专题10 圆锥曲线-备战2021年高考数学（理）之纠错笔记系列（原卷版）1
1
易错点 1 混淆“轨迹”与“轨迹方程”
如图，已知点 0(1 )F ， ，直线 : 1l x ，P为平面上的动点，过 P作直线 l的垂线，垂足为点 Q，且
QP QF FP FQ
，求动点 P的轨迹．
【错解】设点 P(x，y)，则 Q(－1，y)，
由QP QF FP FQ
，得(x＋1，0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，化简得 y2＝4x．
【错因分析】错解中求得的是动点的轨迹方程，而不是轨迹，混淆了“轨迹”与“轨迹方程”的区别．
【试题解析】设点 P(x，y)，则 Q(－1，y)，
由QP QF FP FQ
，得(x＋1，0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，化简得 y2＝4x．
故动点 P的轨迹为焦点坐标为(1，0)的抛物线．
【参考答案】动点 P的轨迹为焦点坐标为(1，0)的抛物线．
1．求轨迹方程时，若题设条件中无坐标系，则需要先建立坐标系，建系时，尽量取已知的相互垂直的直线
为坐标轴，或利用图形的对称性选轴，或使尽可能多的点落在轴上.求轨迹方程的方法有:
（1）直接法：直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的
等价性．
（2）定义法：求轨迹方程时，若动点与定点、定直线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定
义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程．
2
（3）相关点法：动点所满足的条件不易得出或转化为等式，但形成轨迹的动点 ,( )P x y 却随另一动点
( ),Q x y 的运动而有规律地运动，而且动点 Q的轨迹方程为给定的或容易求得的，则可先将 x， y表
示成关于 x，y的式子，再代入 Q的轨迹方程整理化简即得动点 P的轨迹方程．
（4）参数法：若动点 ,( )P x y 坐标之间的关系不易直接找到，且无法判断动点 ,( )P x y 的轨迹，也没有
明显的相关动点可用，但较易发现（或经分析可发现）这个动点的运动受到另一个变量的制约，即动点
,( )P x y 中的 x，y分别随另一变量的变化而变化，我们可称这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，这
种求轨迹方程的方法叫做参数法.
2．求轨迹方程与求轨迹是有区别的，若是求轨迹，则不仅要求出方程，而且还要说明和讨论所求轨迹是什
么样的图形，即说出图形的形状、位置等．
1．已知点 P(2，2)，圆 C： 2 2 8 0x y y ，过点 P的动直线 l与圆 C交于 A，B两点，线段 AB的中点为
M，O为坐标原点．
（1）求 M的轨迹方程；
（2）当|OP|＝|OM|时，求 l的方程及 POM△ 的面积．
【答案】（1） 2 21 ( 3) )( 2x y ；（2）
16
5
．
【解析】（1）圆 C的方程可化为 2 2( 4) 16x y ，所以圆心为 C(0，4)，半径为 4．
设 M(x，y)，则 ( , )4CM x y
， 2( ), 2MP x y
．
由题设知 0CM MP
，故 (2 ) ( 4)(2 ) 0x x y y ，即 2 21 ( 3) )( 2x y ．
由于点 P在圆 C的内部，所以 M的轨迹方程是 2 21 ( 3) )( 2x y ．
3
（2）由（1）可知 M的轨迹是以点 N(1，3)为圆心， 2为半径的圆．
由于|OP|＝|OM|，故 O在线段 PM的垂直平分线上，又 P在圆 N上，从而 ON⊥PM．
因为 ON的斜率为 3，所以直线 l的斜率为
1
3
，故直线 l的方程为
1 8
3 3
y x ．
又|OM|＝|OP|＝2 2，点 O到直线 l的距离为
4 10
5
，|PM|＝ 4 10
5
，所以 POM△ 的面积为
16
5
．
易错点 2 求轨迹方程时忽略变量的取值范围
已知曲线 C：y＝ x2－2x＋2和直线 l：y＝kx(k≠0)，若 C与 l有两个交点 A和 B，求线段 AB中点的
轨迹方程.
【错解】依题意，由
y＝ x2－2x＋2，
y＝kx，
分别消去 x、y得，(k2－1)x2＋2x－2＝0，①
(k2－1)y2＋2ky－2k2＝0.②
设 AB的中点为 P(x，y)，则在①②中分别有
1 2
2
1 2
2
1
2 1
2 1
x xx
k
y y ky
k
，
故线段 AB中点的轨迹方程为
2 2 0x y x .
【错因分析】消元过程中，由于两边平方，扩大了变量 y的允许范围，故应对 x，y加以限制．
【试题解析】依题意，由
y＝ x2－2x＋2
y＝kx
，
分别消去 x、y得，(k2－1)x2＋2x－2＝0，①
(k2－1)y2＋2ky－2k2＝0.②
4
设 AB的中点为 P(x，y)，则在①②中分别有
x＝x1＋x2
2
＝
1
1－k2
， ③
y＝y1＋y2
2
＝
k
1－k2
， ④
又对②应满足
2
2 2 2
1 2 2
2
1 2 2
1 0
4 4 ( 2 ) ( 1) 0
2 0
1
2 0
1
k
k k k
ky y
k
ky y
k
，解得
2
2
2，y> 2.
所以所求轨迹方程是 x2－y2－x＝0(x>2，y> 2)．
【参考答案】轨迹方程是 x2－y2－x＝0(x>2，y> 2).
1．一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二
元方程 ( , ) 0f x y 的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．
2．要注意有的轨迹问题包含一定的隐含条件，由曲线和方程的概念可知，在求曲线时一定要注意它的“完
备性”和“纯粹性”，即轨迹若是曲线的一部分，应对方程注明 x的取值范围，或同时注明 x,y的取值范
围.
2．已知 ABC△ 的三边 a、b、c(a>b>c)成等差数列，A、C两点的坐标分别是(－1,0)、(1,0)，求顶点 B的轨
迹方程.
【答案】
x2
4
＋
y2
3
＝1(－2c，∴
2 2 2 2( 1) ( 1)x y x y ，解得 x<0.
又点 B不在 x轴上，∴x≠－2.
故所求的轨迹方程为
x2
4
＋
y2
3
＝1(－2b>c，使变量 x的范围扩大，从而导致错
误．另外，注意当点 B在 x轴上时，A、B、C三点不能构成三角形．
易错点 3 忽略椭圆定义中的限制条件
若方程
2 2
1
8 6
x y
k k
表示椭圆，则实数 k的取值范围为________________．
【错解】由
8 0
6 0
k
k
，可得6 8k ，所以实数 k的取值范围为(6，8)．
【错因分析】忽略了椭圆标准方程中 a＞b＞0这一限制条件，当 a＝b＞0时表示的是圆的方程．
【试题解析】由
8 0
6 0
8 6
k
k
k k
，可得6 8k 且 7k ，所以实数 k的取值范围为(6，7)∪(7，8)．
【方法点睛】准确理解椭圆的定义，明确椭圆定义中的限制条件，才能减少解题过程中的失误，从而保证
解题的正确性．
【参考答案】(6，7)∪(7，8)．
平面上到两定点 1 2,F F 的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点 P的轨迹是椭圆. 这两个定点叫做
椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作 1 2 2F F c .
定义式： 1 2 1 22 (2 )PF PF a a F F .
6
要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆.
3．已知 F1，F2为两定点，|F1F2|＝8，动点 M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则动点 M的轨迹是
A．椭圆 B．直线
C．圆 D．线段
【答案】D
【解析】虽然动点 M到两个定点 F1，F2的距离为常数 8，但由于这个常数等于|F1F2|，故动点 M的轨迹
是线段 F1F2，故选 D．
平面上到两定点 1 2,F F 的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点 P的轨迹是椭圆.若忽略了椭
圆定义中|F1F2|＜2a这一隐含条件，就会错误地得出点 M的轨迹是椭圆.
易错点 4 忽略对椭圆焦点位置的讨论
已知椭圆的标准方程为
2 2
2 1( 0)
36
x y k
k
，并且焦距为 8，则实数 k的值为_____________．
【错解 1】因为 2c＝8，所以 c＝4，由椭圆的标准方程知 a2＝36，b2＝k2，a2＝b2＋c2，
所以 36＝k2＋42，即 k2＝20，又 k＞0，故 2 5k ．
【错解 2】因为 2c＝8，所以 c＝4，由椭圆的标准方程知 a2＝k2，b2＝36，a2＝b2＋c2，
所以 k2＝36＋42，即 k2＝52，又 k＞0，故 2 13k ．
【错因分析】当椭圆的焦点位置不确定时，求椭圆的标准方程需要进行分类讨论，而错解中忽略了对椭圆
的焦点位置的讨论，从而导致错误．
【试题解析】因为 2c＝8，所以 c＝4，
①当焦点在 x轴上时，由椭圆的标准方程知 a2＝36，b2＝k2，a2＝b2＋c2，
7
所以 36＝k2＋42，即 k2＝20，又 k＞0，故 2 5k ；
②当焦点在 y轴上时，由椭圆的标准方程知 a2＝k2，b2＝36，a2＝b2＋c2，
所以 k2＝36＋42，即 k2＝52，又 k＞0，故 2 13k ．
综上， 2 5k 或 2 13．
【方法点睛】涉及椭圆方程的问题，如果没有指明椭圆焦点所在的位置，一般都会有两种可能的情形，不
能顺着思维定式，想当然地认为焦点在 x轴上或 y轴上去求解．
【参考答案】 2 5k 或 2 13．
1．解决已知椭圆的焦点位置求方程中的参数问题，应注意结合焦点位置与椭圆方程形式的对应关系求解.
对于方程
2 2
1x y
m n
，
①表示焦点在 x轴上的椭圆 0, 0m n 且m n ；
②表示焦点在 y轴上的椭圆 0, 0m n 且m n ；
③表示椭圆 0, 0m n 且m n ．
对于形如：Ax2＋By2＝1(其中 A＞0，B＞0，A≠B)的椭圆的方程，其包含焦点在 x轴上和在 y轴上两种情
况，当 B＞A时，表示焦点在 x轴上的椭圆；当 B＜A时，表示焦点在 y轴上的椭圆．
2．求椭圆的方程有两种方法:
（1）定义法.根据椭圆的定义，确定 a2,b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.
（2）待定系数法.这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：
第一步，做判断.根据条件判断椭圆的焦点在 x轴上，还是在 y轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需
8
要分类讨论）.
第二步，设方程.根据上述判断设方程为
2 2
2 2 1( 0)x y a b
a b
或
2 2
2 2 1( 0)y x a b
a b
.
第三步，找关系.根据已知条件，建立关于 , ,a b c的方程组（注意椭圆中固有的等式关系 2 2 2c a b － ）.
第四步，得椭圆方程.解方程组，将解代入所设方程，即为所求.
3．用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，需要分焦点在 x轴上和
在 y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为 Ax2＋By2＝1(其中 A＞0，B＞0，A≠B).
求椭圆的标准方程的方法可以采用待定系数法，此时要注意根据焦点的位置选择椭圆的标准方程；也
可以利用椭圆的定义及焦点位置或点的坐标确定椭圆的标准方程.
4．已知 13a ， 2 3c ，则该椭圆的标准方程为
A．
2 2
1
13 12
x y
B．
2 2
1
13 25
x y
或
2 2
1
25 13
x y
C．
2
2 1
13
x y D．
2
2 1
13
x y 或
2
2 1
13
yx
【答案】D
【解析】由题意可知 2 2 2 1b a c ，当焦点在 x轴上时，椭圆方程为
2
2 1
13
x y ；当焦点在 y轴上时，
椭圆方程为
2
2 1
13
y x ．故选 D．
本题在求解时容易忽略焦点的位置，而默认了椭圆的焦点在 x轴上，从而求出椭圆的标准方程为
x2
40
＋
y2
10
＝
9
1.为了避免讨论，也可以如下方法设椭圆方程：
与椭圆
2 2
2 2 1x y
a b
有相同焦点的椭圆方程可设为
2 2
2
2 2 1(x y k a
a k b k
且 2 )k b ，与椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a b
a b
有相同离心率的椭圆方程可设为
2 2
2 2 ( 0x y m m
a b
，焦点在 x 轴上 ) 或
2 2
2 2 ( 0y x n n
a b
，焦点在 y轴上 )．
易错点 5 忽略椭圆的范围
设椭圆的中心是坐标原点，长轴在 x轴上，离心率
3
2
e ，已知点
3(0, )
2
P 到椭圆的最远距离为 7 ，
求椭圆的标准方程．
【错解】由题意可设椭圆的标准方程为
2 2
2 2 1( 0)x y a b
a b
，
则
2 2 2 2
2
2 2 2
31
4
c a b be
a a a
，故
2
2
1
4
b
a
，即 2a b ．
设椭圆上的点 ( , )x y 到点 P的距离为 d，
则
2
2 2 2 2 2 2 2
2
3 3 1( ) (1 ) ( ) 3( ) 4 3
2 2 2
yd x y a y y b
b
，
所以当
1
2
y 时， 2d 取得最大值，从而 d取得最大值，
所以 2 24 3 ( 7)b ，解得 2 1b ， 2 4a ．
故所求椭圆的标准方程为
2
2 1
4
x y ．
【错因分析】错解中“当
1
2
y 时， 2d 取得最大值”这一步的推理是错误的，没有考虑椭圆方程中 y的取
值范围，事实上，由于点 ( , )x y 在椭圆上，所以 b y b ，因此在求 2d 的最大值时，应分类讨论．
10
【试题解析】由题意可设椭圆的标准方程为
2 2
2 2 1( 0)x y a b
a b
，
则
2 2 2 2
2
2 2 2
31
4
c a b be
a a a
，故
2
2
1
4
b
a
，即 2a b ．
设椭圆上的点 ( , )x y 到点 P的距离为 d，
则
2
2 2 2 2 2 2 2
2
3 3 1( ) (1 ) ( ) 3( ) 4 3
2 2 2
yd x y a y y b
b
，
若
1
2
b ，则当 y b 时， 2d 取得最大值，从而 d取得最大值，
于是
2 23( 7) ( )
2
b ，解得
3 17
2 2
b ，与
1
2
b 矛盾，故
1
2
b ，
所以当
1
2
y 时， 2d 取得最大值，从而 d取得最大值，
所以 2 24 3 ( 7)b ，解得 2 1b ， 2 4a ．
故所求椭圆的标准方程为
2
2 1
4
x y ．
【方法点睛】准确把握椭圆定义中的限制条件，是正确解题的前提，在求解时，应做到步步有依据，这样
才能避免出错．
【参考答案】
2
2 1
4
x y .
1．椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a b
a b
的范围就是方程中变量 x,y的范围，由
2 2
2 2 1x y
a b
得
2 2
2 21 1x y
a b
，则
| |x a ；
2 2
2 21 1y x
b a
，则 | |y b .故椭圆落在直线 x=±a，y=±b围成的矩形内，因此用描点法画椭圆
的图形时就可以不取“矩形”范围以外的点了.同时，在处理椭圆的一些参数或最值问题时要注意 x，y的取
值范围.
2．设椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a b
a b
上任意一点 ,( )P x y ，则当 0x＝ 时， | |OP 有最小值 b，P点在短轴端点
处；当 x a 时， | |OP 有最大值 a，P点在长轴端点处．
11
3．（1）解决椭圆
x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a>b>0)中的范围问题常用的关系有：
①－a≤x≤a，－b≤y≤b；
②离心率 00或 m<0时，抛物线的准线是不同的，错解中考虑问题欠
周到．
【试题解析】当 m>0时，准线方程为 x＝－
m
4
，
由条件知 1－(－m
4
)＝3，所以 m＝8.
此时抛物线方程为 y2＝8x；
当 m<0时，准线方程为 x＝－
m
4
，
由条件知－
m
4
－1＝3，所以 m＝－16，
此时抛物线方程为 y2＝－16x.
所以所求抛物线方程为 y2＝8x或 y2＝－16x.
【参考答案】y2＝8x或 y2＝－16x.
1．抛物线的四种标准方程与对应图形如下表所示：
22
图 形
标准方程 2 2 ( 0)y px p 2 2 ( 0)y px p 2 2 ( 0)x py p 2 2 ( 0)x py p
焦点坐标 ( ,0)
2
p ( ,0)
2
p
(0, )
2
p (0, )
2
p
准线方程
2
px
2
px
2
py
2
py
注：抛物线标准方程中参数 p的几何意义是：抛物线的焦点到准线的距离，所以 p的值永远大于 0．
2．求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点的位置、开口方向，在方程的类型已经
确定的前提下，由于标准方程只有一个参数 p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.用待定系数
法求抛物线标准方程的步骤：
若无法确定抛物线的位置，则需分类讨论.特别地，已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标准方程.
11．顶点在原点，且过点 ( 1,1) 的抛物线的标准方程是
A． 2y x B． 2x y
C． 2y x 或 2x y D． 2y x 或 2x y
【答案】C
【解析】当焦点在 x轴上时，设方程为 2y ax ，将 ( 1,1) 代入得 1a ， 2y x ；当焦点在 y 轴上
23
时，设方程为 2x ay ，将 ( 1,1) 代入得 1a ， 2x y ．故选 C．
本题若只考虑焦点在 x轴的负半轴上的情况，而忽略了焦点也可能在 y轴的正半轴上的情况，则会出现
漏解．
易错点 12 忽略直线与抛物线有一个公共点的特殊情况
求过定点 ( 11)P , ，且与抛物线 2 2y x 只有一个公共点的直线 l的方程．
【错解】当直线 l的斜率不存在时，显然不满足题意．
当直线 l的斜率存在时，设直线 l的方程为 1 )1 ( )( 0y k x k ，
由 2
( )1
2
1
y
y k x
x
消去 x，得 2 2 2 2 0ky y k ，
则 4 4 2 2 0( )k k － ，解得
1 3
2
k
．
故所求直线 l的方程为 ( 3 1) 2 3 1 0x y 或 ( 3 1) 2 3 1 0x y ．
【错因分析】错解中忽略了与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线有一个公共点，故产生漏解．
【试题解析】当直线 l的斜率不存在时，显然不满足题意．
当直线 l的斜率存在时，设 l： (1 1)y k x ，
当 0k 时，直线 l的方程为 1y ，此时直线 l与抛物线只有一个公共点．
当 0k 时，与抛物线方程联立消去 x，得 2 2 2 2 0ky y k ，
则 4 4 2 2 0( )k k － ，解得
1 3
2
k
，
此时直线 l的方程为 ( 3 1) 2 3 1 0x y 或 ( 3 1) 2 3 1 0x y ．
24
综上，直线 l的方程为 1y 或 ( 3 1) 2 3 1 0x y 或 ( 3 1) 2 3 1 0x y ．
【参考答案】直线 l的方程为 1y 或 ( 3 1) 2 3 1 0x y 或 ( 3 1) 2 3 1 0x y ．
直线 l y kx b ： 与抛物线 2 2 ( 0)y px p 公共点的个数等价于方程组 2 2y
x
p
b
x
y k
的解的个数．
（1）若 0k ，则当 0 时，直线和抛物线相交，有两个公共点；当 0＝ 时，直线和抛物线相切，有一
个公共点；当 0 时，直线和抛物线相离，无公共点．
（2）若 0k ，则直线 y b 与抛物线 2 2 ( 0)y px p 相交，有一个公共点．特别地，当直线 l的斜率不
存在时，设 x m ，则当 0m 时，直线 l与抛物线相交，有两个公共点；当 0m 时，直线 l与抛物线相
切，有一个公共点；当 0m 时，直线 l与抛物线相离，无公共点．
12．“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】“直线与抛物线相切”可得“直线与抛物线只有一个公共点”，“直线与抛物线只有一个公共点”
时，直线可能与对称轴平行，此时不相切，故“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共
点”的充分不必要条件．故选 A．
本题易忽略直线平行于抛物线的对称轴时，直线与抛物线也只有一个交点,而漏掉 k=0.
25
一、曲线与方程
1．求曲线方程的步骤
求曲线的方程，一般有下面几个步骤：
（1）建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点 M的坐标；
（2）写出适合条件 p的点 M的集合 { | ( )}P M p M ；
（3）用坐标表示条件 p(M)，列出方程 ( , ) 0f x y ；
（4）化方程 ( , ) 0f x y 为最简形式；
（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
一般地，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写．若遇到某些点虽适合方程，但不在曲
线上时，可通过限制方程中 x，y的取值范围予以剔除．另外，也可以根据情况省略步骤（2），直接列出
曲线方程．
2．两曲线的交点
（1）由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成
的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有
交点．
（2）两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，就
是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题.
二、椭圆
1．椭圆的定义
平面上到两定点 1 2,F F 的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点 P的轨迹是椭圆. 这两个定点
叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作 1 2 2F F c .
定义式： 1 2 1 22 (2 )PF PF a a F F .
26
要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆.
2．椭圆的标准方程
焦点在 x轴上，
2 2
2 2 1( 0)x y a b
a b
；
焦点在 y轴上，
2 2
2 2 1( 0)y x a b
a b
.
说明：要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道 , ,a b c之间的大小关系和等量关系：
2 2 2 , 0, 0a c b a b a c .
3．椭圆的几何性质
标准方程
2 2
2 2 1x y
a b
(a＞b＞0)
2 2
2 2 1y x
a b
(a＞b＞0)
图形
范围 a x a ， b y b b x b ， a y a
对称性 对称轴：x轴、y轴；对称中心：原点
焦点 左焦点 F1 (－c，0)，右焦点 F2 (c，0) 下焦点 F1 (0，－c)，上焦点 F2 (0，c)
顶点 1 2 1 2( ,0), ( ,0), (0, ), (0, )A a A a B b B b 1 2 1 2(0, ), (0, ), ( ,0), ( ,0)A a A a B b B b
轴
线段 A1A2，B1B2分别是椭圆的长轴和短轴；
长轴长|A1A2|＝2a，短轴长|B1B2|＝2b，长半轴长为 a，短半轴长为 b
离心率 e
2
2
c ce
a a
(0 1)e
27
椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围）有两种方法：
（1）求出 a,c，代入公式
ce
a
.
（2）只需要根据一个条件得到关于 , ,a b c的齐次式，结合 2 2 2b a c － 转化为 a,c的齐次式，然后等式
（不等式）两边分别除以 a或 a2转化为关于 e或 e2的方程（不等式），解方程（不等式）即可得 e（e的取值
范围）.
三、双曲线
1． 双曲线的定义
（1）定义：平面内与两个定点 F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫
做双曲线．
这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
（2）符号语言： 1 2 1 22 0 2，MF MF a a F F .
（3）当 1 2 2MF MF a 时，曲线仅表示焦点 2F 所对应的双曲线的一支；
当 1 2 2MF MF a 时，曲线仅表示焦点 1F 所对应的双曲线的一支；
当 1 2| |2a F F 时，轨迹为分别以 F1，F2为端点的两条射线；
当 1 2| |2a F F 时，动点轨迹不存在．
2．双曲线的标准方程
（1）焦点在 x轴上的双曲线的标准方程为
2 2
2 2 1x y
a b
(a＞0，b＞0)，焦点分别为 F1(－c，0)，F2(c，0)，
焦距为 2c，且 2 2 2c a b .
（2）焦点在 y轴上的双曲线的标准方程为
2 2
2 2 1y x
a b
(a＞0，b＞0)，焦点分别为 F1(0，－c)，F2(0，c)，
28
焦距为 2c，且 2 2 2c a b ．
3．双曲线的几何性质
标准方程
2 2
2 2 1x y
a b
(a＞0，b＞0)
2 2
2 2 1y x
a b
(a＞0，b＞0)
图形
范围 | |x a ， yR | |y a ， xR
对称性 对称轴：x轴、y轴；对称中心：原点
焦点 左焦点 F1(－c，0)，右焦点 F2(c，0) 下焦点 F1(0，－c)，上焦点 F2(0，c)
顶点 1 2( ,0), ( ,0)A a A a 1 2(0, ), (0, )A a A a
轴
线段 A1A2是双曲线的实轴，线段 B1B2是双曲线的虚轴；
实轴长|A1A2|＝2a，虚轴长|B1B2|＝2b
渐近线
by x
a
ay x
b
离心率 e
2
2
c ce
a a
( 1)e
在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件 1 2|| | | || 2PF PF a 的应用；其
次是要利用余弦定理、勾股定理等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用．
4．等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．等轴双曲线具有以下性质：
（1）方程形式为 2 2 ( 0)x y ；
29
（2）渐近线方程为 y x ，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角；
（3）实轴长和虚轴长都等于 2a，离心率 e 2．
1．求双曲线的离心率一般有两种方法：
（1）由条件寻找 ,a c满足的等式或不等式，一般利用双曲线中 a b c， ， 的关系
2 2 2c a b 将双曲线的
离心率公式变形，即
2
2 2
2
11
1
c be
a a b
c
.
（2）根据条件列含 ,a c的齐次方程，利用双曲线的离心率公式
ce
a
转化为含 e或 2e 的方程，求解可得，
注意根据双曲线离心率的范围 1( )e , 对解进行取舍.
2．求解双曲线的离心率的范围，一般是根据条件，结合 2 2 2c a b 和
ce
a
，得到关于 e的不等式，
求解即得.注意区分双曲线离心率的范围 1( )e , ，椭圆离心率的范围 )1(0e ， .另外，在建立关于 e的不
等式时，注意双曲线上的点到焦点的距离的最值的应用.
四、抛物线
1．抛物线的定义
平面内与一个定点 F和一条定直线 l(l不经过点 F) 距离相等的点的轨迹叫做抛物线．
点 F叫做抛物线的焦点，直线 l叫做抛物线的准线．抛物线关于过焦点 F与准线垂直的直线对称，这条
直线叫抛物线的对称轴，简称抛物线的轴．
注意：直线 l不经过点 F，若 l经过 F点，则轨迹为过定点 F且垂直于定直线 l的一条直线．
2．抛物线的标准方程
（1）顶点在坐标原点，焦点在 x轴正半轴上的抛物线的标准方程为 2 2 ( 0)y px p ；
（2）顶点在坐标原点，焦点在 x轴负半轴上的抛物线的标准方程为 2 2 ( 0)y px p ；
（3）顶点在坐标原点，焦点在 y轴正半轴上的抛物线的标准方程为 2 2 ( 0)x py p ；
（4）顶点在坐标原点，焦点在 y轴负半轴上的抛物线的标准方程为 2 2 ( 0)x py p .
30
注意：抛物线标准方程中参数 p的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离，所以 p的值永远大于 0，当
抛物线标准方程中一次项的系数为负值时，不要出现 p＜0的错误.
3．抛物线的几何性质
标准方程 2 2 ( 0)y px p 2 2 ( 0)y px p 2 2 ( 0)x py p 2 2 ( 0)x py p
图 形
几
何
性
质
范 围 0,x y R 0,x y R 0,y x R 0,y x R
对称性 关于 x轴对称 关于 x轴对称 关于 y轴对称 关于 y轴对称
焦点 ( ,0)
2
pF ( ,0)
2
pF (0, )
2
pF (0, )
2
pF
准线方程
2
px
2
px
2
py
2
py
顶 点 坐标原点(0，0)
离心率 1e
4．抛物线的焦半径
抛物线上任意一点 0 0( ),P x y 与抛物线焦点 F的连线段，叫做抛物线的焦半径．
根据抛物线的定义可得焦半径公式如下表：
抛物线方程 2 2 ( 0)y px p
2 2 ( 0)y px p
2 2 ( 0)x py p
2 2 ( 0)x py p
焦半径公式 0| |
2
pPF x 0| |
2
pPF x 0| |
2
pPF y 0| |
2
pPF y
5．抛物线的焦点弦
抛物线的焦点弦即过焦点 F的直线与抛物线所成的相交弦．
焦点弦公式既可以运用两次焦半径公式得到，也可以由数形结合的方法求出直线与抛物线的两交点坐标，
31
再利用两点间的距离公式得到，设 AB为焦点弦， 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ，则
抛物线方程 2 2 ( 0)y px p 2 2 ( 0)y px p 2 2 ( 0)x py p 2 2 ( 0)x py p
焦点弦公式
1 2| | ( )AB p x x
1 2| | ( )AB p x x
1 2| | ( )AB p y y 1 2| | ( )AB p y y
其中，通过抛物线的焦点作垂直于对称轴而交抛物线于 A，B两点的线段 AB，称为抛物线的通径．
对于抛物线 2 2 ( 0)y px p ，由 ( , )
2
pA p ， ( , )
2
pB p ，可得 | | 2AB p ，故抛物线的通径长为 2p．
1．抛物线的离心率 e＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此，涉及抛物线的焦
半径、焦点弦的问题，可以优先考虑利用抛物线的定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，即
2
PF px 或
2
PF py ，使问题简化．
2．有关抛物线上一点 M到抛物线焦点 F和到已知点 E（E在抛物线内）的距离之和的最小值问题，
可依据抛物线的图形，过点 E作准线 l的垂线，其与抛物线的交点到抛物线焦点 F和到已知点 E的距离
之和是最小值.
五、直线与圆锥曲线的位置关系
1．曲线的交点
在平面直角坐标系 xOy中，给定两条曲线 1 2,C C ，已知它们的方程为 1 2: ( , ) 0, : ( , ) 0C f x y C g x y ，
求曲线 1 2,C C 的交点坐标，即求方程组
( , ) 0
( , ) 0
f x y
g x y
的实数解.
方程组有几组实数解，这两条曲线就有几个交点.若方程组无实数解，则这两条曲线没有交点.
2．直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线相交时，直线与椭圆有两个公共点，与双曲线、抛物线有一个或两个公共点.
（1）直线与椭圆有两个交点 相交；直线与椭圆有一个交点 相切；直线与椭圆没有交点 相离.
（2）直线与双曲线有两个交点 相交.
当直线与双曲线只有一个公共点时，除了直线与双曲线相切外，还有可能是直线与双曲线相交，此时直
32
线与双曲线的渐近线平行.
直线与双曲线没有交点 相离.
（3）直线与抛物线有两个交点 相交.
当直线与抛物线只有一个公共点时，除了直线与抛物线相切外，还有可能是直线与抛物线相交，此时直
线与抛物线的对称轴平行或重合.
直线与抛物线没有交点 相离.
3．弦长的求解
（1）当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解；
（2）当直线的斜率存在时，斜率为 k的直线 l与圆锥曲线 C相交于 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 两个不同的点，
则弦长 2 2 2
2 1 2 1 1 2 1 22
1( ) ( ) 1 | | 1 | | ( 0)＝AB x x y y k x x y y k
k
.
（3）当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长.
4．中点弦问题
（1）AB为椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a b
a b
的弦， 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，弦中点 M(x0，y0)，则 AB所在直线
的斜率为
2
0
2
0
b xk
a y
，弦 AB的斜率与弦中点 M和椭圆中心 O的连线的斜率之积为定值
2
2
b
a
.
（2）AB为双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a b
a b
的弦， 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，弦中点 M(x0，y0)，则 AB所在
直线的斜率为
2
0
2
0
b xk
a y
，弦 AB的斜率与弦中点 M和双曲线中心 O的连线的斜率之积为定值
2
2
b
a
.
（3）在抛物线
2 2 ( 0)y px p 中，以 M(x0，y0) 为中点的弦所在直线的斜率
0
pk
y
.
1．（2018新课标全国Ⅰ）已知椭圆
2 2
2: 1
4
x yC
a
的一个焦点为 (2,0)，则C的离心率为
A．
1
3
B．
1
2
33
C． 2
2
D． 2 2
3
2．（2018浙江）双曲线
2
2 1
3
x y 的焦点坐标是
A．(− 2，0)，( 2，0) B．(−2，0)，(2，0)
C．(0，− 2 )，(0， 2 ) D．(0，−2)，(0，2)
3．（2018新课标全国Ⅱ理）双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a b
a b
的离心率为 3，则其渐近线方程为
A． 2y x B． 3y x
C． 2
2
y x D． 3
2
y x
4．“ ”是“曲线 = 为双曲线”的
A．充分不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．顶点在坐标原点,对称轴为坐标轴,又过点 的抛物线方程是
A． B．
C． 或 D． 或
6．已知点 及抛物线 上一动点 ,则 的最小值为
A． B．
C． D．
7．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,以 为直径的圆与双曲线渐近线的一个
交点为 ,则此双曲线方程为
A． B．
C． D．
34
8．椭圆
2 2
1
25 16
x y
的左，右焦点分别为 1 2,F F ，弦 AB过 1F ，若△ 2ABF 的内切圆周长为 π， ,A B两点的
坐标分别为 1 1 2 2( , ), ( , )x y x y ，则 1 2y y 值为
A．
5
3
B．
10
3
C．
20
3
D． 5
3
9．（2018新课标全国Ⅲ）已知双曲线
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a b
a b
的离心率为 2，则点 (4,0)到C的渐近
线的距离为
A． 2 B． 2
C． 3 2
2
D．2 2
10．（2018新课标全国Ⅰ理）设抛物线 2: 4C y x 的焦点为 F ，过点 ( 2,0) 且斜率为
2
3
的直线与C交于M ，
N 两点，则 FM FN
A．5 B．6
C．7 D．8
11．（2017新课标全国 II理）若双曲线 :C
2 2
2 2 1x y
a b
（ 0a ， 0b ）的一条渐近线被圆 2 22 4x y
所截得的弦长为 2，则C的离心率为
A．2 B． 3
C． 2 D．
2 3
3
12．（2018新课标全国Ⅰ理）已知双曲线
2
2: 1
3
xC y ，O为坐标原点， F 为C的右焦点，过F 的直线
与C的两条渐近线的交点分别为M ， N ．若 OMN△ 为直角三角形，则 | |MN
A．
3
2
B．3
C．2 3 D．4
35
13．（2018新课标全国Ⅲ理）设 1F ， 2F 是双曲线
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a b
a b
的左、右焦点，O是坐标原
点．过 2F 作C的一条渐近线的垂线，垂足为 P．若 1| 6 || |PF OP ，则C的离心率为
A． 5 B． 2
C． 3 D． 2
14．（2018天津理）已知双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a b
a b
的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x轴的直线与
双曲线交于 A， B两点．设 A， B到双曲线同一条渐近线的距离分别为 1d 和 2d ，且 1 2 6d d ，则
双曲线的方程为
A．
2 2
1
4 12
x y
B．
2 2
1
12 4
x y
C．
2 2
1
3 9
x y
D．
2 2
1
9 3
x y
15．（2018新课标全国Ⅱ理科）已知 1F ， 2F 是椭圆
2 2
2 2 1 ( 0)x yC a b
a b
： 的左、右焦点， A是C的左
顶点，点 P在过 A且斜率为
3
6
的直线上， 1 2PFF△ 为等腰三角形， 1 2 120F F P ，则C的离心率为
A．
2
3
B．
1
2
C．
1
3
D．
1
4
16．（2017新课标全国Ⅲ理科）已知椭圆 C：
2 2
2 2 0)1(x y
a b
a b 的左、右顶点分别为 A1，A2，且以线
段 A1A2为直径的圆与直线 2 0bx ay ab 相切，则 C的离心率为
A． 6
3
B． 3
3
C． 2
3
D．
1
3
17．（2017新课标全国 I理科）已知 F为抛物线 C： 2 4y x 的焦点，过 F作两条互相垂直的直线 l1，l2，
36
直线 l1与 C交于 A、B两点，直线 l2与 C交于 D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为
A．16 B．14
C．12 D．10
18．椭圆 = 和双曲线 = 的公共焦点为 是两曲线的一个交点,那么 的值是
________________．
19．（2018北京）若双曲线
2 2
2 1( 0)
4
x y a
a
的离心率为
5
2
，则 a ________________．
20．（2018江苏）在平面直角坐标系 xOy中，若双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a b
a b
的右焦点 ( ,0)F c 到一条渐
近线的距离为
3
2
c，则其离心率的值是________________．
21．（2018北京理）已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yM a b
a b
，双曲线
2 2
2 2: 1x yN
m n
．若双曲线N 的两条渐
近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为
________________；双曲线 N 的离心率为________________．
22．（2017新课标全国 II理科）已知F 是抛物线 :C 2 8y x 的焦点，M 是C上一点，FM 的延长线交 y 轴
于点 N ．若M 为FN 的中点，则 FN ________________．
23．已知 A,B是直线 y=-2上的两动点,∠AOB= (O为坐标原点),则 AOB△ 外心 M的轨迹方程为
________________．
24．已知抛物线 C:y2=2px(p>0),A(1,-2)是抛物线上的点.若存在斜率为-2的直线 l与抛物线 C有公共点,且点 A
到直线 l的距离等于 ,则直线 l的方程是________________．
25．（2018浙江）已知点 P(0，1)，椭圆
2
4
x +y2=m(m>1)上两点 A，B满足 AP
=2 PB
，则当 m=___________
时，点 B横坐标的绝对值最大．
26．若一个动点 P(x,y)到两个定点 F1(-1,0)，F2(1,0)的距离之差的绝对值为定值 m(0≤m≤2)，求动点 P的轨迹
方程.
27．已知双曲线 8kx2－ky2＝8的一个焦点为(0,3)，求 k的值.
37
28．已知命题 “方程 表示焦点在 轴上的椭圆”,命题 “方程 表示双曲线”.
（1）若 是真命题,求实数 的取值范围;
（2）若“ 或 ”是真命题,求实数 的取值范围.
29．焦点在 轴上的双曲线,它的两条渐近线的夹角为 ,焦距为 12,求此双曲线的方程及离心率.
38
30．（2018新课标全国Ⅱ理）设抛物线 2 4C y x： 的焦点为F ，过 F 且斜率为 ( 0)k k 的直线 l与C交于
A， B两点， | | 8AB ．
（1）求 l的方程；
（2）求过点 A， B且与C的准线相切的圆的方程．
31．（2018浙江）如图，已知点 P是 y轴左侧(不含 y轴)一点，抛物线 C：y2=4x上存在不同的两点 A，B满
足 PA，PB的中点均在 C上．
（1）设 AB中点为 M，证明：PM垂直于 y轴；
（2）若 P是半椭圆 x2+
2
4
y =1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．
39
32．（2018新课标全国Ⅰ理）设椭圆
2
2: 1
2
xC y 的右焦点为 F ，过F 的直线 l与C交于 ,A B两点，点M
的坐标为 (2,0)．
（1）当 l与 x轴垂直时，求直线 AM 的方程；
（2）设O为坐标原点，证明： OMA OMB ．
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
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________________________________________________________________________________________
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40
