【数学】2019届一轮复习北师大版1-2命题及充要条件学案

【数学】2019届一轮复习北师大版1-2命题及充要条件学案

‎1.四种命题及相互关系 ‎2.四种命题的真假关系 ‎(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；‎ ‎(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.‎ ‎3.充分条件与必要条件 ‎(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；‎ ‎(2)如果p⇒q，但q⇏ p，则p是q的充分不必要条件；‎ ‎(3)如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件；‎ ‎(4)如果q⇒p，且p⇏ q，则p是q的必要不充分条件；‎ ‎(5)如果p⇏ q，且q⇏ p，则p是q的既不充分又不必要条件.‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)“x2＋2x－3<0”是命题.(　×　)‎ ‎(2)命题“α＝，则tan α＝1”的否命题是“若α＝，则tan α≠1”.(　×　)‎ ‎(3)若一个命题是真命题，则其逆否命题是真命题.(　√　)‎ ‎(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.(　√　)‎ ‎(5)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立.(　√　)‎ ‎(6)若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件.(　√　)‎ ‎1.(2015·山东)若m∈R, 命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是(　　)‎ A.若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0‎ B.若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0‎ C.若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0‎ D.若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0‎ 答案　D 解析　原命题为“若p，则q”，则其逆否命题为“若綈q，则綈p”.‎ ‎∴所求命题为“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”.‎ ‎2.已知命题p：若x＝－1，则向量a＝(1，x)，与b＝(x＋2，x)共线，则在命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为(　　)‎ A.0 B.2 C.3 D.4‎ 答案　B 解析　向量a，b共线⇔x－x(x＋2)＝0⇔x＝0或x＝－1，‎ ‎∴命题p为真，其逆命题为假，‎ 故在命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为2.‎ ‎3.(2015·重庆)“x＞1”是“”的(　　)‎ A.充要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 答案　B 解析　x＞1⇒x＋2＞3⇒，⇒x＋2＞1⇒x＞－1，故“x＞1”是“”成立的充分不必要条件.因此选B.‎ ‎4.若a，b为实数，则“0；当a>0，b<0时，由b<得到ab<0，因此“00，b>0”是“＋≥2”的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　(1)B　(2)A 解析　(1)∵3a>3b>3，∴a>b>1，此时loga33b>3，例如当a＝，b＝时，loga3b>1.故“3a>3b>3”是“loga30，b>0，则根据基本不等式可得＋≥2；反之，＋≥2，则ab>0，不一定有a>0，b>0.故“a>0，b>0”是“＋≥2”的充分不必要条件.故选A.‎ 思维升华　充要条件的三种判断方法 ‎(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；‎ ‎(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；‎ ‎(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的某种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的某种条件.‎ ‎　(1)(2015·陕西)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎(2)若命题p：φ＝＋kπ，k∈Z，命题q：f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω≠0)是偶函数，则p是q的(　　)‎ A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 答案　(1)A　(2)A 解析　(1)∵sin α＝cos α⇒cos 2α＝cos2α－sin2α＝0；cos 2α＝0⇔cos α＝±sin α⇏ sin α＝cos α，故选A.‎ ‎(2)当φ＝＋kπ，k∈Z时，f(x)＝±cos ωx是偶函数，所以p是q的充分条件；若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω≠0)是偶函数，则sin φ＝±1，即φ＝＋kπ，k∈Z，所以p是q的必要条件，故p是q的充要条件，故选A.‎ 题型三　充分必要条件的应用 例3　已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围.‎ 解　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，‎ ‎∴P＝{x|－2≤x≤10}，‎ 由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.‎ 则 ‎∴当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3].‎ 引申探究 ‎1.本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件.‎ 解　若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，‎ ‎∴∴ 即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件.‎ ‎2.本例条件不变，若x∈綈P是x∈綈S的必要不充分条件，求实数m的取值范围.‎ 解　由例题知P＝{x|－2≤x≤10}，‎ ‎∵綈P是綈S的必要不充分条件，‎ ‎∴P⇒S且S⇏ P.‎ ‎∴[－2,10][1－m,1＋m].‎ ‎∴或 ‎∴m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞).‎ 思维升华　充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：‎ ‎(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.‎ ‎(2)要注意区间端点值的检验.‎ ‎　(1)ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是(　　)‎ A.01或x<}，‎ 綈q对应的集合B＝{x|x>a＋1或x0；条件q：x>a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是(　　)‎ A.[1，＋∞) B.(－∞，1]‎ C.[－1，＋∞) D.(－∞，－3]‎ 解析　(1)由(a－1)2≤1解得0≤a≤2，∴p：0≤a≤2.‎ 当a＝0时，ax2－ax＋1≥0对任意x∈R恒成立；‎ 当a≠0时，由得00，得x<－3或x>1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件.‎ ‎∴{x|x>a}{x|x<－3或x>1}，∴a≥1.‎ 答案　(1)A　(2)A 温馨提醒　(1)本题用到的等价转化 ‎①将綈p，綈q之间的关系转化成p，q之间的关系.‎ ‎②将条件之间的关系转化成集合之间的关系.‎ ‎(2)对一些复杂、生疏的问题，利用等价转化思想转化成简单、熟悉的问题，在解题中经常用到.‎ ‎[方法与技巧]‎ ‎1.写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定.‎ ‎2.充要条件的几种判断方法 ‎(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假.‎ ‎(2)等价法：即利用A⇒B与綈B⇒綈A；B⇒A与綈A⇒綈B；A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法.‎ ‎(3)利用集合间的包含关系判断：设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}：若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若AB，则p是q的充分不必要条件，若A＝B，则p是q的充要条件.‎ ‎[失误与防范]‎ ‎1.当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提.‎ ‎2.判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p，则q”的形式.‎ ‎3.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言.‎ A组　专项基础训练 ‎(时间：30分钟)‎ ‎1.命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是(　　)‎ A.“若一个数是负数，则它的平方不是正数”‎ B.“若一个数的平方是正数，则它是负数”‎ C.“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”‎ D.“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”‎ 答案　B 解析　依题意，得原命题的逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数.‎ ‎2.(2015·天津)设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的(　　)‎ A.充分而不必要条件 ‎ B.必要而不充分条件 ‎ C.充要条件 ‎ D.既不充分也不必要条件 答案　A 解析　由|x－2|＜1得1＜x＜3，所以1＜x＜2⇒1＜x＜3；但1＜x＜3⇒/ 1＜x＜2，故选A.‎ ‎3.集合A＝，B＝{x|(x－a)(x－b)<0}，若“a＝－2”是“A∩B≠∅”的充分条件，则b的取值范围是(　　)‎ A.b<－1 B.b>－1‎ C.b≥－1 D.－1－1时A∩B≠∅.‎ ‎4.已知A，B是非空集合，条件甲：A∪B＝B，条件乙：AB，那么(　　)‎ A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件 答案　B 解析　若AB，则A∪B＝B，反之A∪B＝B，则A⊆B，故甲是乙的必要不充分条件.故选B.‎ ‎5.设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A 解析　因为菱形的对角线互相垂直，所以“四边形ABCD为菱形”⇒“AC⊥BD”，所以“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分条件；又因为对角线垂直的四边形不一定是菱形，所以“AC⊥BD” ⇏ “四边形ABCD为菱形”，所以“四边形ABCD为菱形”不是“AC⊥BD”的必要条件.‎ 综上，“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件.‎ ‎6.(2015·福建)“对任意x∈，ksin xcos x＜x”是“k＜1”的(　　)‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　B 解析　任意x∈，ksin xcos x＜x⇔任意x∈，k＜，令f(x)＝2x－sin 2x.∴f′(x)＝2－2cos 2x＞0，∴f(x)在为增函数，‎ ‎∴f(x)＞f(0)＝0.‎ ‎∴2x＞sin 2x，∴＞1，∴k≤1，故选B.‎ ‎7.“a≠5且b≠－5”是“a＋b≠0”的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　D 解析　“a≠5且b≠－5”推不出“a＋b≠0”，例如a＝2，b＝－2时，a＋b＝0；“a＋b≠0”推不出“a≠5且b≠－5”，例如a＝5，b＝－6.故“a≠5且b≠－5”是“a＋b≠0”的既不充分也不必要条件.故选D.‎ ‎8.函数f(x)＝有且只有一个零点的充分不必要条件是(　　)‎ A.a<0 B.01‎ 答案　A 解析　因为函数f(x)过点(1,0)，所以函数f(x)有且只有一个零点⇔函数y＝－2x＋a(x≤0)没有零点⇔函数y＝2x(x≤0)与直线y＝a无公共点.由数形结合，可得a≤0或a>1.‎ 观察选项，根据集合间关系得{a|a<0}{a|a≤0或a>1}，故答案选A.‎ ‎9.“若a≤b，则ac2≤bc2”，则命题的原命题、逆命题、‎ 否命题和逆否命题中真命题的个数是________.‎ 答案　2‎ 解析　其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题.‎ ‎10.若xm＋1是x2－2x－3>0的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________.‎ 答案　[0,2]‎ 解析　由已知易得{x|x2－2x－3>0}{x|xm＋1}，又{x|x2－2x－3>0}＝{x|x<－1或x>3}，‎ ‎∴或∴0≤m≤2.‎ ‎11.已知α：x≥a，β：|x－1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a的取值范围为________.‎ 答案　(－∞，0]‎ 解析　α：x≥a，可看作集合A＝{x|x≥a}，‎ ‎∵β：|x－1|<1，∴0bc2，则a>b；‎ ‎②若sin α＝sin β，则α＝β；‎ ‎③“实数a＝0”是“直线x－2ay＝1和直线2x－2ay＝1平行”的充要条件；‎ ‎④若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数.‎ 其中正确命题的序号是________.‎ 答案　①③④‎ 解析　对于①，ac2>bc2，c2>0，∴a>b正确；‎ 对于②，sin 30°＝sin 150°⇒/ 30°＝150°，‎ 所以②错误；‎ 对于③，l1∥l2⇔A1B2＝A2B1，即－2a＝－4a⇒a＝0且A1C2≠A2C1，所以③正确；‎ ‎④显然正确.‎ B组　专项能力提升 ‎(时间：15分钟)‎ ‎13.已知a，b为实数，且ab≠0，则下列命题错误的是(　　)‎ A.若a>0，b>0，则≥ B.若≥，则a>0，b>0‎ C.若a≠b，则> D.若>，则a≠b 答案　C 解析　选项A，由基本不等式可得：若a>0，b>0，则≥，故A正确；‎ 选项B，由有意义可得a，b不可能异号，结合≥可得a≥0，b≥0，由ab≠0可得a≠0，b≠0，故可得a>0，b>0，故B正确；‎ 选项C，需满足a，b同为正数才成立，若a＝－1，b＝2，显然满足a≠b，但无意义，故C错误；‎ 选项D，把>的两边分别平方，‎ 整理可得(a－b)2>0，显然a≠b，故D正确.故选C.‎ ‎14.(2015·湖北)设a1，a2，…，an∈R，n≥3.若p：a1，a2，…，an成等比数列；q：(a＋a＋…＋a)(a＋a＋…＋a)＝(a1a2＋a2a3＋…＋an－1an)2，则(　　)‎ A.p是q的必要条件，但不是q的充分条件 B.p是q的充分条件，但不是q的必要条件 C.p是q的充分必要条件 D.p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 答案　B 解析　若p成立，设a1，a2，…，an的公比为q，则(a＋a＋…＋a)(a＋a＋…＋a)＝a(1＋q2＋…＋q2n－4)·a(1＋q2＋…＋q2n－4)＝aa(1＋q2＋…＋q2n－4)2，(a1a2＋a2a3＋…＋an－1an)2＝(a1a2)2(1＋q2＋…＋q2n－4)2，故q成立，故p是q的充分条件.取a1＝a2＝…＝an＝0，则q成立，而p不成立，故p不是q的必要条件，故选B.‎ ‎15.如果对于任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，那么“[x]＝[y]”是“|x－y|<1成立”的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A 解析　若[x]＝[y]，则|x－y|<1；反之，若|x－y|<1，如取x＝1.1，y＝0.9，则[x]≠[y]，即“[x]＝[y]”是“|x－y|<1成立”的充分不必要条件.故选A.‎ ‎16.已知集合A＝，B＝{x|－13，即m>2.‎ ‎17.设a，b为正数，则“a－b>1”是“a2－b2>1”的________条件.‎ 答案　充分不必要 解析　∵a－b>1，即a>b＋1.‎ 又∵a，b为正数，‎ ‎∴a2>(b＋1)2＝b2＋1＋2b>b2＋1，即a2－b2>1成立，反之，当a＝，b＝1时，满足a2－b2>1，但a－b>1不成立.∴“a－b>1”是“a2－b2>1”的充分不必要条件.‎ ‎18.下列四个结论中：‎ ‎①“λ＝0”是“λa＝0”的充分不必要条件；②在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件；③若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b全不为零”的充要条件；④若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为零”的充要条件.‎ 正确的是________.‎ 答案　①④‎ 解析　由λ＝0可以推出λa＝0，但是由λa＝0不一定推出λ＝0成立，所以①正确.‎ 由AB2＋AC2＝BC2可以推出△ABC是直角三角形，但是由△ABC是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以②不正确.‎ 由a2＋b2≠0可以推出a，b不全为零，‎ 反之，由a，b不全为零可以推出a2＋b2≠0，‎ 所以“a2＋b2≠0”是“a，b不全为零”的充要条件，而不是“a，b全不为零”的充要条件，③不正确，④正确.‎