2020全国中考数学试卷分类汇编(2)专题28 解直角三角形

2020全国中考数学试卷分类汇编(2)专题28 解直角三角形

解直角三角形一.选择题 ‎ ‎1. （2020•山东淄博市•4分）如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（　　）‎ A．a2+b2＝5c2 B．a2+b2＝4c2 C．a2+b2＝3c2 D．a2+b2＝2c2‎ ‎【分析】设EF＝x，DF＝y，根据三角形重心的性质得AF＝2y，BF＝2EF＝2x，利用勾股定理得到4x2+4y2＝c2，4x2+y2＝b2，x2+4y2＝a2，然后利用加减消元法消去x、y得到A.B.c的关系．‎ ‎【解答】解：设EF＝x，DF＝y，‎ ‎∵AD，BE分别是BC，AC边上的中线，‎ ‎∴点F为△ABC的重心，AF＝AC＝b，BD＝a，‎ ‎∴AF＝2DF＝2y，BF＝2EF＝2x，‎ ‎∵AD⊥BE，‎ ‎∴∠AFB＝∠AFE＝∠BFD＝90°，‎ 在Rt△AFB中，4x2+4y2＝c2，①‎ 在Rt△AEF中，4x2+y2＝b2，②‎ 在Rt△BFD中，x2+4y2＝a2，③‎ ‎②+③得5x2+5y2＝（a2+b2），‎ ‎∴4x2+4y2＝（a2+b2），④‎ ‎①﹣④得c2﹣（a2+b2）＝0，‎ 即a2+b2＝5c2．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 也考查了勾股定理．‎ ‎2. （2020•山东聊城市•3分）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】如图，过点A作AH⊥BC于H．利用勾股定理求出AC即可解决问题．‎ ‎【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于H．‎ 在Rt△ACH中，∵AH＝4，CH＝3，‎ ‎∴AC＝＝＝5，‎ ‎∴sin∠ACH＝＝，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．‎ ‎3. （2020•四川省乐山市•3分）如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图．自动扶梯的倾斜角为，在自动扶梯下方地面处测得扶梯顶端的仰角为，、之间的距离为4． 则自动扶梯的垂直高度=_________．（结果保留根号）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先推出∠ABC=∠BAC，得BC=AC=4，然后利用三角函数即可得出答案．‎ ‎【详解】∵∠BAC+∠ABC=∠BCD=60°，∠BAC=30°，‎ ‎∴∠ABC=30°，‎ ‎∴∠ABC=∠BAC，‎ ‎∴BC=AC=4，‎ 在Rt△BCD中，BD=BCsin60°=4×=，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角函数，得出BC=AB=4是解题关键．‎ ‎4. (2020•山东省泰安市•4分)如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB长‎26m，斜坡AB的坡比为12：5．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿BC至少向右移　　m时，才能确保山体不滑坡．(取tan50°＝1.2)‎ ‎【分析】在BC上取点F，使∠FAE＝50°，作FH⊥AD，根据坡度的概念求出BE.AE ‎，根据正切的定义求出AH，结合图形计算，得到答案．‎ ‎【解答】解：在BC上取点F，使∠FAE＝50°，过点F作FH⊥AD于H，‎ ‎∵BF∥EH，BE⊥AD，FH⊥AD，∴四边形BEHF为矩形，∴BF＝EH，BE＝FH，‎ ‎∵斜坡AB的坡比为12：5，∴＝，设BE＝12x，则AE＝5x，‎ 由勾股定理得，AE2+BE2＝AB2，即(5x)2+(12x)2＝262，解得，x＝2，‎ ‎∴AE＝10，BE＝24，∴FH＝BE＝24，在Rt△FAH中，tan∠FAH＝，‎ ‎∴AH＝＝20，∴BF＝EH＝AH－AE＝10，‎ ‎∴坡顶B沿BC至少向右移‎10m时，才能确保山体不滑坡，故答案为10．‎ ‎【点评】本题考查的是解直角三角形的应用－坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．‎ ‎5. (2020•山东省枣庄市•4分)人字梯为现代家庭常用的工具(如图)．若AB，AC的长都为‎2m，当α＝50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是　 　m．(结果精确到‎0.1m，参考依据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19)‎ ‎【分析】在Rt△ADC中，求出AD即可．‎ ‎【解答】解：∵AB＝AC＝‎2m，AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，‎ ‎∴AD＝AC•sin50°＝2×0.77≈1.5(m)，故答案为1.5．‎ ‎【点评】本题考查解直角三角形的应用，看解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．‎ 二.填空题 ‎ ‎1. （2020•四川省达州市•3分）小明为测量校园里一颗大树AB的高度，在树底部B所在的水平面内，将测角仪CD竖直放在与B相距8m的位置，在D处测得树顶A的仰角为52°．若测角仪的高度是1m，则大树AB的高度约为　11　．（结果精确到lm．参考数据：sin52°≈0.78，cos52°≈0.61，tan52°≈1.28）‎ ‎【分析】过点D作DE⊥AB，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，求出AE，进而求出AB即可．‎ 解：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E，由题意得，BC＝DE＝8，∠ADE＝52°，DE＝CD＝1‎ 在Rt△ADE中，AD＝DE•tan∠ADE＝8×tan52°≈10.24，‎ ‎∴AB＝AE+BE＝10.24+1≈11（米）‎ 故答案为：11．‎ ‎2. （2020•四川省达州市•3分）已知△ABC的三边A.B.c满足b+|c﹣3|+a2﹣8a＝4﹣19，则△ABC的内切圆半径＝　1　．‎ ‎【分析】由非负性可求a，b，c的值，由勾股定理的逆定理可证△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，由面积法可求△ABC的内切圆半径．‎ 解：∵b+|c﹣3|+a2﹣8a＝4﹣19，‎ ‎∴|c﹣3|+（a﹣4）2+（）2＝0，‎ ‎∴c＝3，a＝4，b＝5，‎ ‎∵32+42＝25＝52，‎ ‎∴c2+a2＝b2，‎ ‎∴△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，‎ 设内切圆的半径为r，‎ 根据题意，得S△ABC＝×3×4＝×3×r+×4×r+×r×5，‎ ‎∴r＝1，‎ 故答案为：1．‎ ‎3. （2020•山东菏泽市•3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边的中点，连接CD，若BC＝4，CD＝3，则cos∠DCB的值为　　．‎ ‎【分析】过点D作DE⊥BC，由平行线平分线段定理可得E是BC的中点，再根据三角函数的意义，可求出答案．‎ ‎【解答】解：过点D作DE⊥BC，垂足为E，‎ ‎∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，‎ ‎∴DE∥AC，‎ 又∵点D为AB边的中点，‎ ‎∴BE＝EC＝BC＝2，‎ 在Rt△DCE中，cos∠DCB＝＝，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】考查直角三角形的边角关系，理解直角三角形的边角关系是得出正确答案的前提，作高构造直角三角形是常用的方法．‎ ‎4.（2020•山东济宁市•3分）如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°．若斜面坡度为1：，则斜坡AB的长是__________米．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据题意得出∠ABF=30°，进而得出∠PBA=90°，∠BAP=45°，再利用锐角三角函数关系求出即可．‎ ‎【详解】解：如图所示：过点A作AF⊥BC于点F，‎ ‎∵斜面坡度为1：，‎ ‎∴tan∠ABF=，‎ ‎∴∠ABF=30°，‎ ‎∵在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°，‎ ‎∴∠HPB=30°，∠APB=45°，‎ ‎∴∠HBP=60°，‎ ‎∴∠PBA=90°，∠BAP=45°，‎ ‎∴PB=AB，‎ ‎∵PH=30m，sin60°=，‎ 解得：PB=，‎ 故AB=m，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出PB=AB是解题关键．‎ ‎5.（2020•四川省乐山市•3分）如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图．自动扶梯的倾斜角为，在自动扶梯下方地面处测得扶梯顶端的仰角为，、之间的距离为4． 则自动扶梯的垂直高度=_________．（结果保留根号）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先推出∠ABC=∠BAC，得BC=AC=4，然后利用三角函数即可得出答案．‎ ‎【详解】∵∠BAC+∠ABC=∠BCD=60°，∠BAC=30°，‎ ‎∴∠ABC=30°，‎ ‎∴∠ABC=∠BAC，‎ ‎∴BC=AC=4，‎ 在Rt△BCD中，BD=BCsin60°=4×=，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角函数，得出BC=AB=4是解题关键．‎ ‎6.（2020•内蒙古包头市•3分）如图，在矩形中，是对角线，，垂足为E，连接．若，则如的值为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 过C向BD作垂线，可以构造出一个30°直角三角△CDF，进而求出，设直角最小边DF=a，并用a的代数式表示出其他边，即可求出答案．‎ ‎【详解】解：过C作CF⊥BD，垂足为F点 ‎∵矩形ABCD， ‎ ‎∴AD∥BC， AB=CD ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴∠DBC=∠DCF=∠BAE=30°‎ 设DF=a，则CF=，CD=，BD=，‎ ‎∵‎ ‎∴∠AEB=∠CFD=90°‎ ‎∴，‎ ‎∴EB=DF=a ‎∴EF=-a-a=2a ‎∴ ‎ 故答案是．‎ ‎【点睛】本题主要考察了矩形的性质和解直角三角形知识点，三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题关键．‎ ‎7.（2020•江西省•3分）矩形纸片，长，宽，折叠纸片，使折痕经过点，交边于点，点落在点处，展平后得到折痕，同时得到线段，，不再添加其它线段，当图中存在角时，的长为 厘米.‎ ‎【解析】当∠ABE=30°时，则∠=，在Rt△ABE中，tan∠ABE=，∴此时 ‎.‎ 当∠AEB=30°时，此时在Rt△ABE中，tan∠AEB=，∴‎ 当∠时，过作AB的平行线交于F，BC于G，∵，‎ ‎∴，设，则，∴‎ 在矩形ABGF中，AF=BG，∴，解得，此时 故答案为：或或 三.解答题 ‎1.（2020•辽宁省营口市•12分）如图，海中有一个小岛A，它周围10海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由东向西航行，在B点测得小岛A在北偏西60°方向上，航行12海里到达C点，这时测得小岛A在北偏西30°方向上，如果渔船不改变方向继续向西航行，有没有触礁的危险？并说明理由．（参考数据：≈1.73）‎ ‎【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．‎ ‎【专题】31：数形结合；554：等腰三角形与直角三角形；55E：解直角三角形及其应用；64：几何直观；68：模型思想；69：应用意识．‎ ‎【分析】作高AN，由题意可得∠ABE＝60°，∠ACD＝30°，进而得出∠ABC＝∠BAC＝30°，于是AC＝BC＝12，在在Rt△ANC中，利用直角三角形的边角关系，求出AN与10海里比较即可．‎ ‎【解答】 解：没有触礁的危险；‎ 理由：如图，过点A作AN⊥BC交BC的延长线于点N，‎ 由题意得，∠ABE＝60°，∠ACD＝30°，‎ ‎∴∠ACN＝60°，∠ABN＝30°，‎ ‎∴∠ABC＝∠BAC＝30°，‎ ‎∴BC＝AC＝12，‎ 在Rt△ANC中，AN＝AC•cos60°＝12×＝6，‎ ‎∵AN＝6≈10.38＞10，‎ ‎∴没有危险．‎ ‎2.（2020•内蒙古包头市•10分）如图，一个人骑自行车由A地到C地途经B地当他由A地出发时，发现他的北偏东方向有一电视塔P，他由A地向正北方向骑行了到达B地，发现电视塔P在他北偏东方向，然后他由B地向北偏东方向骑行了到达C地．‎ ‎（1）求A地与电视塔P的距离；‎ ‎（2）求C地与电视塔P的距离．‎ ‎【答案】（1）AP=；（2）6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意知：∠A=45°，∠NBC=15°，∠NBP=75°，过点B作BE⊥AP于点E，求出AE=BE=3；‎ ‎（2）先利用三角函数求出BP=6，继而根据方位角求得∠CBP=60°，结合BC=6，即可证得△BCP是等边三角形，从而求得答案．‎ ‎【详解】（1）由题意知：∠A=45°，∠NBC=15°，∠NBP=75°，‎ 过点B作BE⊥AP于点E，如图，‎ 在Rt△ABE中，∠ABE=90°-45°=45°，‎ ‎∴AE=BE，‎ ‎∵，‎ ‎∴AE=BE=3，‎ 在Rt△BEP中，∠EBP=180°-∠ABE-∠NBP=60°，‎ ‎∴PE=，‎ ‎∴AP=AE+PE=；‎ ‎（2）∵BE=3，∠BEP=90°，∠EBP=60°，‎ ‎∴BP=，‎ 又∵∠CBP=∠NBP-∠NBC=75°-15°=60°，BC=6，‎ ‎∴△BCP是等边三角形，‎ ‎∴CP=BP=6．‎ ‎【点睛】此题考查锐角三角函数的实际应用，方位角的运用，等边三角形的判定及性质，根据题意明确各角度及线段，正确计算即可解决问题．‎ ‎3.（2020•江西省•8分）如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板长，支撑板长，底座长，托板固定在支撑板顶端点处，且，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动.（结果保留小数点后一位）‎ ‎（1）若，，求点到直线的距离；‎ ‎（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把绕点逆时针旋转后，再将绕点顺时针旋转，使点落在直线上即可，求旋转的角度.‎ ‎（参考数据：，，，‎ ‎，）‎ ‎【解析】（1）如图1，过点C作CH⊥DE于点H.‎ ‎∵CD80，∠CDE=60°，∴sin60°=，‎ ‎∴‎ 作AM⊥DE于点M，CN⊥AM于点N.∴MN=CH=，∠NCD=∠CDE=60°‎ ‎∵∠DCB=80°，∴∠ACN=180°-80°-60°=40°.‎ ‎∵sin∠ACN=∴AN=80sin40°≈80×0.643≈51.44.‎ ‎∴AM=AN+NM≈51.44+69.28≈120.7mm.‎ ‎（2）解法一：‎ ‎∵AB绕着点C逆时针旋转10°，∴∠DCB=90°.如图2，连接BD.‎ ‎∵DC=80，CB=40.∴tan∠CDB==0.5.‎ ‎∴∠CDB≈26.6°.∴∠BDE≈60°-26.6°=33.4°‎ 答：CD旋转的度数约为33.4°‎ 解法二：‎ 当点B落在DE上时，如图3‎ 在Rt△BCD中，BC=40，CD=80（∠DCB=90°，同解法一）‎ ‎∴tan∠CDB==0.5.∴∠CDB≈26.6‎ ‎∴∠=∠-∠BDC=60°-26.6°=33.4°‎ 答：CD旋转的度数约为33.4°‎ ‎4.（2020•辽宁省本溪市•12分）如图，我国某海域有A，B两个港口，相距80海里，港口B在港口A的东北方向，点C处有一艘货船，该货船在港口A的北偏西30°方向，在港口B的北偏西75°方向，求货船与港口A之间的距离．（结果保留根号）‎ ‎【分析】过点A作AD⊥BC于D，求出∠ABC＝60°，在Rt△ABD中，∠DAB＝30°，由三角函数定义求出AD＝AB•sin∠ABD＝40，求出∠DAC＝∠CAB﹣∠DAB＝45°，则△ADC是等腰直角三角形，得出AC＝AD＝40海里即可．‎ ‎【解答】解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：‎ 由题意得：∠ABC＝180°﹣75°﹣45°＝60°，‎ ‎∵AD⊥BC，‎ ‎∴∠ADB＝∠ADC＝90°，‎ 在Rt△ABD中，∠DAB＝90°﹣60°＝30°，AD＝AB•sin∠ABD＝80×sin60°＝80×＝40，‎ ‎∵∠CAB＝30°+45°＝75°，‎ ‎∴∠DAC＝∠CAB﹣∠DAB＝75°﹣30°＝45°，‎ ‎∴△ADC是等腰直角三角形，‎ ‎∴AC＝AD＝×40＝40（海里）．‎ 答：货船与港口A之间的距离是40海里．‎ ‎【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题、等腰直角三角形的判定与性质等知识；通过作辅助线得出直角三角形是解题的关键．‎ ‎5.（2020•山东东营市•8分）如图，在中，以为直径的交于点弦交于点且．‎ ‎（1）求证：是的切线；‎ ‎（2）求的直径的长度．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）的直径的长度为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先用勾股定理的逆定理证明△AEM为直角三角形，且∠AEM=90°，再根据MN∥BC即可证明∠ABC=90°进而求解；‎ ‎(2)连接BM，由AB是直径得到∠AMB=90°，再分别在Rt△AMB和Rt△AEM中使用∠A的余弦即可求解．‎ ‎【详解】解：(1)，‎ ‎，‎ 为的直径，‎ 是的切线．‎ ‎(2)如图，连接 为的直径，‎ 又 ‎，‎ 即，‎ ‎，‎ ‎∴的直径的长度为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了圆中切线的证明，圆周角定理，直角三角形中锐角的三角函数的求法，熟练掌握切线的性质和判定及锐角三角函数的定义是解决此类题的关键．‎ ‎6.（2020•山东东营市•8分）如图，处是一钻井平台，位于东营港口的北偏东方向上，与港口相距海里，一艘摩托艇从出发，自西向东航行至时，改变航向以每小时海里的速度沿方向行进，此时位于的北偏西方向，则从到达需要多少小时？‎ ‎【答案】从到达需要小时．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 过点作于点，在与中，利用锐角三角函数的定义求出CD与BC的长，进而求解．‎ ‎【详解】解：如图，过点作于点，‎ 由题意得：，，‎ ‎，，‎ 在中，（海里），‎ ‎（海里），‎ 在中，（海里），‎ ‎，‎ ‎（小时），‎ 从到达需要小时．‎ ‎【点睛】本题考查解直角三角形的应用，平行线的性质，巧作辅助线构造直角三角形是解题的关键．‎ ‎7.（2020•山东菏泽市•6分）某兴趣小组为了测量大楼CD的高度，先沿着斜坡AB走了52米到达坡顶点B处，然后在点B处测得大楼顶点C的仰角为53°，已知斜坡AB的坡度为i＝1：2.4，点A到大楼的距离AD为72米，求大楼的高度CD．‎ ‎（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）‎ ‎【分析】如图，过点B作BE⊥AD于点D，BF⊥CD于点F，可得四边形BEDF是矩形，根据斜坡AB的坡度为i＝1：2.4，利用勾股定理可得x的值，再根据锐角三角函数即可求大楼的高度CD．‎ ‎【解答】解：如图，过点B作BE⊥AD于点D，BF⊥CD于点F，‎ ‎∵CD⊥AD，‎ ‎∴四边形BEDF是矩形，‎ ‎∴FD＝BE，FB＝DE，‎ 在Rt△ABE中，BE：AE＝1：2.4＝5：12，‎ 设BE＝5x，AE＝12x，‎ 根据勾股定理，得 AB＝13x，‎ ‎∴13x＝52，‎ 解得x＝4，‎ ‎∴BE＝FD═5x＝20，‎ AE＝12x＝48，‎ ‎∴DE＝FB＝AD﹣AE＝72﹣48＝24，‎ ‎∴在Rt△CBF中，CF＝FB×tan∠CBF≈24×≈32，‎ ‎∴CD＝FD+CF＝20+32＝52（米）．‎ 答：大楼的高度CD约为52米．‎ ‎【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题和坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角和坡度坡角定义．‎ ‎8.（2020•山东聊城市•8分）如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼AB的高度进行测量，先测得居民楼AB与CD之间的距离AC为35m，后站在M点处测得居民楼CD的顶端D的仰角为45°，居民楼AB的顶端B的仰角为55°，已知居民楼CD的高度为16.6m，小莹的观测点N距地面1.6m．求居民楼AB的高度（精确到lm）．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈l.43）．‎ ‎【分析】过点N作EF∥AC交AB于点E，交CD于点F，可得AE＝MN＝CF＝1.6，EF＝AC＝35，再根据锐角三角函数可得BE的长，进而可得AB的高度．‎ ‎【解答】解：过点N作EF∥AC交AB于点E，交CD于点F，‎ 则AE＝MN＝CF＝1.6，‎ EF＝AC＝35，‎ ‎∠BEN＝∠DFN＝90°，‎ EN＝AM，NF＝MC，‎ 则DF＝DC﹣CF＝16.6﹣1.6＝15，‎ 在Rt△DFN中，‎ ‎∵∠DNF＝45°，‎ ‎∴NF＝DF＝15，‎ ‎∴EN＝EF﹣NF＝35﹣15＝20，‎ 在Rt△BEN中，‎ ‎∵tan∠BNE＝，‎ ‎∴BE＝EN•tan∠BNE＝20×tan55°≈20×1.43≈28.6，‎ ‎∴AB＝BE+AE＝28.6+1.6≈30．‎ 答：居民楼AB的高度约为30米．‎ ‎【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．‎ ‎9.（2020•山东临沂市•7分）如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α般要满足60°≤α≤75°，现有一架长5.5m的梯子．‎ ‎（1）使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙（结果保留小数点后一位）？‎ ‎（2）当梯子底端距离墙面2.2m时，α等于多少度（结果保留小数点后一位）？此时人是否能够安全使用这架梯子？‎ ‎（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，sin23.6°≈0.40，cos66.4°≈0.40，tan21.8°≈0.40．）‎ ‎【分析】（1）根据正弦的定义求出AC，得到答案；‎ ‎（2）根据余弦的定义求出α，根据题意判断即可．‎ ‎【解答】解：（1）由题意得，当α＝75°时，这架梯子可以安全攀上最高的墙，‎ 在Rt△ABC中，sinα＝，‎ ‎∴AC＝AB•sinα≈5.5×0.97≈5.3，‎ 答：使用这架梯子最高可以安全攀上5.3m的墙；‎ ‎（2）在Rt△ABC中，cosα＝＝0.4，‎ 则α≈66.4°，‎ ‎∵60°≤66.4°≤75°，‎ ‎∴此时人能够安全使用这架梯子．‎ ‎【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．.‎ ‎10. . 2020年内蒙古通辽市从A处看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，A处与楼的水平距离为，若，求这栋楼高．‎ ‎【答案】270米 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正切的定义分别求出BD.DC的长，求和即可.‎ ‎【详解】解：在Rt△ABD中，tanα=，‎ 则BD=AD•tanα=90×0.27=24.3，‎ 在Rt△ACD中，tanβ=，‎ 则CD=AD•tanβ=90×2.73=245.7，‎ ‎∴BC=BD+CD=24.3+245.7=270，‎ 答：这栋楼高约为270米．‎ ‎【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，正切理解仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．‎ ‎11.（12分2020年辽宁省辽阳市）如图，我国某海域有A，B两个港口，相距80海里，港口B在港口A的东北方向，点C处有一艘货船，该货船在港口A的北偏西30°方向，在港口B的北偏西75°方向，求货船与港口A之间的距离．（结果保留根号）‎ ‎【分析】过点A作AD⊥BC于D，求出∠ABC＝60°，在Rt△ABD中，∠DAB＝30°，由三角函数定义求出AD＝AB•sin∠ABD＝40，求出∠DAC＝∠CAB﹣∠DAB＝45°，则△ADC是等腰直角三角形，得出AC＝AD＝40海里即可．‎ ‎【解答】解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：‎ 由题意得：∠ABC＝180°﹣75°﹣45°＝60°，‎ ‎∵AD⊥BC，‎ ‎∴∠ADB＝∠ADC＝90°，‎ 在Rt△ABD中，∠DAB＝90°﹣60°＝30°，AD＝AB•sin∠ABD＝80×sin60°＝80×＝40，‎ ‎∵∠CAB＝30°+45°＝75°，‎ ‎∴∠DAC＝∠CAB﹣∠DAB＝75°﹣30°＝45°，‎ ‎∴△ADC是等腰直角三角形，‎ ‎∴AC＝AD＝×40＝40（海里）．‎ 答：货船与港口A之间的距离是40海里．‎ ‎【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题、等腰直角三角形的判定与性质等知识；通过作辅助线得出直角三角形是解题的关键．‎ ‎12.2020年青海省某市为了加快5G网络信号覆盖，在市区附近小山顶架设信号发射塔，如图所示．小军为了知道发射塔高度，从地面上的一点A测得发射塔顶端P点的仰角是45°，向前走60米到达B点测得P点的仰角是60°，测得发射塔底部Q点的仰角是30°．请你帮小军计算出信号发射塔PQ的高度．（结果精确到0.1 米，）‎ ‎【答案】94.6米 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据题意得出AC=PC，BQ=PQ，CQ=BQ，设BQ=PQ=x，则CQ=BQ=x，根据勾股定理可得BC=x，根据AB+BC=PQ+QC即可得出关于x的方程求解即可．‎ ‎【详解】∵∠PAC=45°，∠PCA=90°，‎ ‎∴AC=PC，‎ ‎∵∠PBC=60°，∠QBC=30°，∠PCA=90°，‎ ‎∴∠BPQ=∠PBQ=30°，‎ ‎∴BQ=PQ，CQ=BQ，‎ 设BQ=PQ=x，则CQ=BQ=x，‎ 根据勾股定理可得BC==x，‎ ‎∴AB+BC=PQ+QC 即60+x=x+x 解得：x=60+=60+20×1.732=94.64≈94.6，‎ ‎∴PQ的高度为94.6米．‎ ‎【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，找出等量关系是解题关键．‎ ‎13.（2020山东省德州市10分）如图，无人机在离地面60米的C处，观测楼房顶部B的俯角为30°，观测楼房底部A的俯角为60°，求楼房的高度．‎ ‎【分析】过B作BE⊥CD交CD于E，由题意得，∠CBE＝30°，∠CAD＝60°，解直角三角形即可得到结论．‎ ‎【解答】解：过B作BE⊥CD交CD于E，‎ 由题意得，∠CBE＝30°，∠CAD＝60°，‎ 在Rt△ACD中，tan∠CAD＝tan60°＝＝，‎ ‎∴AD＝＝20，‎ ‎∴BE＝AD＝20，‎ 在Rt△BCE中，tan∠CBE＝tan30°＝＝，‎ ‎∴CE＝20＝20，‎ ‎∴ED＝CD﹣CE＝60﹣20＝40，‎ ‎∴AB＝ED＝40（米），‎ 答：楼房的高度为40米．‎ ‎【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，用到的知识点是俯角的定义、特殊角的三角函数值，关键是作出辅助线，构造直角三角形．‎ ‎14. （2020•甘肃省天水市•8分）为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理．如图所示，正在执行巡航任务的海监船以每小时40海里的速度向正东方向航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，继续航行30分钟后到达处，此时测得灯塔在北偏东方向上．‎ ‎（1）求的度数；‎ ‎（2）已知在灯塔的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？(参考数据：，)‎ ‎【答案】（1）15°；（2）海监船继续向正东方向航行安全．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）作交的延长线于点，根据题意可得∠PBH=45°、∠‎ PAB=60°，然后利用三角形外角的性质即可解答；‎ ‎（2）设海里，则海里，然后行程关系求得AB，再利用正切函数求得x，最后与25海里比较即可解答．‎ ‎【详解】解：（1）作交的延长线于点 ‎∵，‎ ‎∴；‎ ‎（2）设海里，则海里，海里 ‎∵在中，‎ ‎∴‎ 解得：．‎ ‎∴海监船继续向正东方向航行安全．‎ ‎【点睛】本题考查了三角形外角的性质以及运用正切函数解三角形，解答本题的关键在于利用正切函数列方程求出BH的长．‎ ‎15.（2020•安徽省•8分）如图，山顶上有一个信号塔AC，已知信号塔高AC＝15米，在山脚下点B处测得塔底C的仰角∠CBD＝36.9°，塔顶A的仰角∠ABD＝42.0°，求山高CD（点A，C，D在同一条竖直线上）．‎ ‎（参考数据：tan36.9°≈0.75，sin36.9°≈0.60，tan42.0°≈0.90．）‎ ‎【分析】根据三角函数的定义和直角三角形的性质解答即可．‎ ‎【解答】解：由题意，在Rt△ABD中，tan∠ABD＝，‎ ‎∴tan42.0°＝≈0.9，‎ ‎∴AD≈0.9BD，‎ 在Rt△BCD中，tan∠CBD＝，‎ ‎∴tan36.9°＝≈0.75，‎ ‎∴CD≈0.75BD，‎ ‎∵AC＝AD﹣CD，‎ ‎∴15＝0.15BD，‎ ‎∴BD＝100米，‎ ‎∴CD＝0.75BD＝75（米），‎ 答：山高CD为75米．‎ ‎【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，注意方程思想与数形结合思想的应用．‎ ‎16. （2020•四川省攀枝花市•10分）实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线MN的距离皆为100cm．王诗嬑观测到高度90cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线MN互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度i＝1：0.75，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题：‎ ‎（1）若王诗嬑的身高为150cm，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少cm？‎ ‎（2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内．请直接回答这个猜想是否正确？‎ ‎（3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为100 cm，则高圆柱的高度为多少cm？‎ ‎【分析】（1）根据同一时刻，物长与影从成正比，构建方程即可解决问题．‎ ‎（2）根据落在地面上的影子皆与坡脚水平线MN互相垂直，并视太阳光为平行光，结合横截面分析可得；‎ ‎（3）过点F作FG⊥CE于点G，设FG＝4m，CG＝3m，利用勾股定理求出CG和FG，得到BG，过点F作FH⊥AB于点H，再根据同一时刻身高与影长的比例，求出AH的长度，即可得到AB．‎ ‎【解答】解：（1）设王诗嬑的影长为xcm，‎ 由题意可得：，‎ 解得：x＝120，‎ 经检验：x＝120是分式方程的解，‎ 王诗嬑的的影子长为120cm；‎ ‎（2）正确，‎ 因为高圆柱在地面的影子与MN垂直，所以太阳光的光线与MN垂直，‎ 则在斜坡上的影子也与MN垂直，则过斜坡上的影子的横截面与MN垂直，‎ 而横截面与地面垂直，高圆柱也与地面垂直，‎ ‎∴高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内；‎ ‎（3）如图，AB为高圆柱，AF为太阳光，△CDE为斜坡，CF为圆柱在斜坡上的影子，‎ 过点F作FG⊥CE于点G，‎ 由题意可得：BC＝100，CF＝100，‎ ‎∵斜坡坡度i＝1：0.75，‎ ‎∴，‎ ‎∴设FG＝4m，CG＝3m，在△CFG中，（4m）2+（3m）2＝1002，‎ 解得：m＝20，‎ ‎∴CG＝60，FG＝80，‎ ‎∴BG＝BC+CG＝160，‎ 过点F作FH⊥AB于点H，‎ ‎∵同一时刻，90cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm，‎ FG⊥BE，AB⊥BE，FH⊥AB，‎ 可知四边形HBGF为矩形，‎ ‎∴，‎ ‎∴AH＝＝200，‎ ‎∴AB＝AH+BH＝AH+FG＝200+80＝280，‎ 故高圆柱的高度为280cm．‎ ‎【点评】本题考查了解分式方程，解直角三角形，平行投影，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解实际物体与影长之间的关系解决问题，属于中考常考题型．‎ ‎17. （2020•四川省遂宁市•8分）在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1.2号楼进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点B垂直起飞到达点A处，测得1号楼顶部E的俯角为67°，测得2号楼顶部F的俯角为40°，此时航拍无人机的高度为60米，已知1号楼的高度为20米，且EC和FD分别垂直地面于点C和D，点B为CD的中点，求2号楼的高度．（结果精确到0.1）‎ ‎（参考数据sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36）‎ ‎【分析】通过作辅助线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，分别求出EM，AN，进而计算出2号楼的高度DF即可．‎ ‎【解答】解：过点E.F分别作EM⊥AB，FN⊥AB，垂足分别为M、N，‎ 由题意得，EC＝20，∠AEM＝67°，∠AFN＝40°，CB＝DB＝EM＝FN，AB＝60，‎ ‎∴AM＝AB﹣MB＝60﹣20＝40，‎ 在Rt△AEM中，‎ ‎∵tan∠AEM＝，‎ ‎∴EM＝＝≈16.9，‎ 在Rt△AFN中，‎ ‎∵tan∠AFN＝，‎ ‎∴AN＝tan40°×16.9≈14.2，‎ ‎∴FD＝NB＝AB﹣AN＝60﹣14.2＝45.8，‎ 答：2号楼的高度约为45.8米．‎ ‎【点评】本题考查直角三角形的边角关系，构造直角三角形是常用的方法，掌握边角关系是正确解答的关键．‎ ‎18. （2020·天津市·10分）如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC，BC．测得BC＝221m，∠ACB＝45°，∠ABC＝58°．根据测得的数据，求AB的长（结果取整数）．‎ 参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60．‎ ‎【分析】通过作高，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，列方程求解即可．‎ ‎【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，‎ ‎∵∠ACB＝45°，‎ ‎∴AD＝CD，‎ 设AB＝x，‎ 在Rt△ADB中，AD＝AB•sin58°≈0.85x，BD＝AB•cos58°≈0.53x，‎ 又∵BC＝221，即CD+BD＝221，‎ ‎∴0.85x+0.53x＝221，‎ 解得，x≈160，‎ 答：AB的长约为160m．‎ ‎【点评】本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数，是正确解答的前提，通过作辅助线构造直角三角形是常用的方法．‎ ‎19. （2020•新疆维吾尔自治区新疆生产建设兵团•9分）如图，为测量建筑物CD的高度，在点A测得建筑物顶部D点的仰角是，再向建筑物CD前进30米到达B点，测得建筑物顶部D点的仰角为（A，B，C在同一直线上），求建筑物CD 的高度．（结果保留整数.参考数据：）‎ ‎【答案】CD的高度是16米．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设建筑物CD的高度为xm，在Rt△CBD中，由于∠CBD=58°，用含x的代数式表示BC，在Rt△ACD中，利用22°的锐角三角函数求出x，即可得到答案．‎ ‎【详解】解：设建筑物CD的高度为xm；‎ 由 ‎ ‎ ‎ 由 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解得： ‎ 答：CD的高度是16米．‎ ‎【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的含义及应用是解题的关键．‎