【数学】2018届一轮复习苏教版含参数导数的解题策略学案

【数学】2018届一轮复习苏教版含参数导数的解题策略学案

含参数导数的解题策略 导数是研究函数性质的一种重要工具，利用导数可判断函数单调性、极值、最值等，其中渗透并充分利用着构造函数、分类讨论、转化与化归、数形结合等重要思想方法，导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力。而含参数的导数问题是近年 高考的难点和热点，本文着重就含参数导数的几种常见的解题策略加以归纳．‎ 一、分离参数，转化为最值策略 在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若恒成立，只须求出，则；若恒成立，只须求出，则，转化为函数求最值．‎ 例1、已知函数.（Ⅰ）求的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若对所有都有求实数的取值范围.‎ ‎ ‎ 二、导数为0的点是否在定义域内，分类讨论策略 求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，所以必须分类，通过令导函数为零的实根等于定义域端点值，求分点，从而引起讨论．‎ 例2.已知是实数，函数.‎ ‎（Ⅰ）若,求的值及曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求在区间[0，2]上的最大值．‎ 三、导函数为0是否存在，分类讨论策略 求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式），涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定，所以必须分类，通过导函数是二次函数或者与二次函数有关，令△=0，求分点，从而引起讨论．‎ 例3、已知函数，，讨论在定义域上的单调性．‎ ‎ ‎ 四、导函数为0的方程的根大小不确定，分类讨论策略 求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根也落在定义域内，但这些实根的大小关系不确定，分不了区间．所以必须分类，通过令几个根相等求分点，从而引起讨论．‎ 例4、已知，讨论函数的单调性．‎ 练习 求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式），从而引起讨论。‎ 一、 求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，从而引起讨论。‎ 二、 求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。‎ 三、 ‎1．08广东（理） 设，函数，‎ 试讨论函数的单调性。‎ ‎2． (08浙江理)已知是实数，函数 ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）设为在区间上的最小值。‎ ‎（）写出的表达式；（）求的取值范围，使得。‎ ‎3（07天津理）已知函数，其中。‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值。 ‎ ‎4（07高考山东理改编）设函数，其中，求函数的极值点。‎ 含参数导数的解题策略 例1、解：（Ⅰ）略． ‎ ‎（Ⅱ）∵ 对所有都有，‎ ‎∴ 对所有都有，即 ‎ 记只需 ‎ 令解得 ‎∴ 当时，取最小值 ‎ ‎∴ 即的取值范围是 ‎ 例2. 解：（I）略．‎ ‎（II）令，解得．‎ 当，即时，在[0，2]上单调递增，从而．‎ 当时，即时，在[0，2]上单调递减，从而．‎ 当，即，在上单调递减，在上单调递增，从而 ‎ 综上所述，‎ 例3、 解：由已知得，‎ ‎ （1）当，时，恒成立，在上为增函数．‎ ‎ （2）当，时，‎ ‎ 1)时，，在 ‎ 上为减函数，在上为增函数，‎ ‎ 2）当时，，故在上为减函数，‎ ‎ 在[，＋∞）上为增函数． ‎ ‎ 综上，当时，在上为增函数．‎ ‎ 当时，在上为减函数，‎ ‎ 在上为增函数，‎ ‎ 当时，在（0， ]上为减函数，在[， ＋∞）上为增函数．‎ 例4、解：，设，令，得，．‎ ‎1)当时，，在区间，上，即，所以在区间，上是减函数；‎ 在区间，，即，所以在区间上是增函数；‎ ‎2）当时，,在区间，上，即，又在处连续，所以在区间上是减函数；‎ ‎3）当时，,在区间，上，即，所以在区间，上是减函数；‎ 在区间上，，即，所以在区间上是增函数．‎ 练习 ‎1． ‎ 解：。‎ 考虑导函数是否有实根，从而需要对参数的取值进行讨论。‎ ‎（一）若，则。由于当时，无实根，而当时，有实根，‎ 因此，对参数分和两种情况讨论。‎ （1） 当时，在上恒成立，所以函数在上为增函数；‎ （2） 当时，。‎ 由，得，因为，所以。‎ 由，得；由，得。‎ 因此，当时，函数在上为减函数，在上为增函数。‎ ‎（二）若，则。由于当时，无实根，而当时，有实根，因此，对参数分和两种情况讨论。‎ ‎（1） 当时，在上恒成立，所以函数在上为减函数；‎ ‎（2） 当时，。‎ 由，得；由，得。‎ 因此，当时，函数在上为减函数，在上为增函数。‎ 综上所述：‎ （1） 当时，函数在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数。‎ （2） 当时，函数在上为增函数，在上为减函数。‎ （3） 当时，函数在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数。‎ ‎2． 解：（Ⅰ）函数的定义域为，，由得。‎ 考虑是否落在导函数的定义域内，需对参数的取值分及两种情况进行讨论。‎ （1） 当时，则在上恒成立，所以的单调递增区间为。‎ （2） 当时，由，得；由，得。‎ 因此，当时，的单调递减区间为，的单调递增区间为。‎ ‎（Ⅱ）（）由第（Ⅰ）问的结论可知：‎ （1） 当时，在上单调递增，从而在上单调递增，所以。‎ （2） 当时，在上单调递减，在上单调递增，所以：‎ ① 当，即时，在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以。‎ ② 当，即时，在上单调递减，所以。‎ 综上所述，‎ ‎（）令。‎ ‎①若，无解；‎ ‎②若，由解得；‎ ③ 若，由解得。‎ 综上所述，的取值范围为。‎ ‎3、解：（Ⅰ）当时，曲线在点处的切线方程为。‎ ‎（Ⅱ）由于，所以。‎ 由，得。这两个实根都在定义域R内，但不知它们之间的大小。因此，需对参数的取值分和两种情况进行讨论。‎ （1） 当时，则。易得在区间，内为减函数，在区间为增函数。故函数在处取得极小值；函数在处取得极大值。‎ （2） 当时，则。易得在区间，内为增函数，在区间为减函数。故函数在处取得极小值；函数在处取得极大值。‎ ‎4、解：由题意可得的定义域为，，的分母在定义域 上恒为正，方程是否有实根，需要对参数的取值进行讨论。‎ ‎（1）当，即时，方程无实根或只有唯一根，所以 在上恒成立，则在上恒成立，所以函数在上单调递增，从而函数在上无极值点。‎ ‎（2）当，即时，方程，即有两个不相等的实根：。‎ 这两个根是否都在定义域内呢？又需要对参数的取值分情况作如下讨论：‎ ‎（ⅰ）当时，，所以。‎ 此时，与随的变化情况如下表：‎ ‎0‎ 递减 极小值 递增 由此表可知：当时，有唯一极小值点。‎ ‎（ⅱ）当时，，所以。‎ 此时，与随的变化情况如下表：‎ 递增 极大值 递减 极小值 递增 由此表可知：当时，有一个极大值点和一个极小值点。‎ 综上所述：‎ （1） 当时，有唯一极小值点；‎ （2） 当时，有一个极大值点和一个极小值点；‎ （3） 当时，无极值点。‎