中考数学一轮专题复习整式与因式分解精讲精练

中考数学一轮专题复习整式与因式分解精讲精练

第2讲　整式与因式分解 考点一、整数指数幂的运算 ‎【例1】 1．已知xm=a，xn=b（x≠0），则x3m﹣2n的值等于（　　）‎ A．3a﹣2b B．a3﹣b2 C．a3b2 D．‎ ‎ 2．若a2n=5，b2n=16，则（ab）n=　 　．‎ 方法总结 幂的运算问题除了注意底数不变外，还要弄清幂与幂之间的运算是乘、除还是乘方，以便确定结果的指数是相加、相减还是相乘．‎ 举一反三 1．若ax=2，ay=3，则a2x+y=　　．‎ ‎ 2．若x=2m﹣1，y=1+4m+1，用含x的代数式表示y为　 　．‎ 考点二、整式的运算 ‎【例2】 1．若a﹣b=1，则代数式a2﹣b2﹣2b的值为　　．‎ ‎2．7张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（　　）‎ A．a=b B．a=3b C．a=b D．a=4b 方法总结 对于整式的运算主要把握好整式的乘法公式及因式分解等的应用 举一反三 1．已知a+b=2，ab=﹣1，则3a+ab+3b=　　；a2+b2=　　．‎ ‎2．将图（甲）中阴影部分的小长方形变换到图（乙）位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（　　）‎ A．（a+b）2=a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2‎ C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） D．（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2‎ 考点三、乘法公式 ‎【例3】 1．下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（　　）‎ A．（x+a）（x﹣a） B．（a+b）（﹣a﹣b） C．（﹣x﹣b）（x﹣b） D．（b+m）（m﹣b）‎ ‎ 2．若m为正实数，且m﹣=3，则m2﹣=　　．‎ 方法总结 本题考查了完全平方公式、平方差公式，求出m的值代入前，一定要把代数式分解完全，可简化计算步骤．‎ 举一反三 1．填空：‎ ‎（a﹣b）（a+b）=　 　；‎ ‎（a﹣b）（a2+ab+b2）=　 　；‎ ‎（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=　 　．‎ ‎（2）猜想：（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）=　 　（其中n为正整数，且n≥2）．‎ ‎2．如果a+b+，那么a+2b﹣3c=　 　．‎ ‎3．已知（2008﹣a）2+（2007﹣a）2=1，则（2008﹣a）•（2007﹣a）=　　．‎ 考点四、因式分解 ‎【例4】 分解因式：（1）20a3x﹣45ay2x （2）1﹣9x2 （3）4x2﹣12x+9‎ ‎（4）4x2y2﹣4xy+1 （5）p2﹣5p﹣36‎ 方法总结 因式分解的一般步骤：‎ ‎(1)“一提”：先考虑是否有公因式，如果有公因式，应先提公因式；‎ ‎(2)“二套”：再考虑能否运用公式法分解因式．一般根据多项式的项数选择公式，二项式考虑用平方差公式，三项式考虑用完全平方公式；‎ ‎(3)分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．‎ 举一反三 分解因式（1） y2﹣7y+12（2）3﹣6x+3x2‎ ‎ （3）﹣a+2a2﹣a3（4）m3﹣m2﹣20m 一、选择题 ‎1．下列计算正确的是( )‎ A. 23+24=27 B. 23−24=2-1 C. 23×24=27 D. 23÷24=21‎ ‎2．下列各式变形中，正确的是（　　）‎ A．x2•x3=x6 B．=|x| C．（x2﹣）÷x=x﹣1 D．x2﹣x+1=（x﹣）2+‎ ‎3．（ 　 ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．下列计算正确的是 （ 　 ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎5．下列运算正确的是（ ）‎ ‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎6．在下列各式的变形中，正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎7．下列计算正确的是 （ ）‎ ‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎8．下列各式计算正确的是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎9．分解因式的结果是 （ ）‎ A. ‎ B. C. D.‎ ‎10．下列因式分解正确的是( )‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎11．下列各等式一定成立的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．下列运算正确的是（　　）‎ A．（）3= B．3a3•2a2=6a6 C．4a6÷2a2=2a3 D．（3a2）3=27a6‎ ‎13．下列运算中，计算正确的是（　　）‎ A．a3•a6=a9 B．（a2）3=a5 C．4a3﹣2a2=2 D．（3a）2=6a2‎ ‎14．下面计算正确的是（　　）‎ A．a2+a2=a4 B．（﹣a2）3=（﹣a）6 C．[（﹣a）2]3=a6 D．（a2）3÷a2=a3‎ ‎15．下列计算正确的是（　　）‎ A．a3+a4=a7 B．a3﹣a4=a﹣1 C．a3•a4=a7 D．a3÷a4=a ‎16．设a，b是实数，定义@的一种运算如下：a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2，则下列结论：‎ ‎①若a@b=0，则a=0或b=0‎ ‎②a@（b+c）=a@b+a@c ‎③不存在实数a，b，满足a@b=a2+5b2‎ ‎④设a，b是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a=b时，a@b最大．‎ 其中正确的是（　　）‎ A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③‎ 二、填空题 ‎1．若整式x2+ky2（k为不等于零的常数）能在有理数范围内因式分解，则k的值可以是　　（写出一个即可）．‎ ‎2.分解因式：m3n−4mn= ．‎ ‎3．在实数范围内分解因式：= .‎ ‎4．因式分解：a3b﹣ab3=　 　．‎ ‎5．分解因式：9a2﹣b2=　 　．‎ ‎6．分解因式：2a2﹣4a+2=　 　．‎ 三、解答题 ‎1．先化简，再求值： ，其中.‎ ‎1．要使二次三项式x2﹣2x+m在整数范围内能进行因式分解，那么整数m的值可取（　　）‎ A．1 B．﹣3 C．1或﹣3 D．有无数个 ‎2．若多项式x4+mx3+nx﹣16含有因式（x﹣2）和（x﹣1），则mn的值是（　　）‎ A．100 B．0 C．﹣100 D．50‎ ‎3．现有一列式子：①552﹣452；②5552﹣4452；③55552﹣44452…则第⑧个式子的计算结果用科学记数法可表示为（　　）‎ A．1.1111111×1016 B．1.1111111×1027‎ C．1.111111×1056 D．1.1111111×1017‎ ‎4．下列从左到右边的变形，是因式分解的是（　　）‎ A．（3﹣x）（3+x）=9﹣x2 B．（y+1）（y﹣3）=﹣（3﹣y）（y+1）‎ C．4yz﹣2y2z+z=2y（2z﹣yz）+z D．﹣8x2+8x﹣2=﹣2（2x﹣1）2‎ ‎5．已知a，b，c分别是△ABC的三边长，且满足2a4+2b4+c4=2a2c2+2b2c2，则△ABC是（　　）‎ A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 ‎6．已知a=2005x+2004，b=2005x+2005，c=2005x+2006，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎7．多项式x2+mx+5因式分解得（x+5）（x+n），则m=　　，n=　　．‎ ‎8．因式分解：x2﹣y2+6y﹣9=　 　．‎ ‎9．计算（1﹣）（）﹣（1﹣﹣）（）的结果是　 　．‎ ‎10．若，则=　　．‎ ‎11．将多项式x2+4加上一个整式，使它成为完全平方式，试写出满足上述条件的三个整式：‎ ‎　　，　　，　 　．‎ ‎12．若m2﹣5m+1=0，则=　　．‎ ‎13．定义运算“@”的运算法则为：x@y=xy﹣1，下面给出关于这种运算的几种结论：‎ ‎①（2@3）@（4）=19；‎ ‎②x@y=y@x；‎ ‎③若x@x=0，则x﹣1=0；‎ ‎④若x@y=0，则（xy）@（xy）=0，‎ 其中正确结论的序号是　 　．（在横线上填上你认为所有正确的序号）‎ ‎14. 因式分解：‎ ‎（1）4m2n﹣8mn2﹣2mn （2） m2（m+1）﹣（m+1）‎ ‎（3）4x2y+12xy+9y （4） ‎（x2﹣6）2+2（x2﹣6）﹣15‎ ‎15. 已知a，b，c为△ABC的三条边的长，当b2+2ab=c2+2ac时，‎ ‎（1）试判断△ABC属于哪一类三角形；‎ ‎（2）若a=4，b=3，求△ABC的周长．‎ ‎16.阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．‎ 例如：（x﹣1）2+3、（x﹣2）2+2x、（x﹣2）2+x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．‎ 请根据阅读材料解决下列问题：‎ ‎（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+2三种不同形式的配方；‎ ‎（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）；‎ ‎（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．‎ 答案：‎ ‎【例1】 1．　D　‎ ‎ 2．‎ 举一反三 1．　12　‎ ‎ 2．　y=4（x+1）2+1　‎ 考点二、整式的运算 ‎【例2】 1．　1　‎ ‎2．　B　‎ 举一反三 1．　5　；　6　‎ ‎2．　C　‎ 考点三、乘法公式 ‎【例3】 1．　B　‎ ‎ 2．3．‎ 举一反三 1．填空：‎ ‎（a﹣b）（a+b）=　a2﹣b2　；‎ ‎（a﹣b）（a2+ab+b2）=　a3﹣b3　；‎ ‎（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=　a4﹣b4　．‎ ‎（2）猜想：（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）=　an﹣bn　（其中n为正整数，且n≥2）．‎ ‎2．0‎ 解：原等式可变形为：‎ a﹣2+b+1+|﹣1|=4+2﹣5‎ ‎（a﹣2）+（b+1）+|﹣1|﹣4﹣2+5=0‎ ‎（a﹣2）﹣4+4+（b+1）﹣2+1+|﹣1|=0‎ ‎（﹣2）2+（﹣1）2+|﹣1|=0；‎ 即：﹣2=0，﹣1=0，﹣1=0，‎ ‎∴=2，=1，=1，‎ ‎∴a﹣2=4，b+1=1，c﹣1=1，‎ 解得：a=6，b=0，c=2；‎ ‎∴a+2b﹣3c=6+0﹣3×2=0．‎ ‎3．0　‎ 解：∵（2008﹣a）2+（2007﹣a）2=1，‎ ‎∴（2008﹣a）2﹣2（2008﹣a）（2007﹣a）+（2007﹣a）2=1﹣2（2008﹣a）（2007﹣a），‎ 即（2008﹣a﹣2007+a）2=1﹣2（2008﹣a）（2007﹣a），‎ 整理得﹣2（2008﹣a）（2007﹣a）=0，‎ ‎∴（2008﹣a）（2007﹣a）=0．‎ 考点四、因式分解 ‎【例4】 ‎ 解：（1）原式=5ax（4a2﹣9y2）=5ax（2a+3y）（2a﹣3y）；（2）原式=（1+3x）（1﹣3x）；‎ ‎（3）原式=（2x）2﹣12x+9=（2x﹣3）2；（4）原式=（2xy﹣1）2；（5）原式=（p+4）（p﹣9）；‎ 举一反三 解：（1）原式=（y﹣3）（y﹣4）；‎ ‎（2）原式=3（x2﹣2x+1）=3（x﹣1）2；‎ ‎（3）原式=﹣a（a2﹣2a+1）=﹣a（a﹣1）2；‎ ‎（4）原式=m（m2﹣m﹣20）=m（m+4）（m﹣5）．‎ 一、选择题 ‎1． C ‎ ‎2． B　‎ ‎3． C ‎ ‎4． D ‎5． B ‎ ‎6． B ‎ ‎7． C ‎ ‎8． C ‎ ‎9． A ‎ ‎10．B ‎ ‎11．A ‎12．D　‎ ‎13．A　‎ ‎14．C　‎ ‎15．C　‎ ‎16．C 解：①根据题意得：a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2‎ ‎∴（a+b）2﹣（a﹣b）2=0，‎ 整理得：（a+b+a﹣b）（a+b﹣a+b）=0，即4ab=0，‎ 解得：a=0或b=0，正确；‎ ‎②∵a@（b+c）=（a+b+c）2﹣（a﹣b﹣c）2=4ab+4ac a@b+a@c=（a+b）2﹣（a﹣b）2+（a+c）2﹣（a﹣c）2=4ab+4ac，‎ ‎∴a@（b+c）=a@b+a@c正确；‎ ‎③a@b=a2+5b2，a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2，‎ 令a2+5b2=（a+b）2﹣（a﹣b）2，‎ 解得，a=0，b=0，故错误；‎ ‎④∵a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab，‎ ‎（a﹣b）2≥0，则a2﹣2ab+b2≥0，即a2+b2≥2ab，‎ ‎∴a2+b2+2ab≥4ab，‎ ‎∴4ab的最大值是a2+b2+2ab，此时a2+b2+2ab=4ab，‎ 解得，a=b，‎ ‎∴a@b最大时，a=b，故④正确，‎ 故选C．‎ 二、填空题 ‎1．　﹣1　‎ ‎2.m n(m-2)(m+2) ‎ ‎3． ‎ ‎4．ab（a+b）（a﹣b）‎ ‎5．（3a+b）（3a﹣b）　‎ ‎6．　2（a﹣1）2　‎ 三、解答题 ‎1．解：原式＝4 =-求得值为6‎ 1． D 解：设x2﹣2x+m=（x+a）（x+b），‎ ‎∵x2﹣2x+m在整数范围内能进行因式分解，‎ ‎∴a+b=﹣2，ab=m，‎ ‎∵a+b=﹣2有无数对整数解，‎ ‎∴整数m的值可取无数个．‎ 故选D．‎ 2． C 解：设x4+mx3+nx﹣16=（x﹣1）（x﹣2）（x2+ax+b），‎ 则x4+mx3+nx﹣16=x4+（a﹣3）x3+（b﹣3a+2）x2+（2a﹣3b）x+2b．‎ 比较系数得：，‎ 解得，‎ 所以mn=﹣5×20=﹣100．‎ 故选：C．‎ ‎3．　D　‎ ‎4．　D　‎ ‎5．B 解：∵2a4+2b4+c4=2a2c2+2b2c2，‎ ‎∴4a4﹣4a2c2+c4+4b4﹣4b2c2+c4=0，‎ ‎∴（2a2﹣c2）2+（2b2﹣c2）2=0，‎ ‎∴2a2﹣c2=0，2b2﹣c2=0，‎ ‎∴c=a，c=b，‎ ‎∴a=b，且a2+b2=c2．‎ ‎∴△ABC为等腰直角三角形．‎ 6． D 解：由题意可知a﹣b=﹣1，b﹣c=﹣1，a﹣c=﹣2，‎ 所求式=（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca），‎ ‎=[（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（a2﹣2ac+c2）]，‎ ‎=[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]，‎ ‎=[（﹣1）2+（﹣1）2+（﹣2）2]，‎ ‎=3．‎ ‎7．　6　，　1　‎ ‎8．（x﹣y+3）（x+y﹣3）　‎ 9． 解：设a=1﹣﹣﹣﹣，b=+++，‎ 则原式=a（b+）﹣（a﹣）•b ‎=ab+a﹣ab+b ‎=（a+b），‎ ‎∵a+b=1﹣﹣﹣﹣++++=1，‎ ‎∴原式=．‎ ‎10．　6　‎ 解：∵，‎ ‎∴+（b+1）2=0，‎ ‎∴a2﹣3a+1=0，b+1=0，‎ ‎∴a+=3，‎ ‎∴（a+）2=32，‎ ‎∴a2+=7；‎ b=﹣1．‎ ‎∴=7﹣1=6．‎ ‎11．　4x　，　﹣4x　，　　‎ ‎12．　23　‎ 解：∵m2﹣5m+1=0，‎ ‎∴m﹣5+=0，即m+=5，‎ ‎∴（m+）2=25，‎ ‎∴m2+2+=25，‎ ‎∴m2+=23．‎ ‎13．　①②④‎ 解：根据题意得：①（2@3）@（4）=5@4=20﹣1=19，本选项正确；‎ ‎②x@y=xy﹣1，y@x=yx﹣1，故x@y=y@x，本选项正确；‎ ‎③若x@x=x2﹣1=0，则x﹣1=0或x+1=0，本选项错误；‎ ‎④若x@y=xy﹣1=0，则（xy）@（xy）=x2y2﹣1=（xy+1）（xy﹣1）=0，本选项正确，‎ 则其中正确的结论序号有①②④．‎ ‎14. 因式分解：‎ ‎（1）4m2n﹣8mn2﹣2mn=2mn（2m﹣4n﹣1）‎ ‎（2）m2（m+1）﹣（m+1）=（m+1）2（m﹣1）‎ ‎（3）4x2y+12xy+9y=y（2x+3）2‎ ‎（4）（x2﹣6）2+2（x2﹣6）﹣15=（x+3）（x﹣3）（x+1）（x﹣1）．‎ ‎15.解：（1）△ABC是等腰三角形，理由如下：‎ ‎∵a，b，c为△ABC的三条边的长，b2+2ab=c2+2ac，‎ ‎∴b2﹣c2+2ab﹣2ac=0，‎ 因式分解得：（b﹣c）（b+c+2a）=0，‎ ‎∴b﹣c=0，‎ ‎∴b=c，‎ ‎∴△ABC是等腰三角形；‎ ‎（2）∵a=4，b=3，‎ ‎∴b=c=3，‎ ‎∴△ABC的周长=a+b+c=4+3+3=10．‎ ‎16.解：（1）x2﹣4x+2的三种配方分别为：‎ x2﹣4x+2=（x﹣2）2﹣2，‎ x2﹣4x+2=（x+）2﹣（2+4）x，‎ x2﹣4x+2=（x﹣）2﹣x2；‎ ‎（2）a2+ab+b2=（a+b）2﹣ab，‎ a2+ab+b2=（a+b）2+b2；‎ ‎（3）a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4，‎ ‎=（a2﹣ab+b2）+（b2﹣3b+3）+（c2﹣2c+1），‎ ‎=（a2﹣ab+b2）+（b2﹣4b+4）+（c2﹣2c+1），‎ ‎=（a﹣b）2+（b﹣2）2+（c﹣1）2=0，‎ 从而有a﹣b=0，b﹣2=0，c﹣1=0，‎ 即a=1，b=2，c=1，‎ ‎∴a+b+c=4．‎