江苏省2020届高三高考全真模拟（八）数学试题 Word版含解析

江苏省2020届高三高考全真模拟（八）数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com ‎2020年江苏高考数学全真模拟试卷（八）（南通教研室）‎ 数学Ⅰ试题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：‎ ‎1.本试卷共2页，均为非选择题（第1题~第20题，共20题）.本卷满分为160分，考试时间为120分钟考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.‎ ‎2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米色水的签字笔填写在答题卡的规定位置.‎ ‎3.请认真核对监考员在答题卡上所粘點的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符.‎ ‎4.作答试题必须用0.5毫米色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.‎ ‎5.如需作图，须用2B铅笔绘、写楚，线条、符号等须加黑、加粗.‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.‎ ‎1. 已知集合，，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据交集的定义可求得集合.‎ ‎【详解】，，因此，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查交集计算，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎2. 已知复数的模为，其中，为虚数单位，则实数的值是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的模长公式结合实数的取值范围可求得实数的值.‎ ‎【详解】，则，解得，，因此，.‎ - 26 -‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用复数的模长公式求参数，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎3. 执行如图所示的伪代码，则输出的的值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据程序语句列举出算法的每一步，由此可得出输出的的值.‎ ‎【详解】，，成立，，；‎ 成立，，；‎ 成立，，；‎ 成立，，；‎ 成立，，；‎ 不成立，结束循环，因此，输出的的值为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用算法程序计算输出结果，一般列举出算法的每一步，考查计算能力，属于基础题.‎ - 26 -‎ ‎4. 如图，这是某班位学生参加歌唱比赛所得成绩的茎叶图，那么这位学生成绩的平均分为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据茎叶图得出这位学生的成绩，利用平均数公式可求得这位学生成绩的平均分.‎ ‎【详解】由茎叶图可知，这位学生成绩分别为、、、、、、、，‎ 平均分为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查平均数的计算，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎5. 某小组有男生名，女生名，任选名同学值日，则选出的名同学中至少有名男生的概率是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 名男生分别记为、、，名女生记为、，列举出所有的基本事件，确定事件“选出的名同学中至少有名男生”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得结果.‎ ‎【详解】名男生分别记、、，名女生记为、，‎ 从这名学生中任选名同学值日，所有的基本事件有：、、、、、、、、、，共种，‎ 其中，事件“选出的名同学中至少有名男生”包含的基本事件有：、、、、、、、、，共种，‎ - 26 -‎ 因此，选出的名同学中至少有名男生的概率是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查古典概型概率的计算，一般要求列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎6. 函数的定义域是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二次根式被开方数非负得出，结合对数函数的单调性求得的取值范围，即为所求的函数的定义域.‎ ‎【详解】由题意可得，即，，解得.‎ 因此，函数的定义域是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查函数定义域的求解，涉及对数函数单调性的应用，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎7. 在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则实数的值是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线的离心率公式可得出关于的方程，进而可求得实数的值.‎ ‎【详解】由题意得，，所以，故，解得.‎ - 26 -‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用双曲线的离心率求参数，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎8. 已知是等差数列的前项和，若，，则的值是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设等差数列的公差为，根据题意求出的值，然后由可求得的值.‎ ‎【详解】设等差数列的公差为，‎ 因为，，所以.‎ 又因为，所以，所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题等差数列基本量的计算，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎9. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鱉臑.如图，四面体为鱉臑，平面，为直角，且，则的体积为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算出的面积，然后利用锥体的体积公式可求得三棱锥的体积.‎ ‎【详解】由题意知平面，，，‎ 所以的面积为，因此，.‎ - 26 -‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查三棱锥体积的计算，考查锥体体积公式的应用，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎10. 已知实数、满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，再利用参变量分离法结合基本不等式可求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】因为，‎ 令，所以，恒成立，‎ 所以，函数在区间上单调递增，则.‎ ‎，因此，实数的取值范围是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用不等式恒成立求参数，考查了参变量分离法与基本不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎11. 已知，则的值是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由、代入等式，结合两角和与差的余弦公式，化简计算可得的值.‎ ‎【详解】因为，‎ - 26 -‎ 所以，‎ 即，‎ 即，因此，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用两角和与差的余弦公式求值，解题时要注意角与角之间的关系，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎12. 如图在中，已知，，，，边上的中线交于点，则的值是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用、表示向量、，然后利用平面向量数量积的运算律可求得结果.‎ ‎【详解】因为为的中点，所以.‎ 设，‎ 因为、、三点共线，所以，解得，则，‎ 从而，‎ ‎，‎ 因此，.‎ - 26 -‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，解答的关键就是选择合适的基底表示向量，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎13. 在平画直角坐标系中，直线交圆所得弦的中点为，为圆上任意一点，则长的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出点的轨迹方程，然后利用圆的几何性质可求得长的取值范围.‎ ‎【详解】直线的方程为，可知直线过定点，‎ ‎，点在圆上，‎ 设点、，设点为线段的中点，‎ 则，得，‎ 因为点在圆上，所以有，‎ 即点的轨迹为圆，去掉定点，‎ 而，‎ 所以，‎ 则.‎ 因此，的取值范围是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查线段长的取值范围的计算，涉及圆的几何性质的应用，求出动点的轨迹方程是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.‎ - 26 -‎ ‎14. 已知函数，，在函数的图象上，对任意一点，均存在唯一的点（且、均不为），使得、两点处的切线斜率相等，则实数的取值构成的集合是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导函数，根据题意得出，并作出函数的图象，由此可得出关于的等式，进而可求得实数的值.‎ ‎【详解】由题意得.‎ 当时，；‎ 当时，，其图象的对称轴为直线.‎ 因为，所以，‎ 所以，函数的图象如下：‎ ‎ ‎ 因为对任意的，均存在，且，使得，‎ 所以，即实数的取值构成的集合为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用切线斜率相等求参数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.‎ - 26 -‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15. 在中，角、、的对边分别为、、，且.‎ ‎（1）若，，求；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用正弦定理边角互化思想结合二倍角的正弦公式可求得的值，可求得角的值，再利用余弦定理可得出关于的方程，即可解得的值；‎ ‎（2）利用同角三角函数的基本关系求出的值，然后利用诱导公式和两角和的正切公式可求得的值.‎ ‎【详解】（1）因为，由正弦定理得.‎ 在中，、，所以，，‎ 所以，所以，‎ 又因为，，由余弦定理得，‎ 即，即，解得，（舍去）；‎ ‎（2）由，得.‎ 因为，所以，故.‎ 由（1）知，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了正弦定理边角互化思想的应用以及两角和的正切公式的应用，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎16. 如图，在直三棱柱中，，为的中点.‎ - 26 -‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面平面.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接交于点，连接，可知点为的中点，由中位线的性质可得，再利用线面平行的判定定理可证得平面；‎ ‎（2）利用等腰三角形三线合一的性质得出，由平面得出，利用线面垂直的判定定理可证得平面，进而利用面面垂直的判定定理可得出平面平面.‎ ‎【详解】（1）连接交于点，连接，‎ 在直三棱柱中，四边形为平行四边形.‎ 因为为对角线与的交点，所以为的中点.‎ - 26 -‎ 又因为为的中点，所以.‎ 又因为平面，平面，所以平面；‎ ‎（2）因为，为的中点，所以.‎ 因为三棱柱是直三棱柱，所以平面.‎ 又因为平面，所以.‎ 又因为，、平面，所以平面，‎ 又因为平面，所以平面平面.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行和面面垂直的判定，考查推理能力，属于中等题.‎ ‎17. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的左顶点为，右焦点为，过原点的直线（与坐标轴不重合）与椭圆交于点、，直线、分别与轴交于点、.‎ ‎（1）若，求点的横坐标；‎ ‎（2）设直线、的斜率分别为、，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可得出、的值，进一步求出的值，可求出椭圆的方程，由可得出，由点、的横坐标结合向量坐标运算可求得点的横坐标；‎ ‎（2）设点，可得点，求出直线、的方程，可求得点、的坐标，利用斜率公式可求得的值.‎ ‎【详解】（1）设椭圆的焦距为，‎ 由题意得，，因为，，所以，‎ 所以椭圆标准方程为.‎ - 26 -‎ 因为，所以，所以.‎ 又因为，，所以，即点的横坐标为；‎ ‎（2）因为直线过原点，由对称性可设、，‎ 所以直线，令，得，所以；‎ 直线，令，得，所以.‎ 所以，，所以.‎ 又因为，所以.‎ ‎【点睛】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆中利用共线向量的坐标运算求点的坐标，同时也考查了直线斜率之积的计算，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎18. 如图，某十字路口的花圃中央有一个底面半径为的圆柱形花柱，四周斑马线的内侧连线构成边长为的正方形.因工程需要，测量员将使用仪器沿斑马线的内侧进行测量，其中仪器的移动速度为，仪器的移动速度为.若仪器与仪器的对视光线被花柱阻挡，则称仪器在仪器的“盲区”中.‎ ‎ ‎ ‎（1）如图，斑马线内侧连线构成正方形，仪器在点处，仪器在上距离点处，试判断仪器是否在仪器的“盲区”中，并说明理由；‎ ‎（2）如图，斑马线的内侧连线构成正方形，仪器从点出发向点移动，同时仪器从点出发向点移动，在这个移动过程中，仪器在仪器的“盲区”中的时长为多少？‎ - 26 -‎ ‎【答案】（1）是，理由见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）建立平面直角坐标系，求得点、的坐标，进而可得出直线的方程，求出原点到直线的距离，判断直线与花柱所在圆的位置关系，由此可得出结论；‎ ‎（2）建立平面直角坐标系，求出、、、的坐标，假设仪器在仪器的“盲区”中的时长为，用表示点、的坐标，并求出直线的方程，利用圆心到直线的距离可得出关于的不等式，求出的取值范围，由此可得出结果.‎ ‎【详解】（1）建立如图所示的平面直角坐标系，则，，所以，‎ 所以直线的方程是，即，‎ 故圆心到直线的距离，‎ 所以圆与直线相交，故仪器在仪器的“盲区”中；‎ ‎ ‎ ‎（2）建立如图所示的平面直角坐标系，‎ 则，，，.‎ 依题意知起始时刻仪器在仪器的“盲区”中.‎ 假设仪器在仪器的“盲区”中的时长为，则，，‎ 所以直线的斜率，‎ 故直线的方程是，即，‎ - 26 -‎ 从而点到直线的距离，‎ 整理得，解得，结合时间，得.‎ 答：仪器在仪器的“盲区”中的时长为.‎ ‎【点睛】本题考查直线与圆的方程的应用，将实际问题转化为数学问题是解答的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎19. 已知函数.‎ ‎（1）求函数的图象在（为自然对数的底数）处的切线方程；‎ ‎（2）若对任意的，均有，则称为在区间上的下界函数，为在区间上的上界函数.‎ ‎①若，求证：为在上的上界函数；‎ ‎②若，为在上的下界函数，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）①证明见解析；②.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出和的值，利用点斜式可求得所求切线的方程；‎ ‎（2）①利用导数得出，，可得出，结合题中定义可得出结论；‎ ‎②由题意得出对任意的恒成立，利用参变量分离法得出，设，利用导数求出函数在上的最小值，由此可求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）因为，所以，‎ 所以函数的图象在处的切线斜率.‎ - 26 -‎ 又因为，所以函数的图象在处的切线方程为；‎ ‎（2）①由题意得函数的定义域为.‎ 令，得.‎ 所以当时，；当时，.‎ 故函数在上单调递增，在上单调递减.‎ 所以.‎ 因为，所以，‎ 故当时，在上恒成立，所以在上单调递增，‎ 从而，所以，即，‎ 所以函数为在上的上界函数；‎ ‎②因为函数为在上的下界函数，‎ 所以，即.‎ 因为，所以，故.‎ 令，，则.‎ 设，，则，‎ 所以当时，，从而函数在上单调递增，‎ 所以，‎ 故在上恒成立，所以函数在上单调递增，‎ 从而.‎ 因为在上恒成立，所以在上恒成立，‎ 故，即实数的取值范围为.‎ - 26 -‎ ‎【点睛】本题考查函数的新定义，考查利用导数求解函数的切线方程，利用导数证明不等式以及求解函数不等式恒成立问题，考查推理能力与计算能力，属于中等题.‎ ‎20. 已知数列的前项和为，满足.‎ ‎（1）求证：数列等差数列；‎ ‎（2）当时，记，是否存在正整数、，使得、、成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数对；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）若数列、、、、、是公比为的等比数列，求最小正整数，使得当时，.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）存在，有且只有一个为；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由得出，两式相减，推导出，利用等差中项法可证得数列是等差数列；‎ ‎（2）由，得出，求出、，可求出等差数列的通项公式，进而可得出，假设存在正整数、，使得，化简得出，变形得出，对的取值进行分类讨论，结合数列的单调性的、的值；‎ ‎（3）求出、，可求出等差数列的通项公式，由题意得出的表达式，进而可得出，设，计算得出，，，，，，设，利用定义证明数列的单调性，由此可证得当时，，进而可证得结论成立.‎ - 26 -‎ ‎【详解】（1）由题意得，两式相减得，‎ 则有，‎ 所以.‎ 因为，所以，故数列为等差数列；‎ ‎（2）因为，，‎ 所以，解得；，即，解得.‎ 所以数列的公差为，所以，故.‎ 假设存在正整数、，使得，，成等比数列，则，‎ 于是（*），所以.‎ 当时，，则，所以是方程（*）的一组解；‎ 当且时，因为，‎ 所以，数列在上单调递减，‎ 所以，此时方程（*）无正整数解.‎ 综上，满足题设的数对有且只有一个，为；‎ ‎（3）由题意得，解得，‎ 故数列的公差，所以，‎ 故，所以.‎ - 26 -‎ 又因为，所以，即.‎ 记，‎ 则，，，，，，‎ 猜想：当时，.‎ 验证如下：记，‎ 则 ‎，‎ 所以数列单调递增，故，‎ 所以，故最小正整数的值为.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的证明，同时也考查了数列中的探索性问题与数列单调性的问题，考查了等比中项性质的应用，考查推理能力与计算能力，属于难题.‎ 数学Ⅱ（附加题）‎ 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：‎ ‎1.本试卷共2页，均为非选择题（第21题~第23题）.本卷满分为40分，考试时间为30分钟，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.‎ ‎2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.‎ ‎3.请认真核对监考员在答题卡上所枯贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符.‎ ‎4.作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.‎ ‎5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.‎ ‎【选做题】本题包括三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ - 26 -‎ ‎21. 已知矩阵，的逆矩阵.‎ ‎（1）求、的值；‎ ‎（2）若点在矩阵对应的变换作用下得到点，求点的坐标.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据可得出关于、的方程组，进而可解出、的值；‎ ‎（2）设点的坐标为，根据矩阵变换可得出关于、的方程组，解出、的值，由此可得出点的坐标.‎ ‎【详解】（1）因为，‎ 所以，解得；‎ ‎（2）由（1）知.‎ 设点，由题意得，‎ 所以，解得，所以点的坐标为.‎ ‎【点睛】本题考查利用矩阵的乘法求参数，同时也考查了利用矩阵变换求点的坐标，考查方程思想的应用，属于基础题.‎ ‎22. 在极坐标系中，圆的极坐标方程为.以极点为坐标原点，极轴为 - 26 -‎ 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，圆的参数方程为（是参数）.若圆与圆相切，求正数的值.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将圆的极坐标方程化为普通方程，确定圆的圆心坐标和半径，根据圆的参数方程确定圆的圆心坐标和半径，然后分两圆内切和外切两种情况讨论，可得出关于的等式，进而可求得的值.‎ ‎【详解】圆的极坐标方程为，即，‎ 化为普通方程为，即，圆心，半径.‎ 圆的参数方程为（是参数），圆心，半径为.‎ 所以圆心距，则圆心在圆外.‎ 故当两圆外切时，，解得；‎ 当两圆内切时，，解得.‎ 综上，或.‎ ‎【点睛】本题考查圆的极坐标方程、参数方程与普通方程之间的转化，同时也考查了利用圆与圆的位置关系求出参数值，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎23. 已知正数、、、满足，求证：.‎ ‎【答案】证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将所证不等式的左边展开，利用基本不等式结合可证得结论成立.‎ - 26 -‎ ‎【详解】、、、均为正数，由基本不等式可得，‎ ‎.‎ ‎，.‎ ‎【点睛】本题考查利用基本不等式证明不等式，解答的关键在于对代数式化简变形，考查推理能力，属于中等题.‎ ‎【必做题】第24题、第25题，每小题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎24. 如图，在四棱锥中，、、两两垂直，，，，为线段上一点（端点除外）.‎ ‎（1）若异面直线、所成角的余弦值为，求的长；‎ ‎（2）求二面角的平面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）以、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，，利用空间向量法结合异面直线、所成角的余弦值为可得出关于的方程，解出的值，即可求得的长；‎ ‎（2）求出平面和平面的法向量，利用空间向量法可求得二面角的平面角的余弦值.‎ ‎【详解】（1）因为、、两两垂直，所以以、、所在直线分别为 - 26 -‎ 轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则由，，‎ 得，，，，.‎ 设，其中， ‎ 所以，‎ 因为直线、所成角的余弦值为，‎ 所以，‎ 解得，所以，故的长为；‎ ‎（2）由（1）知，，，.‎ 设平面的一个法向量为.由，得.‎ 取，则，所以平面的一个法向量为.‎ 设平面的一个法向量为，由，得，‎ 取，则，，所以平面的一个法向量为.‎ 因为，‎ 由图形可知，二面角的平面角为钝角，其余弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查利用异面直线所成角的余弦值求线段长度，同时也考查了利用空间向量法求二面角的余弦值，考查计算能力，属于中等题.‎ - 26 -‎ ‎25. 已知函数，其中、，.‎ ‎（1）求函数中含项的系数；‎ ‎（2）求证：.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据二项式定理可求得函数中含项的系数；‎ ‎（2）利用错位相减法化简函数的解析式，根据化简后的函数的解析式求出含项的系数，由此可证得结论.‎ ‎【详解】（1）由二项式定理知，函数中含有项的系数为；‎ ‎（2）因为函数，①‎ 则函数中含有项的系数为.‎ 又因为，②‎ ‎①②得，‎ 即，‎ 函数中含项的系数即为多项式中含项的系数，为 故 - 26 -‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查利用二项式定理求指定项的系数，同时也考查了利用母函数法证明组合恒等式成立，考查推理能力与计算能力，属于中等题.‎ - 26 -‎ - 26 -‎