【数学】2019届一轮复习北师大版二次函数与幂函数学案
第7讲 二次函数与幂函数
考纲要求
考情分析
命题趋势
1.掌握二次函数的图象与性质，会求二次函数的最值(值域)、单调区间．
2．了解幂函数的概念．
3．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，了解它们的变化情况.
2017·浙江卷，5
2016·全国卷Ⅲ，7
2015·福建卷，16
2015·浙江卷，20
1.二次函数的图象和性质，经常与其他知识综合考查．
2．幂函数的图象和性质，很少单独出题．
3．二次函数的综合应用，经常与导数、不等式综合考查.
分值：5～8分
1．幂函数的概念
一般地，形如__y＝xα__的函数叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
2．几个常用幂函数的图象与性质
定义
幂函数y＝xα(α∈R)
图象
α>0
α<0
性质
图象过点__(0,0)__和__(1,1)__
图象过点__(1,1)__
在第一象限内，函数值随x的增大而增大，即在(0，＋∞)上是__增函数__
在第一象限内，函数值随x的增大而减小，即在(0，＋∞)上是__减函数__
在第一象限内，当α>1时，图象下凹；当0<α<1时，图象上凸
在第一象限内，图象都下凹
形如y＝x或y＝x－(m，n为互质的正整数)类型函数的奇偶性判断：当m，n都为奇数时，幂函数在定义域上为奇函数；当m为奇数，n为偶数时，幂函数在定义域上为非奇非偶函数；当m为偶数，n为奇数时，幂函数在定义域上为偶函数
3．二次函数解析式的三种形式
(1)一般式：f(x)＝__ax2＋bx＋c__(a≠0)．
(2)顶点式：f(x)＝__a(x－h)2＋k__(a≠0)．
(3)零点式：f(x)＝__a(x－x1)(x－x2)__(a≠0)．
4．二次函数的图象与性质
二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，它的对称轴、顶点坐标、开口方向、值域、单调性分别是：
(1)对称轴：x＝__－__；
(2)顶点坐标：____；
(3)开口方向：a>0时，开口__向上__，a<0时，开口__向下__；
(4)值域：a>0时，y∈____，a<0时，y∈____；
(5)单调性：a>0时，f(x)在____上是减函数，在____上是增函数
；a<0时，f(x)在上是__增函数__，在上是__减函数__.
5．二次函数、二次方程、二次不等式三者间的关系
二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点(图象与x轴交点的横坐标)是相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的__根__，也是一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0(或ax2＋bx＋c≤0)解集的__端点值__.
6．二次函数在闭区间上的最值
二次函数在闭区间上必有最大值和最小值，它只能在区间的__端点__或二次函数的__顶点__处取得，可分别求值再比较大小，最后确定最值．
1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．
(1)函数y＝2x是幂函数．( × )
(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( √ )
(3)当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．( × )
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[m，n]的最值一定是.( × )
解析 (1)错误．不符合幂函数的定义．
(2)正确．因为图象与坐标轴相交，则由x＝0得y＝0，若y＝0，则得x＝0.
(3)错误．幂函数y＝x－1在定义域上不单调．
(4)错误．当－∉[m，n]时，二次函数的最值在区间端点取得，而非.
2．函数y＝x的图象(图中虚线为直线y＝x)是( B )
解析 因为函数y＝x是幂函数，幂函数在第一象限内恒过点(1,1)，排除A，D项；当x>1,0<α<1时，y＝xα在直线y＝x下方，排除C项．故选B．
3．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是( A )
A．m＝－2 B．m＝2
C．m＝－1 D．m＝1
解析 当m＝－2时，f(x)＝x2－2x＋1，对称轴为x＝1，其图象关于直线x＝1对称，反之也成立．故选A．
4．已知f(x)是二次函数，且f′(x)＝2x＋2，若方程f(x)＝0有两个相等实根，则f(x)的解析式为( D )
A．f(x)＝x2＋2x＋4 B．f(x)＝2x2＋2x＋1
C．f(x)＝x2＋x＋1 D．f(x)＝x2＋2x＋1
解析 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b，
∴a＝1，b＝2，f(x)＝x2＋2x＋c.∵Δ＝4－4c＝0，
∴c＝1，故f(x)＝x2＋2x＋1.故选D．
5．函数y＝3－的值域是__(－∞，2]__.
解析 因为2－2x＋x2＝(x－1)2＋1≥1，
所以≥1，所以y≤2.
一 幂函数的图象和性质
幂函数y＝xα的图象和性质由于α的取值不同而比较复杂，一般可从三个方面考查：
(1)曲线在第一象限内的“升降”：α>0时，图象经过点(0,0)和点(1,1)，在第一象限的图象“上升”；α<0时，图象不过点(0,0)，经过点(1,1)，在第一象限的图象“下降”．
(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凹；0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凹．
(3)函数的奇偶性：一般先将函数式化为正指数幂或根式形式，再根据函数的定义域和奇偶性定义判断其奇偶性．
【例1】 (1)已知函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，则m的值为( B )
A．－1 B．2
C．－1或2 D．3
(2)幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，则幂函数y＝f(x)的图象是( C )
(3)已知f(x)＝x，若0
0，∴m＝2.
(2)∵幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，∴f(x)＝x.
(3)∵0－2x的解集为(1,3)．若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的根，则f(x)的解析式为__f(x)＝－x2－x－__.
解析 (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得解得
所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
(2)因为f(x)＋2x>0的解集为(1,3)，
设f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)，且a<0，
所以f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝ax2－(2＋4a)x＋3a.①
由方程f(x)＋6a＝0，得ax2－(2＋4a)x＋9a＝0.②
因为方程②有两个相等的根，
所以Δ＝[－(2＋4a)]2－4a·9a＝0，解得a＝1或a＝－.
由于a<0，舍去a＝1.将a＝－代入①式得f(x)＝－x2－x－，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝－x2－x－.
三 二次函数的图象和性质
(1)对于函数y＝ax2＋bx＋c，若是二次函数，就隐含着a≠0，当题目未说明是二次函数时，就要分a＝0和a≠0两种情况讨论．
(2)二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．
(3)由不等式恒成立求参数的取值范围，常用分离参数法，转化为求函数最值问题，其依据是a≥f(x)⇔a≥f(x)max，a≤f(x)⇔a≤f(x)min.
(4)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)，事半功倍．
【例3】 (1)若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0,1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m( B )
A．与a有关，且与b有关
B．与a有关，但与b无关
C．与a无关，且与b无关
D．与a无关，但与b有关
(2)当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是__(－∞，－5]__.
解析 (1)设x1，x2分别是函数f(x)在[0,1]上的最小值点与最大值点，则m＝x＋ax1＋b，M＝x＋ax2＋b.
∴M－m＝x－x＋a(x2－x1)，显然此值与a有关，与b无关．故选B．
(2)设f(x)＝x2＋mx＋4，当x∈(1,2)时，f(x)<0恒成立⇔⇒⇒m≤－5.
【例4】 (1)若函数f(x)＝x2＋2ax＋3在区间[－4,6]上是单调函数，则实数a的取值范围为__(－∞，－6]∪[4，＋∞)__.
(2)若函数f(x)＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围是
____.
解析 (1)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.
(2)函数f(x)图象的对称轴为x＝，且f＝－，f(3)＝f(0)＝－4，由二次函数的图象知m的取值范围为.
1．若幂函数f(x)＝mxα的图象经过点A，则m和α的值分别为( C )
A．， B．，
C．1， D．，1
解析 根据函数f(x)＝mxα为幂函数，所以m＝1，根据图象经过点A，则有α＝.
2．已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3.若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为( B )
A．[2－，2＋] B．(2－，2＋)
C．[1,3] D．(1,3)
解析 由题意可知，f(x)＝ex－1>－1，g(x)＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1≤1.若有f(a)＝g(b)，则g(b)∈(－1,1]，即－b2＋4b－3>－1，解得2－0，设x1，x2是方程f(x)＝0的两根，则|x1－x2|的取值范围是__[，2)__.
解析 f(0)＝b，f(1)＝－(a＋b)，所以b(a＋b)<0，又因为x1＋x2＝，x1x2＝，所以|x1－x2|＝＝＝2＝2.根据b(a＋b)<0得到
ab＋b2<0，两边同时除以a2，得到＋2<0，解得－1<<0，因为|x1－x2|＝2，所以|x1－x2|的取值范围是[，2)．
错因分析：在已知一元二次方程的根的情况时，忽略了隐含的Δ≥0以及韦达定理的内容．
【例1】 已知关于x的方程x2－2mx＋4m2－6＝0的两根为α，β，试求(α－1)2＋(β－1)2的最小值．
解析 由题意得
∴(α－1)2＋(β－1)2＝(α＋β)2－2αβ－2(α＋β)＋2
＝(2m)2－2(4m2－6)－4m＋2
＝－4m2－4m＋14
＝－42＋15.
又∵Δ≥0，即(－2m)2－4(4m2－6)≥0，∴－≤m≤，
∴当m＝时，(α－1)2＋(β－1)2的最小值为6－4.
【跟踪训练1】 已知函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋3(m∈R)，若关于x的方程f(x)＝0有实数根，且两根分别为x1，x2，则(x1＋x2)·x1x2的最大值为( B )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 ∵x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m＋3，
∴(x1＋x2)·x1x2＝－2m(2m＋3)＝－42＋.
又Δ＝4m2－4(2m＋3)≥0，∴m≤－1或m≥3.
∵t＝－42＋在m∈(－∞，－1)上单调递增，在m∈[3，＋∞)上单调递减，m＝－1时最大值为2.
∴(x1＋x2)·x1x2的最大值为2.故选B．
课时达标 第7讲
[解密考纲]本考点考查幂函数的图象与性质、二次函数的单调性与最值、二次函数恒成立问题以及二次方程的根的分布问题，一般以选择题、填空题的形式呈现，
排在中间靠前的位置，难度中等．
一、选择题
1．已知幂函数f(x)＝k2·xa＋1的图象过点，则k＋a＝( C )
A． B．－
C．或－ D．2
解析 因为f(x)＝k2·xa＋1是幂函数，所以k2＝1，所以k＝±1.又f(x)的图象过点，所以a＋1＝，所以a＋1＝，所以a＝－，所以k＋a＝±1－＝－或.
2．抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点在第一象限，与x轴的两个交点分别位于原点两侧，则a，b，c的符号为( B )
A．a＜0，b＜0，c＜0
B．a＜0，b＞0，c＞0
C．a＜0，b＜0，c＞0
D．a＜0，b＞0，c＜0
解析 由题意知，抛物线开口向下，故a<0.由抛物线与x轴的两个交点分别位于原点两侧，得<0，所以c>0.再由顶点在第一象限得－>0，所以b>0.
3．对任意的x∈[－2,1]，不等式x2＋2x－a≤0恒成立，则实数a的取值范围是( D )
A．(－∞，0] B．(－∞，3]
C．[0，＋∞) D．[3，＋∞)
解析 设f(x)＝x2＋2x－a(x∈[－2,1])，由二次函数的图象知，当x＝1时，f(x)取得最大值3－a，所以3－a≤0，解得a≥3.故选D．
4．对于幂函数f(x)＝x，若0
C．f＝
D．无法确定
解析 根据幂函数的性质：当0<<1时，图象是向上凸的，且通过点(0,0)，(1,1)，可知B项正确．
5．设函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，已知f(m)<0，则( C )
A．f(m＋1)≥0 B．f(m＋1)≤0
C．f(m＋1)>0 D．f(m＋1)<0
解析 因为f(x)的对称轴为x＝－，f(0)＝a>0，所以f(x)的大致图象如图所示．
由f(m)<0，得－10，所以f(m＋1)>f(0)>0.故选C．
6．函数f(x)＝ax2＋bx＋5满足条件f(－1)＝f(3)，则f(2)的值为( A )
A．5 B．6
C．8 D．与a，b的值有关
解析 ①当a＝0时，由f(－1)＝f(3)可知b＝0，此时f(x)＝5，所以f(2)＝5.
②当a≠0时，因为函数f(x)＝ax2＋bx＋5满足条件f(－1)＝f(3)，所以f(x)＝ax2＋bx＋5的图象关于x＝＝1对称，则f(2)＝f(0)＝5.故选A．
二、填空题
7．已知函数f(x)＝x，且f(2x－1)0，则－x<0，函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x，所以f(x)＝f(－x)＝(－x)2＋2×(－x)＝x2－2x(x>0)，
所以f(x)＝
(3)g(x)＝x2－2x－2ax＋2(x∈[1,2])，
对称轴方程为x＝a＋1，
当a＋1≤1，即a≤0时，g(1)＝1－2a为最小值；
当12，即a>1时，g(2)＝2－4a为最小值．
综上，g(x)min＝
