山西省中考数学试卷及答案word解析

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山西省中考数学试卷及答案word解析

‎2013年山西省中考试题 数学(解析)‎ ‎(满分120分 考试时间120分钟)‎ 第I卷 选择题(共24分)‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题2分,共24分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项符合要求,请选出并在答题卡上将该项涂黑)‎ ‎1.(2013山西,1,2分)计算2×(-3)的结果是( )‎ A.6 B.‎-6 ‎ C.-1 D.5‎ ‎【答案】B ‎【解析】异号相乘,得负,所以选B。‎ ‎2.(2013山西,2,2分)不等式组的解集在数轴上表示为( )‎ ‎【答案】C ‎【解析】解(1)得:,解(2)得:x<3,所以解集为,选C。‎ ‎3.(2013山西,3,2分)如图是一个长方体包装盒,则它的平面展开图是( )‎ ‎【答案】A ‎【解析】长方体的四个侧面中,有两个对对面的小长方形,另两个是相对面的大长方形,B、C中两个小的与两个大的相邻,错,D中底面不符合,只有A符合。‎ ‎4.(2013山西,4,2分)某班实行每周量化考核制,学期末对考核成绩进行统计,结果显示甲、乙两组的平均成绩相同,方差分别是S2甲=36,S2乙=30,则两组成绩的稳定性:( )‎ A.甲组比乙组的成绩稳定   B.乙组比甲组的成绩稳定 C.甲、乙两组的成绩一样稳定 D.无法确定 ‎【答案】B ‎【解析】方差小的比较稳定,故选B。‎ ‎5.(2013山西,5,2分)下列计算错误的是( )‎ A.x3+ x3=2x3 B.a6÷a3=a‎2 C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】a6÷a3=,故B错,A、C、D的计算都正确。‎ ‎6.(2013山西,6,2分)解分式方程时,去分母后变形为( )‎ A.2+(x+2)=3(x-1)B.2-x+2=3(x-1)C.2-(x+2)=3(1- x)D. 2-(x+2)=3(x-1)‎ ‎【答案】D ‎【解析】原方程化为:,去分母时,两边同乘以x-1,得:2-(x+2)=3(x-1),选D。‎ ‎7.(2013山西,7,2分)下表是我省11个地市5月份某日最高气温(℃)的统计结果:‎ 太原 大同 朔州 忻州 阳泉 晋中 吕梁 长治 晋城 临汾 运城 ‎27‎ ‎27‎ ‎28‎ ‎28‎ ‎27‎ ‎29‎ ‎28‎ ‎28‎ ‎30‎ ‎30‎ ‎31‎ 该日最高气温的众数和中位数分别是( )‎ A.‎27℃‎,‎28℃‎ B.‎28℃‎,‎28℃‎ C.‎27℃‎,‎27℃‎ D.‎28℃‎,‎29℃‎ ‎ ‎【答案】B ‎【解析】28出现4次,最多,所以众数为28,由小到大排列为:27,27,27,28,28,28,28,29,30,30,31,所以,中位数为28,选B。‎ ‎8.(2013山西,8,2分)如图,正方形地砖的图案是轴对称图形,该图形的对称轴有( )‎ A.1条 B.2条 C.4条 D.8条 ‎ ‎【答案】C ‎【解析】这是一个正八边形,对称轴有4条。‎ ‎9.(2013山西,9,2分)王先生到银行存了一笔三年期的定期存款,年利率是4.25%,若到期后取出得到本息和(本金+利息)33852元。设王先生存入的本金为x元,则下面所列方程正确的是( )‎ A.x+3×4.25%x=33825   B.x+4.25%x=33825 ‎ C.3×4.25%x=33825 D.3(x+4.25%x)=33825 ‎ ‎【答案】A ‎【解析】一年后产生的利息为4.25%x,三年后产生的利息为:3×4.25%x,再加上本金,得到33852元,所以,A是正确的。‎ ‎10.(2013山西,10,2分)如图,某地修建高速公路,要从B地向C地修一座隧道(B,C在同一水平面上),为了测量B,C两地之间的距离,某工程师乘坐热气球从C地出发,垂直上升‎100m到达A处,在A处观察B地的俯角为30°,则BC两地之间的距离为( )‎ A.100m B.50m C.50m D.m ‎【答案】A ‎【解析】依题得:AC=100,∠ABC=30°,tan30°=,BC=,选A。‎ ‎11.(2013山西,11,2分)起重机将质量为6.5t的货物沿竖直方向提升了‎2m ‎,则起重机提升货物所做的功用科学记数法表示为(g=10N/kg)( )‎ A.1.3×106J B.13×105J C.13×104J D.1.3×105J ‎ ‎【答案】D ‎【解析】质量m=6500kg,G=mg=65000,做功为W=650,0×2=130000=1.3×105J,选D。‎ ‎12.(2013山西,1,2分)如图,四边形ABCD是菱形,∠A=60°,AB=2,扇形BEF的半径为2,圆心角为60°,则图中阴影部分的面积是( B )‎ A.-   B.-  C.π-  D.π-‎ ‎【答案】B ‎【解析】扇形BEF的面积为:S1==,‎ 菱形ABCD的面积为SABCD=,‎ 如右图,连结BD,易证:△BDP≌△BCQ,所以,△BCQ与△BAP的面积之和为△BAD的面积为:,因为四边形BPDQ的面积为,‎ 阴影部分的面积为:-‎ 第Ⅱ卷 非选择题(共96分)‎ 二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分。把答案写在题中的横线上)‎ ‎13.(2013山西,13,3分)分解因式:a2-2a=      .‎ ‎【答案】a(a-2)‎ ‎【解析】原式提取公因式a即可,本题较简单。‎ ‎14.(2013山西,14,3分)四川雅安发生地震后,某校九(1)班学生开展献爱心活动,积极向灾区捐款。如图是该班同学捐款的条形统计图,写出一条你从图中所获得的信息: ‎ ‎【答案】该班有50人参与了献爱心活动(只要与统计图中所提供的信息相符即可得分)‎ ‎【解析】能得到的信息较多,答案不唯一,读图可得各组的人数分别为:20、5、10、15,加起来等于50。‎ ‎15.(2013山西,15,3分)一组按规律排列的式子:a2,,,,….则第n个式子是________‎ ‎【答案】(n为正整数)‎ ‎【解析】已知式子可写成:,,,,分母为奇数,可写成2n-1,分子中字母a的指数为偶数2n。‎ ‎16.(2013山西,16,3分)如图,矩形ABCD在第一象限,AB在x轴正半轴上,AB=3,BC=1,直线y=x-1经过点C交x轴于点E,双曲线经过点D,则k的值为________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】显然C点的纵坐标为1,将y=1代入,直线方程y=x-1,得x=4,即OB=4,‎ 又AB=3,所以,OA=1,所以D点坐标为(1,1),代入双曲线方程,可得k=1。‎ ‎17.(2013山西,1,2分)如图,在矩形纸片ABCD中,AB=12,BC=5,点E在AB上,将△DAE沿DE折叠,使点A落在对角线BD上的点A′处,则AE的长为______.‎ 第17题 ‎【答案】‎ ‎【解析】由勾股定理求得:BD=13,‎ DA=D=BC=5,∠DE=∠DAE=90°,设AE=x,则E=x,BE=12-x,B=13-5=8,‎ 在Rt△EB中,,解得:x=,即AE的长为 ‎18.(2013山西,18,3分)如图是我省某地一座抛物线形拱桥,桥拱在竖直平面内,与水平桥面相交于A,B两点,桥拱最高点C到AB的距离为‎9m,AB=‎36m,D,E为桥拱底部的两点,且DE∥AB,点E到直线AB的距离为‎7m,则DE的长为_____m. ‎ ‎          ‎ ‎【答案】48‎ ‎【解析】以C为原点建立平面直角坐标系,如右上图,依题意,得B(18,-9),‎ 设抛物线方程为:,将B点坐标代入,得a=-,所以,抛物线方程为:,‎ E点纵坐标为y=-16,代入抛物线方程,-16=,解得:x=24,所以,DE的长为‎48m。‎ 三、解答题(本大题共8个小题,共78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎19.(本题共2个小题,每小题5分,共10分)‎ ‎(1)(2013山西,19(1),5分)计算:.‎ ‎【解析】解:原式=‎ ‎ =1-1=0‎ ‎(2)(2013山西,19(2),5分)下面是小明化简分式的过程,请仔细阅读,并解答所提出的问题。‎ ‎………………………第一步 ‎=2(x-2)-x-6……………………………………………………………第二步 ‎=2x-4-x+6…………………………………………………………………第三步 ‎=x+2………………………………………………………………………第四步 小明的解法从第 (2分)步开始出现错误,正确的化简结果是 。(3分)‎ ‎【答案】二 ‎ ‎20.(2013山西,20,7分)(本题7分)解方程:(2x-1)2=x(3x+2)-7‎ ‎【解析】解:原方程可化为:4x2-4x+1=3x2+2x-7‎ ‎∴x2-6x+8=0 ∴(x-3)2=1 ∴x-3=±1 ∴x1=2 x2=4‎ ‎21.(2013山西,21,8分)(本题8分)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BA延长线上的一点,点E是AC的中点。‎ ‎(1)实践与操作:利用尺规按下列要求作图,并在图中标明相应字母(保留作图痕迹,不写作法)。‎ ‎①作∠DAC的平分线AM。②连接BE并延长交AM于点F。‎ ‎【解析】解:①作图正确,并有痕迹。‎ ‎②连接BE并延长交AM于点F。‎ ‎(2)猜想与证明:试猜想AF与BC有怎样的位置关系和数量关系,并说明理由。‎ ‎【解析】解:AF∥BC且AF=BC 理由如下:∵AB=AC,∴∠ABC=∠C∴∠DAC=∠ABC+∠C=2∠C 由作图可知:∠DAC=2∠FAC ‎∴∠C=∠FAC.∴AF∥BC.‎ ‎∵E是AC的中点, ∴AE=CE, ∵∠AEF=∠CEB ∴△AEF≌△CEB ∴AF=BC.‎ ‎22.(2013山西,22,9分)(本题9分)小勇收集了我省四张著名的旅游景点图片(大小、形状及背面完全相同):太原以南的壶口瀑布和平遥古城,太原以北的云岗石窟和五台山。他与爸爸玩游戏:把这四张图片背面朝上洗匀后,随机抽取一张(不放回),再抽取一张,若抽到两个景点都在太原以南或都在太原以北,则爸爸同意带他到这两个景点旅游,否则,只能去一个景点旅游。请你用列表或画树状图的方法求小勇能去两个景点旅游的概率(四张图片分别用(H,P,Y,W表示)。‎ ‎【解析】解:列表如下:‎ 或画树状图如下:‎ 由列表(或画树状图)可以看出,所有可能出现的结果共有12种,而且每种结果出现的可能性都相同,其中抽到的两个景点都在太原以南或以北的结果共有4种。‎ ‎∴P(小能力能到两个景点旅游)==‎ ‎23.(2013山西,23,9分)(本题9分)如图,AB为的直径,点C在⊙O上,点P是直径AB上的一点(不与A,B重合),过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q。‎ ‎(1)在线段PQ上取一点D,使DQ=DC,连接DC,试判断CD与⊙O的位置关系,并说明理由。‎ ‎(2)若cosB=,BP=6,AP=1,求QC的长。‎ 解析】解:(1)CD是⊙O的切线,‎ 理由如下:连接OC,∵OC=OB,∴∠B=∠1.又∵DC=DQ,∴∠Q=∠2‎ ‎∵PQ⊥AB,∴∠QPB=90°∴∠B+∠Q=90°∴∠1+∠2=90°∴∠DCO=∠QCB-(∠1+∠2)=180°-90°,‎ ‎∴OC⊥DC,∵OC是⊙O的半径∴CD是⊙O的切线 ‎(2)连接AC,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°.‎ 在Rt△ABC中,‎ BC=ABcosB=(AP+BP) cosB=(1+6)×=.‎ 在Rt△BPQ中BQ===10‎ ‎∴QC=BQ-BC=10==‎ ‎24.(2013山西,24,8分)(本题8分)某校实行学案式教学,需印制若干份数学学案。印刷厂有甲、乙两种收费方式,除按印数收取印刷费外,甲种方式还需收取制版费而乙种不需要。两种印刷方式的费用y(元)与印刷份数x(份)之间的函数关系如图所示:‎ ‎(1)填空:甲种收费方式的函数关系式是 . ‎ 乙种收费方式的函数关系式是 .‎ ‎(2)该校某年级每次需印制100~450(含100和450)份学案,选择哪种印刷方式较合算。‎ ‎【解析】(1)y=0.1x+6 y=0.12x ‎ ‎(2)解:由0.1x+6>0.12x,得x<300‎ 由0.1x+6=0.12x,得x=300‎ 由0.1x+6<0.12x,得x>300‎ 由此可知:当100≤x<300时,选择乙种方式较合算;‎ 当x=300时,选择甲乙两种方式都可以;‎ 当300<x≤450时,选择甲种方式较合算。‎ ‎25.(2013山西,25,13分)(本题13分)数学活动——求重叠部分的面积。‎ 问题情境:数学活动课上,老师出示了一个问题:‎ 如图,将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起,其中∠ACB=∠E=90°,BC=DE=6,AC=FE=8,顶点D与边AB的中点重合,DE经过点C,DF交AC于点G。‎ 求重叠部分(△DCG)的面积。‎ ‎(1)独立思考:请解答老师提出的问题。‎ ‎【解析】解:∵∠ACB=90°D是AB的中点,‎ ‎(25题(1))‎ ‎∴DC=DB=DA,∴∠B=∠DCB 又∵△ABC≌△FDE,∴∠FDE=∠B ‎∴∠FDE=∠DCB,∴DG∥BC∴∠AGD=∠ACB=90°∴DG⊥AC 又∵DC=DA,∴G是AC的中点,‎ ‎∴CG=AC=×8=4,DG=BC=×6=3‎ ‎∴SDCG=×CG·DG=×4×3=6‎ ‎(2)合作交流:“希望”小组受此问题的启发,将△DEF绕点D旋转,使DE⊥AB交AC于点H,DF交AC于点G,如图(2),你能求出重叠部分(△DGH)的面积吗?请写出解答过程。‎ ‎(25题(2))‎ ‎【解析】解法一:∵△ABC≌△FDE,∴∠B=∠1‎ ‎∵∠C=90°,ED⊥AB,∴∠A+∠B=90°, ∠A+∠2=90°,‎ ‎∴∠B=∠2,∴∠1=∠2‎ ‎∴GH=GD ‎∵∠A+∠2=90°,∠1+∠3=90°‎ ‎∴∠A=∠3,∴AG=GD,∴AG=GH ‎∴点G是AH的中点,‎ 在Rt△ABC中,AB= 10‎ ‎∵D是AB的中点,∴AD=AB=5‎ 在△ADH与△ACB中,∵∠A =∠A,∠ADH=∠ACB=90°,‎ ‎∴△ADH∽△ACB, ∴=,=,∴DH=,‎ ‎∴S△DGH=S△ADH=××DH·AD=××5=‎ ‎(25题(2))‎ 解法二:同解法一,G是AH的中点,‎ 连接BH,∵DE⊥AB,D是AB的中点,∴AH=BH,设AH=x则CH=8-x 在Rt△BCH中,CH2+BC2=BH2,即(8-x)2+36=x2,解得x=‎ ‎∴S△ABH=AH·BC=××6=‎ ‎(25题(2))‎ ‎∴S△DGH=S△ADH=× S△ABH=×=.‎ 解法三:同解法一,∠1=∠2‎ 连接CD,由(1)知,∠B=∠DCB=∠1,∠1=∠2=∠B=∠DCB,△DGH∽△BDC, ‎ 作DM⊥AC于点M,CN⊥AB于点N,∵D是AB的中点,∠ACB=90°‎ ‎∴CD=AD=BD,∴点M是AC的中点,∴DM=BC=×6=3‎ 在Rt△ABC中,AB==10,AC·BC=AB·CN,‎ ‎∴CN=.‎ ‎∵△DGH∽△BDC, ∴,‎ ‎∴=‎ ‎∴‎ ‎(3)提出问题:老师要求各小组向“希望”小组学习,将△DEF绕点D旋转,再提出一个求重叠部分面积的问题。“爱心”小组提出的问题是:如图(3),将△DEF绕点D旋转,DE,DF分别交AC于点M,N,使DM=MN求重叠部分(△DMN)的面积、‎ 任务:①请解决“爱心”小组所提出的问题,直接写出△DMN的面积是 ‎ ‎②请你仿照以上两个小组,大胆提出一个符合老师要求的问题,并在图中画出图形,标明字母,不必解答(注:也可在图(1)的基础上按顺时针方向旋转)。‎ ‎(25题(3))‎ ‎(25题(4))‎ ‎【答案】①‎ ‎②注:此题答案不唯一,语言表达清晰、准确得1分,画图正确得1分,重叠部分未涂阴影不扣分。示例:如图,将△DEF绕点D旋转,使DE⊥BC于点M,DF交AC于点N,求重叠部分(四边形DMCN)的面积。‎ ‎26.(2013山西,26,14分)(本题14分)综合与探究:如图,抛物线 与x轴交于A,B两点(点B在点A的右侧)与y轴交于点C,连接BC,以BC为一边,点O为对称中心作菱形BDEC,点P是x轴上的一个动点,设点P的坐标为(m,0),过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q ‎(1)求点A,B,C的坐标。‎ ‎(2)当点P在线段OB上运动时,直线l分别交BD,BC于点M,N。试探究m为何值时,四边形CQMD是平行四边形,此时,请判断四边形CQBM的形状,并说明理由。‎ ‎(3)当点P在线段EB上运动时,是否存在点 Q,使△BDQ为直角三角形,若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由。‎ 解析:(1)当y=0时,,解得,‎ ‎∵点B在点A的右侧,‎ ‎∴点A,B的坐标分别为:(-2,0),(8,0)‎ 当x=0时,y=-4‎ ‎∴点C的坐标为(0,-4),‎ ‎(2)由菱形的对称性可知,点D的坐标为(0,4).‎ 设直线BD的解析式为y=kx+b,则.解得,k=,b=4. ‎ ‎∴直线BD的解析式为.‎ ‎∵l⊥x轴,∴点M,Q的坐标分别是(m,),(m,)‎ 如图,当MQ=DC时,四边形CQMD是平行四边形.‎ ‎∴()-()=4-(-4)‎ 化简得:.解得,m1=0,(舍去)m2=4.‎ ‎∴当m=4时,四边形CQMD是平行四边形.‎ 此时,四边形CQBM是平行四边形.‎ 解法一:∵m=4,∴点P是OB中点.∵l⊥x轴,∴l∥y轴.‎ ‎∴△BPM∽△BOD.∴.∴BM=DM.‎ ‎∵四边形CQMD是平行四边形,∴DMCQ∴BMCQ.∴四边形CQBM为平行四边形.‎ 解法二:设直线BC的解析式为y=k1x+b1,则.解得,k1=,b1=-4‎ ‎∴直线BC的解析式为y=x-4‎ 又∵l⊥x轴交BC于点N.∴x=4时,y=-2. ∴点N的坐标为(4,-2)由上面可知,点M,Q的坐标分别为:(4,2),Q(4,-6).‎ ‎∴MN=2-(-2)=4,NQ=-2-(-6)=4.∴MN=QN.‎ 又∵四边形CQMD是平行四边形.∴DB∥CQ,∴∠3=∠4,‎ 又∠1=∠2,∴△BMN≌△CQN.∴BN=CN.‎ ‎∴四边形CQBM为平行四边形.‎ ‎(3)抛物线上存在两个这样的点Q,分别是Q1(-2,0),Q2(6,-4).‎
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