平面向量数量积与平面向量应用举例练习题高考总复习

平面向量数量积与平面向量应用举例练习题高考总复习

第三节　平面向量数量积与平面向量应用举例 时间：45分钟　分值：75分 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)‎ ‎1．已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是(　　)‎ A．a∥bB．a⊥b C．|a|＝|b| D．a＋b＝a－b 解析　由|a＋b|＝|a－b|得(a＋b)2＝(a－b)2，‎ ‎∴a·b＝0，故a⊥b.‎ 答案　B ‎2．(2013·湖北卷)已知点A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3，4)，则向量在方向上的投影为(　　)‎ A.B. C．－D．－ 解析　＝(2,1)，＝(5,5)，在方向上的投影为＝＝.‎ 答案　A ‎3．(2013·全国大纲卷)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝(　　)‎ A．－4 B．－3‎ C．－2 D．－1‎ 解析　(m＋n)⊥(m－n)得(m＋n)·(m－n)＝0即m2－n2＝0，(λ＋1)2＋1－[(λ＋2)2＋4]＝0，解得λ＝－3.故选B.‎ 答案　B ‎4．(2013·福建卷)在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4，2)，则该四边形的面积为(　　)‎ A.B．2 C．5 D．10‎ 解析　因为·＝1×(－4)＋2×2＝0，所以⊥，所以四边形ABCD的面积是||·||＝××＝5.‎ 答案　C ‎5．如图所示，在△ABC中，AB＝BC＝4，∠ABC＝30°，AD是边BC上的高，则·的值等于(　　)‎ A．0 B．4‎ C．8 D．－4‎ 解析　BD＝ABcos30°＝2，所以＝.‎ 故＝－＝－.‎ 又＝－，所以·＝·(－)＝2－·＋2，2＝2＝16，·＝4×4×cos30°＝8，代入上式得·＝8－×8＋16＝4.‎ 答案　B ‎6．已知三个向量a，b，c两两所夹的角都为120°，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则向量a＋b与向量c的夹角θ的值为(　　)‎ A．30° B．60°‎ C．120° D．150°‎ 解析　∵(a＋b)·c＝a·c＋b·c＝1×3×cos120°＋2×3×cos120°＝－，‎ ‎|a＋b|＝＝ ‎＝＝，‎ ‎∴cosθ＝＝＝－.‎ ‎∵0°≤θ≤180°，∴θ＝150°.‎ 答案　D 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)‎ ‎7．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝________.‎ 解析　a，b均为单位向量，夹角为60°，所以a·b＝，又b·c ‎＝0，即：b·[ta＋(1－t)b]＝0得＋(1－t)＝0，解得t＝2.‎ 答案　2‎ ‎8．(2013·天津卷)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB的长为________．‎ 解析　·＝(＋)·(－)＝2＋·－2＝2＋||·||cos60°－2＝1，把||2＝1代入得||＝.‎ 答案　 ‎9.‎ ‎(2014·大庆高三质检)向量，在正方形网格中的位置如图所示．设向量a＝－λ，若a⊥，则实数λ＝________.‎ 解析　以A为原点，AB为x轴建立直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(3，2)，a＝－λ＝(3,2)－λ(2,0)＝(3－2λ，2)，＝(2,0)，∵a⊥，∴a·＝2(3－2λ)＋0＝0，λ＝.‎ 答案　 三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)‎ ‎10．已知|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为60°，求向量a＋2b与a－b的夹角的余弦值．‎ 解　a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝1，‎ ‎|a＋2b|2＝a2＋4b2＋‎4a·b＝12，‎ ‎|a－b|2＝a2＋b2－‎2a·b＝3，‎ ‎(a＋2b)·(a－b)＝a2－2b2＋a·b＝3.‎ ‎∴向量a＋2b与a－b的夹角的余弦值 cosθ＝＝＝.‎ ‎11．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．‎ ‎(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；‎ ‎(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．‎ 解　(1)＝(3,5)，＝(－1,1)，‎ 求两条对角线的长，即求|＋|与|－|的大小．‎ 由＋＝(2,6)，得|＋|＝2.‎ 由－＝(4,4)，得|－|＝4.‎ ‎(2)＝(－2，－1)，‎ ‎∵(－t)·＝·－t2，‎ 易求·＝－11，2＝5，‎ ‎∴由(－t)·＝0，得t＝－.‎ ‎12．(2013·四川卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cosB－sin(A－B)sinB＋cos(A＋C)＝－.‎ ‎(Ⅰ)求cosA的值；‎ ‎(Ⅱ)若a＝4，b＝5，求向量在方向上的投影．‎ 解　(Ⅰ)由2cos2cosB－sin(A－B)sinB＋cos(A＋C)＝－，‎ 得[cos(A－B)＋1]cosB－sin(A－B)sinB－cosB＝－，‎ 即cos(A－B)cosB－sin(A－B)sinB＝－.‎ 则cos(A－B＋B)＝－，即cosA＝－.‎ ‎(Ⅱ)由cosA＝－，0b，则A>B，故B＝.‎ 根据余弦定理，有 ‎(4)2＝52＋c2－2×‎5c×(－)，‎ 解得c＝1或c＝－7(舍去)．‎ 故向量在方向上的投影为||cosB＝.‎