【数学】2021届一轮复习北师大版(文)第九章 第8讲 第2课时 圆锥曲线中的定值、定点与存在性问题作业

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【数学】2021届一轮复习北师大版(文)第九章 第8讲 第2课时 圆锥曲线中的定值、定点与存在性问题作业

第2课时 圆锥曲线中的定值、定点与存在性问题 ‎[基础题组练]‎ ‎1.(2020·河南新乡模拟)已知F1,F2分别是双曲线C:y2-x2=1的上、下焦点,P是其一条渐近线上的一点,且以F1F2为直径的圆经过点P,则△PF1F2的面积为(  )‎ A. B.1 ‎ C. D.2‎ 解析:选C.设P(x0,y0),不妨设点P在双曲线C的过一、三象限的渐近线x-y=0上,因此可得x0-y0=0.F1(0,),F2(0,-),所以|F1F2|=2,以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=2,又以F1F2为直径的圆经过点P,所以x+y=2.由,得|x0|=1,于是S△PF1F2=|F1F2|·|x0|=×2×1=,故选C.‎ ‎2.直线l与抛物线C:y2=2x交于A,B两点,O为坐标原点,若直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,且满足k1k2=,则直线l过定点(  )‎ A.(-3,0) B.(0,-3) ‎ C.(3,0) D.(0,3)‎ 解析:选A.设A(x1,y1),B(x2,y2),因为k1k2=,所以·=.又y=2x1,y=2x2,所以y1y2=6.将直线l:x=my+b代入抛物线C:y2=2x得y2-2my-2b=0,所以y1y2=-2b=6,得b=-3,即直线l的方程为x=my-3,所以直线l过定点(-3,0).‎ ‎3.(2020·安徽合肥模拟)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,过椭圆上一点M作直线MA,MB分别交椭圆于A,B两点,且斜率分别为k1,k2,若点A,B关于原点对称,则k1·k2的值为 .‎ 解析:由e2=1-=,得=.设M(x,y),A(m,n),则B(-m,-n),k1·k2=·=,①‎ 把y2=b2,n2=b2代入①式并化简,可得k1·k2=-=-.‎ 答案:- ‎4.以下四个关于圆锥曲线的命题:‎ ‎①设A,B为两个定点,K为正数,若||PA|-|PB||=K,则动点P的轨迹是双曲线;‎ ‎②方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;‎ ‎③双曲线-=1与椭圆+y2=1有相同的焦点;‎ ‎④已知抛物线y2=2px,以过焦点的一条弦AB为直径作圆,则此圆与准线相切.‎ 其中真命题为 .(写出所有真命题的序号)‎ 解析:A,B为两个定点,K为正数,||PA|-|PB||=K,当K=|AB|时,动点P的轨迹是两条射线,故①错误;‎ 方程2x2-5x+2=0的两根为和2,可分别作为椭圆和双曲线的离心率,故②正确;‎ 双曲线-=1的焦点坐标为(±,0),椭圆+y2=1的焦点坐标为(±,0),故③正确;‎ 设AB为过抛物线焦点F的弦,P为AB中点,A,B,P在准线l上的射影分别为M,N,Q,‎ 因为AP+BP=AM+BN,所以PQ=AB,‎ 所以以AB为直径作圆,则此圆与准线l相切,故④正确.‎ 故正确的命题有②③④.‎ 答案:②③④‎ ‎5.(2020·福建五校第二次联考)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,上顶点M到直线x+y+4=0的距离为3.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)设直线l过点(4,-2),且与椭圆C相交于A,B两点,l不经过点M,证明:直线MA的斜率与直线MB的斜率之和为定值.‎ 解:(1)由题意可得,解得 所以椭圆C的方程为+=1.‎ ‎(2)证明:易知直线l的斜率恒小于0,设直线l的方程为y+2=k(x-4),k<0且k≠-1,A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 联立 得(1+4k2)x2-16k(2k+1)x+64k(k+1)=0,‎ 则x1+x2=,x1x2=,‎ 因为kMA+kMB=+ ‎=,‎ 所以kMA+kMB=2k-(4k+4)×=2k-4(k+1)×=2k-(2k+1)=-1(为定值).‎ ‎6.(2019·高考全国卷Ⅲ)已知曲线C:y=,D为直线y=-上的动点,过D作C的两条切线,切点分别为A,B.‎ ‎(1)证明:直线AB过定点;‎ ‎(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段AB的中点,求该圆的方程.‎ 解:(1)证明:设D,A(x1,y1),则x=2y1.‎ 由于y′=x,所以切线DA的斜率为x1,故=x1.‎ 整理得2tx1-2y1+1=0.‎ 设B(x2,y2),同理可得2tx2-2y2+1=0.‎ 故直线AB的方程为2tx-2y+1=0.‎ 所以直线AB过定点.‎ ‎(2)由(1)得直线AB的方程为y=tx+.由可得x2-2tx-1=0.于是x1+x2=2t,y1+y2=t(x1+x2)+1=2t2+1.‎ 设M为线段AB的中点,则M.‎ 由于⊥,而=(t,t2-2),与向量(1,t)平行,所以t+(t2-2)t=0.‎ 解得t=0或t=±1.‎ 当t=0时,||=2,所求圆的方程为x2+=4;‎ 当t=±1时,||=,所求圆的方程为x2+=2.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1.(2020·赣州市调研测试)已知动圆C过定点F(1,0),且与定直线x=-1相切.‎ ‎(1)求动圆圆心C的轨迹E的方程;‎ ‎(2)过点M(-2,0)的任一条直线l与轨迹E交于不同的两点P,Q,试探究在x轴上是否存在定点N(异于点M),使得∠QNM+∠PNM=π?若存在,求点N的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 解:(1)法一:依题意知,动圆圆心C到定点F(1,0)的距离,与到定直线x=-1的距离相等,‎ 由抛物线的定义,可得动圆圆心C的轨迹E是以F(1,0)为焦点,x=-1为准线的抛物线,其中p=2.‎ 所以动圆圆心C的轨迹E的方程为y2=4x.‎ 法二:设动圆圆心C(x,y),依题意得=|x+1|,‎ 化简得y2=4x,即为动圆圆心C的轨迹E的方程.‎ ‎(2)假设存在点N(x0,0)满足题设条件.‎ 由∠QNM+∠PNM=π可知,直线PN与QN的斜率互为相反数,即kPN+kQN=0.①‎ 易知直线PQ的斜率必存在且不为0,设直线PQ:x=my-2,‎ 由得y2-4my+8=0.‎ 由Δ=(-4m)2-4×8>0,得m>或m<-.‎ 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=8.‎ 由①得kPN+kQN=+ ‎==0,‎ 所以y1(x2-x0)+y2(x1-x0)=0即,y1x2+y2x1-x0(y1+y2)=0.‎ 消去x1,x2,得y1y+y2y-x0(y1+y2)=0,‎ 即y1y2(y1+y2)-x0(y1+y2)=0.‎ 因为y1+y2≠0,所以x0=y1y2=2,‎ 所以存在点N(2,0),使得∠QNM+∠PNM=π.‎ ‎2.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),点A在椭圆C上.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)是否存在斜率为2的直线,使得当直线与椭圆C有两个不同交点M,N时,‎ 能在直线y=上找到一点P,在椭圆C上找到一点Q,满足=?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.‎ 解:(1)设椭圆C的焦距为2c,则c=1,‎ 因为A在椭圆C上,‎ 所以2a=|AF1|+|AF2|=2,‎ 所以a=,b2=a2-c2=1,‎ 所以椭圆C的方程为+y2=1.‎ ‎(2)不存在满足条件的直线,证明如下:‎ 设直线的方程为y=2x+t,‎ 设M(x1,y1),N(x2,y2),P,Q(x4,y4),MN的中点为D(x0,y0),‎ 由消去x,‎ 得9y2-2ty+t2-8=0,‎ 所以y1+y2=,Δ=4t2-36(t2-8)>0,‎ 所以y0==,且-3
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