【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第九章第3讲 圆的方程学案
第3讲 圆的方程
[学生用书P149]
1．圆的定义及方程
定 义
平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)
标准
方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
圆心：(a，b)，半径：r
一般
方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)
圆心：，
半径：
2.点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：
(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.
(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.
(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.
3．与圆有关的对称问题
(1)圆的轴对称性
圆关于直径所在的直线对称．
(2)圆关于点对称
①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置；
②两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点．
(3)圆关于直线对称
①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置；
②两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.( )
(2)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.( )
(3)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆．( )
(4)(x－2)2＋(y＋1)2＝a2(a≠0)表示以(2，1)为圆心，a为半径的圆．( )
(5)圆x2＋2x＋y2＋y＝0的圆心是.( )
(6)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F<0.( )
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)×
圆心坐标为(1，1)且过原点的圆的方程是( )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
解析：选D.由题意得圆的半径为，故该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，故选D.
圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )
A．(2，3) B.(－2，3)
C．(－2，－3) D．(2，－3)
解析：选D.圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)．
方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是( )
A.
1
C．m< D．m>1
解析：选B.由(4m)2＋4－4×5m>0，得m<或m>1.
(教材习题改编)圆C的直径的两个端点分别是A(－1，1)，B(1，3)，则圆C的方程为________．
解析：因为点A(－1，1)和B(1，3)为圆C直径的两个端点，则圆心C的坐标为(0，2)，半径|CA|＝＝，所以圆C的方程为x2＋(y－2)2＝2.
答案：x2＋(y－2)2＝2
已知点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4内，则实数a的取值范围是________．
解析：因为点(1，1)在圆的内部，所以(1－a)2＋(1＋a)2<4，所以－10)，则圆心坐标为.
由题意可得
消去F得，
解得，代入求得F＝－12，
所以圆的方程为x2＋y2＋6x＋4y－12＝0，
标准方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.
法二：因为A(0，－6)，B(1，－5)，
所以线段AB的中点D的坐标为，
直线AB的斜率kAB＝＝1，
因此线段AB的垂直平分线的方程是
y＋＝－，即x＋y＋5＝0.
圆心C的坐标是方程组的解，
解得，
所以圆心C的坐标是(－3，－2)．
圆的半径长r＝|AC|＝＝5，
所以，圆心为C的圆的标准方程是(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.
(2)设所求方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2(r>0)，
根据已知条件得
解得
因此所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
【答案】 (1)(x＋3)2＋(y＋2)2＝25
(2)(x－1)2＋(y＋4)2＝8
求圆的方程的两种方法
(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
[通关练习]
1．一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．
解析：由题意知圆过(4，0)，(0，2)，(0，－2)三点，
(4，0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为y＋1＝－2(x－2)，令y＝0，解得x＝，圆心为，半径为.
故圆的标准方程为＋y2＝.
答案：＋y2＝
2．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________________．
解析：因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a，0)，且a>0，所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝＝，
解得a＝2，所以圆C的半径r＝|CM|＝＝3，
所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.
答案：(x－2)2＋y2＝9
与圆有关的最值问题(高频考点)
[学生用书P150]
与圆有关的最值问题是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想．主要命题角度有：
(1)斜率型最值问题；
(2)截距型最值问题；
(3)距离型最值问题；
(4)利用对称性求最值、范围问题．
[典例引领]
角度一 斜率型最值问题
已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求的最大值和最小值．
【解】 原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，
表示以(2，0)为圆心，为半径的圆．
的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx，
当直线y＝kx与圆相切时(如图)，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝±.所以的最大值为，最小值为－.
角度二 截距型最值问题
已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求y－x的最大值和最小值．
【解】
y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，如图所示，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值 ，此时＝，解得b＝－2±.所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.
角度三 距离型最值问题
已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求x2＋y2的最大值和最小值．
【解】
如图所示，x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.
角度四 利用对称性求最值、范围问题
(1)光线从点A(－3，3)射到x轴上的点P后反射，反射光线与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2有公共点B，则|AP|＋|PB|的最小值为____________．
(2)已知A(0，2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是____________．
【解析】 (1)设圆(x－1)2＋(y－1)2＝2的圆心为C，
A关于x轴的对称点为A′，则C(1，1)，A′(－3，－3)，则|AP|＋|PB|的最小值为＝＝.
(2)因为圆C：x2＋y2－4x－2y＝0，故圆C是以C(2，1)为圆心，半径r＝的圆．设点A(0，2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A′(m，n)，故
解得
故A′(－4，－2)．
连接A′C交圆C于Q，由对称性可知
|PA|＋|PQ|＝|A′P|＋|PQ|≥|A′Q|＝|A′C|－r＝2.
【答案】 (1) (2)2
与圆有关的最值问题的四种常见转化法
(1)形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．
(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
(4)形如|PA|＋|PQ|的与圆有关的折线段问题(其中P，Q均为动点)，要立足两点：①
减少动点的个数；②“曲化直”，即折线段转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．
[通关练习]
1．设P为直线3x－4y＋11＝0上的动点，过点P作圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为________．
解析：圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为C(1，1)，半径为r＝1，根据对称性可知，四边形PACB的面积为2S△APC＝2×|PA|r＝|PA|＝，要使四边形PACB的面积最小，则只需|PC|最小，最小时为圆心到直线l：3x－4y＋11＝0的距离d＝＝＝2.所以四边形PACB面积的最小值为＝＝.
答案：
2．设点P是函数y＝－图象上的任意一点，点Q坐标为(2a，a－3)(a∈R)，则|PQ|的最小值为________．
解析：
函数y＝－的图象表示圆(x－1)2＋y2＝4的下半圆(包括与x轴的交点)．令点Q的坐标为(x，y)，则得y＝－3，即x－2y－6＝0，作出图象如图所示．
由于圆心(1，0)到直线x－2y－6＝0的距离d＝＝>2，所以直线x－2y－6＝0与圆(x－1)2＋y2＝4相离，因此|PQ|的最小值是－2.
答案：－2
与圆有关的轨迹问题[学生用书P150]
[典例引领]
已知A(2，0)为圆x2＋y2＝4上一定点，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
【解】 (1)设AP的中点为M(x，y)，
由中点坐标公式可知，
P点坐标为(2x－2，2y)．
因为P点在圆x2＋y2＝4上，
所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设PQ的中点为N(x，y)，
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，
设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
与圆有关的轨迹问题的四种求法
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．
(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．
(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等求解．
[通关练习]
设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，点O是坐标原点，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求动点P的轨迹．
解：因为四边形MONP为平行四边形，
所以＝＋.
设点P(x，y)，点N(x0，y0)，
则＝－＝(x，y)－(－3，4)＝(x＋3，y－4)＝(x0，y0)，
所以x0＝x＋3，y0＝y－4.
又点N在圆x2＋y2＝4上运动，
所以x＋y＝4，即(x＋3)2＋(y－4)2＝4.
又当OM与ON共线时，O，M，N，P构不成平行四边形，
故动点P的轨迹是以(－3，4)为圆心，2为半径的圆且除去两点和.
确定圆心位置的方法
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．
(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上．
(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．
[注意] 解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．
求圆半径的方法
(1)若已知直线与圆相切，则圆心到切点(或切线)的距离等于半径；
(2)若已知弦长、弦心距、半径，则可利用弦长的一半、弦心距、半径三者满足勾股定理的关系求得．
解决与圆有关的最值及轨迹问题应注意的问题
(1)解答与圆有关的最值问题一般要结合代数式的几何意义进行，注意数形结合，充分运用圆的性质．
(2)求轨迹方程和求轨迹是有区别的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指明轨迹表示什么曲线．
[学生用书P313(单独成册)]
1．方程y＝表示的曲线是( )
A．上半圆 B.下半圆
C．圆 D．抛物线
解析：选A.由方程可得x2＋y2＝1(y≥0)，即此曲线为圆x2＋y2＝1的上半圆．
2．以M(1，0)为圆心，且与直线x－y＋3＝0相切的圆的方程是( )
A．(x－1)2＋y2＝8 B.(x＋1)2＋y2＝8
C．(x－1)2＋y2＝16 D．(x＋1)2＋y2＝16
解析：选A.因为所求圆与直线x－y＋3＝0相切，所以圆心M(1，0)到直线x－y＋3＝0的距离即为该圆的半径r，即r＝＝2.所以所求圆的方程为：(x－1)2＋y2＝8.故选A.
3．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为( )
A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1 B.(x－2)2＋(y＋2)2＝1
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1 D．(x－2)2＋(y－2)2＝1
解析：选B.圆C1的圆心坐标为(－1，1)，半径为1，设圆C2的圆心坐标为(a，b)，由题意得解得所以圆C2的圆心坐标为(2，－2)，又两圆的半径相等，故圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1.
4．已知圆C与直线y＝x及x－y－4＝0都相切，圆心在直线y＝－x上，则圆C的方程为( )
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
解析：选D.由题意知x－y＝0和x－y－4＝0之间的距离为＝2，所以r＝.
又因为x＋y＝0与x－y＝0，x－y－4＝0均垂直，所以由y＝－x和x－y＝0联立得交点坐标为(0，0)，由x＋y＝0和x－y－4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
5．在平面直角坐标系xOy中，已知A(－1，0)，B(0，1)，则满足|PA|2－|PB|2＝4且在圆x2＋y2＝4上的点P的个数为( )
A．0 B.1
C．2 D．3
解析：选C.设P(x，y)，则由|PA|2－|PB|2＝4，得(x＋1)2＋y2－x2－(y－1)2＝4，所以x＋y－2＝0.求满足条件的点P的个数即为求直线与圆的交点个数，圆心到直线的距离为＝＜2＝r，所以直线与圆相交，交点个数为2.故满足条件的点P有2个，选C.
6．已知动点M(x，y)到点O(0，0)与点A(6，0)的距离之比为2，则动点M的轨迹所围成的区域的面积是________．
解析：依题意可知＝2，即＝2，
化简整理得(x－8)2＋y2＝16，
即动点M的轨迹是以(8，0)为圆心，半径为4的圆．
所以其面积为S＝πR2＝16π.
答案：16π
7．当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α＝________．
解析：由题意知，圆的半径r＝＝≤1，当半径r取最大值时，圆的面积最大，此时k＝0，r＝1，所以直线方程为y＝－x＋2，则有tan α＝－1，又α∈[0，π)，故α＝.
答案：
8．已知平面区域恰好被面积最小的圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2
及其内部所覆盖，则圆C的方程为________．
解析：由题意知，此平面区域表示的是以O(0，0)，P(4，0)，Q(0，2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．
因为△OPQ为直角三角形，
所以圆心为斜边PQ的中点(2，1)，
半径r＝＝，
因此圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
答案：(x－2)2＋(y－1)2＝5
9．已知以点P为圆心的圆经过A(－1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4.
(1)求直线CD的方程；
(2)求圆P的方程．
解：(1)由题意知，直线AB的斜率k＝1，中点坐标为(1，2)．则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.
(2)设圆心P(a，b)，则由点P在CD上得a＋b－3＝0.①
又因为直径|CD|＝4，所以|PA|＝2，
所以(a＋1)2＋b2＝40.②
由①②解得或
所以圆心P(－3，6)或P(5，－2)．
所以圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.
10．已知M(m，n)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点．
(1)求m＋2n的最大值；
(2)求的最大值和最小值．
解：将圆C化为标准方程可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，
所以圆心C(2，7)，半径r＝2.
(1)设m＋2n＝b，则b可看作是直线n＝－m＋在y轴上截距的2倍，故当直线m＋2n＝b与圆C相切时，b有最大或最小值．
所以＝2，
所以b＝16＋2(b＝16－2舍去)，
所以m＋2n的最大值为16＋2.
(2)设＝k，则k可看作点(m，n)与点(－2，3)所在直线的斜率，
所以当直线n－3＝k(m＋2)与圆C相切时，k有最大、最小值，所以＝2，
解得k＝2＋或k＝2－.
所以的最大值为2＋，最小值为2－.
1．直线l：ax＋by＝0和圆C：x2＋y2＋ax＋by＝0在同一坐标系的图形只能是( )
解析：选D.圆C的圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离为d＝＝，
所以直线与圆相切，故选D.
2．已知P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝a2(a>0)上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，△PAB的面积的最大值为8，则a的值为( )
A．1 B.2
C．3 D．4
解析：选A.要使△PAB的面积最大，只要点P到直线AB的距离最大．
由于AB的方程为y＝0，圆心(0，3)到直线AB的距离为d＝3，
故P到直线AB的距离的最大值为3＋a.
再根据AB＝4，可得△PAB面积的最大值为·AB·(3＋a)＝2(3＋a)＝8，所以a＝1，故选A
.
3．设曲线x＝上的点到直线x－y－2＝0的距离的最大值为a，最小值为b，则a－b的值为( )
A. B.
C.＋1 D．2
解析：选C.由x＝得y2－2y＋x2＝0(x≥0)，即x2＋(y－1)2＝1(x≥0)，表示以(0，1)为圆心，1为半径的右半圆，如图．圆心(0，1)到直线x－y－2＝0的距离为＝.结合图形可知曲线x＝上的点到直线x－y－2＝0的距离的最小值为－1，最大值为点P(0，2)到直线x－y－2＝0的距离＝2，因此a＝2，b＝－1.因此a－b＝＋1.故选C.
4．设命题p：(x，y，k∈R且k>0)；命题q：(x－3)2＋y2≤25(x，y∈R). 若p是q的充分不必要条件，则k的取值范围是________．
解析：如图所示：
命题p表示的范围是图中△ABC的内部(含边界)，命题q表示的范围是以点(3，0)为圆心，5为半径的圆及圆内部分，p是q的充分不必要条件．实际上只需A，B，C三点都在圆内(或圆上)即可．
由题知B，则
解得00)，
则有解得
故圆的方程是x2＋y2－6x－2y＋1＝0.
法二：(几何法)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0，1)，与x轴的交点为(3＋2，0)，(3－2，0)．
故可设C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，解得t＝1.则圆C的半径为＝3，
所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.
6．已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0.
(1)若此方程表示圆，求实数m的取值范围；
(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值；
(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．
解：(1)由D2＋E2－4F>0得(－2)2＋(－4)2－4m>0，解得m<5.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由x＋2y－4＝0得x＝4－2y；将x＝4－2y代入x2＋y2－2x－4y＋m＝0得5y2－16y＋8＋m＝0，所以y1＋y2＝，y1y2＝.因为OM⊥ON，所以·＝－1，即x1x2＋y1y2＝0.因为x1x2＝(4－2y1)(4－2y2)＝16－8(y1＋y2)＋4y1y2，所以x1x2＋y1y2＝16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0，即(8＋m)－8×＋16＝0，解得m＝.
(3)设圆心C的坐标为(a，b)，则a＝(x1＋x2)＝，b＝(y1＋y2)＝，半径r＝|OC|＝，所以所求圆的方程为＋＝.
