【数学】2019届高考一轮复习北师大版理2-5指数与指数函数学案
第5讲 指数与指数函数
1．根式
(1)根式的概念
①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n>1且n∈N*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
②a的n次方根的表示：
xn＝a⇒
(2)根式的性质
①()n＝a(n∈N*，且n>1)．
②＝
2．有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正分数指数幂：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
②负分数指数幂：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．
(2)有理数指数幂的运算性质
①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．
②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．
③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
3．指数函数的图象及性质
函数
y＝ax(a>0，且a≠1)
图象
0
1
图象特征
在x轴上方，过定点(0，1)
当x逐渐增大时，图象逐渐下降
当x逐渐增大时，图象逐渐上升
性质
定义域
R
值域
(0，＋∞)
单调性
减
增
函数值
变化
规律
当x＝0时，y＝1
当x<0时，y>1；
当x<0时，00时，00时，y>1
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)＝π－4.( )
(2)与()n都等于a(n∈N*)．( )
(3)(－1)＝(－1)＝.( )
(4)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．( )
(5)若am>an，则m>n.( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×
(教材习题改编)有下列四个式子：
① ＝－8；② ＝－10；
③ ＝3－π；④＝a－b.
其中正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A.①正确， ＝|－10|＝10，②错误；
＝|3－π|＝－(3－π)＝π－3，③错误，＝|a－b|＝，故选A.
(2018·东北三校联考)函数f(x)＝ax－1(a＞0，a≠1)的图象恒过点A，下列函数中图象不经过点A的是( )
A．y＝ B．y＝|x－2|
C．y＝2x－1 D．y＝log2(2x)
解析：选A.由f(x)＝ax－1(a＞0，a≠1)的图象恒过点(1，1)，又0＝，知(1，1)不在y＝的图象上．
函数f(x)＝的值域为________．
解析：由1－ex≥0，ex≤1，
故函数f(x)的定义域为{x|x≤0}．
所以01，b<0
B．a>1，b>0
C．00
D．00.
答案：(0，＋∞)
2.若本例(2)的条件变为：函数y＝|3x－1|＋k的图象不经过第二象限，则实数k的取值范围是________．
解析：作出函数y＝|3x－1|＋k的图象如图所示．
由图象知k≤－1，即k∈(－∞，－1]．
答案：(－∞，－1]
3.若将本例(2)变为函数y＝|3x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围如何？
解：由本例(2)作出的函数y＝|3x－1|的图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k∈(－∞，0]．
指数函数图象的画法及应用
(1)画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.
(2)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称、翻折变换得到其图象．
(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．
[通关练习]
1．函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是( )
解析：选A.将函数解析式与图象对比分析，因为函数f(x)＝1－e|x|是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A满足上述两个性质．
2．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________．
解析：(1)当01时，y＝|ax－1|的图象如图②，而y＝2a>1不可能与y＝|ax－1|有两个交点．综上，0>，所以<<，即b－3，此时－30时，10时，11.
因为x>0时，bx0时，>1.
所以>1，所以a>b.
所以11时，y＝au为增函数．
②形如y＝f(ax)的值域，要先求出u＝ax的值域，再结合y＝f(u)的单调性确定y＝f(ax)
的值域．
与指数函数有关的复合函数的单调性
利用复合函数的单调性判断形如y＝af(x)的函数的单调性，它的单调区间与f(x)的单调区间有关：
(1)若a>1，函数f(x)的单调增(减)区间即函数y＝af(x)的单调增(减)区间．
(2)若00，a≠1)的图象和性质与a的取值有关，要特别注意区分a>1或00，a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
解析：选B.由f(1)＝得a2＝.
又a>0，
所以a＝，因此f(x)＝.
因为g(x)＝|2x－4|在[2，＋∞)上单调递增，所以f(x)的单调递减区间是[2，＋∞)．
6．化简：＋2－2×－(0.01)0.5＝________．
解析：原式＝1＋×－＝1＋×－＝1＋－＝.
答案：
7．(2018·陕西西安模拟)若函数f(x)＝ax－2－2a(a>0，a≠1)的图象恒过定点，则函数f(x)在[0，3]上的最小值等于________．
解析：令x－2＝0得x＝2，且f(2)＝1－2a，所以函数f(x)的图象恒过定点(2，1－2a)，因此x0＝2，a＝，于是f(x)＝－，f(x)在R上单调递减，故函数f(x)在[0，3]上的最小值为f(
3)＝－.
答案：－
8．已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a＋b＝________．
解析：①当a>1时，函数f(x)＝ax＋b在[－1，0]上为增函数，由题意得无解．
②当00，a≠1，b∈R)．
(1)若f(x)为偶函数，求b的值；
(2)若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，试求a，b应满足的条件．
解：(1)因为f(x)为偶函数，
所以对任意的x∈R，都有f(－x)＝f(x)，
即a|x＋b|＝a|－x＋b|，|x＋b|＝|－x＋b|，解得b＝0.
(2)记h(x)＝|x＋b|＝
①当a>1时，f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，
即h(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，
所以－b≤2，b≥－2.
②当01且b≥－2.
1．(2018·河南濮阳检测)若“m>a”是函数“f(x)＝＋m－的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数a能取的最大整数为( )
A．－2 B．－1 C．0 D．1
解析：选B.因为f(0)＝m＋，所以函数f(x)的图象不过第三象限等价于m＋≥0，即m≥－，所以“m>a”是“m≥－”的必要不充分条件，所以a<－，则实数a能取的最大整数为－1.
2．(2017·高考全国卷Ⅰ)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则( )
A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y
C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
解析：选D.设2x＝3y＝5z＝k>1，所以x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k.因为2x－3y＝2log2k－3log3k＝－＝＝＝>0，所以2x>3y；因为3y－5z＝3log3k－5log5k＝－＝＝＝<0，所以3y<5z；因为2x－5z＝2log2k－5log5k＝－＝＝＝<0，所以5z>2x.所以5z>2x>3y，故选D.
3．若不等式(m2－m)2x－<1对一切x∈(－∞，－1]恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析：(m2－m)2x－<1可变形为m2－m<＋.
设t＝，则原条件等价于不等式m2－mb≥0，若f(a)＝f(b)，则b·f(a)的取值范围是________．
解析：画出函数图象如图所示，
由图象可知要使a>b≥0，
f(a)＝f(b)同时成立，
则≤b<1.
b·f(a)＝b·f(b)＝b(b＋1)
＝b2＋b＝－，
所以≤b·f(a)<2.
答案：
5．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)解关于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0.
解：(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，
即＝0，解得b＝1，
所以f(x)＝.
又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2.
(2)由(1)知f(x)＝＝－＋.
由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数(此处可用定义或导数法证明函数f(x)在R上是减函数)．
又因为f(x)是奇函数，所以不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－1)＝f(－2t2＋1)．
所以t2－2t>－2t2＋1即3t2－2t－1>0.
解得t>1或t<－，所以该不等式的解集为{t|t>1或t<－}．
6．已知函数f(x)＝－＋3(－1≤x≤2)．
(1)若λ＝，求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)的最小值是1，求实数λ的值．
解：(1)f(x)＝－＋3＝()2x－2λ·()x＋3(－1≤x≤2)．
设t＝()x，
得g(t)＝t2－2λt＋3(≤t≤2)．
当λ＝时，g(t)＝t2－3t＋3
＝(t－)2＋(≤t≤2)．
所以g(t)max＝g()＝，
g(t)min＝g()＝.
所以f(x)max＝，f(x)min＝，
故函数f(x)的值域为[，]．
(2)由(1)得g(t)＝t2－2λt＋3
＝(t－λ)2＋3－λ2(≤t≤2)，
①当λ≤时，
g(t)min＝g()＝－＋，
令－＋＝1，得λ＝>，
不符合舍去；
②当<λ≤2时，
g(t)min＝g(λ)＝－λ2＋3，
令－λ2＋3＝1，得λ＝(λ＝－<，不符合舍去)；
③当λ>2时，g(t)min＝g(2)＝－4λ＋7，令－4λ＋7＝1，得λ＝<2，不符合舍去．
综上所述，实数λ的值为.
