【数学】2019届一轮复习北师大版 坐标系与参数方程 学案

【数学】2019届一轮复习北师大版 坐标系与参数方程 学案

第一单元　高考中档大题突破 解答题05: 选修4－4(坐标系与参数方程)‎ 年 份 卷 别 具体考查内容及命题位置 命题分析 ‎2017‎ Ⅰ卷 轨迹方程的求法、直角坐标方程与极坐标方程的互化，三角形面积计算及三角恒等变换·T22‎ ‎1.坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用．‎ ‎2．全国课标卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用.‎ Ⅱ卷 参数方程与普通方程的互化、点到直线的距离公式及三角函数性质·T22‎ Ⅲ卷 参数方程与普通方程的互化，极坐标方程的应用·T22‎ ‎2016‎ 甲卷 极坐标方程与直角坐标方程互化及应用、直线与圆的位置关系·T23‎ 乙卷 参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用·T23‎ 丙卷 参数方程、极坐标方程及点到直线的距离、三角函数的最值·T23‎ ‎2015‎ Ⅰ卷 极坐标与直角坐标的互化以及极坐标方程的应用·T23‎ Ⅱ卷 参数方程和普通方程的互化、三角函数的性质·T23‎ ‎2014‎ Ⅰ卷 参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化、三角恒等变换·T23‎ Ⅱ卷 极坐标方程与参数方程的互化、参数方程的几何意义·T23‎ ‎2013‎ Ⅰ卷 参数方程和普通方程的互化、极坐标方程和直角坐标方程的互化·T23‎ Ⅱ卷 参数方程的求法、三角函数的应用·T23‎ 基本考点——极坐标方程 ‎1．圆的极坐标方程 若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r，则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0.‎ 几个特殊位置的圆的极坐标方程：‎ ‎(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；‎ ‎(2)当圆心位于M(a,0)，半径为a：ρ＝2acos θ；‎ ‎(3)当圆心位于M(a, )，半径为a：ρ＝2asin θ.‎ ‎2．直线的极坐标方程 若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴与此直线所成的角为α，‎ 则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．‎ 几个特殊位置的直线的极坐标方程：‎ ‎(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0；‎ ‎(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a；‎ ‎(3)直线过M(b, )且平行于极轴：ρsin θ＝b.‎ ‎1．(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.‎ ‎(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点A的极坐标为2，，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．‎ 解：(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．‎ 由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.‎ 由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0)．‎ 因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．‎ ‎(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)．‎ 由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB的面积 S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α· ‎＝2≤2＋.‎ 当α＝－时，S取得最大值2＋.‎ 所以△OAB面积的最大值为2＋.‎ ‎2．(2016·全国乙卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a>0)，在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.‎ ‎(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；‎ ‎(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.‎ 解：(1)消去参数t得到C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2，则C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆．‎ 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.‎ ‎(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组 若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，‎ 由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，‎ 从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)，a＝1.‎ 当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上．‎ 所以a＝1.‎ 极坐标方程与普通方程的互化技巧 ‎(1)巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程．‎ ‎(2)巧借两角和差公式，转化ρsin(θ±α)或ρcos(θ±α)的结构形式，进而利用互化公式得到普通方程．‎ ‎(3)将直角坐标方程中的x转化为ρcos θ，将y换成ρsin θ，即可得到其极坐标方程．‎ 常考热点——参数方程与极坐标的综合 几种常见曲线的参数方程 ‎(1)圆：以O′(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程是其中α是参数．‎ 当圆心在(0,0)时，方程为其中α是参数．‎ ‎(2)椭圆：椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程是其中φ是参数．‎ 椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程是其中φ是参数．‎ ‎(3)直线：经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程是其中t是参数．‎ ‎1．(2017·全国卷Ⅰ)选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；‎ ‎(2)若C上的点到l距离的最大值为，求a.‎ 解：(1)曲线C的普通方程为＋y2＝1.‎ 当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0.‎ 由 解得或 从而C与l的交点坐标为(3,0)，－，.‎ ‎(2)直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0，故C上的点 ‎(3cos θ，sin θ )到l的距离为d＝.‎ 当a≥－4时，d的最大值为.‎ 由题设得＝，所以a＝8；当a<－4时，d的最大值为.‎ 由题设得＝，‎ 所以a＝－16.‎ 综上，a＝8或a＝－16.‎ ‎2．(2017·大庆二模)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝asin θ.‎ ‎(1)若a＝2，求圆C的直角坐标方程与直线l的普通方程；‎ ‎(2)设直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，求a的值．‎ 解：(1)当a＝2时，ρ＝asin θ转化为ρ＝2sin θ，‎ 整理成直角坐标方程为：x2＋(y－1)2＝1，‎ 直线l的参数方程(t为参数)．‎ 转化成直角坐标方程为4x＋3y－8＝0.‎ ‎(2)圆C的极坐标方程转化成直角坐标方程为x2＋2＝，‎ 直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，‎ 所以：d＝＝·，‎ ‎2|‎3a－16|＝5|a|，利用平方法解得：a＝32或.‎ ‎1．(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当 变化时，P的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)写出C的普通方程；‎ ‎(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cos θ＋sin θ)－＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．‎ 解：(1)消去参数t得l1的普通方程l1：y＝ (x－2)；‎ 消去参数m得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)．‎ 设P(x，y)，由题设得 消去 得x2－y2＝4(y≠0)，‎ 所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．‎ ‎(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)，‎ 联立 得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．‎ 故tan θ＝－，从而cos2θ＝，sin2θ＝.‎ 代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5，‎ 所以交点M的极径为.‎ ‎2．(2017·承德二模)在直角坐标系xOy中，圆的参数方程为(θ为参数)，直线C1的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(1)若直线C1与圆O相交于A，B，求弦长|AB|；‎ ‎(2)以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋2sin θ，圆O和圆C2的交点为P，Q，求弦PQ所在直线的直角坐标方程．‎ 解：(1)由直线C1的参数方程为(t为参数)消去参数t，‎ 可得：x－y＋1＝0，即直线C1的普通方程为x－y＋1＝0.‎ 圆O的参数方程为(θ为参数)，根据sin2θ＋cos2θ＝1消去参数θ，可得：x2＋y2＝2.‎ 那么圆心到直线的距离d＝＝，‎ 故得弦长|AB|＝2＝.‎ ‎(2)圆C2的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋2sin θ，‎ 利用ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，可得圆C2的普通方程为x2＋y2＝2x＋2y.‎ ‎∵圆O为：x2＋y2＝2.∴弦PQ所在直线的直角坐标方程为2＝2x＋2y，即x＋y－1＝0.‎ ‎3．(2017·河南六市一模)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)若以O点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ.‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程；‎ ‎(2)将曲线C上各点的横坐标缩短为原来的，再将所得曲线向左平移1个单位，得到曲线C1，求曲线C1上的点到直线l的距离的最小值．‎ 解：(1)由ρ＝4cos θ，得出ρ2＝4ρcos θ，化为直角坐标方程x2＋y2＝4x，‎ 即曲线C的方程为(x－2)2＋y2＝4，直线l的方程是：x＋y＝0.‎ ‎(2)将曲线C横坐标缩短为原来的，再向左平移1个单位，得到曲线C1的方程为4x2＋y2＝4，设曲线C1上的任意点(cos θ，2sin θ)，‎ 到直线l距离d＝＝.‎ 当sin(θ＋α)＝0时，到直线l距离的最小值为0.‎ ‎4．(2017·南阳二模)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2sinθ.‎ ‎(1)判断直线l与圆C的交点个数；‎ ‎(2)若圆C与直线l交于A，B两点，求线段AB的长度．‎ 解：(1)∵直线l的参数方程为(t为参数)．‎ ‎∴消去参数t得直线l的普通方程为x＋y－1＝0，‎ ‎∵圆C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，即ρ2＝2ρsin θ，‎ ‎∴由ρ2＝x2＋y2，ρsin θ＝y，得圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0.‎ ‎∵圆心(0,1)在直线l上，‎ ‎∴直线l与圆C的交点个数为2.‎ ‎(2)由(1)知圆心(0,1)在直线l上，‎ ‎∴AB为圆C的直径，‎ ‎∵圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0.‎ ‎∴圆C的半径r＝×＝1，∴圆C的直径为2，‎ ‎∴|AB|＝2.‎ ‎5．(2017·厦门二模)在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，直线l的参数方程为(t为参数，α为直线的倾斜角)．‎ ‎(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)若直线l与曲线C有唯一的公共点，求角α的大小．‎ 解：(1)当α＝时，直线l的普通方程为x＝－1；‎ 当α≠时，直线l的普通方程为y＝tan α·(x＋1)．‎ 由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，‎ 所以x2＋y2＝2x，即为曲线C的直角坐标方程．‎ ‎(2)把x＝－1＋tcos α，y＝tsin α代入x2＋y2＝2x，整理得t2－4tcos α＋3＝0.当α＝时，方程化为：t2＋3＝0，方程不成立，当α≠时，由Δ＝16cos2α－12＝0，得cos2α＝，所以cos α＝或cos α＝－，‎ 故直线l倾斜角α为或.‎ ‎6．(2017·梅州二模)已知曲线C1的参数方程是(θ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝4sin θ.‎ ‎(1)求曲线C1与C2交点的平面直角坐标；‎ ‎(2)A，B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积(O为坐标原点)．‎ 解：(1)∵曲线C1的参数方程是(θ为参数)，‎ ‎∴曲线C1的平面直角坐标方程为(x＋2)2＋y2＝4.‎ 又由曲线C2的极坐标方程是ρ＝4sin θ，‎ 得ρ2＝4ρsin θ，∴x2＋y2＝4y，‎ 把两式作差，得y＝－x，代入x2＋y2＝4y，‎ 得2x2＋4x＝0，‎ 解得或，‎ ‎∴曲线C1与C2交点的平面直角坐标为(0,0)，(－2,2)．‎ ‎(2)如图，由平面几何知识可知：当A，C1，C2，B依次排列且共线时，|AB|最大，此时|AB|＝2＋4，‎ O到AB的距离为，‎ ‎∴△OAB的面积为S＝(2＋4)·＝2＋2.‎