点与底面中心的连线垂直于底面； 斜棱锥：正棱锥以外的其他棱锥叫做斜棱锥；
⑶棱锥的性质 棱锥的性质定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面与底面相似，并且它们的面积 比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高的平方比；
⑷正四面体 正四面体：各条棱都相等的正三棱锥，叫做正四面体；
正四面体侧棱与底面所成角为 arccos , 侧面与底面所成二面角为 arccos 1；
3 3
正四面体的体高：棱长为 a 的正四面体的体高为 6 a.
3
二、旋转体的概念与性质 1.旋转体的有关概念
⑴旋转面：一条平面曲线（包括直线）绕其所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋 转面。这条定直线叫做旋转轴。无论旋转到什么位置，这条曲线都叫做旋转面的母线。
⑵旋转体： 旋转体的定义：平面图形绕这个平面内的一条直线旋转一周所成的空间几何体叫做旋转体；也 可以是封闭的旋转面所围成的空间几何体。如：圆柱、圆锥、圆台、球等都是旋转体。 旋转体的两要素：一是被旋转的平面图形，二是旋转轴。
2.圆柱
⑴圆柱的定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的旋转体 叫做圆柱，旋转轴叫圆柱的轴；过圆柱的轴作圆柱的截面叫做圆柱的轴截面；垂直于旋转轴的 边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于圆柱轴的边旋转而成的面叫圆柱的侧面，圆柱的侧
面又称圆柱的面。无论转到什么位置，不垂直于轴的边都叫圆柱侧面的母线。圆柱用旋转轴的 字母表示，如圆柱 OO1 。规定：圆柱和棱柱统称为柱体。
⑵圆柱的性质：
①上下底面的圆心的连线垂直于上下底面；
②平行于底面的截面都是全等的圆；
③轴截面都是全等的矩形；
3.圆锥
⑴圆锥的定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转而形成的面所 围成的旋转体叫做圆锥。旋转轴叫圆锥的轴；过圆锥的轴作圆锥的截面叫圆锥的轴截面；垂直 于旋转轴的边旋转而成的圆面成为圆锥的底面；不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面叫圆锥的 侧面，圆锥的侧面又称圆锥的面，无论旋转到什么位置，这条边都叫圆锥侧面的母线。圆锥用 旋转轴的字母表示，如圆锥 AO ；规定：圆锥和棱锥统称为锥体。
⑵圆锥的性质：
①顶点和底面圆心的连线垂直于底面；
②平行于底面的截面都是相似的圆；
③轴截面都是全等的等腰三角形；
④过顶点的任意一个截面都是等腰三角形；
4.球
⑴球的定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转一周所形成的曲面称为球面，球 面所围成的旋转体称为球体，简称为球。半圆的圆心称为球心，连接球面上任意一点与球心的 线段称为球的半径，连接球面上两点并且过球心的线段称为球的直径。球用表示它的球心的字 母来表示。如球 O ； 球面和球的集合定义:空间到定点的距离等于或小于定长的点的集合,叫做球体,简称球.定点叫
做球心,定长叫做球的半径.空间到定点的距离等于定长的点的集合叫做球面.
⑵球的截面的性质： 大圆与小圆：球内过球心的截面截得的圆叫做球的大圆；不经过球心的截面截得的圆叫做球的 小圆.
截面的性质：球心到截面圆心的连线垂直于截面；即：球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截 面的半径 r ，满足关系： d 2 = R2 - r2 ;
⑶球面距离： 球面距离的定义：球面距离指的是经过两点的大圆的劣孤长。
球面距离的求法：设球的半径为 R ，球面上两点之间的球心角为a ，则这两点间的球面距离为： d = a R; 求两点间的球面距离关键是求这两点的球心角；
球面距离的性质：球面距离是球面上任意两点间的最短距离。
⑷几何体的外接球、内切球： 外接球：一个多面体的各个顶点都在一个球面上，或一个旋转体的顶点和底面圆周都在一个球 面上；则称这个球为该多面体或旋转体的外接球。 内切球：一个球和一个多面体的各个面或与一个旋转体的底面和侧面都相切，则称这个球为该 多面体或旋转体的内切球。
①长方体的外接球： 定理：长方体外接球的球心为长方体的体对角线的交点，外接球的直径是长方体的体对角线长。
推论：垂直四面体的同一顶点处两两垂直的棱长分别为 a, b, c, 则该垂直四面体的外接球半径
为： R = .
2
②正方体的外接球、内切球 定理：正方体的外接球、内切球的球心都是正方体的中心。
推论一：棱长为 a 的正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线长 a.
推论二：棱长为 a 的正方体的内切球的直径等于正方体的棱长 a.
③正四面体的外接球、内切球
定理：正四面体的外接球、内切球的球心都是正四面体的中心，均在体高的 3:1 处。
推论一：棱长为 a 的正四面体的外接球的半径等于 6 a.
4
推论二：棱长为 a 的正四面体的内切球的半径等于 6 a.
12
⑸地球的经纬度和球面距离
①地球的经纬度： 本初子午线：北极、南极的连线称为地轴；英国的格林 威治天文台与地轴形成一个大圆，以地轴为直径，天文 台所在半圆弧称为 0° 经线，也称为本初子午线。 经线与纬线：如图所示，经线指的是某点与地轴形成半 圆圆弧，纬线指的是垂直于地轴的圆弧。注意：东西经 180°经线重合。 经度：某地点的经度指的是经过这点的经线与地轴确定的半平面和 0° 经 线与地轴确定的半平面所成二面角的度数，实质是二面角；
如图： ÐAOB 的大小为 A, B 两点的经度差。
纬度：某地点的纬度就是经过这点的球半径与赤道面所成角的度数，实质 是线面角；
如图： ÐPOA 的大小为点 P 的纬度。
②地球上两点间的球面距离：
定理：设地球的半径为 R,
A, B 为地球上的任意两地，它们的经度之差为a ,a Î[0,p ]，
当 A, B 两地同在北半球时，设地球上 A 地在北纬q1 度， B 地在北纬q 2 度， 则 A, B 两点间的球面距离为： R arccos(cosq1 cosq2 cosa + sinq1 sinq2 ).
当 A 地在北纬q1 度， B 地在南纬q 2 度时，只需把括号中的加号变成减号即可。
三、多面体与旋转体的体积 1.两大体积公理
公理五：长方体的体积等于它的长、宽、高的积。
即：如果长方体的长、宽、高分别为 a, b, c, 则长方体的体积为：V长方体 = abc;
公理六（祖暅原理）：夹在两个平行平面之间的几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截， 如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。 推论：“幂势即同，则积不容易”；
夹在两个平行平面之间的几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个 截面的面积对应成比例，那么这两个几何体的体积对应成比例，且比例相等。 2.棱柱的侧面积与体积公式
⑴棱柱的侧面积与表面积 棱柱的全面积（表面积）等于侧面积与两个底面面积之和。
①直棱柱的侧面积公式：
定理：如果直棱柱的底面周长为 C底面 ，高为 h ，则直棱柱的侧面积为： S直棱柱侧 = C底面h;
②斜棱柱的侧面积公式：
推论：如果斜棱柱的直截面周长为 C直截面，其侧棱长为 l, 则斜棱柱的侧面积为：
S斜棱柱侧 = C直截面l;
⑵棱柱的体积
定理：棱柱的体积等于它的底面积 S 和高 h 的乘积。即：V棱柱 = Sh；
推论：斜棱柱的体积等于它的直截面面积 S直截面 和侧棱长 l 的乘积。即：V斜棱柱 = S直截面l；
3.棱锥的侧面积与体积公式
⑴棱锥的侧面积与表面积
①棱锥的侧面积等于其各个侧面的面积之和，棱锥的表面积等于其侧面面积与底面面积之和。
②正棱锥的侧面积公式：
定理：如果正棱锥的底面周长为 C底面 ，斜高为 h斜高 ，则正棱锥的侧面积为：S正棱锥侧 = C底面h斜高;
③面积射影定理：如果正棱锥的所有侧面与底面所成的二面角都等于a，则： S侧面
⑵棱锥的体积
①引理：等底面积等高的两个锥体的体积相等。
②棱锥的体积公式:
S
= 底面 ; cosa
定理：如果棱锥的底面积为 S，高为 h，那么棱锥的体积为：V棱锥
= 1 Sh；
3
推论：棱锥被平行于底面的平面截得的小棱锥的体积和原来棱锥的体积比等于它们高的立方比。
③正四面体体积公式：棱长为 a 的正四面体的体积为：V正四面体 =
2 a3.
12
推论：正四面体内任意一点到四个面的距离之和等于正四面体的体高；
4.圆柱的侧面积与体积公式
⑴圆柱的侧面积与表面积：
侧面积：底面半径为 r, 母线长为 l 的圆柱的侧面积为： S圆柱侧 = 2p rl;
表面积：底面半径为 r, 母线长为 l 的圆柱的表面积为： S圆柱表 = 2p r(r + l);
⑵圆柱的体积：
2
定理：底面半径为 r, 母线长为 l 的圆柱的体积为：V圆柱 = p r l;
1
推论：轴截面的面积为 S轴截面 , 底面周长为 C 的圆柱的体积为：V圆柱 = S轴截面gC.
4
5.圆锥的侧面积与体积公式
⑴圆锥的侧面积与表面积：
侧面积：底面半径为 r, 母线长为 l 的圆锥的侧面积为： S圆锥侧 = p rl；
表面积：底面半径为 r, 母线长为 l 的圆锥的表面积为： S圆锥表 = p r(r + l);
⑵圆锥的体积：
定理：如果圆锥的底面半径为 r, 母线长为 l, 高为 h, 那么圆锥的体积为：
V圆锥
= 1 p r 2h = 1 p r 2 ; 3 3
1
推论：轴截面的面积为 S轴截面 , 底面周长为 C 的圆锥的体积为：V圆锥 = S轴截面gC.
6
6.球的表面积与体积公式
⑴球的表面积：
引理：球面的内接圆台的高为 h, 球心到母线的距离为 p, 则内接圆台的侧面积为 S = 2p ph.
2
定理：球面面积等于它的大圆面积的四倍。即： S球面 = 4p R ；
⑵球的体积：
定理：如果球的半径为 R, 那么它的体积为：V球
= 4 p R3.
3
第十六章 排列组合与二项式定理
一、计数原理
1.加法原理：分类计数；
完成一件事，有 M 类办法，第 1 类办法有 n1 种方法，第 2 类办法有 n2 种方法，LL，第 M 类
办法有 nM 种方法，则完成这件事共有 N = n1 + n2 +L+ nM 种不同的方法；
2.乘法原理：分步计数；
完成一件事，分 M 个步骤，第 1 步有 n1 种方法，第 2 步有 n2 种方法，LL，第 M 步有 nM 种
方法，则完成这件事共有 N = n1gn2 gLgnM 种不同的方法；
3.计数问题的解法
①类与类之间具有独立性和并列性，常最先考察；
②步与步之间具有依赖性和连续性，常置后考察；
Þ 常先分类再分步； 二、排列与组合 1.排列
⑴排列的定义
从 n 个不同元素中任取 m(m £ n) 个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出
m 个元素的一个排列；
m n!
⑵排列数公式： Pn
= n(n -1)L(n - m +1) =
(n - m)!
(m £ n, n, m Î N )；
当 m = n 时，排列称为全排列，其排列数为 Pn = n!，规定 P0 = P0 = 0! = 1；
⑶排列数的性质
n 0 n
① n n+1 n
nPn
= Pn+1
- Pn
Û n × n! = (n +1)!- n!；
n n-1
② Pm = nPm-1 Û n(n -1)L(n - m +1) = n[(n -1)L(n - m +1)]；
2.组合
⑴组合的定义
从 n 个不同元素中任取 m(m £ n) 个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一 个组合；
排列是“排成一列”，组合是“并成一组”，排列有序，组合无序；
Pm n(n -1)L(n - m +1) n!
⑵组合数公式： Cm = n = = ；
P
m
n m m!
m!(n - m)!
n
规定： C0 = 1(m £ n, n, m Î N )；
⑶组合数的性质：
① m n-m
m-1 m m
Cn = Cn
；② Cn
+ Cn
= Cn+1；
3.排列组合问题的解法与策略
⑴枚举法：把每一种符合题意的情况都列出来的方法；
⑵直接法：分排问题，直排处理，先选后排；
⑶排除法：直接处理比较困难的问题；
⑷捆绑法：“小集团”问题，先整体后局部；
⑸插空法：相邻与不相邻问题；
⑹隔板法：分组问题，要求元素必须相同；
⑺消序法：定序问题，消除定序元素之间的顺序；
⑻增序法：需要增加顺序时，不考虑则种数变少； 注：排列组合问题还可能需要用到构造法与递推方法等； 三、二项式定理
1.二项展开式
( ) n
0 n 0 1
n-1
r n-r r n 0 n *
a + b
= Cna b
+Cna b +L+ Cna b
+L+ Cn a b
，n Î N ；
n n n
其中，右边的多项式叫做 (a + b) n 的展开式， C0、C1 LCn 叫做二项式系数；
2.二项展开式的通项
(a + b)n 展开式的第 r +1 项为： T
r +1
= Cra n-rb r (0 ≤ r ≤ n, r Î N * )；
n
3.二项式系数的性质
n n
⑴与首末两项等距离的两项的二项式系数相等；即 Cr = Cn-r；
⑵二项展开式的中间项的二项式系数最大；
n +1 n +1
当 k< 时，二项式系数逐渐增大，当 k> 时，二项式系数逐渐减小；
2 2
n n
当 n 为偶数时，中间项为 +1，最大系数为 C 2；
2 n
n-1 n+1
当 n 为奇数时，中间两项为第 n +1 项和第 n +1 +1 项，最大系数为 C 2 = C 2 ；
2 2 n n
⑶二项式系数和的性质：赋值法
0 1 n 2 n
Cn + Cn +L+ Cn = ；
n n n n n
C0 + C 2 + C 4 +L = C1 + C3 +L =
2 n-1；
C + C +C L+ C = C ；
r r r r r +1
r r +1 r +2 n n+1
4. (a + b + c) n 中含有 a pb qc n- p-q 项的系数： C pC q =
n! ；
n n- p
p!q!(n - p )!
5.二项式定理的应用
⑴近似计算问题：常用 (1+ x)n » 1+ nx 来求一些根式的近似值；
⑵整除问题：求 x 被 q 除的余数时，我们把 x 写成 kq + m 的形式，再用二项展开式；
⑶整数指数幂不等式问题：用二项式定理证明时，需要掌握舍项放缩法；
⑷组合恒等式的证明：其证明方法主要有：
①反用二项展开式：用于一个等比数列与一个组合数对应项相乘所形成的数列求和问题；
②赋值法：这是最重要的方法，如所有项系数和等于 f (1); 奇次项系数和为( f (1) - f (-1)) 2;
③倒序相加法：用于一个等差数列与一个组合数对应项相乘所形成的数列求和问题；
④裂项相消法：技巧性要求很高，有关组合的裂项问题一般要求不高，多会给提示；
n n-1
⑤恒等变形法：这是一种比较重要的方法，如利用 kCk = nCk -1 等来证明恒等式的方法；
注：组合恒等式的证明还以用构造组合模型法与构造母函数法等；
第十七章 概率与统计初步
一、概率初步
1.概率的有关概念
⑴随机试验
①试验可以在相同的条件下重复进行；
②试验有多个明确可知的结果；
③每次试验随机出现多个结果中的一个； 满足上述三个条件的试验称为随机试验；
⑵事件
①必然事件：在特定条件下，必然要发生的事件；
②不可能事件：在特定条件下不可能发生的事件；
③确定事件：必然事件和不可能事件统称为确定事件；
④随机事件：在特定条件下可能发生也可能不发生的事件；
⑤基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件；
⑶概率与频率
一般地，在大量重复同一实验时，事件 A 发生的频率 f 总是接近于某个常数，并在它的附近摆
动，这时把这个常数叫做事件 A 的概率，记作 P( A) ；
①频率是概率的近似值；②频率是一个随机数；
③概率是一个确定的数；④概率是频率的稳定值； 2.概率的基本性质
⑴概率的范围：P( A) Î[0,1]；当 A 为不可能事件时：P( A) = 0；当 A 为必然事件时：P( A) = 1；
⑵和事件与积事件的概率
①和事件：若事件 C 发生当且仅当事件 A 或事件 B 发生，则称事件 C 为事件 A 与事件 B 的和 事件，记作 C = A + B 或 C = A U B ；
②积事件：若事件 C 发生当且仅当事件 A 且事件 B 发生，则称事件 C 为事件 A 与事件 B 的积 事件；记作 C = AgB 或 C = A I B ；
③概率加法公式（容斥原理）：
P( A + B) = P( A) + P(B) - P( AB) ;
P( A + B + C) = P( A) + P(B) + P(C) -P( AB) - P( AC) - P(BC) + P( ABC);
⑶等可能事件的概率
如果一次试验由 n 个基本事件组成，而所有结果出现的结果都相同，那么每一个基本事件的概
1
率都是
n
m
，如果事件 A 包含 m 个基本事件，那么事件 A 的概率为： P( A) = ；
n
⑷互斥事件与对立事件的概率
①互斥事件：不可能同时发生的两个事件，也称为不相容事件；
如果事件 A、B 互斥，则： P( A + B) = P( A) + P(B)；
推广： P( A1+ A 2 +L+ An ) = P( A1) + P( A 2 ) +L+ P( An )，其中事件 A1 ,L, An 互斥；
②对立事件：必有一个发生的两个互斥事件；
P( A) + P( A) = P( A + A) = 1，其中事件 A 与事件 A 互为对立事件；
③重要结论：
互为对立的两个事件一定互斥，但互斥的两个事件不一定对立；
从集合的角度看，由事件 A 的所有结果组成的集合为事件 A 的所有结果组成的集合的补集；
⑸独立事件的概率
①独立事件：发生与否互不影响的两个事件；
一般地，如果事件 A 与 B 相互独立，则事件 A 与 B 也相互独立，事件 A 与 B 也相互独立；
②概率乘法公式（独立事件概率的运算）：
如果事件 A 与 B 相互独立，则事件 A 与 B 同时发生的概率为： P( AB) = P( A)P(B)；
推广：如果事件 A1 , A 2 ,L, An 相互独立，则 A1 , A 2 ,L, An 同时发生的概率为：
P( A1×A 2 L An ) = P( A1) × P( A 2 )L P( An )；
3.古典概型与几何概型
⑴古典概型
①古典概型的定义： 有限性：事件中所有可能出现的基本事件只有有限个； 等可能性：每个基本事件出现的可能性相等； 满足以上两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型；
②古典概型的概率计算公式：
P( A) = 事件A包含的基本事件的个数；
基本事件的总数
⑵几何概型
①几何概型的定义： 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率 模型为几何概率模型，简称几何概型；
②几何概型的概率计算公式：
构成事件A的区域长度（面积或体积）
P( A) = ；
试验全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
4.数学期望与方差（理科）
⑴随机变量的定义：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，则这样的变量称为随机变量， 一般记作 x ；
⑵随机变量的分类：离散型随机变量与连续型随机变量；
①如果随机变量可以按一定次序一一列出，这样的随机变量称为离散型随机变量；
②如果随机变量可以取到一个范围内的所有值，这样的随机变量称为连续型随机变量；
⑶离散型随机变量的数学期望与方差
①离散型随机变量的概率分布列：
x
x1
x 2
…
x n
P
p1
p 2
…
p n
设离散型随机变量 x 的可能取值为 x1、x 2、L、x n , 且 P(x = x i ) = pi，则离散型随机变量 x 的 分布列表如下：
性质： p 1³ 0, i = 1, 2,L, n；p1+ p 2 +L+ pn = 1；
②离散型随机变量的数学期望：
Ex = x1 p1+ x 2 p 2 +L+ x n p n 称为随机变量 x 的数学期望或加权均值，简称期望； 数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平；
③离散型随机变量的方差与标准差：
2 2 2
Dx = (x1-Ex ) p 1+(x 2 -Ex ) p 2 +L+ (x n -Ex ) p n 称为随机变量 x 的方差；
sx = 称为随机变量 x 的标准差；方差与标准差反映了离散型随机变量取值的稳定性和波
动程度； Dx、sx 越小，随机变量 x 的稳定性越高，波动性越小；
④数学期望与方差的性质：
Dx = Ex 2 -(Ex ) 2；
E(ax + b) = aEx + b(a、b 均为常数 )；
D(ax + b) = a 2Dx (a、b 均为常数 )；
二、统计初步
1.统计的有关概念
⑴总体：研究对象的全体叫做总体；
⑵个体：总体中每一个研究对象叫做个体；
⑶样本：从总体中抽出一部分个体所组成的集合叫做样本；
⑷样本容量：样本中所含个体的个数叫做样本容量； 2.总体特征的描述
⑴总体均值：如果总体中含有 N 个个体： x1, x2 ,L xN，则总体均值为：
m = x1 + x2 +L+ xN ; 总体均值反映了总体中个体的平均水平；
N
⑵总体方差与标准差：如果总体中含有 N 个个体： x1, x2 ,L xN，且总体平均数为 m ，则
( x - m )2 + ( x - m )2 +L+ ( x - m )2
总体方差为：s 2 = 1 2 N ;
N
总体标准差为：s = ;
总体方差与标准差反映了总体中个体之间的差异程度；
3.基本统计方法：抽样调查 通过科学的抽样方法获取样本数据，通过对数据的处理，得到有关总体特征的估计，就叫做抽 样调查，它是基本的统计方法；
⑴简单随机抽样
①简单随机抽样的含义：
一般地，设一个总体含有 N 个个体，从中逐个不放回地抽取 n(n £ N ) 个个体作为样本，如果 每次抽取时总体中的各个个体被抽到的机会都相等，这种抽样方法叫做简单随机抽样；
②简单随机抽样的四个特点
第一、 被抽取样本的总体的个数有限； 第二、 从总体中逐个地进行抽取；
第三、 它是一个不放回抽样，与顺序无关；
第四、 每次抽样，总体中各个个体被抽到的可能性相同；
③简单随机抽样的方法：抽签法与随机数表法；
⑵系统抽样（也叫做等距抽样）
①系统抽样的含义：将总体分成均衡的若干部分，然后按照事先制定的规则，从每一部分抽取 一个个体，得到所需样本的抽样方法叫做系统抽样；
②系统抽样的操作步骤：
第一步、先将总体的 N 个个体编号；有时用个体自身号码；
第二步、确定分段间隔 k ，当 N / n 为整数时，取 k = N / n ；
第三步、在第 1 段用简单随机抽样确定第一个个体编号 t(t £ k) ；
第四步、将编号 t + k 作为第二个个体的编号，将编号 t + 2k 作为第三个个体的编号，LL， 将编号 t + (n -1)k 作为第 n 个个体的编号，如此获取了所有的样本；当 N / n 不是整数时，则
取 k = [ N / n] ，先从总体中用简单随机抽样的方法剔除 N - nk 个个体，再将其余的编号分成 k
段，以下做法与 N / n 为整数时相同；
⑶分层抽样：按比例抽样
①分层抽样的含义： 一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定 数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这样的抽样方法就是分层抽样；
②分层抽样的操作步骤： 第一步、将总体按照一定标准进行分层； 第二步、计算各层的个体数与总体的个体数的比例；
第三步、按照各层的个体数占总体的个体数的比例确定各层应抽取的样本容量； 第四步、在每一层进行抽样（可用简单随机抽样或系统抽样）； 4.样本均值与样本方差、标准差
⑴样本均值：如果样本中含有 n 个个体： x1, x2 ,L xn，则样本均值为： x =
x1 + x2 +L+ xn ;
n
⑵样本方差与标准差：如果样本中含有 n 个个体： x1, x2 ,L xn，且样本均值为 x, 则：
2 2 2
样本方差为： s2 = (x1 - x)
+ (x2 - x) +L+ (xn - x) ;
样本标准差为： s =
n -1
;
5.统计估计
⑴频率分布直方图：如下图：
⑵概率估计：频率稳定于概率，因此可以用频率来估计概率。
⑶参数估计
①总体众数与中位数的估计 总体众数：总体中频率最大的个体；可用样本众数来估计；
总体中位数：大小处于中间的个体或是中间两个个体的平均数；可用样本中位数来估计；
②总体均值的点估计值：为样本均值： x = x1 + x2 +L+ xn ;
n
2 2 2
③总体方差的点估计值：为样本方差： s2 =
( x1 - x)
+ ( x2 - x)
n -1
+L+ ( xn - x)
;
④区间估计：根据统计理论，[x - s, x + s] 为总体均值的s - 区间估计，[x - 2s, x + 2s] 为总体
均值的 2s - 区间估计。
