2020全国中考数学试卷分类汇编(2)专题4 一元一次方程及其应用

2020全国中考数学试卷分类汇编(2)专题4 一元一次方程及其应用

一元一次方程及其应用 ‎ 一.选择题 ‎1. 2020年青海省根据图中给出的信息，可得正确的方程是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可得相等关系的量为“水的体积”，然后利用圆柱体积公式列出方程即可.‎ ‎【详解】解：大量筒中的水的体积为：，‎ 小量筒中的水的体积为：，‎ 则可列方程为：.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查列方程，解此题的关键在于准确找到题中相等关系的量，然后利用圆柱的体积公式列出方程即可.‎ ‎2. （2020•山东东营市•3分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“ 三百七十八里关，初健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”‎ 其大意是：有人要去某关口，路程里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半， 一共走了六天才到达目的地．则此人第三天走的路程为（ ）‎ A. 里 B. 里 C. 里 D. 里 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可设第一天所走的路程为，用含的式子分别把这六天的路程表示出来，相加等于总路程378，解此方程即可．‎ ‎【详解】解：设第一天的路程为里 ‎∴‎ 解得 ‎∴第三天的路程为 故答案选B ‎【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，通过每日路程之和等于总路程建立一元一次方程是解题的关键．‎ ‎3. （2020•四川省凉山州•5分）解方程：x﹣＝1+．‎ ‎【分析】根据解一元一次方程的步骤解答即可．‎ ‎【解答】解：去分母，得：6x﹣3（x﹣2）＝6+2（2x﹣1），‎ 去括号，得：6x﹣3x+6＝6+4x﹣2，‎ 移项，得：6x﹣3x﹣4x＝6﹣6﹣2，‎ 合并同类项，得：﹣x＝﹣2，‎ 系数化为1，得：x＝2．‎ ‎【点评】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解答本题的关键．‎ ‎4. （2020•四川省内江市•3分）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”‎ 其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺．则符合题意的方程是（　　）‎ A．x＝（x﹣5）﹣5 B．x＝（x+5）+5 ‎ C．2x＝（x﹣5）﹣5 D．2x＝（x+5）+5‎ ‎【分析】设绳索长x尺，则竿长（x﹣5）尺，根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．‎ ‎【解答】解：设绳索长x尺，则竿长（x﹣5）尺，‎ 依题意，得：x＝（x﹣5）﹣5．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．‎ 二.填空题 ‎1. 2020年内蒙古通辽市有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了______个人．‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，列方程求解 ‎【详解】解：设平均一人传染了x人，‎ x+1+（x+1）x=169‎ 解得：x=12或x=-14（舍去）．‎ ‎∴平均一人传染12人．‎ 故答案为：12．‎ ‎【点睛】本题考查理解题意的能力，关键是看到两轮传染，从而可列方程求解．‎ ‎2. (2020•山东省泰安市•4分)方程组的解是　 　．‎ ‎【分析】用代入法或加减法求解二元一次方程组即可．‎ ‎【解答】解：②－3×①，得2x＝24，∴x＝12．‎ 把x＝12代入①，得12+y＝16，∴y＝4．∴原方程组的解为．故答案为．‎ ‎【点评】本题考查的是二元一次方程的解法．掌握二元一次方程组的代入法、加减法是解决本题的关键．‎ 三.解答题 ‎1. （2020•四川省攀枝花市•7分）课外活动中一些学生分组参加活动，原来每组6人，后来重新编组，每组8人，这样就比原来减少2组，问这些学生共有多少人？‎ ‎【分析】设这些学生共有x人，先表示出原来和后来各多少组，其等量关系为后来的比原来的少2组，根据此列方程求解．‎ ‎【解答】解：设这些学生共有x人，‎ 根据题意得，‎ 解得x＝48．‎ 答：这些学生共有48人．‎ ‎【点评】此题考查的知识点是一元一次方程的应用，其关键是找出等量关系及表示原来和后来各多少组，难度一般．‎ ‎2. （2020•山东东营市•8分）2020年初，新冠肺炎疫情爆发，市场上防疫口罩热销，某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共万只，且所有口罩当月全部售出，其中成本、售价如下表：‎ 型号 价格(元/只)‎ 项目 甲 乙 成本 售价 ‎（1）若该公司三月份的销售收入为 万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？‎ ‎（2）如果公司四月份投入成本不超过万元，应怎样安排甲、乙两种型号防疫口罩的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润．‎ ‎【答案】（1）甲、乙两种型号口罩的产量分别为万只和万只；（2）从而安排生产甲种型号的口罩万只，乙种型号的口罩万只时，获得最大利润，最大利润为万元.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设甲种型号口罩的产量是万只，则乙种型号口罩的产量是万只，根据该公司三月份的销售收入为万元列出一元一次方程，从而可以得到甲、乙两种型号的产品分别是多少万只；‎ ‎（2）根据题意，可以得到利润和生产甲种产品数量的函数关系式，再根据公司四月份投入总成本（原料总成本+生产提成总额）不超过216万元，可以得到生产甲种产品数量的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可得到应怎样安排甲、乙两种型号的产量，可使该月公司所获利润最大，并求出最大利润．‎ ‎【详解】设甲种型号口罩的产量是万只，则乙种型号口罩的产量是万只，‎ 根据题意得：‎ 解得：‎ 则 则甲、乙两种型号口罩的产量分别为万只和万只；‎ 设甲种型号口罩的产量是万只，则乙种型号口罩的产量是万只，‎ 根据题意得：‎ 解得:.‎ 设所获利润为万元，‎ 则 由于，所以随的增大而增大，‎ 即当时，最大，‎ 此时.‎ 从而安排生产甲种型号的口罩万只，乙种型号的口罩万只时，获得最大利润，最大利润为万元 ‎【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．‎ ‎3. （2020•安徽省•10分）某超市有线上和线下两种销售方式．与2019年4月份相比，该超市2020年4月份销售总额增长10%，其中线上销售额增长43%，线下销售额增长4%．‎ ‎（1）设2019年4月份的销售总额为a元，线上销售额为x元，请用含a，x的代数式表示2020年4月份的线下销售额（直接在表格中填写结果）； ‎ 时间 销售总额（元）‎ 线上销售额（元）‎ 线下销售额（元）‎ ‎2019年4月份 a x a﹣x ‎2020年4月份 ‎1.1a ‎1.43x ‎　1.04（a﹣x）　‎ ‎（2）求2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值．‎ ‎【分析】（1）由线下销售额的增长率，即可用含a，x的代数式表示出2020年4月份的线下销售额；‎ ‎（2）根据2020年4月份的销售总额＝线上销售额+线下销售额，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值（用含a的代数式表示），再将其代入中即可求出结论．‎ ‎【解答】解：（1）∵与2019年4月份相比，该超市2020年4月份线下销售额增长4%，‎ ‎∴该超市2020年4月份线下销售额为1.04（a﹣x）元．‎ 故答案为：1.04（a﹣x）．‎ ‎（2）依题意，得：1.1a＝1.43x+1.04（a﹣x），‎ 解得：x＝，‎ ‎∴＝＝＝0.2．‎ 答：2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值为0.2．‎ ‎【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．‎ ‎4. （2020•四川省泸州市•7分）某校举办“创建全国文明城市”知识竞赛，计划购买甲、乙两种奖品共30件．其中甲种奖品每件30元，乙种奖品每件20元．‎ ‎（1）如果购买甲、乙两种奖品共花费800元，那么这两种奖品分别购买了多少件？‎ ‎（2）若购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的3倍．如何购买甲、乙两种奖品，使得总花费最少？‎ ‎【分析】（1）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（30﹣x）件，利用购买甲、乙两种奖品共花费了800元列方程30x+20（30﹣x）＝800，然后解方程求出x，再计算30﹣x即可；‎ ‎（2）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（30﹣x）件，设购买两种奖品的总费用为w元，由购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的3倍，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再由总价＝单价×数量，可得出w关于x的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题．‎ ‎【解答】解：（1）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（30﹣x）件，‎ 根据题意得30x+20（30﹣x）＝800，‎ 解得x＝20，‎ 则30﹣x＝10，‎ 答：甲种奖品购买了20件，乙种奖品购买了10件；‎ ‎（2）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（30﹣x）件，设购买两种奖品的总费用为w元，‎ 根据题意得 30﹣x≤3x，解得x≥7.5，‎ w＝30x+20（30﹣x）＝10x+600，‎ ‎∵10＞0，‎ ‎∴w随x的增大而减小，‎ ‎∴x＝8时，w有最小值为：w＝10×8+600＝680．‎ 答：当购买甲种奖品8件、乙种奖品22件时，总花费最小，最小费用为680元．‎ ‎【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用：对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解；一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，‎ ‎5. （2020•四川省乐山市•10分）某汽车运输公司为了满足市场需要，推出商务车和轿车对外租赁业务．下面是乐山到成都两种车型的限载人数和单程租赁价格表：‎ 车型 每车限载人数（人）‎ 租金（元/辆）‎ 商务车 ‎6‎ ‎300‎ 轿 车 ‎4‎ ‎（1）如果单程租赁2辆商务车和3辆轿车共需付租金1320元，求一辆轿车的单程租金为多少元？‎ ‎（2）某公司准备组织34名职工从乐山赴成都参加业务培训，拟单程租用商务车或轿车前往．在不超载的情况下，怎样设计租车方案才能使所付租金最少？‎ ‎【答案】（1）租用一辆轿车的租金为元．（2）租用商务车辆和轿车辆时，所付租金最少为元．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）本题可假设轿车的租金为x元，并根据题意列方程求解即可．‎ ‎（2）本题可利用两种方法求解，核心思路均是分类讨论，讨论范围分别是两车各租其一以及两车混合租赁，方法一可利用一次函数作为解题工具，根据函数特点求解本题；方法二则需要利用枚举法求解本题．‎ ‎【详解】解：（1）设租用一辆轿车的租金为元．‎ 由题意得：．‎ 解得 ，‎ 答：租用一辆轿车的租金为元．‎ ‎（2）方法1：①若只租用商务车，∵，‎ ‎∴只租用商务车应租6辆，所付租金为（元）；‎ ‎②若只租用轿车，∵，‎ ‎∴只租用轿车应租9辆，所付租金为（元）；‎ ‎③若混和租用两种车，设租用商务车辆，租用轿车辆，租金为元．‎ 由题意，得 ‎ 由，得 ，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，且为整数，‎ ‎∵随的增大而减小，‎ ‎∴当时，有最小值，此时，‎ 综上，租用商务车辆和轿车辆时，所付租金最少为元．‎ 方法2：设租用商务车辆，租用轿车辆，租金为元．‎ 由题意，得 ‎ 由，得 ，∴，‎ ‎∵为整数，∴只能取0，1，2，3，4，5，故租车方案有：‎ 不租商务车，则需租9辆轿车，所需租金为（元）；‎ 租1商务车，则需租7辆轿车，所需租金为（元）；‎ 租2商务车，则需租6辆轿车，所需租金为（元）；‎ 租3商务车，则需租4辆轿车，所需租金为（元）；‎ 租4商务车，则需租3辆轿车，所需租金（元）；‎ 租5商务车，则需租1辆轿车，所需租金为（元）；‎ 由此可见，最佳租车方案是租用商务车辆和轿车辆，‎ 此时所付租金最少，为元．‎ ‎【点睛】本题考查一次函数的实际问题以及信息提取能力，此类型题目需要根据题干所求列一次函数，并结合题目限制条件对函数自变量进行限制，继而利用函数单调性以及分类讨论思想解答本题．‎